数学建模作业

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数学建模课后习题作业

【陈文滨】

1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？

【模型假设】

（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。

【模型建立】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．

如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以

数学建模作业及答案

数学建模作业

姓名：叶勃

学号：

班级：024121

一：层次分析法

1、分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵

1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

11/2433

217551/4

1/711/21/31/31/52111/31/5

1A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

的特征根和特征向量

（1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量程序为：

#include #include using namespace std;

#define n 3 //三阶矩阵

#define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){

cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<

double A[n][n],X[n],u,y[n],max;

cout<<"请输入矩阵:\n"; for(i=0;i

cin>>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i

cin>>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0;

while(1){ max=X[0]; for(i=0;i

if(max

for(i=0;i

y[i]=X[i]/max; for(i=0;i

X[i]=0;

for(j=0;j

X[i]+=A[i][j]*y[j]; //矩阵相乘

}

if(fabs(max-u)

{

cout<<"A的特征值是 :"<

cout<

break;

}

else

{

if(k

cout<<"运行错误\n";

break;

数学建模案例选讲作业_多目标优化

多目标优化作业

某工厂生产A、B两种产品，生产A产品每件利润100元，生产B产品每件利润80元。已知每件A 产品的平均生产时间3小时，每件B产品的平均生产时间2小时；工厂每周生产120小时，但尚可加班48小时。在加班时间内生产A产品每件利润90元，生产B产品每件利润70元。若市场每周向工厂订购A、B两种产品各30件，请问：在尽量满足市场需求的前提下，如何安排每周生产，才能使得利润最大而加班时间最少？

要求：①建立多目标规划模型；②利用主要目标法或者线性加权和法求解。

鼓励：用主要目标法、线性加权和法以及Matlab中的内部函数fminimax(最大最小法)、fgoalattain(目标达到法)分别求解、讨论、比较。

解：设生产A、B在正常工作时间分别生产X1、X2件，加班时间分别生产Y1、Y2。利润为W。加班时间为Z

则有：maxW=100X1+80X2+90Y1+70Y2.

MinZ=3Y1+2Y2.

S.t. 3Y1+2Y2<=48

3X1+2X2<=120

X1+Y1<=30

X2+Y2<=30

X1,X2,Y1,Y2Є{0，1，2……}

1.主要目标法：

1.1. 若工厂的主要目标是利润最大。则有：

maxW=100X1+80X2+90Y1+70Y2.

S.t. 3Y1+2Y2<=48

3X1+2X2<=120

X1+Y1<=30

X2+Y2<=30

X1,X2,Y1,Y2Є{0，1，2……}

下面采用linprog求解：

clear all;clc;

c = [-100,-80,-90,-70];

简单数学建模100例

“学”以致用

-----简单数学建模应用问题100例

数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接运用，在生产及生活中的实例是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.

数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学建模

如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行数学建模。

一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的.

二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善.

数学建模作业题+答案

数学建模MATLAB 语言及应用上机作业1

1. 在matlab 中建立一个矩阵135792468101234501234A ⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦

答案：

A = [1,3,5,7,9;2,4,6,8,10;-1,-2,-3,-4,-5;0,1,2,3,4]

2. 试着利用matlab 求解出下列方程的解（线性代数22页例14）

1234124

23412342583692254760

x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨

-+=-⎪⎪+-+=⎩ 答案：

A=[2 ,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6]; B=[8;9;-5;0]; X=A\B 或

A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6] b=[8,9,-5,0]' X=inv(A)*b

3. 生成一个5阶服从标准正态分布的随机方阵，并计算出其行列式的值，逆矩阵以及转置矩阵。答案:

A=randn(5) det(A) inv(A) A'

4. 利用matlab 求解出

110430002A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

的特征值和特征向量。

答案：

A=[-1,1,0;-4,3,0;0,0,2] [V,D]=eig(A)

