棱柱、棱锥和棱台的结构特征
学案1：1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
学习目标
1．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及其形成过程，会画棱柱、棱锥、棱台的图形．
3．掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质，并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算．
基础知识
1．多面体与截面
(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．
围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的公共边叫做多面体的______；棱和棱的公共点叫做多面体的______；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的________．
按围成多面体的面的个数分为：四面体、五面体、六面体……多面体至少有______个面．(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这
样的多面体就叫做________．
(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的______．做一做1 长方体有__________条对角线，一个多面体至少有__________个面．
2．棱柱
(1)棱柱的概念．
有两个互相平行的面，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
________，这些面围成的几何体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的________；其余各面叫做棱柱的________；两侧面的公共边称为棱柱的________；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的________．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______．
第1节 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
个面互相平行，其余各面都是梯形，则此[几精解何详体析是] 棱(1)台由．棱柱的定义知，棱柱的侧面可以是平行四边形，故 A 不
A．①
B．②
正确C；．而③平行四边形的对边相等D．，故④侧棱都相等，所以 B 正确；对选项 C，由六
个大小一样的正方形可组成空间图形，而展开图是平面图形，所以错误；棱柱
的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故 D 不正确．
例 2：(1)下列说法正确的是(
)
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
(2)下列说法正确的是(
)
①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的[思 各路侧点棱拨长] 一根定据棱相柱等、；棱锥③和棱棱台台的的有各关侧概念棱、的特延征长性质线进交行于判断一．点；④有两
平移 (1)
平移 (2)
棱柱的特点
1.有两个互相平行且全等的面 2.夹在两个平行平面间的每相邻的两个面的交线都互相平行且 且相等．
棱柱的相关概念
棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面。其余各面叫做棱
柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
棱柱的两个底面之间的距离叫做棱柱的高。
棱柱的符号表示：棱柱 ABCDEF A' B 'C ' D' E ' F '
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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解析：由棱柱定义知，①③为棱柱.
答案：D
2.有两个面平行的多面体不可能是（
A .棱柱
D .以上都错
平行.
答案：B
3.—棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100,则其侧棱长
A. 10
D. 15
解析：易知该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，故其侧棱长
为100
= 20.
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1下列几何体中棱柱有（
A—7
r-
Z
解析：棱柱、棱台的上下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不
B.棱锥
C .棱台
B. 20
①
④
)
③
答案：B
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4.下列命题中正确的是（
）
A .用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B .两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C .棱台的底面是两个相似的正方形
D .棱台的侧棱延长后必交于一点
解析：A 中的平面不一定平行于底面，故 A 错；B 中侧棱不一 定交于一点；C 中底面不一定是正方形.
答案：D
解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数 最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成.
答案:
BC 的中点，沿AE, AF , EF 将其折成一个多面体, 则此多面
体是
解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也是四面体. 答案：三棱锥（也可答四面体）
7.如图，这是一个正方体的表面展开图，把它再折成正方体 有下列命题：
④点A 与点S 重合. 其中，正确命题的序号是
（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
5.面数最少的棱柱为
棱柱，共由 个面围成.
6•如图，正方形ABCD 中，E , F 分别为CD ,
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
3. 下列命题中，正确的是
( D )
A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂
直的棱柱是正棱柱
【解析】认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与 否和底面多边形的形状两方面去分析，故A,C都不 正确;B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，
封闭几何体叫源自文库旋转体.
这条定直线叫做旋转体的轴.
轴
想一想
下列物体不能抽象成旋转体的是 ．． A．篮球 C．电线杆 B．日光灯管 D．国家游泳馆水立方 ( D )
1 棱柱 （1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
表示：六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.
侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体； 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体； 棱长都相等的长方体叫做正方体．
【典例精讲】
例1 下列几何体中是棱柱的有
（ C）
Ａ.1个
Ｂ.2个
Ｃ.3个
Ｄ.4个
【提升总结】
棱柱的结构特征：
①有两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱的表示：
用表示底面各顶点的字母表示 棱柱ABC- A'B'C'
C'
A'
B'
D' A'
C' B'
D'
E'
C'
A' B'
A
C
D
BA
C B
三棱柱
四棱柱
E DC
A五棱柱B
棱柱的结构特征
思考：对于棱柱，
1.侧棱长相等吗？ 相等
侧面是什么四边形？
平行四边形
E' F'
A'
D' C'
B'
2.两个底面多ห้องสมุดไป่ตู้形是什么关系？ E D
棱锥的结构特征
1.棱锥的概念：
顶点
棱锥的底面：多边形面. 简称底.
棱锥的侧面：有公共顶点的
各个三角形面. 侧
棱锥的侧棱：
棱
相邻侧面的公共边.
棱锥的顶点：
侧 面
底面
各侧面的公共顶点.
