第2讲平行线的判定及性质(相交线与平行线)讲义
认识平行线课件
认识平行线课件一、引言平行线是几何学中的一个基本概念，它在日常生活、艺术设计和科学研究中都有广泛的应用。
本课件旨在帮助大家深入理解平行线的定义、性质和判定方法，从而提高几何学的学习效果。
二、平行线的定义1.在同一平面内：这是平行线的基本前提，如果两条直线不在同一平面内，那么它们不可能平行。
2.不相交：这是平行线的核心特征，如果两条直线在同一平面内，且永不相交，那么它们就是平行线。
三、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等。
同位角是指两条平行线之间的相对位置相同的角。
2.内错角相等：两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等。
内错角是指两条平行线之间的相对位置相邻的角。
3.同旁内角互补：两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。
同旁内角是指两条平行线之间的相对位置在同一侧的角。
4.平行线之间的距离处处相等：两条平行线之间的距离是指从一条平行线到另一条平行线的最短距离，这个距离在平行线的任意位置都是相等的。
四、平行线的判定方法1.观察法：通过观察两条直线的方向，如果它们的方向相同或重合，那么它们可能是平行线。
但这种方法不够严谨，只适用于简单的情况。
2.同位角法：如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，那么这两条直线是平行线。
3.内错角法：如果两条直线被第三条直线所截，且内错角相等，那么这两条直线是平行线。
4.同旁内角互补法：如果两条直线被第三条直线所截，且同旁内角互补，那么这两条直线是平行线。
5.平行公理法：根据平行公理，通过一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
因此，如果通过一点有两条直线与已知直线平行，那么这两条直线也是平行线。
五、平行线的应用平行线在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如：1.地图制图：在地图制图中，经常需要绘制平行线和垂线，以便准确地表示地理位置和方向。
2.建筑设计：在建筑设计中，平行线用于表示建筑物的结构和布局，以及确定建筑物的方向和位置。
《平行线的性质》相交线与平行线优秀课件
2023-11-09
contents
目录
• 平行线的定义与性质 • 相交线的定义与性质 • 平行线与相交线的几何证明 • 平行线与相交线的代数表示 • 平行线与相交线的综合应用
01
平行线的定义与性质
定义与基本性质
平行线的定义
平行线是指同一平面内，不相交的两条直线。
在求解三角形中的应用
利用平行线的性质可以求解三角形的内角、边长等。
02
相交线的定义与性质
相交线的定义与基本性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相交线的定义
两条直线在同一平面内，且不重合，这样的两条直线叫做相交线。
相交线的性质
两条直线相交于一点，这一点叫做它们的交点。
相交线的特殊形式
垂直相交
两条直线相交成90度角，这种相交叫做垂直相交。
平行线的证明方法
定义法
根据平行线的定义，证明两条 直线不相交。
反证法
假设两条直线相交，根据已知条件 推导出矛盾，从而证明两条直线不 相交。
同一法
在同一个三角形中，证明两条边相 等，从而证明这两条边所在的直线 平行。
相交线的证明方法
01
02
03
定义法
根据相交线的定义，证明 两条直线有交点。
垂直法
证明两条直线垂直，从而 证明这两条直线相交。
向量的模
表示向量的长度，满足正交分解定理等性质 。
平行线与相交线的代数表示方法
要点一
平面向量的数量积
要点二
平行线与相交线的代数表示
表示两个向量的夹角，可用来计算向量的长度和角度 。
利用平面向量的数量积表示两条直线的夹角和位置关 系。
第2讲 平行线的性质与判定--尖子班
第2讲 平行线的性质与判定平行公理及推论平行线的判定平行线的性质与判定平行线的性质判定与性质的综合命题、定理、证明⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 知识点1 平行公理及推论 1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a 与直线b 不相交时，直线a 与b 互相平行，记作a ∥b. 2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【典例】1.如图，已知OA ∥CD ，OB ∥CD ，那么∠AOB 是平角，为什么？2.如图，AD ∥BC ，E 为AB 上任一点，过E 点作EF ∥AD 交DC 于F ．问EF 与BC 的位置关系怎样，为什么？【方法总结】结论：已知直线CD，若OA∥CD，OB∥CD，则O，A，B三点共线.常用方法：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.【随堂练习】1．（2018春•静安区期中）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥cC．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c2．（2018春•宁晋县期中）平面内有三条直线a、b、c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是（）A．只有①B．只有②C．①②都正确D．①②都不正确知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.【典例】1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？解：BE∥DF．∵AB⊥BC，∴∠ABC=____°，即∠3+∠4=____°．又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴____=____．理由是：_________．∴BE∥DF．理由是：_____________．【方法总结】思路回顾：由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，2=∠3，利用等角的余角相等得到∠1=∠4，利用同位角相等两直线平行即可说明BE平行于DF．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．【随堂练习】1．（2018春•玄武区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上．点G 在CA的延长线上，EG交AB于点F，∠AFG=∠G，求证：GE∥AD．2．（2018春•三台县期中）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC∥EF．3．（2018春•思南县期末）如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．4．（2018春•江夏区期中）完成下面的证明，括号内填根据．如图，直线a、b、c被直线l所截，量得∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°．求证：a∥b证明：：∠1=65°，∠3=65°∴_______∴___________________∵∠2=115°，∠3=65°∴____________∴___________________∴a∥b知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.