二重积分的计算()三
二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
10.2 二重积分的计算
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被 函 由曲顶柱体体积的计算可知 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时 且在 上连续时, 若D为 X – 型区域 上连续时 为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 充分小时
二重积分
（2）在还原积分区域时，首先根据积分上下限用不等式表示出积分区域，然后 再画出积分区域的草图。 例 2、设函数 f ( x, y ) 连续,交换二次积分次序得
dy
0
1
0
2 y 2
f ( x, y)dx A
A 2 dx 0
0
1
x 2
f ( x, y )dy .
B 2 dx 1 x f ( x, y)dy .
2
2
或含有较多的 x
D
2
y 2 时，可以考虑用极坐标计算。
直角坐标与极坐标的转换公式为
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d 。
D
例 3、设 D
x, y x
2
y 2 x ,求 xdxdy .
D
二重积分
二重积分的计算思路，是将它化为累次积分，也就是两次定积分，可用的坐标有直角 坐标与极坐标。二重积分的内容包括概念、不等式的性质以及二重积分的计算。 一、二重积分的计算 1、直角坐标系 1）步骤：画出积分区域草图；选择积分次序；确定积分上下限，做定积分计算 2）确定积分次序时遵循两原则：尽可能地避免分类讨论；尽可能地使第一步的积分简单 3）定限方法（以先对 y 积分的情况为例） ： a、画一条与 y 轴平行的直线，观察这条直线与积分区域边界的两交点，下交点为下限，上 交点为上限，即
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y)dy ；
b、使得直线与积分区域交点 x 的范围便是积分变量 x 的上下限，即 2、极坐标 1）计算公式:
dx
a
b
2 ( x )
高等数学 二重积分的计算
[
]
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例2. 计算
∫∫D xydσ, 其中D 是抛物线
o −1
及直线
y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域.
则
y2 ≤ x ≤ y + 2 D: −1 ≤ y ≤ 2
∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫
D
D
2
y +2
2
y = x−2
D2
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为
θ = θk + ∆θk θ = θk
∆σk (k =1, 2,⋯, n)
o
r = rk x
∆σ k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
∆σk = 1 (rk + ∆rk )2 ⋅ ∆θk − 1 rk 2 ⋅ ∆θk 2 2 rk ∆θk
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
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0
f (x, y)dx
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例5. 计算
其中D 由
2
y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成.
解: 令 f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
4
y = −3x
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内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : • 若积分区域为
二重积分的计算法
式，其中积分区域
{( x, y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}. D
解
在极坐标系下 x r cos y r sin
x y 1
2 2
所以圆方程为
r 1,
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
d
x 1( y)
D
x 1( y) x 2( y)
D
x 2( y)
c
c
D
f ( x , y )d
d
dy
c
1
2
( y)
f ( x , y ) dx .
( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域 边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
D
f ( x , y ) dxdy
2
d
0
1 1
f ( r cos , r sin ) rdr .
sin cos
例2
计算
e
D
x2 y2
dxdy ，其中
D 是由中心在
原点，半径为 的圆周所围成的闭区域
解
.
在极坐标系下
D： 0 r a ， 0 2 .
D
f ( x , y ) dxdy
D
f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
y x
例1
计算
e
D
y x
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
积分的计算
积分的计算：解决三个问题，1）被积函数；2）积分变元；3）积分区域。
（三）二重积分的计算 (,)Df x y d σ⎰⎰（1）直角坐标系1)被积函数不变(,)f x y ；2）积分变元d dxdy σ=；3）积分区域如下 1°先y 后x 积分法（x 型区域）若D : ⎩⎨⎧<<<<)()(21x y x b x a ϕϕ,则21()()(,)(,)bx ax Df x y dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.2°先x 后y 积分法（y 型区域）若D :12()()c y dy x y ϕϕ<<⎧⎨<<⎩, 则 21()()(,)(,)d y c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰. （2）极坐标系 ()r r θ= （与直角坐标的关系cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin )f r r θθ；2）积分变元d rdrd σθ=；3）积分区域如下 1°当极点位于区域D 的边界曲线外时D :12()()r r r αθβθθ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则(,)Df x y d σ⎰⎰21()()(cos ,sin )r r d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰.2°当极点位于区域D 的边界时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(0θϕβθαr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰βαθϕθθθ)(0)sin ,cos (.3°当极点位于区域D 的边界内部时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(020θϕπθr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰πθϕθθθ20)(0)sin ,cos (.