棱锥的结构特征
2.棱锥的分类：按底面多边形的边数来分 3.棱锥的表示：用顶点各底面各顶点的字母表示
棱锥S－ABC
三棱锥
图形
相关 概念
面：围成多面体的各个
棱柱-棱锥-棱台的结构特征
多面体，这样的多面体叫做棱台.那么棱
台有哪些结构特征？ 有两个面是互相平行的相 似多边形，其余各面都是
梯形，每相邻两个梯形的
公共腰的延长线共点.
类比总结 线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
梯形
棱台
空间几何体
多面体
棱 柱
棱 台
棱 锥
课时跟踪检测(一)
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重点：通过观察模型、图片，理解并归纳出棱柱、 棱锥、棱台的结构特征。 难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。
观察下面的图片, 这些图片中的物体具有什么几何 结构特征？你能对它们进行分类吗？分类依据是什么？
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
面
棱 食盐晶体 明矾晶体
顶点 石膏晶体
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱. 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
C’
E F A
D C B
2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。
3） 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
2、按底面的边数分为：棱柱的底面可以是 三角形、四边形、五边形、……把这样的棱 柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
三棱柱
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四棱柱
五棱柱
六棱柱
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征参考答案
知识点
1．空间几何体
(1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
(2)多面体
定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等．()
(2)五棱锥只有五条棱．()
解析：(1)根据四棱锥的结构特征可知，(1)错误．
(2)五棱锥有十条棱，其中五条侧棱，(2)错误．
答案：(1)×(2)×
2．下列几何体中是棱柱的有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选C．观察图形可知，①③⑤是棱柱，其他的几何体不是棱柱．
3．下列命题正确的是()
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
解析：选C．由棱柱的定义可知，A，B不正确，C正确，而根据棱台的定义可知，D不正确．
4．由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形的几何体是________．
解析：由棱柱的定义和其分类可知该几何体是五棱柱．
答案：五棱柱
几何体的概念理解与应用
棱柱、棱锥、棱台的结构特征(修改后)
根据构成这些空间几何体的面的特点，可将 空间几何体分为两类： 多面体和旋转体
一、多面体的定义：
一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体 叫做多面体. 1.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 2.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱， 3.棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
E' D'
C
面
B
A
思考 有一个面是多边形，其余各面都是三角 形的立体图形一定是棱锥,这种说法是否正确？
明矾晶体
探究四
棱台的结构特征
1.棱台的定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面 和截面之间的部分叫做棱台
D1 A1 D B1 C1
上底面 侧面
C
侧棱
下底面
A B
顶点
2、棱台的分类： 三棱台，四棱台，五棱台… 3、棱台的表示法：棱台ABCD-A1B1C1D1
'
C
D
C
E'
C
A
B
A
B
A
D
B
C
D
B
A
C B
E
C
A B 三棱柱 四棱柱 五棱柱 斜三棱柱 直四棱柱 直五棱柱 (2)按照侧棱和底面的关系，我们把棱柱还可以 分为斜棱柱和直棱柱. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱. 侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
棱柱棱锥棱台的结构特征
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、多面体、旋转体的概念
思考1说说身边你认为属于几何体的东西。如何给它们分类？
1、什么特征的东西称为空间几何体？
2、具有什么特征的东西称为多面体？具有什么特征的东西称为旋转体？
思考2由4个正三角形可以围成一个什么样的几何体？由一个等腰三角形绕着它的底边旋转一周，其它两边旋转形成的几何体是什么样的几何体？
二、棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱柱？怎样给棱柱分类？
思考3下列说法正确的是
A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱柱的各个面中至少有两个面互相平行
D．棱柱侧面是平行四边形，但底面一定不是平行四边形
思考4有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？
思考5正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为5，如图，求C P＋PQ＋QC1的最小值。
2、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱锥？怎样给棱锥分类？
A1 C1
C
P
思考6已知正四棱锥V—ABCD的底面ABCD的面积为16，一条侧棱长为
的高及侧面三角形底边上的高（称之为棱锥的斜高）。
思考7判断下列说法是否正确：
(1)棱锥的各侧面都是三角形
(2)棱锥的各侧棱长相等
(3)四面体的任何一个面都可作为底面
(4)有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体为棱锥
思考8侧棱长为
的正三棱锥V—ABC中，∠A VB＝∠BVC＝∠CV A＝40°，过A作
截面AEF，求截面ΔAEF周长的最小值。3
思考9正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为1，求该棱台的高、斜高（侧面底边上的高）。
棱柱棱锥棱台的结构特征
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体积计算公式
棱柱的体积计算公式
V = l × w × h，其中l为长度，w为宽度，h为 高度。
棱锥的体积计算公式
V = (1/3) × π × r^2 × h，其中r为底面半径， h为高。
棱台的体积计算公式
V = (1/3) × π × (r1^2 + r2^2 + r1 × r2) × h，其中r1为上底面半径，r2为下 底面半径，h为高。
棱柱的分类
根据底面形状分类
棱柱可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
根据侧面与底面关系分类
棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。
棱柱的性质
平行性
棱柱的侧面与底面平行。
对称性
棱柱的侧面与底面关于中轴对称。
共边性
棱柱的侧面与底面共用边连接。
02 棱锥的结构特征
定义与特点
定义
棱锥是指有一个顶点，并且从顶点引 出的若干条直线，这些直线与另一平 面相交于一些点，这些点也叫做棱锥 的顶点。
特点
棱锥的顶点是指尖上的一个点，而棱 锥的底面则是一个多边形。棱锥的侧 面是由一些线段组成的，每条线段的 长度就是棱锥的高。
棱锥的分类
01
根据底面的形状可以分为三类：三角形底面、四边形底面和其 他多边形底面。
02
根据侧面的形状也可以分为两类：侧面是平行的或者侧面是不
必修四棱柱、棱锥、棱台的结构特征(附答案)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.