【典例】1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．【方法总结】思路回顾：根据BD平分∠ABE，∠1=20°，可得∠ABC的度数.根据CD∥AB，可得∠DCE=∠ABC，进而可得∠DCE的度数.依据∠ACB=90°，得出∠2=90°﹣∠DCE，从而求得∠2的度数.本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．【随堂练习】1．（2018秋•连城县期中）已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1=70°，求：∠D的度数．2．（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ 上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C．过点B作BD平分∠ABC交AC 于点D，若∠NAC=32°，求∠ADB的度数．3．（2018春•长白县期中）如图所示，已知直线DE∥BC，GF⊥AB于点F，∠1=∠2，判断CD与AB的位置关系．并说明理由．知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.两直线平行⇔同旁内角互补.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.【典例】1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．理由：∵DE∥AB（已知），∴∠A=∠CED（___________________________），又∵∠BFD=∠CED（已知），∴∠A=∠BFD（___________________），∴DF∥AE（___________________________）∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．【方法总结】平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.【随堂练习】1．（2018春•容县期中）如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD 于F．求证：∠1=∠2．2．（2018春•开福区校级月考）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠D=∠3+50°，∠CBD=80°，求∠C的度数．3．（2018春•仓山区期中）如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：EF∥BC，请你补充完成下面的推导过程．证明：∵∠1+∠2=180°（已知）∠2=∠4（_______）∴∠___+∠4=180°（等量代换）∴DF∥AB（______________）∴∠B=∠FDH（_____________）∵∠3=∠B（____）∴∠3=∠_____（______）∴EF∥BC（_____________）4．（2018春•大田县期中）如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D．求证：AD∥BE．证明：∵∠B+∠BCD=180°（已如）．∴AB∥CD（______________）∴∠B=______（_____________）又∠B=∠D（已知）∴∠_____=∠___（等量代换）∴AD∥BE（_____________）知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.【典例】1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：条件：__________________________．结论：___________________________．（2）证明你所构建的是真命题．【方法总结】此类题属于开放性题目，只要找出的条件和结论能组成真命题即可，答案不唯一.证明时推理要严谨，每一步都要有理论依据.拓展：证明文字叙述题的规范证明步骤：①写出已知，求证，画出图形；②证明.【随堂练习】1．（2017秋•迁安市期末）下列命题中的逆命题一定成立的有（）①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a=b，则|a|=|b|；④若a＞b，则a2＞b2．A．①②③④B．①④C．②④D．②2．（2018春•兰陵县期中）下列命题中，真命题有（）①同位角相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③对顶角相等；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；⑤已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．⑥相等的角是对顶角；⑦如果x2＞0，那么x＞0A．3个B．4个C．5个D．6个综合运用1．（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是______．2．（2018春•定陶区期中）下列结论正确的是（）A．同位角相等B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行3．（2018春•建安区期末）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．4．（2018•广元）如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为_____．5．（2018春•桥西区校级期中）如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．6．（2018春•防城港期中）如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．。
《平行线的性质》相交线与平行线PPT免费课件(第2课时)
课堂检测 拓广探索题
如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数
量关系，并说明理由.
解法一：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
A
∴ AP∥CE ∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
∴ ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC,
C
∵AB∥CD ∴ ∠ECD=∠AEC,
∴∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD.
A
B
A
B
A E1
B
E
E1
E2
E2
E3
C
D
C
D
C
D
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
探究新知 若有n个拐点，你能找到规律吗？
A
B
E1
E2 …
【思考】在填写依据时要注意什么问题？
巩固练习
如图，AB∥EF，∠ECD=∠E，则∠A=∠ECD.
理由如下：
B
A
∵∠ECD=∠E， ∴CD∥EF( 内错角相等，两直线平行 又AB∥EF，
D
C
)E
F
∴CD∥AB(平行于同一直线的两条直线互相__平__行_ ).
∴∠A=∠ECD( 两直线平行,同位角相等 __ ).