通常在积分区域是园、环、扇形及被积函数为两变量平方和时使用x（三）三重积分的计算 (1)直角坐标系1)被积函数不变(,,)f x y z ；2）积分变元d dxdydz σ=；3）积分区域如下 1°投影法：121212:()(): :(,)(,)(,)(,)xy xy x a x bD D y x y y x z x y z z x y z x y z z x y -⎧<<⎧⎧⎨⎪<<ΩΩ⎨⎨⎩<<⎩⎪<<⎩()()()()()()2211,,,,,,by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰注意积分顺序 2°截面法： : zc z dD <<⎧Ω⎨⎩21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(z D 为平行于xoy 面的平面是z 的函数，通常在可将(,,)f x y z 化为与x.y 无关时使用)（2）柱面坐标系（与直角坐标的关系cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin ,)f r r z θθ；2）积分变元d rdrd dz σθ=；3）积分区域如下1212:()()(,)(,)xy D r r r z r z z r αθβθθθθ⎧≤≤⎧⎨⎪≤≤⎨⎩⎪≤≤⎩2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin ,)r z r r z r f x y z dv d rdr f r r z dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.*（3）球面坐标系 （与直角坐标的关系sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos sin ,sin sin ,cos )f r r r θϕϕθϕ；2）积分变元2sin d r drd d σϕϕθ=；3）积分区域如下0200r R θπϕπ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩ 0200(,)r r θπϕαθϕ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2(,,)(cos sin ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r r drd d θϕϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22sin (cos sin ,sin sin ,cos )Rd d f r r r r dr ππθϕϕθϕϕθϕ=⎰⎰⎰ 积分区域为球，半球，被积函数为三变量的平方和时使用(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 I:(,)Lf x y ds ⎰II ：(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化定积分; 曲面积分−−−→转化二重积分 第一类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩()a x b ≤≤ 此例自己思考1)被积函数不变()()(,)f t t ϕψ；2）积分变元ds ==；3）积分区域 t αβ≤≤其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰第二类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩:x a b → 此例自己思考1)被积函数不变()()()()(,);(,)P t t Q t t ϕψϕψ；2）积分变元(),(),dx t dt dy t dt ϕψ'=⎧⎨'=⎩；3）积分区域 :t αβ→''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【定理10.1】 格林（Green ）公式 设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段光滑的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 其中L 是D 的正向边界.基本使用原理： 1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y ∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰ 2)11LL L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy +-+=+++⎰⎰⎰1()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y-∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰注意闭合曲线与其所围成区域的方向，辅助曲线与闭合曲线的方向利用两类曲线积分的联系公式 【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） (cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中cos ,cos dx dyds dsαβ==，α和β表示曲线的切向量的方向角.（切向量如何求）第一类面积分：当曲面∑由方程(,)z z x y =给出， 要解决 1、被积函数[,,(,)]f x y z x y ，，23、）积分区域为曲面(,)z z x y =的投影区域xy D(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(xy D 为∑在xoy 面上的投影区域)注：如果积分曲面∑由方程(,)x x y z =或(,)y y z x =给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分.第二类面积分：(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)x x y z =给出前侧取正，后侧取负)(,,)[,(,),]yzD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰,(其中∑由方程(,)y y x z =给出右侧取正，左侧取负)(,,)[,,(,)]yzD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)z z x y =给出上侧取正，下侧取负)利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)； 【定理10．5】高斯(Gauss)公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有(),P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰或()(cos cos cos ),P Q R dxdydz P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦应用： 1）(),P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y zΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 2）11Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑ ∑∑+-++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()P Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑-∂∂∂=+++++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰两类曲面积分的转化.【定理10．4】两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，即cos ;cos ;cos dydz dS dzdx dS dxdy dS αβγ===其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（法向量如何求）。
