连续与离散控制系统 第2章 连续控制系统的机理建模

简单伺服系统举例（续6）
R(s) +
E(s) -
K0 Ev(s)
K1K2 s(Las+Ra)(J0s+b0)+K2K3s
Θ(s) n
C(s)
La很小可以忽略不计，传递函数
G(s)
K0 K1K 2n
K0K1K2n Ra
s Ra (J0s b0 ) K2K3
R(s) +
K
J0s2
C(s)
b0
(7)当电枢旋转时，在电枢中将感应出一定的
电压，与角速度成正比
eb
K3
d
dt
简单伺服系统举例（续3）
试求马达转角位移θ与误差电压ev之间的传递 函数，试求这个系统的方框图。此外，当La 可以忽略时，求简化方框图。
解：电枢控制式直流伺服马达的速度由电枢
电压控制。ea K1ev
电枢电流的微分方程为：
放大器
马达
齿轮传
负载
动装置
例2.4简单伺服系统，工作原理如下：
(1)系统的参考输入量：输入电位计电刷臂的
角位置r，转化为电压 er K0r
简单伺服系统举例（续1）
(2)输出电位计电刷臂的角位置c由输出轴的位
置确定，转化为电压 ec K0c
(3)用一对电位计作为系统的误差测量装置， 它们可以将输入和输出位置转变为与位置成 比例的电信号。er ec ev
2.2.1微分方程
• 系统微分方程的建立步骤：
1.列写原始方程组
2.解原始方程组
3.化成标准形式
• 设系统的输入变量为r(t)，输出变量为c(t)则 系统微分方程具有一般形式为：
an
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
d mr(t) dt m
简单伺服系统举例（续5）
做拉氏变换，并消去Ia(s)，得传递函数：
(s)
K1K2
Ev (s) s(Las Ra )( J0s b0 ) K2K3s
假设齿轮传动装置的传动比设计为：使得输 出轴的转数是马达轴转数的n倍，因此
C(s) n(s)
另外，Ev (s) K0R(s) C(s) K0E(s)
为合理的近似，上式变为：
y
g(x)
g(x0 )
dg dx
(x
xx0
x0 )
y0
k(x
x0 )
工作点附近的泰勒展开（续）
如果变量y依赖于若干激励变量：x1,x2,…,xn， 那么函数关系可以写做:
y g(x1, x2, , xn )
同理利用多元函数的泰勒展开，忽略高阶项
后，线性近似写做：
y
g(x10 , x20 ,
A(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y(s)
6.增益的并接：其总增益为各增益之和。
Y (s) G1(s) G2(s)R(s)
R(s)
G1(s)
+
Y(s)
+
G2(s)
框图的基本要素和基本连接（三）
7.反馈：其基本形式如下。
R(s)
+
G1(s)
Y(s)
－
F1(s)
Y
(s)
1
G1(s) G1(s)F1(
框图建立的例子（续2）
根据F1、F2和C的关系，画出对应的子框图， 按对应的变量名称连接，则最终系统框图为：
F(s) +
+
-
-
1 ms2
C(s)
F1(s) F2(s)
k
fs
简单伺服系统举例
参考输入
输入电位计
er
ec 输出电位计反馈信号
r
c
C
Ra
La
ev
K1
K1ev
ia T θ
输入装置
误差测量装置
基本概念（二）
• 设系统共有个回路，则：若存在若干个两
个互不接触回路，所有的两个互不接触回 路增益之和记为N2(s)；若存在若干三个互 不接触回路，所有的三个互不接触回路增 益之和记为N3(s)；如此类推。
• 约定：一个回路称自身为一个互不接触回 路，其增益称为一个互不接触回路增益。
• 那么具有个回路的系统各种互不接触回路
连续与离散控制系统
第2章 连续控制系统的机理建模
主张从复杂的扑朔迷离的问题中，寻找出最 基本的物理过程，然后再运用简化的数学方 法加以分析，从而把理论与设计结合起来。
--哥廷根学派学术风格
主要内容
• 概述 • 微分方程及线性近似 • 框图模型及传递函数 • 状态变量模型 • 各种模型间的转换 • 系列设计举例
• 设方框图的输入为R(s)，输出为C(s)，则传 递函数为：