= ∠ E1 +∠ E2
探究新知
若左边有n个角，右边有m个角,你能找到规律吗？
A
F1 F2 Fn-1
B E1
第2讲 平行线的判定与性质
A
D
C
A
P
B
C
O
B
A
B
图1
图2
图3
【答案】如图所示．
MA
N
A
H P
D
C
B
C
O
E
B
A
图1
图2
EB
F
图3
探究二 平行线中的折叠问题
【例 2】如图，把一张长方形纸条 ABCD 沿 EF 折叠，若∠1＝50°，则∠AEG 的度数为________．
A
E
D
【答案】80°
BG D'
1 FC
C'
A
E 1
B
G
H 2
C
F
D
【变 4】如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD． A
【答案】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）， ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠DCA， ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
C E
F
1 2D 3
A
G
B
E 1 F
D
2
C
GB
【变 5】如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°，试判断 BF 与 AC 的位置关系， 并说明理由．
【答案】解：BF 与 AC 的位置关系是：BF⊥AC． 理由：∵∠AGF＝∠ABC， ∴BC∥GF，∴∠1＝∠3； 又∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠2＋∠3＝180°，∴BF∥DE； ∵DE⊥AC，∴BF⊥AC．
相交线与平行线平行线的性质课件五四制
2023-11-09•相交线与平行线的定义•平行线的性质•平行线的判定•平行线在实际生活中的应用•平行线的重要性及教学建议目录01相交线与平行线的定义如果两条直线有一个且仅有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。
定义垂直相交斜相交当两条直线相交成90度时，它们互相垂直。
当两条直线相交角度小于90度时，它们是斜相交。
03相交线的定义0201如果两条直线在同一平面内，且它们之间的距离始终保持相等，那么这两条直线叫做平行线。
定义平行线具有传递性，即如果a//b且b//c，那么a//c。
性质平行线的定义平行线是相交线的特殊情况，即当两条直线之间的距离为0时，它们就是平行的。
在实际应用中，平行线在许多领域都有广泛的应用，如建筑、工程和计算机图形学等。
相交线与平行线的关系02平行线的性质总结词平行线的基本性质之一，指的是在两直线平行的前提下，同位角的大小是相等的。
详细描述首先，我们需要明确同位角的概念。
同位角指的是在两条平行线中，具有相同位置关系的角。
例如，在两条平行的直线a和b中，角1和角3是同位角，因为它们位于直线a和b的同一侧，并且相对于直线a和b的位置相同。
当两条直线平行时，同位角的大小必然相等。
这一性质是平行线的一个重要特征，也是几何学中最基本的定理之一。
在解决几何问题时，我们常常利用这一性质来证明其他角的关系或者线的平行关系。
平行线的基本性质之一，指的是在两直线平行的前提下，内错角的大小是相等的。
总结词内错角指的是在两条平行线中，位于相对两侧的角。
例如，在两条平行的直线a和b中，角2和角4是内错角，因为它们位于直线a和b的相对两侧。
当两条直线平行时，内错角的大小必然相等。
这一性质也是平行线的一个重要特征，常常用于证明其他角的关系或者线的平行关系。
利用这一性质，我们可以轻松地解决一些与平行线和内错角相关的问题。
详细描述总结词平行线的基本性质之一，指的是在两直线平行的前提下，同旁内角之和等于180度。
平行线与相交线--学生讲义(2)
中正教育学生辅导讲义年级：初一课时数：3 班主任：学员姓名：李子扬辅导科目：数学学科教师:王梦珠授课类型T 立足课本，两条直线的位置关系C 两条直线垂直与平行中角的关系T熟练运用两直线平行的判定定理授课日期时段2015.530周六10：00-12：00教学内容一、立足课本【学习目标】1．熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.【要点梳理】要点一、两条直线的位置关系1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行要点诠释：（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.2.对顶角、补角、余角（1）定义：①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．3.垂线（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、用尺规作线段和角1.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.2.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.二、典例分析类型一、两条直线的位置关系1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有对，它们分别是，共有对邻补角.举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.类型二、平行线的性质与判定3.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：因为EF∥AD，所以∠2= （）又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3所以AB∥（）所以∠BAC＋ =180°（）因为∠BAC=70°，所以∠AGD= .举一反三：【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.4.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．1.(1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0．(2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C．分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角?2.直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数.举一反三：【变式】如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．类型二、平行线的性质与判定3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．举一反三：【变式1】已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是().A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝.4.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.类型三、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）．A．60° B．30° C．45° D．90°一、能力检测一、选择题1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有()个.A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示是同位角关系的是()．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在3．下列说法正确的是()．A．