3_二重积分的计算(极坐标)
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
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二 极坐标下二重积分的计算
(一)极坐标知识回顾
1定义:在平面取一点O称为原点, 从原点出发作一条射线
称为极轴. 平面上任意点P 与原点距离为 r , 向量O P与极轴为夹角为 , 则点P由数组 , r 唯一确定, 称数组 , r 是点P的极坐标.
例2续计算
其中D 为 1 x 2 y 2 4
y
0 2 解: 在极坐标系下 D : 1 r 2
D3 D1
0
D2
D
x
故
I r rdrd
2 D
D4
d
0
2
2
1
r dr
3
1 4 2 15 2 r |1 2 4
I
D1 D2 D3 D4
. .
D: =1和 =2
围成
: 0 2
0
1
D
2 x
此题用直角系算 麻烦，需使用极 坐标系！
I
D
f ( x , y )dxdy
2π
0
dθ f ( r cosθ , r sin θ )rdr
2 1
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例 如图 直线
2 法一 r sin
y2
2
y
r
P , r
l
0
x
法二: 由直线直角坐标方程为 y 2 得 r sin 2 2 故直线极坐标方程为 r 0 sin
二重积分的计算
b | x dx
dx
1 b (b − t )n f ( t )dt = ∫a n
关于对称性的定理 （关于 x 轴、y 轴、 设 D1 , D2 是对称的两部分. 原点、 或某直线）. (1) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相等， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ
y
x = −1
y=x
1
D
y 1 + x 2 − y 2 dσ ∫∫
D
= ∫ dx ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy
−1
1
x
−1
x o 1
y =1
x
= ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy −1
2 2
1
1
x
= = = =
1 1 2 2 dx ∫ 1 + x − y (− ) d (1 + x 2 − y 2 ) ∫− 1 x 2 1 1 dx ∫ 1 1 + x 2 − y 2 d (1 + x 2 − y 2 ) (− ) ∫ x 2 −1 3 1 1 2 2 2 2 1 (− ) ∫ (1 + x − y ) | dx 2 −1 3 x 1 2 1 3 (− ) ∫−1 (| x | −1) dx 2 3
D2 D1
(2) 若 f ( x , y ) 在对称点的值相反， 则 ∫∫ f ( x , y )dσ = − ∫∫ f ( x , y )dσ
D2 D1
D : x 2 + y 2 ≤ R 2 , ( R > 0) 例6 设 ( 2) ∫∫ x | y | dσ 求 (1) ∫∫ | xy | dσ
二重积分的计算
第二节 二重积分的计算这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的． 一、矩形上的二重积分的计算为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法.定理 12. 4 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的可积函数. 若对每一个x ∈[a,b ]积分⎰=dcdy y x f x h ),()(存在, 则h (x ) 在[a,b ]上可积, 并有等式dx dy y x f dx x h dxdy y x f badcbaD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==,它也记为⎰⎰badcdy y x f dx ),(. 这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分.证明 在[a,b ]中插入若干个分点 b x x x x a n =<<<<= 210, 并记 Δx i = x i - x i-1 , (i =1,2,…..,n ), 当令λx =max{Δx i | i =1,2,…..,n },要证: dx dy y x f x h b adcni ii)),(()(lim1⎰⎰∑=∆=→ξλ.再在[c,d ]中插入若干个分点 d y y y y c m =<<<<= 210, Δy j = y j - y j-1 , (j =1,2,…..,m ), 那么, 直线y = y j (j =0,1,2,…..,m ), x = x i (i =0,1,2,…..,n ) 将D 分成m n 个小矩形D ij =[ x i-1 , x i ]×[y j-1 , y j ] (i =1,2,…..,n, j =1,2,…..,m ). 当记}),(|),(inf{ij ij D y x y x f m ∈=, }),(|),(sup{ij ij D y x y x f M ∈=,∑∑⎰∑===∆≤=≤∆-mj j ijmj y y ii mj jij y Mdy y f h ym ji 1111),()(ξξ因此,∑∑∑∑∑=====∆∆≤∆≤∆∆n i mj i j ijn i iin i m j ijijx y Mx h x y m 11111)(ξ注意到,此式的左右两端正是f (x,y )在矩形D 上以此分划的Darboux 小和及大和.. 再令令λy =max{Δy i | i =1,2,…..m }, λ=λx +λy , 由可积性知,⎰⎰∑∑=∆∆==→Dn i mj i j ij dxdy y x f x y m ),(lim 110λ,⎰⎰∑∑=∆∆==→Dni mj i j ij dxdy y x f x y M ),(lim 11λ.又有两边夹易得, ⎰⎰∑=∆=→Dni iidxdy y x f x h ),()(lim1ξλ即有⎰⎰∑=∆=→Dni iidxdy y x f x h x ),()(lim1ξλ, 那么h (x ) 在[a,b ]上可积, 并有等式dx dy y x f dx x h dxdy y x f b adcb aD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==.同样我们可得定理 12. 5 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的可积函数. 若对每一个y ∈[c,d ]积分⎰=badx y x f y g ),()(存在, 则g (y ) 在[c,d ]上可积, 并有等式dy dx y x f dy y g dxdy y x f dcbadcD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==,这时它也记为⎰⎰dcbadx y x f dy ),((也是二次积分或累次积分).