第一章 集合与函数概念

第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ）A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C ； 显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

题型2：集合间的基本关系[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）A ．X Y ；B ．Y X ；C ．Y X =；D ．Y X ≠[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。

[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。

[新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A ．B A ⊆ B.C B ⊆ C.C B A = D. A C B = [解析]D ；因为全集为A ，而C B =全集=A2．(2006•山东改编）定义集合运算:{}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22,设集合{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为 [解析]18，根据B ⊗A 的定义，得到{}12,6,0A =⊗B ，故B ⊗A 的所有元素之和为183．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于[解析] {}31<<x x ；因为{})3,0(1log 3=<=x x P ，{})1,1(1-=<=x x Q ，所以)3,1(=-Q P4．研究集合{}42-==x y x A ，{}42-==x y y B ，{}4),(2-==x y y x C 之间的关系 [解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而BA ；因为{}42-==x y x A 表示42-=x y 的定义域，故R A =；{}42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，),4[+∞-=B ；{}4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，BA ，而A与C ，B 与C 都无包含关系 考点二：集合的基本运算[例3] 设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B（1） 若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

[解析]因为{}{}2,10232==+-=x x x A ，（1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(4222=-+++a a ，即0342=++a a ，解得1-=a 或3-=a当1-=a 时，{}⎣⎦2,2042-==-=x x B ，满足条件； 当3-=a 时，{}{}20442==+-=x x x B ，满足条件所以1-=a 或3-=a（2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(422+=--+=∆a a a 因为A B A = ，所以A B ⊆①当0<∆，即3-<a 时，φ=B ，满足条件； ②当0=∆，即3-=a 时，{}2=B ，满足条件；③当0>∆，即3->a 时，{}2,1==A B 才能满足条件， 由根与系数的关系得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=⨯+-=+725521)1(22122a a a a ，矛盾 故实数a 的取值范围是3-≤a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。

同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练]6．若集合{}R x y y S x∈==,3，{}R x x y y T ∈-==,12，则T S 是（ ）A. S ；B. T ；C.φ；D. 有限集[解析] A ；由题意知，集合{}R x y y S x∈==,3表示函数R x y x∈=,3的值域，故 集合),0(+∞=S ；{}R x x y y T ∈-==,12表示函数R x x y ∈-=,12的值域，),1[+∞-=T ，故S T S =7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{}4),(=-=y x y x N ，那么集合N M 为（ ）A.1,3-==y x ；B.)1,3(-；C.{}1,3-；D.{})1,3(-[解析]D ；N M 表示直线2=+y x 与直线4=-y x 的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。

8．集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B = ,求实数a 的值.[解析] 10,1,2；先化简B 得, {}1,2B =.由于A B B = A B ⇔⊆,故1A ∈或2A ∈. 因此10a -=或210a -=,解得1a =或12a =.容易漏掉的一种情况是: ∅=A 的情形,此时0a =.故所求实数a 的值为10,1,2.备选例题1：已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则N M 中的元素个数是（ ）A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个[解析]选A;集合M 表示函数1+=x y 的值域,是数集,并且R M =,而集合N 表示满足122=+y x 的有序实数对的集合,即表示圆122=+y x 上的点,是点集。

所以，集合M 与集合N 中的元素均不相同，因而φ=N M ，故其中元素的个数为0[误区分析]在解答过程中易出现直线1+=x y 与圆122=+y x 有两个交点误选C ；或者误认为1+=x y 中R y ∈，而122=+y x 中11≤≤-y ，从而]1,1[-=N M 有无穷多个解而选D 。

注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。

备选例题2：已知集合A 和集合B 各有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：(Ⅰ)C B A ，且C 中含有3个元素； (Ⅱ)φ≠A C （φ表示空集） [解法一]因为A 、B 各有12个元素，B A 含有4个元素， 因此，B A 的元素个数是2041212=-+故满足条件(Ⅰ)的集合C 的个数是320C上面集合中，还满足φ=A C 的集合C 的个数是38C因此，所求集合C 的个数是108438320=-C C[解法二]由题目条件可知，属于B 而不属于A 的元素个数是8412=-因此，在B A 中只含有A 中1个元素的所要求的集合C 的个数为28112C C含有A 中2个元素的所要求的集合C 的个数为18212C C 含有A 中3个元素的所要求的集合C 的个数为312C所以，所求集合C 的个数是10843121821228112=++C C C C C★抢分频道基础巩固训练：1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A ．{}0x x >；B ．{}30x x -<<；C ．{}31x x -<<-；D ．{}1x x <- [解析]C ；图中阴影部分表示的集合是B A ，而{}03<<-=x x A ，故{}13-<<-=x x B A2. （韶关09届高三摸底考）已知{}{}2(1)0,log 0A x x x B x x =->=< 则A B = A ．(0,1)；B ．(0,2)；C ．)0,(-∞；D ．)(,0)(0,-∞+∞[解析] A ；因为{}10<<=x x A ，{}10<<=x x B ，所以{}10<<=x x B A 3. （苏州09届高三调研考）集合{1,0,1}-的所有子集个数为[解析]8；集合{1,0,1}-的所有子集个数为823=4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若B x ∈∃且A y ∈∀，则A 与B 的关系是[解析]A B ⊆ 或A B ⋂≠∅；由子集和交集的定义即可得到结论5．(2008年天津)设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是（ ）A ．13-<<-a ；B ．13-≤≤-aC ．3-≤a 或1-≥a ；D ．3-<a 或1->a[解析]A ；{}{}5132|>-<=>-=x x x x x S 或，{}8|+<<=a x a x T ，R T S = 所以⎩⎨⎧>+-<581a a ，从而得13-<<-a综合提高训练：6．{}01<<-=m m P ,{}恒成立对于任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈= 则下列关系中立的是( )A ．P Q ;B ．Q P ;C ．Q P =;D ．φ=Q P [解析]A ；当0≠m 时，有⎩⎨⎧<-⨯⨯-=∆<0)4(4)4(02m m m ，即{}01<<-∈=m R m Q ；当0=m 时，0442<-+mx mx 也恒成立，故 {}01≤<-∈=m R m Q ，所以PQ7.设)(12)(N n n n f ∈+=，{}5,4,3,2,1=P ，{}7,6,5,4,3=Q ，记{}P n f N n P ∈∈=)(ˆ，{}Q n f N n Q ∈∈=*)(ˆ，则)ˆˆ()ˆˆ(P C Q Q C P N N ＝( )A. {}3,0;B.{}2,1;C. {}5,4,3;D. {}7,6,2,1[解析] A ；依题意得{}2,1,0ˆ=P ，{}3,2,1ˆ=Q ，所以{}0)ˆˆ(=Q C P N ， {}3)ˆˆ(=P C Q N ，故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合，定义{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，已知A={|x y =，B={|2,0}x y y x =>，则A ×B 等于（ ）A ．[)0,+∞；B ．[][)0,12,+∞ ；C ．[)[)0,12,+∞ ；D ．[]0,1(2,)+∞ [解析]D ；22002x x x -≥⇒≤≤，∴A=[0，2]，021x x >⇒>，∴B=（1，＋∞），∴A ∪B=[0, ＋∞），A ∩B=（1，2]，则A ×B ＝[]0,1(2,)+∞第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。