相等的角是对顶角.B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等.C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.D．若两个角的和为180°，则这两个角互为余角.4．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是()．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定5．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于()．A．75°B．105°C．45°D．135°6．下列说法中，正确的是()．A．过点P画线段AB的垂线.B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.7．如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )．A. 50°B. 60°C.70°D.80°二、填空题9. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．如图所示，已知BC∥DE，则∠ACB＋∠AOE＝．11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是：①：________ ②：________ ③：________（第12题）（第13题）13．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1+∠2=________.14．如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则∠BOD= ，∠AOC＝，∠BOC＝．15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西．16．如图所示，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有条．三、解答题17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能推断哪两条线段平行? 说明理由．19. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．教师赠言：There is no elevator to success, only stairs. ----成功没有电梯，只有楼梯。
《相交线与平行线》课件
本课程将介绍相交线和平行线的定义、性质以及实际应用。通过本课程的学 习，您将对这些几何概念有更深入的了解。
相交线的定义和性质
什么是相交线
相交线是在平面上有一个 公共点的两条线段。
相交线的性质
相交线的两条直线之间会 形成一对垂直的角。
如何判断两条线是否 相交
可以通过检查线段是否有 公共点、检查线段的斜率 是否相等或使用交叉乘积 判断线段关系。
总结和回顾
相交线和平 行线的定义 和性质
如何判断两 条线是否相 交
相交线和平 行线的实际 应用
重要概念
如果两条线段的斜率相 等，它们就可能相交。
3 使用交叉乘积
通过计算线段的交叉乘 积可以判断线段之间的 关系。
相交线和平行线的实际应用
1
几何构图中的应用
平行线和相交线在绘制和构图几何图形时起到重要作用。Βιβλιοθήκη 2建筑设计中的应用
平行线和相交线在建筑设计中用于布局、平面图和立面图。
3
数学问题中的应用
平行线和相交线在解决数学问题时提供了一些有用的工具和线索。
平行线的定义和性质
什么是平行线
两条直线在平面上没有任何公 共点的线段被称为平行线。
平行线的性质
平行线之间的直线拓展无限延 伸，永远不会相交。
平行线的实际应用
平行线在几何构图、建筑设计 和数学问题中都有重要应用。
如何判断两条线是否相交
1 检查线段的公共点 2 检查线段的斜率
如果两条线段有公共点， 它们就相交。
《平行线的性质》相交线与平行线PPT课件2
F
B
C
∴AB∥DC(同位角相等,两直线平行)
做一做
1.如图：AB,CD被EF所截，
AC
AB∥CD, ∠1＝120o .求∠4、 ∠2、
E
2
∠3的度数.
1
3
4F
解：∵ AB∥CD
BD
∠1＝120o
∴ ∠4= ∠1 ＝120o
∠2= ∠1＝120o
∠3=180°- ∠1= 180°-120°=60°
2.如图,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,
平行线的性质： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说:两直线平行，同位角相等.
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说:两直线平行，内错角相等.
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单地说:两直线平行，同旁内角互补.
例1.如图：已知AB∥CD,AD∥BC.填空：
（1）∵ AB∥CD,
2.在图中描出下列各点： L（-5，-3），M（4，0），N（-6，2）， P（5，-3.5），Q（0，5），R（6，2）.
谢谢
6.如图所示,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则
图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )•
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
A
B
D
C
E
E
F
F
C
D
1
A
GB
7.如图所示,已知AB∥CD,∠ABE=130°, ∠CDE=152°,求∠BED的度数.
A
B
E
C
D
8.如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF 折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG的度数.
A
B
平行线及其判定和性质课件
平行线的判定：
文字叙述 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
数学符号表示
∵ ∠1=∠2 ∴ a∥b ∵ ∠2=∠3 ∴ a∥b ∵ ∠3+∠4=180° ∴ a∥b
c
1 a
3
4
2
b
在同一平面内，判断两条直线平行还可以用平行线的传递性 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
∴∠DAB=∠B= 44°(两直线平行,内错角相等)
(2)∠EAC= 57°理由：∵DE∥BC ∴∠EAC=∠C= 57°(两直线平行,内错角相等)
(3)∠BAC =180°－∠EAC－∠DAB=79 °
(4)答:能说明三角形的内角和是180° 理由：∵DE∥BC
∴∠DAB=∠B, ∠EAC=∠C ∵∠DAB+∠EAC+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC= 180°
∵∠1=60° ∠2=120° (已知) ∴∠1+∠2 =180°
∵ ∠2=∠5 （对顶角相等） ∴∠1+∠5= 180°（等量代换）
∴AB∥CD (同旁内角互补、两直线平行）
运用知识
例一：如图，直线AB、CD被直线EF所截，量得∠1=60°， ∠2=120°就可以判定AB∥CD。它的根据是什么？
∴ ∠4+∠3 =180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∠3=60°(已知)
∴ ∠4=180°-∠3 =180°-60°=120°
运用知识
4
6
变式：将原题改为已知∠1=72°，∠2=72°，证 5 3 明∠5=∠6
证：∵∠1=72°∠2=72°(已知) ∴a∥b（内错角相等，两直线平行） ∴∠4=∠5（两直线平行，同位角相等)
5.3.1 平行线的性质(第2课时)平行线的性质和判定的综合运七年级数学下册同步备课系列(人教版)
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）,
∴∠ 1 = 80 °，∠ 2 = 70 °（等量代换）.