引理 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的连续函数, 那么⎰=badx y x f y g ),()( 和 ⎰=dcdy y x f x h ),()(分别是[c,d ]和[a,b ]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数.证明 只证g (y ) 是[c,d ]上的连续函数. 由条件知, f (x,y )在[a,b ]×[c,d ]上一致连续, 所以,任意ε>0, 存在 δ>0, 对任意(x 1, y 1), (x 2, y 2)∈[a,b ]×[c,d ],只要δ<-+-221221)()(y y x x , 有 2|),(),(|2211+-<-a b y x f y x f ε, 所以任意y 1, y 2∈[c,d ], 当 |y 1 - y 2|<δ,⎰⎰-=-babadx y x f dx y x f y g y g |),(),(||)()(|1212⎰-≤badx y x f y x f |),(),(|12εεε<-⋅+-=+-≤⎰)(21ababdxabba.故g(y) 在[c,d]上的一致连续.由此可得定理12.6若函数f(x,y)是矩形D=[a,b]×[c,d]上的连续函数. 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==badcdcbaDdyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(.即可交换顺序.这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形D=[a,b]×[c,d]上的可积函数, 对每一个y∈[c,d]积分⎰=badxyxfyg),()(存在, 对每一个x∈[a,b]积分⎰=dcdyyxfxh),()(y也存在,.这时定理12.6 结论仍然成立, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰==badcdcbaDdyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(.二、一般区域上的二重积分计算首先我们来讨论D是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形．设其中()()x hxg,是区间[]b a,上的连续函数，()()},|),{(xhyxgbxayxD≤≤≤≤=，这样的区域D ，我们称之为x－型区域(当然可求面积)．如图当()()y vyu,是区间[]d c,上的连续函数，()()},|),{(yvxyudycyxD≤≤≤≤=（如图12-2-2）称为y－型区域.定理12.7 设函数f(x,y)是有界闭区域D上的可积函数，U= [a,b]×[c,d]包含D. 那么当令DU y x D y x y x f y x f -∈∈⎩⎨⎧=∧),(,),(,0),(),(,那么),(y x f ∧是U 上的可积函数. 并且⎰⎰⎰⎰=∧DUdxdy y x f dxdy y x f ),(),(.事实上),(y x f ∧在D 上可积,在U-D 上也可积 . 由性质知),(y x f ∧在U 上的可积.定理 12.8 设()()},|),{(x h y x g b x a y x D ≤≤≤≤=为x －型区域, f (x,y )是D 上的连续函数，那么⎰⎰⎰⎰=bax h x g Ddy y x f dx dxdy y x f )()(),(),(证明 令 U= [a,b ]×[c,d ]包含D . 由定理12.7⎰⎰⎰⎰⎰⎰∧∧==bad cUDdy y x f dx dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(注意到,当固定x 时, 若()()d y x h x g y c ≤≤<≤或, ),(y x f ∧=0,;若()()x h y x g ≤≤,),(),(y x f y x f =∧. 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∧∧b a x h x g d x h x g c Ddy y x f dy y x f dy y x f dx dxdy y x f )()()()(),(),(),(),(, 显然 ⎰⎰⎰⎰=bax h x g Ddy y x f dx dxdy y x f )()(),(),(.例1 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解 区域D 如图12-2-3所示，可以将它看成一个x -型区域， 即 ()}1,21|,{x y x y x D ≤≤≤≤=． 所以⎰⎰⎰⎰=xDxydy dx xyd 121σ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅===213211289212121dx x x dxy x xy y也可以将D 看成是y －型区域，()}2,21|,{≤≤≤≤=x y y y x D ，于是⎰⎰⎰⎰=221yDxydx dy xyd σ.89212221213212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰=dy y y dy y x yx有上面的例子可以看到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数．定理 12.9 设()()},|),{(y v x y u d y c y x D ≤≤≤≤=为y －型区域, f (x,y )是D 上的连续函数，那么⎰⎰⎰⎰=dcy v y u Ddx y x f dy dxdy y x f )()(),(),(如果D 既不是x -型区域也不是y -型区域,如图12-2-4我们可以将D 分划成若干个x -型区域和y -型区域的并.例２ 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是有抛物线x y =2及2-=x y 所围成的有界闭区域．D 1D 2[][]1cos 1cos sin sin sin sin 101100100-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xdx dx y x x dy x x dx d x x x x Dσ解：如图12-2-4，区域D 可以看成是y －型区域，它表示为()}2,21|,{2+≤≤≤≤-=y x y y y x D ，所以84522121221222=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰-+-+dy xy xydx dy xyd y y y yDσ．我们也可以将D 看成是两个x －型区域21,D D 的并集． 如图1２-2-5，其中()()}2,41|,{},,10|,{21x y x x y x D x y x x y x D ≤≤-≤≤=≤≤-≤≤=所以积分可以写为两个二次积分的和．即⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=10422xxxx Dxydy dx xydy dx xyd σ．最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点．所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是x －型的，又是y －型的，但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时，计算不出来．比如下面的例子．例３ 计算二次积分⎰⎰11sin y dx xxdy ． 