格林公式及其应用

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格林公式的应用

格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的

曲线积分与对应的面积积分之间的关系。格林公式的应用非常广泛，

涉及到物理、工程、地理等多个领域。本文将介绍格林公式的基本概

念和原理，并探讨其在实际问题中的应用。

格林公式是由德国数学家格林（Green）于1828年提出的，它建

立了曲线积分与面积积分之间的联系。在二维平面上，设D是一个有

界闭区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：

∮C (f(x, y)dx + g(x, y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y) dxdy

其中，∮C表示沿着曲线C的曲线积分，

∬D表示在区域D上的面积积分，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示f 和g对x和y的偏导数。

格林公式的应用可以帮助我们求解各种与曲线积分和面积积分相

关的问题。下面将通过几个具体的例子来说明格林公式在实际中的应用。

**例1：计算曲线积分**

考虑曲线C：x2 + y2 = 1，逆时针方向，要计算曲线积分∮C (x2dx +

y2dy)。

格林公式及其应用

第三节格林公式及其应用
一、格林公式
1. 区域连通性的分类设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围
成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则,称为复连通区域.
D 单连通区域
D 复连通区域
例如，D1 {( x, y) x2 y2 1} 是单连通区域， D2 {( x, y) 0 x2 y2 1} 是复连通区域.
my ,
Q
e
x
cos
y
O
m
A(a,0)x
Q e x cos y, P e x cos y m
x
y
可知 Q P m 非常简单.
x y
为应用格林公式需补上一段曲线, 使之构成
闭曲线.因在补的曲线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补与坐标轴平行的直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
x
闭曲线. 作位于D内圆周 l : x2 y2 r 2 记D1由L和l所围成, 应用由格林公式,得
y
L
l D1
Or
x
Q P
x y
0
D1
Q x
P y
dxdy
xdy ydx L x2 y2
l
xdy x2
ydx y2
0
y
L
l D1
Or
x
∴
L

格林公式及其应用

P Q 由于、在G内连续, 可在G内取得一个以M 0为圆 y x 心，半径是足够小的圆形闭区域k , 使得在k上恒有：
Q P x y 2
由格林公式与二重积分性质，有：
Q P Pdx Qdy x y dxdy 2 k
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0，作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向有 , xdy ydx x y
对上式右端，取x为参数，y为常数，dy 0, x由x到 x x，计算对坐标曲线积分，有 u ( x x, y ) u ( x, y )
2u 2u 因P、Q具一阶连续偏导数, 故、连续， xy yx 2u 2u 则有： , yx xy P Q 即 y x
再证充分性 (1) 先确定u(x,y):
P Q 定理2 由曲线积分已知在G内恒成立， y x 与路径无关, 故起点M 0 ( x0 , y0 )，终点M ( x, y )的曲线积分可写作 :
{ 上半平面：( x, y ) y 0}
都是单连通区域. 又例如圆环形区域：{( x, y ) 1 x 2 y 2 4}、

格林公式的应用

格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的

曲线积分与面积积分之间的关系。格林公式的应用涉及到多个领域，

包括物理学、工程学和地理学等。本文将介绍格林公式的基本概念，

以及在不同领域中的具体应用。

格林公式最基本的形式可以表述为：设D是一个平面区域，边界

为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有如下等式

成立：

∬(∂f/∂y - ∂g/∂x)dxdy = ∮(f dx + g dy)

其中，左侧是曲线积分的面积分，右侧是曲线C的环绕积分。这

个公式的应用涉及到对平面区域内函数的积分运算，可以帮助我们求

解各种问题。

在物理学中，格林公式常常用于描述电场和磁场的分布情况。通

过格林公式，我们可以计算电场或磁场在一个闭合曲线上的环绕积分，从而得到场的总量。这对于分析电磁场的性质和相互作用至关重要。

格林公式的应用使得我们能够更准确地描述电磁场的分布规律，为电

磁学的研究提供了重要的数学工具。

在工程学中，格林公式常常用于求解流体力学和热力学中的问题。例如，在流体力学中，我们可以利用格林公式计算流体在一个闭合曲

线上的环绕积分，从而得到流体的流量。这对于设计管道系统、风力

发电机等工程项目具有重要意义。格林公式的应用使得工程师能够更好地分析和优化工程设计，提高工程项目的效率和可靠性。

在地理学中，格林公式常常用于描述地形和地势的特征。通过格林公式，我们可以计算地形图上不同区域的坡度和高程变化，从而揭示地表的地貌特征。格林公式的应用使得地理学家能够更准确地理解地球表面的形态和结构，为地质勘探和自然灾害预测提供重要依据。

格林公式及其应用

P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得

L
P
d
x

Q
d
y

D
(
Q x

Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 ©
例1.计算 xdy ，其中曲线 AB 是半径为 r

AB
y
的圆弧在第一象限的部分．
A
解：引入辅助线

L BO OA AB
o
则
xdy

xdy

AB
L OA BO
k 1 Dk x y
o
Dn x
n

Pdx Qdy
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
L Pdx Qdy
证毕
©
例+. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L

