棱柱、棱锥和棱台的结构特征

教案
【课前检测】
【预习新知】
【课堂导学】
[情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题．
探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体
(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．
(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．
探究点二棱柱的结构特征
2．棱柱
(1)棱柱的主要特征性质：
①有两个互相平行的面；
②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．
(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高．
(3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体．
例1下列命题中正确的是()
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积．
解如图，取BC的中点E，
探究点三棱锥的结构特征
思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？
(1)棱锥的主要结构特征：
①有一个面是多边形；
②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
(2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；
相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
多边形叫做棱锥的底面；
顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
(3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形．
(4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．
如图：
由于三棱锥有一个底面和三个侧面，共四个面组成，所以三棱锥又叫四面体，三棱锥的各个面都是三角形．
若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．
已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高．
解设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点．
13．已知正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7.
(1)求侧面上的斜高；
(2)求一个侧面的面积；
(3)求底面的面积．
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4．棱台
(1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高．
(2)由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
(3)正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．
例：已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．
解如图，设O′，O分别为上、下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，
巩固）【随堂练习】
4．正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为________．
5．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形．②所有的棱长都相等．③棱柱中至少有2个面的形状完全相同．④相邻两个面的交线叫做侧棱．
【小结】
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．(1)各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
⎩
⎨
⎧直棱柱
⎩⎪
⎨
⎪⎧正棱柱
一般的直棱柱
斜棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
【作业】。