分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管xxsin 的原函数是存在的，但是还是无法求出其表达式．我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算．解⎰⎰⎰⎰=Dy d x xdx x x dy σsin sin 11，其中D 是如图1２-2-6所示的区域，将它看成是x -型区域，有()}0,10|,{x y x y x D ≤≤≤≤=，所以上面例子的方法常称为交换积分次序. 可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果．设()},|,{d y c b x a y x D ≤≤≤≤=，如果f (x ) 和g (y )分别在[a,b ]和[c ,d ]上可积, 则f (x )g (y )在D 上可积,并有()()()()⎰⎰⎰⎰⋅=b adcDdy y g dx x f d y g x f σ．读者可以自己验证上面的结论． 例４ 计算⎰⎰Dd y x σ22， 其中()}11,10|,{≤≤-≤≤=y x y x D ． 解：由上面的讨论，有⎰⎰Dd y xσ22⎰⎰-=102112dy y x dx＝92323111122=⋅=⎰⎰-dy y dx x ．例５ 求由曲面22y x z +=与1=z 所围的体积V ．解：此立体如图1２-2-7 所示，它的体积可以看成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积．圆柱体的体积是ππ=⋅=211V ．曲顶柱体的顶是22y x z +=，底为区域()}1|,{22≤+=y x y x D ．所以其体积为()()⎰⎰⎰⎰----+=+=Dx xdy y xdx d y x V 22112211222σ＝2π．所以此立体体积为22πππ=-．在这里积分()⎰⎰----+22112211x x dy y xdx 的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分． 本节最后将给出前面积分运算的几何解释.当()y x f ,是有界闭区域D 上的连续函数且()0,>y x f 时，二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示的是以D 为底，以()y x f ,为顶的曲顶柱体的体积．如图1２-2-8所示．它的体积可以通过计算这个二重积分得到．我们下面通过另外的一种途径来求其体积． 我们采用的方法是定积分的微元法．１．以x 为积分变量，其变化区间为[]b a ,；２．求在],[b a 的一个小的子区间],[dx x x +上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小的曲顶柱体，将它近似为一个截面已知的立体的体积．接下来就是计算这个截面面积．将对于任意的[]b a x ,0∈，用平面0x x =去截曲顶柱体得到截面()⎩⎨⎧==yx f z x x ,0，即()⎩⎨⎧==y x f z x x ,00．它在yoz 平面上的投影是一个如图2-３所示的曲边梯形．其面积为 ()()()()⎰=x h x g dy y x f x A ,00．一般地，当0x 变动时，有截面面积()()()()⎰=x h xg dy y x f x A ,．于是区间],[dx x x +所对应的小曲顶柱体体积为()()()()dx dy y x f dx x A dV x h x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰,，所以曲顶柱体的体积为 ()()()()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==b a b a x h x g dx dy y x f dx x A V ,．这样的积分实际上是积分两次，即先对y 积分，再对x 积分，即二次积分．也记为()()()⎰⎰bax h xg dy y x f dx ,．习题 12-21.求下列函数的二重积分,()⎰⎰Ddxdy y x f ,,这里D=[0,1]×[0,1].1) ()1,1,01,>+≤+⎩⎨⎧--=y x y x y x y x f ;2)()1,1,0,22>+≤+⎩⎨⎧+=y x y x y x y x f ;3)()otherwise x y x y x y x f ,2,0,22≤≤⎩⎨⎧+= ;2. 设f (x )是[a,b ]上的连续函数,证明2)(])()([2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰b a bx b a dx x f dx dy y f x f . 3.求下列二重积分 1)⎰⎰Ddxdy y x 23 , },20|),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=; 2)⎰⎰+D dxdy x y142 , }20,21|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=; 3) ⎰⎰Dyx dxdy e , },21|),{(3y x y y y x D ≤≤≤≤=; 4) ⎰⎰Dy dxdy e 2, }0,10|),{(y x y y x D ≤≤≤≤=; 5) ⎰⎰-Dd y x σ)2( , D 是由原点为中心2为半径的圆周所围的有界区域;6) ⎰⎰Dd xy σ)2( , D 是由(0,0),(1,2)和(0,3)为顶点的三角形所围的有界区域;7)σ⎰⎰+Dd y x )(22，其中D 是矩形区域：|x|≤1， |y|≤1；8)σ⎰⎰+Dd y x )23(，其中D 是x 轴、y 轴与直线2=+y x 所围成闭区域，9)σ⎰⎰++Dd y y x x )3(322，其中D 是矩形闭区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； 10)σ⎰⎰+Dd y x x )cos( ， 其中D 是顶点分别为（0，0），（π,0）和(π,π)的三角形闭区域．4.交换下列的积分顺序1)⎰⎰---22993),(x x dy y x f dx ;2)⎰⎰-ydx y x f dy 903),(;3)⎰⎰4arctan 1),(πxdy y x f dx ;4)⎰⎰⎰⎰-+yy dx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),(;5)⎰⎰10),(ydx y x f dy ; 6)⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy ; 7)7)⎰⎰222),(yy dx y x f dy 8)⎰⎰ex dyy x f dx 1ln 0),(5.求下列的积分1) ⎰⎰3312yxdy e dx ;2)⎰⎰+13101ydx x dy ;3)⎰⎰9232)cos(y dx x y dy ; 4)⎰⎰+2arcsin 21cos 1cos πydx x xdy .6. 画出积分区域，计算积分： 1) σ⎰⎰Dd y x ，其中D 是由两条抛物线2x y =, x y =所围成闭区域，2)σ⎰⎰Dd xy 2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成右半闭区域， ３）σ⎰⎰+D y x d e , 其中D 是由1≤+y x 所确定的闭区域， 4)σ⎰⎰-+Dd x y x )(22， 其中D 是由直线x y y ==,2 及x y 2=所围成的闭区域．。
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式
极坐标系，又称径向直角坐标系或极坐标直角坐标系，是它以极点作为坐标原点，以极轴为坐标轴的坐标系统，常用来表示圆周上的点?；〔?。
一般记为极坐标系（Ｒ，θ），其中Ｒ表示点到极点的线段的长度，而θ表示该线段与正x轴的夹角。
二重积分极坐标计算公式是指通过极坐标系计算二维图形的解