格林公式及其应用

区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA

4
D
dxd
y

4 x
2
0
dx
8 64
3
y L
D
o
Ax
例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证: 设P xy2, Q x2 y, 则 P 2xy Q
x
y

x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
o
Dn x
n

Pdx Qdy
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
L Pdx Qdy
证毕
格林公式

D

Q x

P y

dxd
y

格林公式的讨论及其应用

格林公式是矢量分析中的重要定理之一，它描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。格林公式广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域，下面将对格林公式进行详细讨论及应用。

格林公式可以用数学的方式描述为：对于一个可微的矢量场F，它的散度为div(F)，则该矢量场F通过一个闭合曲面S的流量为∬F⋅ds，该闭合曲面S所围成的体积为∭div(F)dV，格林公式表达了这两者之间的关系，即：

∬F⋅ds = ∭div(F)dV

其中，∬表示曲面积分，∭表示体积积分，F⋅ds表示矢量场F与ds 的内积，div(F)表示矢量场F的散度。

1.流体力学中的应用

格林公式在流体力学中有着广泛的应用。例如，可以通过格林公式计算流体在一个闭合曲面上的流量，这对于流体的体积流量和质量流量的计算有重要意义。另外，格林公式还可以用来推导流体的连续性方程和Navier-Stokes方程等重要方程。

2.电磁学中的应用

格林公式在电磁学中也有着重要的应用。例如，可以利用格林公式计算电磁场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算电场和磁场的电荷和磁荷的分布有着重要意义。此外，通过格林公式还可以推导出麦克斯韦方程组中的一些重要方程，如高斯定律、安培环路定理等。

3.热力学中的应用

格林公式在热力学中也有着重要的应用。例如，可以通过格林公式计

算热场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算热量的传递和热功的计算有

着重要意义。此外，格林公式还可用于推导出热传导方程等重要方程。

除了上述应用之外，格林公式还广泛应用于流场分析、电磁场分析、

高等数学-格林公式及其应用

D
闭区域 D的面积
A
1 2
L
xdy
ydx .
取 P 0, Q x, 得 A L xdy
取 P y, Q 0, 得 A L ydx
13
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pdx
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
y
B
D
y 1 x
解法2 P y2 Q x2
Q P 2x y
x y
0
A x I 2x yd xd y
D
4
xd xd y ( 4
yd xd y)
4
1
xd x
1x2 d y 2
D
D
0
1 x
3
轮换对称法 17
例7. 计算
其中L为 y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y2
高等数学
第二十讲
第三节源自文库
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一、格林公式

格林公式及其应用

P y ， Q x ，得平面图形的面积为
A
d
D
1 2
L
xdy
ydx
．
（12-7）
1.1 格林公式
例 1 求椭圆 x acos ，y bsin 所围成图形的面积 A ．
解根据式（12-7）得椭圆面积为
A 1
xdy ydx 1
2π (abcos2 absin2 )d 1 ab
例如，区域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是单连通区域；环状区域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ，当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
a
1 ( x)
b a
P
[
x
，2
(
x)]dx
b a
P[x
，1(x)]dx
．
1.1 格林公式
根据对坐标的曲线积分计算方法及性质，有
P(x ，y)dx L
Pdx
L1
Pdx

格林公式的应用

1.什么是格林公式？

格林公式是指由英国数学家格林提出的用来计算某一多项式在

某一点的近似值的公式，它是一个多项式的近似值计算公式。格林公式是基于抛物线（parabola）近似曲线在一定范围内拟合某多项式，其实际应用中是以三次多项式来近似计算出某多项式在某一点的近

似值。

2.格林公式的应用

（1）求解曲线的稳定点：格林公式可用来计算曲线的稳定点，即一阶导数为0时的值。

（2）优化函数：格林公式可用于优化函数，如果给定函数的一阶和二阶导，可利用格林公式求得函数的极值点。

（3）数值积分：格林公式也用于数值积分，能够准确而快速地求得曲线的积分值。

（4）对称函数：格林公式可用于求解对称函数的极值点，比如圆形的半径等。

（5）曲线拟合：格林公式也可以用于曲线拟合来确定某一多项式在某一点的值，从而降低计算的复杂度。

- 1 -

格林公式及其应用

I1 I2
由格林公式
I1
D
Q x
P y
dxdy
D
(b
a)dxdy
(b
a)
πa 2 2
由于OA在x轴上, y 0, dy 0,
故I2
2a
(bx)dx
2a 2b,
0
于是
I
I1
I2
π 2
2 a 2b
πa3. 2
(2)简化二重积分
例4 计算 e y2dxdy, D :以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
P dxdy
b
dx
2 ( x) P dy
D y
a
1( x) y
y
b
a{P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
L2 : y 2( x)
D
Pdx Pdx Pdx
L
L1
L2
L1 : y 1( x)
Oa
bx
b
a
a P[ x,1( x)]dx b P[ x,2( x)]dx
L
Cr : x2 y2 r 2 , 使得Cr位于D
D
内且与L不相交, 记L与C r 共同围成的复连通区域为D1 .
O Cr x
P( x, y),Q( x, y) C (1) (D1 ).