知识点一空间几何体
1.概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.
2.多面体与旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形
知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特征
平
行，其余各面都是
四边形，并且每相
邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的如图可记作：棱柱
ABCDEF-A′B′
C′D′E′F′
底面
的面
侧面：其余各面
侧棱：
顶点：
顶点
边形，其余各面都是有一个公共顶点的底面
侧面：三角形面
用一个平行于棱锥
底面的平面去截棱
锥，底面与截面之
.如图可记作：棱台
ABCD-A′B′C′
D′
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：其余各面
侧棱：
顶点：侧面与上
的公共顶点
思考(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
(2)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
答(1)根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.
(2)根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.
题型一棱柱的结构特征
例1下列说法中，正确的是()
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
答案 D
解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.
高中数学课件棱柱、棱锥、棱台的结构特征
如图,棱台可记作：棱 点：侧面与 台_A_B_C_D_-_A_′__B_′__C_′__D_′__ 上(下)底面
四棱锥截
台
的公共顶点. 得)……
棱台的特征：（记笔记）
1.两底面相互平行且相似. 2.各侧棱延长后交于一点. 3.侧面是梯形.
下列是棱台的是？
特殊的棱台：
正棱台：由正棱锥截得的棱台，叫正棱台 斜高：正棱台各侧面都是全等 的等腰梯形，这些等腰梯形的 高叫做棱台的斜高。
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一·多面体、棱柱
1.了解多面体的含义和相关概念. 2.掌握棱柱的特征及相关概念 3.掌握几种特殊的棱柱特征
1.多面体的相关概念
(1)定义：由若干个_平__面__多__边__形__所围成的几何体.
(2)相关概念：
①面：围成多面体的各个_多__边__形__; 顶点
C 2.如图所示的几何体是( )
A.四棱柱
B.六棱柱
C.五棱柱
D.五面体
三棱柱 3.(1)棱柱的顶点最少有 6 个,侧棱最少有 3
条,
棱最少有 9 条.
(2)下列几何体中,是棱柱的是①②③④(填序号).
几类常见的特殊棱柱：（记笔记）
1.直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱 2.斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱 3.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 4.平行六面体:底面是平行四边形的棱柱 5.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
第八章立体几何初步
8.1基本立体图形
第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
题型一棱柱的结构特征
【例1】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.思维升华 1.棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行且全等的面作为底面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
2.根据侧棱是否垂直于底面，将棱柱分为直棱柱和斜棱柱.
【训练1】(多选题)下列说法中，正确的是()
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中每一个面都不会是三角形
C.各个侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
答案CD
解析A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，棱柱的底面可以是三角形；对
于C选项，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，如底面是菱形时，此时的四棱柱不是正方体；D选项说明了棱柱的特点，只有选项C、D正确.
必修2-棱柱棱锥棱台的结构特征
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【评析】1.由于棱台是由棱锥用平行于底面的平面截 来的，因此棱台上、下底面是相似多边形，它们的面 积比等于相似比的平方，则相似比又等于小、大棱锥 的高之比、侧棱长之比. 2.解答此类问题的关键是画好图形，找出台与截得台 的锥的量的关系，画图时为了简便，也可以画截面图.
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如图所示，正四棱台AC′的高是8 cm，两底面的边长 分别是4 cm和16 cm，求这个棱台侧棱的长、斜高.
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1.学习棱柱的定义时，要注意多看实物和模型，要正确 理解，准确把握.棱柱有如下两个本质特征：①有两个 面互相平行；②其余各面每相邻两面的公共边都互相平 行.
在运动变化的观点下，棱柱的定义为:由一个平面多边 形沿某一方向平移形成的空间几何体，叫做棱柱.平移 起止位置的两个面叫做底面，多边形的边平移形成的面 叫做侧面，多边形的顶点平移形成的线叫做侧棱.