析积分公式。
以极坐标的形式表示边界上的函数，可以将复杂的二维积分问题转换为一元积分，从而计算出数值解。
一般而言，在极坐标系中，二重积分极坐标计算公式可以表示为：∫∫F(x,y)dxdy=∫∫f(ρ,θ)ρdρdθ
其中，F(x,y)为原函数，ρ = x2 + y2，f(ρ,θ) = F(x,y)。
以上表示的是由F(x,y)表示的函数f(ρ,θ)在极坐标系中的二
重积分计算公式。
它表明，在计算二维函数积分时，可以把复杂的函数积分表示为在极坐标系中的一维函数积分，从而求解出二维图形的数值解。
极坐标计算公式是有效的高效算法，在数学和计算机科学等领域有广泛的应用。
在计算复杂的多维函数时，极坐标计算公式可以大大减少计算的复杂性，提高计算的运行效率。
此外，极坐标计算公式还可用于解决多维空间中的各种物理问题，如爆炸波在多维空间内的传播特性，电磁场中电压场和力场的表示，以及气动力学问题中流体动量守恒方程的求解等等。
总之，极坐标计算公式是一种非常有用的计算方式，它的应用既
可以减少计算的复杂性，又可以解决多维空间中的各种物理问题。
二重积分与三重积分的计算方法
二重积分与三重积分的计算方法积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求解曲线下的面积、体积等问题。
在微积分中，二重积分和三重积分是常见的积分形式，用于计算平面区域和空间区域的面积和体积。
本文将介绍二重积分和三重积分的计算方法。
一、二重积分的计算方法在计算二重积分之前，我们首先需要确定被积函数的定义域。
设被积函数为f(x,y)，定义域为D。
一般情况下，D可以是一个矩形区域、三角形区域或其他形状的区域。
1. 矩形区域上的二重积分当被积函数在矩形区域D上连续或仅有有限个第一类间断点时，可以使用定积分的方法计算二重积分。
设矩形区域D的边界分别为a、b、c、d，则D的表示为D={(x,y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。
二重积分的计算公式为：∬D f(x,y) dxdy = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dxdy其中，f(x,y)是被积函数，D是积分区域。
2. 非矩形区域上的二重积分以利用坐标变换的方法将非矩形区域映射到矩形区域上，然后再进行求积。
设非矩形区域D的映射为S，坐标变换为x=g(u,v)，y=h(u,v)，则有：∬D f(x,y) dxdy = ∬S f(g(u,v),h(u,v)) |J| dudv其中，|J|表示变换的Jacobi行列式。
二、三重积分的计算方法类似于二重积分，三重积分也需要先确定被积函数的定义域。
设被积函数为f(x,y,z)，定义域为R。
一般情况下，R可以是一个长方体区域、立体区域或其他形状的区域。
1. 长方体区域上的三重积分当被积函数在长方体区域R上连续或仅有有限个第一类间断点时，可以使用定积分的方法计算三重积分。
设长方体区域R的边界分别为a、b、c、d、e、f，则R的表示为R={(x,y,z)|a≤x≤b, c≤y≤d, e≤z≤f}。
三重积分的计算公式为：∭R f(x,y,z) dxdydz = ∫[a,b]∫[c,d]∫[e,f] f(x,y,z) dxdydz其中，f(x,y,z)是被积函数，R是积分区域。
03第三节二重积分的计算(2)
第三节二重积分的计算 (2)有些二重积分，其积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等.此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.分布图示★利用极坐标系计算二重积分★二重积分化为二次积分★例1★例2 ★例3★例4★例5 ★例6★例7★例8 ★例9 ★例10★平面薄片的重心★例11★例★平面薄片的转动惯量★例12 13★平面薄片对质点的引力★例14★一般曲线坐标系中二重积分的计算★例15 ★例16 ★例17★内容小结★课堂练习★习题9-3 ★返回内容要点一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元d rdrd ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为x r cos , y r sin , 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式f (x, y) dxdy f (r cos ,r sin )rdrd (3.1)DD二、二重积分的应用平面薄片的重心平面薄片的转动惯量三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算二重积分的一般换元分式. 例题选讲在极坐标系下二重积分的计算22例1(E01)计算e(x y)d ,其中D是由圆x2 y2 R2所围成的区域.D解如图，在极坐标系下，积分区域D的积分限为0 2 , 0 r R,于是(x 2y2)2 Rr 2Rr2e (x y )d d e r rdr 2 e r rdr D0 0 0(1 e R).例2计算二重积分D1d x x2dy y2,其中D是由x2 y2 1所确定的圆域解如图(见系统演示)，区域D 在极坐标下可表示为0 r 1, 0 2 ,Rr220er d( r2)r2R(e r |0R )22(1 cos2 )d .2例 5(E04) 写出在极坐标系下二重积分f ( x, y)dxdy 的二次积分，其中区域DD {( x,y)|1 x y 1 x 2, 0 x 1}.解利用极坐标变换 x rcos , y r sin , 易见直线方程 x y 1的极坐标形式为 1r, sin cos故积分区域 D 的积分限为 0 , 1 r 1,2 sin cos 所以1f (x, y)dxdy 2d 1 f(r cos ,r sin )rdr.D sin cos例 6 计 算 (x 2 y 2 )dxdy , 其 中 D 为 由 圆 x 2 y 2 2y, x 2 y 2 4y 及 直 线 Dx 3y 0, y 3x 0 所围成的平面闭区域21 2 20 21[ln(1 r 2)] 0d21 1 ln2d ln2 22ln 2.22例 3(E02)计算sin( x y )dxdy ,其中积分区域Dx 2 y 222D 是由 1 x 2 y 2 4 所确定的圆环域 .解由对称性，可只考虑第一象限部分 ,D 4D 1, 注意到被积函数也有对称性 ,则有sin(x2x2y2)y2)dxdyDx 2 y 2)4sin( x 2 y 2)Dx 2y 2)dxdy4 02 d 12sin r rdr 4. r2例 4(E03)计算 y2 dxdy ,其中 D 是由曲线Dxx 22y 22x 所围成的平面区域 .解积分区域 D 是以点 (1,0)为圆心，以 1 为半径的圆域，如图 .其边界曲线的极坐标方程 为 r 2cos .于是区域 D 的积分限为22, 0 r 2cos .所以2 y2dxdy Dx 222r sin2 2 rdrd D r cos2 d2cos sin 222 rdrcos222sin 2d2故 D 1 d x x 2dy y 2rdr223解 y 3x 022x y 4y r 4sin x 3y 062y 2y r 2sin解 如 图 ， 令 x r cos ,y rsin , 则 D 的 边 界 的 极 坐 标 方 程 分 别 变r a,r ac o s 及 3 4. D 1 :02,acos r a;D 2 : 2 3 4,0 r a.D12 a34 ad f(rcos ,rsin )rdr d f(rcos ,rsin )rdr. 0 acos 2 0例 8(E05)求曲线 (x 2 y 2)2 2a 2(x 2 y 2)和x 2 y 2 a 所围成区域 D 的面积 .