格林公式及其应用

格林公式是微积分中的一个重要工具，用于计算其中一区域内的面积和体积。它是由德国数学家格林（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出的，被广泛应用于物理、工程、经济等领域的计算中。

格林公式的一般形式如下：

\oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D ( \frac{{\partial

Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} ) dA $$

其中，$C$表示封闭曲线，$D$表示被封闭曲线围成的区域，$P$和$Q$是$D$内的函数，$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}$表示$P$对$y$求偏导数，$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$表示$Q$对$x$求偏导数，$dA$表示面积元素。

格林公式的应用有以下几个方面：

1.计算曲线积分：格林公式将曲线积分转化为了面积积分，使得计算曲线积分更加简便。通过计算封闭曲线上其中一函数和微分形式 $Pdx + Qdy$ 的积分，可以得到围成该区域的面积。

2.计算平面区域的面积：通过格林公式可以计算出封闭曲线围成的平面区域的面积。将面积元素 $dA$ 替换为 $1$，$Pdx + Qdy$ 替换为$dx$，然后对曲线积分进行计算，即可得到该区域的面积。

3.计算体积：对于封闭曲线$C$，通过格林公式可以计算出围成该曲

线的曲面的面积。再通过计算该曲面旁切平面上函数的面积积分，就可以

得到该曲面的体积。

格林公式及其应用

-
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
-
一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积
-
一、格林公式在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式：
a bF'xdxF(b)F(a)
表示: F'x在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数
F (x) 在这个区间端点上的值来表达。
下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲线积分来表达。
-
在公式（1）中取 P=-y，Q=x, 即得
格林公式的一个简单应用：
2dxdyxdyyd.x
D
D
上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有：
1 2
L
x
d
y
y
d
x
例 1 求椭圆 xaco ,y sbsin所围成的图形面积A
-
解：根据公式（1）有：
A1 2Lxdyydx1 202(ab co2sasb i2n )d 1ab2dab

格林公式及其应用

y 2
Q P y2 2 P=0, Q= xey . 要使 =e , 只需 x y
格林公式:
Q P ∫∫( x y )dxdy=∫LPdx+Qdy .
D
用格林公式计算二重积分
例 2 计算∫∫e
D
y2
dxdy , 其中 D 是以 O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)
Q P y2 , 则 =e . x y
§9.7 格林公式及其应用
一,格林公式二,平面上曲线积分与路径无关的条件三,二元函数的全微分求积
一,格林公式
单连通与复连通区域设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 区域的边界曲线的方向当观察者沿区域D的边界曲线L行走时, 如果左手在区域 D内, 则行走方向是L的正向.
∫L Pdx+Qdy =∫L Pdx+Qdy ∫ Pdx+Qdy ∫ Pdx+Qdy =0 L L ∫ Pdx+Qdy +∫ Pdx+Qdy =0 ∫ L L L +(L
1 2
1 2
1 2 1
2 )
Pdx+Qdy =0 .
二,平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任

格林公式及其应用

y
B
D
O
OA : y 0, x : 0 2a.
A 2 a
x
1 面积 A ydx xdy 2 L
1 1 1 0 3a 2 . 2 ABO 2 OA 2 2
例 31.3 计算抛物线( x y ) ax(a 0)与 x 轴所围成的面积.
2
解 ONA 为直线 y 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示,
1 A xdy ydx 2 L
1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx 2 2
1 AMO xdy ydx 2
M
例31.8. 计算 I
B(2,0)的路径．
AOB
(12 xy e y )dx (cos y xe y )dy ,
其中AOB为由点A(1,1)沿y x 2到O(0,0),再沿y 0到
解：添加辅助线: 直线段BC与CA.
y A
O
I sin 1 e 1.
C
B
x
引入了位势函数，他说：“这样的函数以如此简单的形式
给出电荷基元在任意位置受力数值.由于它在下文中频繁出现，我们冒味地称其为属于该系统的位势函数，它显
然是所考虑的电荷基元P的坐标的函数.”在该书中还包含

格林(Green)公式及其应用

解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过程。
详细描述
在求解偏微分方程时，可以利用格林公式将偏微分方程转化为等价的积分方程。具体地，对于二阶线性偏微分方程$frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)$，如果存在连续的一阶导数 $P(x,y)$和$Q(x,y)$，使得$P_y = Q_x$，则该偏微分方程可以转化为等价的积分方程$int_C Pdu + Qvdt = int_D (Q_x - P_y)u(x,y)dxdy$。通过求解积分方程，可以得到偏微分方程的解。
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面积分计算
总结词
面积分是格林公式的另一个重要应用，通过格林公式可以将面积分化为更简单的形式。
详细描述
在计算面积分时，可以利用格林公式将面积分化为更简单的形式。具体地，设$P(x,y)$和$Q(x,y)$是定义在有界闭平面区域D上的连续函数，且对任意$(x,y)$属于D，都有 $P_y = Q_x$，则面积分$int_D Pdx + Qdy$等于零。
此外，我们也可以进一步研究格林公式的各种推广和变体，如高维空间的格林公式、非线性格林公式等。这些推广和变体将有助于解决更广泛的问题，推动数学和其他学科的发展。