C(s)
R(s)
1
(s)
h i 1
2.1概述
• 为了分析和控制复杂系统，必须获得这些 系统量化的数学模型，而此过程就称为建 模。导出一个合理的数学模型是整个分析 过程中最重要的工作！
• 在求解一个新问题时，常常需要建立一个 简化模型，以对问题的解有一般的了解， 然后再建立比较完善的数学模型，并用来 对系统进行比较精确的分析。
系统建模的三种方式
质量的平衡位置是θ0=0o。T和θ之间的非线 性关系如图(b)所示。平衡点处的一阶导数 值提供了线性近似，即
T T0 MgL
其中T0=0于是，有
sin
0
0
T MgL cos0o 0o MgL
该近似对±π/4内比较精确。例如，摆在通过 ±30o时线性模型的响应在实际非线性摆的响 应的2℅范围内。
k F(t)
f m
解题过程
1.弹簧的弹性力其方向总和位移方向相反。
F1(t) kc(t)
2.阻尼器的阻尼力其方向总和位移方向相反。
F2 (t)
f
dc(t) dt
3.根据牛顿第二定律有：
F
(t)
F1
(t
)
F2
(t
)
ma
m
d
2c(t dt 2
)
解题过程（续）
4.消去中间变量F1(t)、F2(t)，并整理得。
• 前向通道的余子式 ：对于某个前向通道， 在特征式中令与其相接触的所有回路增益 为零，则剩余的式子称为该前向通道的余 子式。记第i条前向通道的余子式为 i (s)
• 如果一条前向通道和所有回路都接触，其 余子式一定为1；如果一个前向通道和所有 回路都不接触，其余子式一定等于特征式 。
2.3.2.2梅森公式
La
dia dt
Raia
eb
ea
La
dia dt
Raia
K3
d
dt
K1ev
简单伺服系统举例（续4）
马达力矩的平衡方程为：
J0
d 2
dt 2
b0
d
dt
T
K2ia
J0为马达、负载和折合到马达轴上的齿轮传 动装置组合的转动惯量;
b0为马达、负载和折合到马达轴上的齿轮传 动装置组合的黏性摩擦系数。
机理建模的表达形式（二）
• 框图表达方式：不能独立地对系统进行分 析或综合，但由于其具有极强的直观性， 因而也作为一种模型方式。
• 状态方程表达方式：它是状态变量的一阶 导数方程组。由于所选的状态变量不同， 同一系统的状态方程可能是不同的，但其 最终结果是一致的。
解决动态系统问题的方法
1.定义系统及其组成部分； 2.建立数学模型并列出相关假设； 3.写成描述模型的微分方程组； 4.解方程组，并获得所需的输出变量； 5.研究所求的解和假设； 6.如果有必要，重新分析或重新设计系统。
2.3框图模型及传递函数
• 定义：线性定常系统在初始条件为零时， 输出的拉氏变换和输入的拉氏变换之比称 为该系统的输出和输入间的传递函数。
• 初始条件为零有两层含义：其一是输入信 号是在研究的时刻(0+)才加入的，其二是输 出在研究时刻之前(0-)是静止的或称为平衡 状态。
框图的基本要素和基本连接（一）
(4)电位计输出端上的误差电压被增益常数K1 的放大器放大。放大器的输出电压作用到直 流马达的电枢电路上，马达的励磁绕组上加 有固定电压。
简单伺服系统举例（续2）
(5)如果出现误差信号，马达就会产生力矩， 以带动输出负载旋转，并使误差减小到零。
(6)对于固定的励磁电流，马达产生的力矩与
电枢电流成正比：T K2ia
K2K3 Ra
s
-
s(Js+B)
2.3.2梅森公式
• 框图对表示输入和输出变量之间关系已经 足够了，但相互关系比较复杂的系统，框 图的化简工作任务繁重，甚至难以完成。
• 梅森公式是梅森在创建信号流图中提出的 求取传递函数的方法，由于信号流图和框 图并无本质的差别，故本课程以框图的形 式进行介绍。
2.3.2.1基本概念
m
d
2c(t dt 2
)
f
dc(t) dt
kc(t)
F (t )
此方程即为该系统的微分方程。
2.2.2物理系统的线性近似
• 叠加原理：两个不同的作用函数同时作用 于系统的响应，等于两个作用函数单独作 用的响应之和。
• 一个系统如果不能应用叠加原理，则系统 是非线性的。大部分的物理系统只是在一 定范围内是线性系统。比如阻尼器，低速 时是线性的，高速时可能变成与速度平方 成正比。弹簧在低频时，质量可以忽略， 高频时，质量却是系统重要特性。