解根据对称性有 D 4D 1, 在极坐标系下(x 2 y 2)22a 2(x 2y 2) r a 2cos2 ,故所求面积a 2cos22 2 dxdy 4 dxdy 4 rdrd 4 6 d rdr 4a 2 6 cos2 d a20 a 0DD 1D 1例 9(E06)求球体 x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面 x 2 y 2 2ax (a 0) 所截得的 (含在圆x 2所以 (x 2 y 2)dxdyD例 7 将 二 重积 分y2 a2, xa 2,24sin3d2sin r 26rdr 60 3sin 4d 15( 3).62f(x,y)d 化为极坐标形式的二次积分,其中 D 是曲 D2 a及直线 x y 0 所围成上半平面的区域 4f(x,y)d f(x,y)d f (x,y)d DD2x 2y2 a 2r a,r a 2cos2 , 得交点 A raa,6 ,3.3柱面内的部分 )立体的体积解如图，由对称性，有V 4 4a 2 x 2 y 2 dxdy,D其中 D 为半圆周 y 2ax x 2,及 x 轴所围成的闭区域 . 在极坐标中，积分区域 D:0 2,0 r 2acos .32a 3 2 (1 sin 3 )d 32a33 0 3x 2例 10(E07) 计算概率积分 e xdx.R解记I(R) e x2dx,其平方y )dxdy e(x y )dxdy e (x y )dxdy.D 2根据例 1 的结果 ,即有 (1 e R ) I 2(R) (1 e 2R ).44令 R , 并利用夹逼定理 ,得故所求概率积分x 2e dx .二重积分的应用例 11(E08) 求位于两圆 2sin 和 4sin 之间的均匀薄片的重心(图 9-3-13)解如图，因为闭区域 D 对称于 y 轴，故重心 C(x,y)必位于 y 轴上，于是 ,1 x 0, y yd .AD易见积分区域 D 的面积等于这两个圆的面积之差 ,即 A 3 . 再利用极坐标计算积分 :2 4sin2 56 4 ydr 2sin drd sin dr 2dr 56 sin 4d 7 .0 2sin 3 0V 4 4a 2r 2rdrd 4 2dD2acos4a 2 r 2rdrI 2(R)e xdxR x2 e xdyRx 2e dx2 2 2ydy e(x y )dxdy.DD 12x(e, 411解由积分区域的对称性知 F x F y 0,F zak D (x 2 (yx,2y)da 2)3/2akD (x 2 y d2 a 2)3/22Rak d00rdr 2 2 3/2 (r a )2 ka1R 2 a 2F 0,0,2 kaR 2a 2因此 y 77,所求重心是 C(0,7/3).33例 12(E09)设一均匀的直角三角形薄板(面密度为常量)，两直角边长分别为 a 、b ，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量 .解设三角形的两直角边分别在 x 轴和 y 轴上，对 y 轴的转动惯量2b 3hI vu 2dudv12D例 14 求面密度为常量、 半径为 R 的均匀圆形薄片：点 M 0(0,0,a) 处的单位质点的引力 (a 0).故所求引力为I yx 2dxdydyD同理 ,对 x 轴的转动惯量I xD y 2dxdy 112ab 3. D例 13 已知均匀矩形板 (面密度为常数 ) 的长和宽分别为 其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量 .解先求形心b 和 h ,计算此矩形板对于通过 1 x xdxdy,1 y ydxdy.A区域面积 A b h. 因为矩形板均匀，由对称性知形心坐标 xbh 2, y 2将坐标系平移如图，对 u 轴的转动惯量hbI uv 2dudv2hv 2dv 2b du b 2D2h2h v 2dv bh 3212同理， 对 v 轴的转动惯量x 2y 2R 2, z 0 对位于 z 轴上的yb x 2dx112a 3b .在一般曲线坐标系中二重积分的计算 x 2 y 2 z 2例 15(E10)求椭球体 x2 y 2 z 21的体积 . a 2 b 2 c 2解由对称性知，所求体积为22 xy a 2 b 2d ,ab22其中积分区域 D ： x 2 y 2 1, x 0,a 2 b2例 17(E11)求曲线 xy a 2,xy 2a 2, y x, y 2x(x 0, y 0) 所围平面图形的面积 .解 如果在直角坐标下计算，需要求曲线的交点 ,并画出平面图形，还需将积分区域分割成几块小区域来计算面积，很麻烦，现在可巧妙地作曲线坐标变换 .1 2vy 0.令 x ar cos , y brsin 称其为广义极坐标变换则区域 D 的积分限为 0 , 0 r 21,又 J(x,y)(r, )acos bsinar sin brcosabr,2 12 01 r 2d(1 r 特别地，当 a b c 时，则得到球体的体积为 4 a 3. 3/2 12 于是 V 8abc d 1 r 2rdr 8abc 2) 4abc.3yx例 16计算 e y x dxdy,其中 D 由 x 轴、 y 轴和直线 x y 2所围成的闭区域 . D 解令u y x, v y x,则区域 D D , 且 x 0v u v u x , y . 22u v; y 0 u v; x y 2 v 2.J((u x,,v y ))12 1 21 2 1 2yx yx所以 e y x dxdyDu e v D1 dudv 22 vu dv e vdu0v1 2(e e 1)vdv e e 120作变换 xy u, y x v, 则有 a 2 u 2a 2,1 v 2.因为(u,v)(x,y)y y2 x2 y2v, 及由第 8 章第五节知 x(x,y) (u,v) 1, 从而有 (u,v) (x,y)2a 2 2 d ad 2u1 注:题中利用函数组 u u(x,y),v v(x,y)与反函数组 x x(u,v), y y(u, v)之间偏导数的 关系式(x, y) (u,v) 1, (u,v) (x,y)来求 (x, y) ,避免了从原函数组直接解出反函数组的困难.但在简单情况下， 也可以直接解出(u,v)来直接计算之 .课堂练习22 2 21.计算|x 2y 22|d ,其中 D:x 2y 23.D2.设半径为 1 的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离 坐标及关于 x 轴 (直径边 )的转动惯量 .3.计算重积分D x y ye (x y)2d ,其中 D 是由直线 x y 1, x 0 和 y 0 所围成 .1a2 2 1 a 2dv dv ln 2.2v 2 1 v 2是， ,求此半圆的重心。
二重积分的计算法
z
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
0
c
y
x=(y)
d
y
D
x
x=(y)
I
f ( x , y )d xdy
D
z
z f ( x, y ) y y .
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
d
Q( y )dy
d
c
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
x=(y)
x
二重积分计算的两种积分顺序 I
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
f ( x , y )d xdy
D
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
x
I=
x ( y )
x ( y )
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
交换积分次序
解
y
0
2a
dx
2 ax 2 ax x
y y
d
x 1 ( y)
d
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)
二重积分的计算
x
上可积, 则其和式极限的存在与区域 D 的分法无关, 也与小 区域 i (i 1, 2,
, n) 的形状无关.