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指出如图1-1-4所示几何体是由哪些几何体构成的?
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（1）是一个四棱柱和一个四棱锥的组合体； 图（2）是一个三棱台和一个三棱锥的组合体.
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学点二 简单几何体的计算问题 一个棱台的上、下底面积之比为4：9，若棱台的高是4 cm,求截得这个棱台的棱锥的高.
【分析】本题主要考查棱台和棱锥的联系，解题的 关键是理解棱台的概念和运用好图形中的相似关系， 可将棱台还原为棱锥解决.
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棱柱、棱锥、棱台的结构特征
D’ B’ C’
底 面
E F
侧棱
D C
A
侧面
B
顶点
1.定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 2.分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、 问题：各种各样的棱柱,主要有什么不同?你认为 五边形、 …… 我们把这样的棱柱分别叫做三 棱柱的分类标准是什么? 棱柱、四棱柱、五棱柱、…… 如何 3. 表示： A’ A’ 表示棱柱?
棱台
用一个平行于棱 锥底面的平面去 截棱锥，底面与 截面之间的部分， 这样的多面体叫 做棱台
定义
底面
两底面是全等 的多边形 平行四边形 平行且相等 与两底面是全等的 多边形 平行四边形
多边形
三角形 相交于顶点 与底面是相似的 多边形 三角形
两底面是相似 的多边形 梯形 延长线交于一点 与两底面是相似的 多边形 梯形
A
A1
D’
D
D1
C1 C’ B1
上底面
A’
B’
C侧面
侧棱
下底面 顶点
B
例1 下列图形中为棱锥的是（ ①② ）
①
②
③
例2 判断:下列几何体是不是棱台,为什么?
(1)
(2)
探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在 结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如 何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【变式训练】(2015·江门高一检测)如图选项中的长方体中由如图的 平面图形(其中,若干矩形被涂黑)围成的是 ( )
【解析】选D.由长方体的侧面展开图知这个长方体中相对的两个最小 的矩形被涂黑,剩余的两组对面中,一组被涂黑,另一组是原色.
易错案例
棱柱、棱锥、棱台的判断
【典例】如图所示,以下关于几何体的正确说法的序号为______.
类型三
空间几何体的平面展开图
【典例】1.(2015·温州五校联考)如图是一个正方体的展开图,将其 折叠起来,变成正方体后的图形是 ( )
2.如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?
【解题探究】1.典例1中如何解题? 提示:可将展开图中其中一个面固定不动把其他面折起还原为正方体 , 并将正方体按要求旋转,从而得解. 2.典例2如何由展开图得到原几何体? 提示:可将展开图沿虚线折起来,便得到原几何体,再结合结构特征判 断为何种几何体.
【自我矫正】①正确,因为有六个面,属于六面体的范围; ②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确;③正确,如果把 几何体放倒就会发现是一个四棱柱;④⑤都正确,如图所示.
答案:①③④⑤
【防范措施】 1.性质的应用 在多面体中,明确几何体的结构特征及性质,就能作出准确的判断,如 本例中,棱台是由棱锥截得的,截面与底面平行,还可以把侧棱延长后, 看是否交于一点,这是判断是否为棱台的一条重要性质.而棱柱中有两 个面是平行的,其余面的交线平行.在判断几何体时一定要记住这些特 殊性质,才不会出错.
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教案
【课前检测】
【预习新知】
【课堂导学】
[情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题．
探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体
(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．
(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．
探究点二棱柱的结构特征
2．棱柱
(1)棱柱的主要特征性质：
①有两个互相平行的面；
②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．
(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高．
(3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体．
例1下列命题中正确的是()
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积．
解如图，取BC的中点E，
探究点三棱锥的结构特征
思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？
(1)棱锥的主要结构特征：
①有一个面是多边形；
②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
(2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；
相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
多边形叫做棱锥的底面；
顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
(3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形．
(4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．
如图：
由于三棱锥有一个底面和三个侧面，共四个面组成，所以三棱锥又叫四面体，三棱锥的各个面都是三角形．
若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．
已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高．
解设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点．
13．已知正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7.
(1)求侧面上的斜高；
(2)求一个侧面的面积；
(3)求底面的面积．
.
4．棱台
(1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高．
(2)由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
(3)正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．
例：已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．
解如图，设O′，O分别为上、下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，
巩固）【随堂练习】
4．正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为________．
5．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形．②所有的棱长都相等．③棱柱中至少有2个面的形状完全相同．④相邻两个面的交线叫做侧棱．
【小结】
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．(1)各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
⎩
⎨
⎧直棱柱
⎩⎪
⎨
⎪⎧正棱柱
一般的直棱柱
斜棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
【作业】