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 °+ 70 ° = 150 °.
当堂巩固
1. 填空：如图，
A
(1)∠1=∠2 时，AB∥CD.
1
(2)∠3= ∠5 或∠4 时，AD∥BC. B
D
5 2
3 C
4 F
解：过点C作CF∥AB，
A
则 _∠__B_=_∠__1（ 两直线平行，内错角相等 ）
C
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
∴___C_F__∥__D_E___（平行于同一直线的两条直线互相平行 ）
∴∠E＝∠__2__（ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2
即∠B＋∠E＝∠BCE．
B 1F 2
感受中考
2.（3分）（2021•包头8/26）如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B， 过点B的直线l4交l1于点C．若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4等于（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
【 分 析 】 由 题 意 得 ， ∠ 2=60° ， 由 平 角 的 定 义 可 得 ∠5=70°，再根据平行线的性质即可求解．
c 图1
b
c
a 图2
3. 运用平行线的性质填一填
图形
同a 位 角b
1 2 c
内 错 角
a 3
b
2
c
同 旁
a
内 角
b
42 c
已知 a//b
结果 ∠1 = ∠2
平行线(第2课时)PPT课件(华师大版)
课堂小结
判定方法１： 同位角相等，两直线平行
判定方法２： 内错角相等，两直线平行
平行线的判定
判定方法３： 同旁内角互补，两直线平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
谢 谢~
讲授新课
总结归纳
一般地,判断两直线平行有下面的方法:
两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
∵∠1=∠2(已知)
∴a∥b
（同位角相等，两直线平行）
A
l2
1
l12Βιβλιοθήκη B讲授新课思考：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，
简单说成：内错角相等，两直线平行。
1
应用格式：
a
3
∵∠3=∠2(已知)
∴a∥b
（内错角相等，两直线平行）
2
b
讲授新课
如图，如果1+2=180° 能判定a//b吗?
c
3
解:能,
∵1+2=1800（已知）
a
1
1+3=1800（邻补角定义）
2=3（同角的补角相等）
a//b （同位角相等，两直线平行）
∴∠3=180°-∠1-90°=52°，
当∠2=52°时，∠2=∠3，
∴a∥b
故答案为：52
讲授新课
2．如图，请填写一个使AB∥CD的条件________，
【详解】解：填写的条件为：∠BAE=∠ADC，
∵∠BAE=∠ADC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠BAE=∠ADC(答案不唯一)
人教版数学七年级下册《平行线的性质》相交线与平行线(第2课时)
1
【巩固练习】性质3：两直线平行，同旁内角互补
2. 如图,直线AB//CD,直线MN分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF,交CD于点G,若
∠EFG=72°,求∠MEG的度数.
解：∵AB//CD,∠EFG=72°(已知)，
∴∠FEB＝180°－∠EFG＝108°
(两直线平行,同旁内角互补)，
几何语言： ∵ AB//CD (已知) ∴∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
1B 3
2
D
1
【例题讲解】性质3：两直线平行，同旁内角互补
【例1】如图，梯形ABCD中，AB//CD，∠D=( B) A. 120°B. 135° C. 145°D. 155°
1. 已知:如图,AB//CD,BC平分∠ABD， 且∠C=40°,则∠D的度数是( D) A. 40° B. 80° C. 90° D. 100°
∵EG平分∠BEF(已知)，
∴∠GEF= 1 ∠FEB=54°(角平分线的性质).