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故在直角坐标系下, 我们常采用平 行于坐标轴的直线网格来划分区域 D(如图8.2.3), 那么此时除了包含边
y
y 2 ( x)
①先投影确定外积分限:
将积分区域向 x 轴投影, 区间若为 [a, b]则外层上、下限分别为 b, a;
oa
y 1 ( x) b
x
D
x
②再穿线确定内积分限: 过 [a, b]内任意一点作 x 轴的垂线 与与积分区域的边界相交, 由上至下交点分别为 2 ( y ), 1 ( x ) 它们就是内层上、下限. 类似地,当积分区域 D为Y-型区域时,
的闭区域为 Y- 型区域, 它是由直线
y c, y d 及曲线 x 1 ( y), x 2 ( y)
( y [c, d ]) 所围成, 如图8.2.2.
y
d
x 1 ( y)
D
x 2 ( y)
c o
图8.2.2
其中 1( y) 和 2 ( y) 在 [c , d ] 上连续．
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正如利用定积分的定义计算定积分非常困难一样, 利用二重
计算二重积分难度更大, 因此需要寻求一些更为有效的计算二 重积分的计算方法. 本节将从二重积分的几何意义出发, 讨论如把二重积分化为 二次积分 (或累次积分), 即计算两次定积分, 从而得出计算 二重积分的实用方法．
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二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。
计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。
求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。
不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。
计算二重积分的一般步骤如下：1) 画出积分区域D 的草图； 2) 求交点；3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 4) 选择积分次序；5) 化二重积分为二次积分； 6) 计算。
一．二重积分的直接计算方法所谓连续函数(,)f x y 展步在有限封闭可求积二位域Ω内的二重积分乃是指数max 0max 0(,)lim(,)iji j x ijy f x y dxdy f x yx y ∆→Ω∆→=∆∆∑∑⎰⎰其中11,i i i j j j x x x y y y --∆=-∆=-，而其和为对所有j i ,，使Ω∈),(j i y x 的那些值来求的。
若域Ω有下面的不等式所给出,b x a ≤≤ )()(21x y y x y ≤≤其中)(1x y 和)(2x y 为闭区间[]b a ,上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算⎰⎰⎰⎰Ω=bax y x y j i dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(例1. 计算⎰⎰Dxydxdy，其中区域D 是由直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。
解: 积分区域D 如图1所示，有定义D 是简单区域，边界x y =与2x y =得交点为)0,0(和)1,1(。
若选择先对y 积分，则过x 轴上)1,0(内的任一点p 作y 轴的平行线，该线的与D 下边界交点在2x y =上，与D 上边界交点在x y =上，所求积分为2211002xxx x Dy xydxdy dx xydy x dx ⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰241)(211053=-=⎰dx x x 若选择先对x 积分，同理可得⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1021021yyyyDy x xydx dy xydxdy241)(211053=-=⎰dx y y图1若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，然后根据)(,),(),(),(2121D D D y x f y x f dxdy y x f D D D+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，来计算。
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[
c
则其体积可按如下两次积分计算
D d 2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y ) d x ] d y
y d x 2 ( y) x 1 ( y) y c o x
第3页
第 9章
§9.2 二重积分的计算
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
第 9章
§9.2 二重积分的计算
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
第1页
第 9章 §9.2 二重积分的计算 一、利用直角坐标计算二重积分
z 引例: 曲顶柱体体积的计算 y 2 ( x) 设曲顶柱的底为 y 1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb D x o a 0 bx 任取 平面 截柱体的 y 1 ( x)
及直线
y 2 y2 x
x y x x 2 y x D1 : D2 : o 0 x 1 1 x 4 1 x yd xyd xyd
D
D1 D2
x x 4 x y x2
D
dx
0
4
1
x
x
第6页
第 9章
§9.2 二重积分的计算
例. 计算
D x yd , 其中D 是抛物线
2
及直线
y 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域.
则
y x y2 D: 1 y 2
x yd d y
D
2
o 1
xydy dx
1
4
x
x 2
xydy
1 0 x[ x ( x 2)2 ]dx 1 2 1 5 3 1 4 45 2 4 [ x x 2 x ]1 2 3 4 8
第8页
第 9章
§9.2 二重积分的计算 sin x 例. 计算 d xd y, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y
§9.2 二重积分的计算
2 y2
例.求 x e
D
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
( 0,1)为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
0 0
2
1
y
2 y2
dx
e
0
D1
2
D D D
1
D3
o
x
第 9章
§9.2 二重积分的计算
D
例. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
yx
0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0
o
D x x
sin x d x
0
2
第9页
第 9章
D
y2
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
第7页
第9章 §9.2 二重积分的计算 例. 计算 D x yd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解2: 先对 y 后对 x 积分,
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
第5页
Dx 2 ( y) Nhomakorabea为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
1
y
2
2 1 1 2 y3 y y 2 dy e dy (1 ). 0 6 e 3 6
c
1
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
b
2 ( x)
oa
y 1 ( x) b
x
D
x
第4页
第 9章
§9.2 二重积分的计算
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 1 ( x) y 2 ( x) D: a xb 则
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y 1 y x 2 ( y) 1 ( y) x 2 ( y) d 若D为Y –型区域D : y c y d x 1 ( y) c 2 ( y) d 则 x d y ( y ) f ( x, y) dx o
截面积为
故曲顶柱体体积为
V f ( x, y ) d A( x)d x
[
a b
b
( x)
1
D 2 ( x)
a
f ( x, y ) d y ] d x
第2页
第 9章
§9.2 二重积分的计算
同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d