增益的总和 ：
Nl (s)
l 1
基本概念（三）
设系统有个回路，其系统的特征式表示为：
(s) 1 (1)l Nl (s) l 1
前向通道及其增益：由输入沿信息流动方向 不重复地到达输出的一个途径称为一个前向 通道。该途径所经诸增益及比较环节符号的
乘积称为该前向通道增益。记为 Qi (s)
基本概念（四）
1.传输线：表示了信息的流动方向。
2.增益：增益是系统某部分输出和输入之
间的传递函数。
Gi(s)
3.比较环节：表示两个或多个信号算术运 算关系的一种符号。
4.分支：当一个信号送往多处作为输入时， 用分支形式表示。
框图的基本要素和基本连接（二）
5.增益的串接：多个增益相串接，其总的 增益为各增益之积。Y(s) G1(s) G2(s)G3(s)A(s)
s)
R(s)
2.3.1系统框图的建立
1. 根据所给系统的联接方式和各部分的物理 规律列写原始方程组。
2. 将原始方程组进行拉氏变换。 3. 对每个方程指定其输出变量并画出其对应
的子方框图。 4. 将各子方框图联接成总方框图。
框图建立的例子
• 例2.3制作例2.1的系统框图 解：将原始方程组进行拉氏变换，得
, xn0 )
g x1
( x1
x1 x10
x10 )
g
g
x2
( x2
x2 x20
x20 )
xn
( xn
xn xn0
xn0 )
线性近似举例
• 例2.2摆模型：考虑图(a)所示的摆，质量上的
力矩为 T MgLsin
T
长度L θ
质量M
(a)
-π -π/2 0 π/2 π θ
(b)
线性近似举例（续1）
工作点附近的泰勒展开
假设函数在工作范围内是连续的，可以在工 作点附近使用泰勒级数，于是有：
y
g(x)
g(x0 )
dg dx
xx0
(x x0 ) 1!
d2g dx2
xx0
(x x0 )2 2!
dng dxn
xx0
(x x0 )n n!
在相对工作点的偏移量(x-x0)附近的小范围内 是对曲线本身的一个很好的近似。于是，作
• 回路和回路增益 ：在框图中由任何一点出发，沿 信息流动方向(箭头所指方向)经过不重复的路径 (每点仅经过一次)回到该点，则该路径称为一个 回路。该回路所经过的各增益、比较环节符号之 积称为该回路的增益。
• 互不接触回路及其增益：如果两个回路没有任何 公共点称为两个回路之间互不接触，简称两个互 不接触回路。两个互不接触回路各回路增益之积 称为两个互不接触回路增益。同理三个回路之间 均无公共点称为三个互不接触回路，其各回路增 益之积称为三个互不接触回路增益。以此类推。
F1(s) kC(s) F2 (s) fsC(s) F (s) F1(s) F2 (s) ms2C(s)
框图建立的例子（续1）
令C(s)做输出，则将方程改写为：
C(s)
1 ms2
[F(s)
F1 (s)
F2
(s)]
其对应的子方框图如下：
F(s) +
+
-
-
1
ms2
C(s)
F1(s) F2(s)
• 机理建模 ：即“白箱”建模，利用系统的 具体结构和其所遵循的内在规律(物理的、 化学的规律等)经严格的推导而获得最终数 学模型的方法 。
• 辨识建模 ：即“黑箱”建模，利用实验的 方法或者通过系统正常运行而获得其输入、 输出的数据，从而采用能近似替代的模型 。
• “灰箱”建模：上两种的结合。
机理建模的表达形式（一）
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0r(t)
建立系统微分方程举例
• 例2.1系统如图所示。其中k为弹簧的刚度系数；f 为阻尼器的粘性摩擦系数；m为物体的质量；F(t) 为外施力；c(t)为物体的位移。忽略物体滑动摩擦 力。求输出c(t)与输入F(t)的微分方程。
c(t)
• 微分方程(组)表述方式 ：由于控制系统从 本质上来说是动态的，因此可以用微分方 程(组)来描述它们。
• 传递函数表述方式 ：如果能表示为线性微 分方程，则可利用拉普拉斯变换，得到在 初始松弛条件下定义的传递函数，它体现 了系统的固有属性而与具体输入信号无关。 经典控制理论中是以它为核心对系统进行 研究的。