2
∴∠MEG=180°－∠GEF＝126°(邻补角的定义)
2 【相关概念】平行线的性质
平行线性质1: 平行线性质2: 平行线性质3:
两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
课堂小结
图形
《平行线的性质》相交线与 平行线(第2课时)
人教版数学七年级下册
生动有趣的课程,搭配各个互动环节助理您教学成功
感谢所有辛勤付出的人民教师
平行性质
平行线性质1: 两直线平行，同位角相等 平行线性质2: 两直线平行，内错角相等
同旁内角之间又有什么关系呢？
1
【相关概念】性质3：两直线平行，同旁内角互补
平行线与相交线
平行线与相交线在几何学中，平行线与相交线是两个重要的概念。
平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，而相交线则是指在同一个平面上相交的两条直线。
本文将详细介绍平行线与相交线的性质和特点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行线的性质1. 定义：平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
它们的方向是完全相同的，永远保持平行的关系。
2. 符号表示：通常用符号“||”来表示平行关系。
例如，若两条直线AB和CD平行，则可以表示为AB || CD。
3. 平行线的判定：a) 公理法：如果两条直线分别与第三条直线相交时，所成的内角和是180°，则这两条直线是平行的。
b) 等价判定法：- 如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
- 如果两条直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线是平行的。
二、相交线的性质1. 定义：相交线是指在同一个平面上相互交叉的两条直线。
相交线总是相交于一点，这个点称为交点。
2. 符号表示：通常用字母P表示交点。
例如，若直线AB与直线CD相交于点P，则可以表示为P = AB ∩ CD。
3. 相交线的性质：a) 相交线所成的相邻内角互补，即两角的和等于180°。
b) 相交线所成的对顶外角相等，即两角的度数相等。
c) 垂直相交线的特殊性质：如果两条相交线相互垂直，则其中一条线上任意一点到另一条线的垂足的线段长度是最短的。
三、平行线与相交线的应用1. 平行线的应用：a) 建筑学中的平行线应用：借助平行线的特性，建筑师能够设计出具有平衡美观感的建筑物。
b) 数学推理中的平行线应用：平行线的性质经常被用于解决几何问题，例如通过证明两条直线平行，可推导出其他性质。
2. 相交线的应用：a) 交通规划中的相交线应用：交叉路口的设计需要合理规划相交线，以确保交通安全和交通流畅。
b) 几何图形的划分应用：在几何图形中，相交线的划分可以将图形分为不同的区域，让问题更易于解决。
综上所述，平行线与相交线是几何学中重要的概念。
北师大版初中数学七年级上册 第2章 第2讲_平行线的判定与性质
第2讲：平行线的判定与性质一．同位角、内错角、同旁内角同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同位角．例如1∠和5∠，3∠和7∠等都是同位角．内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样一对角叫做内错角．例如3∠和5∠，4∠和6∠是内错角．同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同旁内角．例如3∠和6∠，4∠和5∠是同旁内角．说明：截线是指同时穿过两条或两条以上的直线（或线段）的直线（或线段），例如在下图中直线EF 是截线．二．三线八角一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”，如上图．三．三线十二角一条直线与两条直线相交得十二个角，如下图：四．平行线的公理及推论1．平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，∥．记作a b2．平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．五．平行线的判定两条直线被第三条直线所截：1．如果同位角相等，那么两直线平行；2．如果内错角相等，那么两直线平行；3．如果同旁内角互补，那么两直线平行．六．平行线的性质1．两直线平行，同位角相等；2．两直线平行，内错角相等；3．两直线平行，同旁内角互补．两条平行线之间的距离：在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两平行线之间的距离．题模一：三线八角例1.1.1图中，用数字表示的∠1、∠2、∠3、∠4各角中，错误的判断是（）A．若将AC作为第三条直线，则∠1和∠3是同位角B．若将AC作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角C．若将BD作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角D．若将CD作为第三条直线，则∠3和∠4是同旁内角例1.1.2如图所示，下列说法错误的是（）A．∠A和∠B是同旁内角B．∠A和∠3是内错角C．∠1和∠3是内错角D．∠C和∠3是同位角例1.1.3如图所示，图中同旁内角的对数是__________．即时训练1：如图，三条直线两两相交，则图中∠1和∠2是_________.即时训练2：如图，下列判断正确的是（）A．4对同位角，4对内错角，4对同旁内角B．4对同位角，4对内错角，2对同旁内角C．6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D．6对同位角，4对内错角，2对同旁内角题模二：平行公理及推论例1.2.1三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是________.例1.2.2下列说法正确的有_______.①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．即时训练1：下列说法正确的是（）A．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B．两点之间的所有连线中，线段最短C．相等的角是对顶角D．若AC=BC，则点C是线段AB的中点即时训练2：给出下列说法：(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；(3)相等的两个角是对顶角；(4)直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；其中正确的有__________.即时训练3：如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？题模三：平行线的判定例1.3.1如图，直线l1、l2被直线l3、l4所截，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1=∠3B．∠5=∠4C．∠5+∠3=180°D．∠4+∠2=180°例1.3.2如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°例1.3.3如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等即时训练1：如图，能判定BE∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠ABE C．∠C=∠CBE D．∠A=∠EBD即时训练2：下列说法中正确的个数为______.①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行同一直线的两直线平行．即时训练3:如图，不能判定AB∥CD的条件是（）A．∠B+∠BCD=180°B．∠1=∠2C．∠3=∠4D．∠B=∠5即时训练4:如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（）A．∠EDC=∠EFC B．∠AFE=∠ACDC．∠3=∠4D．∠1=∠2即时训练5:如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠3=∠5D．∠3+∠4=180°即时训练6:一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度____．A．先向左转130°，再向左转50°B．先向左转50°，再向右转50°C．先向左转50°，再向右转40°D．先向左转50°，再向左转40°题模四：平行线的性质例1.4.1如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=_______度．例1.4.2如图，CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E的度数是_______.例1.4.3如图，已知AB∥DE，∠C=30°，∠CDE=140°，则∠ABC的值为________.例1.4.4如图，已知CD AB //，BC 平分ABE ∠，若C ∠＝25°，则BED ∠的度数是（）即时训练1：如图，CD AB //，A E F C ∠∠∠∠=＋＋＋_________.即时训练2：如图，已知AB ∥DE ，BF ，EF 分别平分∠ABC 与∠CED ，若∠BCE=140°，求∠BFE 的度数．即时训练3：已知AB ∥CD ，分别探讨下列四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，并说明理由．随练1.1已知:如图,∠C =∠1,∠2和∠D 互余,BE ⊥FD 于G .求证:AB ∥CD .随练1.2如图，直线AB ∥CD ，AF 交CD 于点E ，∠CEF =140°，则∠A 等于_______A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°随练1.3如图，AB ∥CD ，直线l 交AB 于点E ，交CD 于点F ，若∠2=80°，则∠1等于（）A ．120°B ．110°C ．100°D ．80°随练1.4珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC =120°，∠BCD =80°，则∠CDE =____度．随练1.5如图，直线a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1=35°24′，则∠2的度数为____°____′．随练1.6如图，若AB ∥CD ，求证：180A E D ∠+∠-∠=︒．随练1.7如图，已知12l l ∥，MN 分别和直线1l 、2l 交于点A 、B ，ME 分别和直线1l 、2l 交于点C 、D ，点P 在MN 上（P 点与A 、B 、M 三点不重合）．（1）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，α∠、β∠、γ∠之间有何数量关系请说明理由.（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，α∠、β∠、γ∠有何数量关系（只须写出结论）．1（天府前沿）如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC（1）∠BOC =50°，试探究OE 、OF 位置关系（2）∠BOC =α，（0＜α＜180°），（1）中OE 与OF 的位置关系是否仍然成立？说明理由.2（自编）已知∠ADE =∠A+∠B ，求证DE //BC .3（直升模拟）已知∠B=∠D+∠E，判断AB与CD的位置关系.4（实外月考）D是AC上一点，点F、G分别在AC、BC延长线上.CE平分∠ACB，交BD于点O，∠EOD+∠OBF=180°，∠F=∠G。
《平行线的性质》相交线与平行线PPT课件下载
探究应用
例4.：如图，∠BAC，∠B，∠C是三角形ABC的三个
内角。
我们知道“三角形三个内角的和为 180°〞，现在我们利用平行线的性质
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
A
D
E
23
B
F1
G
C
思考
如图,AB∥CD，AD∥BC，问：∠A和∠C，∠B 和∠D有怎样的大小关系？请说明理由．
D
C
A
B
课堂小结
线的关系
判定
平行线的判定 两直线平行
平行线的性质
线的关系
性质
角的关系 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
角的关系
课堂作业
完成课程资源中的 相应习题
感谢聆听！
可爱的同学，找资料眼 睛累了吧！长时间屏幕，眼 睛会干涩、酸痛、疲劳的。
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
平行线的判定及性质课件
05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05
直线平行的定义
直线平行的判定 方法
直线平行的性质
平行线在实际生 活中的应用
平行线在数学中 的地位
在同一平面内，不相交的 两条直线叫做平行线。
同位角相等，两直线平行 ；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直 线平行。
两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相 等；两直线平行，同旁内 角互补。
在几何图形中，平行线具 有非常重要的应用价值， 如矩形、菱形、正方形等 都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的 重要概念之一，是研究平 面图形性质的基础之一。 掌握平行线的判定方法和 性质对于学习数学几何学 非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外，还 有许多复杂的性质和定理，值得进一步探 索和学习。
详细描述
在制造业中，机器人使用平行线来定位和移动物体，进行高效和精确的生产操作。例如 ，在汽车制造中，机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件，以提高生产效率和质 量。在医疗领域，手术机器人使用平行线来精确控制手术器械，提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中 的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中，平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引 导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上，平行线被用来表示应急车道和车道分隔线，帮助驾驶 员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域，平行线在机器人的工作中发挥着 重要作用。
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平行线的判定及性质
一、知识提要
1.平行线的判定
1同位角相等，两直线平行。
2内错角相等，两直线平行。
3同旁内角互补，两直线平行。
2.平行线的性质：
1直线平行，同位角相等。
2两直线平行，内错角相等。
3两直线平行，同旁内角互补。
二、精讲精练
1.如图1，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝
∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°.其中能判断a//b的条件是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
2.如图2，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∠1＋∠2＝180°，则CD与EF的关系
是.
3.如图3，能判断直线a//b的条件是.（任写一条）
4.如图4，如果∠＝∠，可得AD//BC，你的根据是.
5.如图5，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，则当∠4＝时，AB//EF.
6.如图6，若∠1＝，那么AB//EF，若∠1＝，那么DF//AC，
若∠DEC+＝180°，那么DE//BC．
7.如图7，AB//CD，BC//DE，则∠B+∠D的值为.
8.如图8，已知AD//BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC为.
9.如图9，∠1=82°，∠2＝98°，∠3=80°，则∠4＝度.
10.如图10，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于．
11.如图11，l1//l2，∠1＝105°，∠2＝40°，则∠3＝.
12.如图12，AD//BC，AB//CD，E在CB的延长线上，EF经过点A，∠C＝50°，
∠FAD＝60°，则∠EAB＝.
13.如图13，DH//EG//BC，且DC//EF，那么图中和∠1相等的角的个数是
个.
14.阅读理解
1）如图14，如果∠1=∠2，那么根据，
可得//．
2）如果∠DAB+∠ABC=180°，那么根据，
可得//．
3）当//时，根据，
可得∠C+∠ABC=180°；
4）当//时，根据，
可得∠3=∠C．
15.完成推理填空：
如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，
求证：BD//CE.
证明：
∵∠A＝∠F（已知）
∴AC//DF（）
∴∠D＝∠（）又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠1＝∠C（等量代换）
∴BD//CE（）.
16.如图，已知直线AB和直线CD被直线EF所截，交点分别为E、F，∠AEF＝
∠EFD.
（1）直线AB和直线CD平行吗？为什么？
（2）若EM是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM与FN平行吗？
为什么？
17.如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，求证：AB//EF．
18.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，问CD与AB有什么关
系？说明理由.
三、测试提高
【板块一】平行线的判定
1.如图1，∠1＝∠A，则下列结论一定成立的是（）
A．AB//FD B．ED//AC
C．∠B＝∠1D．∠3＝∠1
【板块二】平行线的性质
2.如图2，直线a与直线b互相平行，则x y 的值是()
A．30B．20C．50D．60
3.如图3，直线l1//l2，则∠α=（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4.如图4，AB//CD，∠BAE=120°，∠DCE=30°，
则∠AEC=（）
A．90°B．150°C．75°D．60°
【板块三】综合练习
5.如图5，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3．下
列正确的结论有（）个．
①DE//BF；②AB//CD；③∠1=∠2；④∠A=∠C.
A．1B．2C．3D．4
四、课后作业
1.若∠1与∠2是同位角，且∠1=60°，则∠2是（）
A.60°
B.120°
C.120°或60°
D.不能确定
2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（）
A .互相重合
B .互相平行
C .互相垂直
D .相交3.如图1，若m ∥n ，∠1=105°，则∠2=
.
4.
如图2，直线AB ∥CD ，若∠2是∠1的2倍，则∠2的度数是（）
A .60°
B .90°
C .120°
D .150°
图1
图2图3
5.
如图3，EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =70°.将求∠AGD 的过程填写完整：因
为EF ∥AD ，所以∠2=.又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3.所以AB ∥.所以∠BAC +=180°.又因为∠BAC =70°，所以∠AGD =
．
6.
如图4，已知DE ∥BC ，DF 、BE 分别平分∠ADE 和∠ABC 求证：∠FDE =∠DEB .
证明：∵DE ∥BC ∴∠ADE =
（
）
∵DF 、BE 分别平分∠ADE 、∠ABC
∴∠ADF =
1
2∴∠ABE =1
2
（
）∴∠ADF =∠ABE （）∴
∥
()∴∠FDE =∠
（
）
7.如图，AB ∥CD ，∠B =40°，∠E =30°，求∠D 的度数.
8.如图，已知DE∥BC，∠1=∠2，求证：∠B=∠C．
9.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，请问∠A与∠F相等吗？试说明理由．。