5.画出衰减振荡曲线3

sin3t y e

t -=在[0,4]π上的图像。

要求，画线颜色调整为黑色，画布底面为白色。

（在实际中，很多打印机时黑白的，因此大多数作图要考虑黑白打印机的效果。）给出恰当的x ，y 坐标轴标题，图像x 轴的最大值为4π。

数学建模作业及答案

数学建模作业

姓名：叶勃

学号：

班级：024121

一：层次分析法

1、分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵

1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

11/2433

217551/4

1/711/21/31/31/52111/31/5

1A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

的特征根和特征向量

（1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量程序为：

#include #include using namespace std;

#define n 3 //三阶矩阵

#define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){

cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<

double A[n][n],X[n],u,y[n],max;

cout<<"请输入矩阵:\n"; for(i=0;i

cin>>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i

cin>>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0;

while(1){ max=X[0]; for(i=0;i

if(max

for(i=0;i

y[i]=X[i]/max; for(i=0;i

X[i]=0;

for(j=0;j

X[i]+=A[i][j]*y[j]; //矩阵相乘

}

if(fabs(max-u)

{

cout<<"A的特征值是 :"<

cout<

break;

}

else

{

if(k

cout<<"运行错误\n";

break;

数学建模样题及答案

数学建模作业一

学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大

的。

（2） Q 值方法：

m 方席位分配方案：设第i 方人数为i p ，已经占有i n 个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算

2(1)

i i i i p Q n n =+，i=1，2，…，m 把这一席分给Q 值大的一方。

（3） d ’Hondt 方法：将A ，B ，C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，

其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，

表中A,B,C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的

席位。（试解释其道理。）

（4）试提出其他的方法。

数学建模作业二

假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+ t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。解：=r(x m -x),r 为比例系数，x(0)=x 0 解为：x(t)= x m -( x m - x 0),如下图粗线，当t →∞时，它与Logistic 模型相似。

数学建模作业三

一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。

数学建模样题及答案

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数学建模样题及答案

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数学建模作业一

学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。

Q值方法：

m方席位分配方案：设第i方人数为，已经占有个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算

，i=1，2，…，m

把这一席分给Q值大的一方。

d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：

1 2 3 4 5 …

A 235 117.5 78.3 58.75 …

B 333 166.5 111 83.25 …

C 432 216 144 108 86.4

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。（试解释其道理。）

（4）试提出其他的方法。

数学建模作业二

假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为,t到t+t时间内人口的增长与-成正比例(其中为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。

数学建模样题及答案

ｍ‫。 ﻩ‬当总席位增加 1 席时，计算
Qi
pi 2 ni (ni 1)
，i=１,２，…,m
把这一席分给 Q 值大的一方。
（3） d’Honｄt 方法：将 A,B,C 各宿舍的人数用正整数ｎ=１，2，3,…相除，其商数如下表：
1
2
3
4
5
…
A
２35
Ｂ
Biblioteka Baidu
333
C
432
117．５１66。5 2１6
78.3 111 144
解:设 x(ｔ)为 t 时刻容器内剩余的盐的质量
①
5 / 11
x（t)=2（100+t)—１.5 X（t=３0)＝１71．2４
(10０+ｔ)-２
②
x（t）=
（１00+t)－2
X(t＝30）=29。59
数学建模作业四
商业集团公司在 A1, A2 , A3 三地设有仓库，它们分别库存 40，20,40 个单位质量的货物，而其零售商店分布在地区 Bi ,i 1, ,5 ，它们需要的货物量分别是 2５,10,20，30,15 个单位质量。产品从 Ai 到 B j 的每单位质量装运费列于下表:
B1
B2
B3
B4
B5
A1
5５
3０
40
50

大学生数学建模：作业-线性规划的实验

实验课题：

（一）线性规划问题

1.用lingo求解下列线性规划问题：

2. 某班男同学30人、女同学20人，植树。工作效率（个/人、天）如下表。如何安排，植树最多？

3.某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质、30g 矿物质和100g 维生素。现有A、B、C、D、E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分(单位：g)与价格(单位：元/kg)如下表所示：

试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。

4.在以色列，为分享农业技术服务和协调农业生产，常常由几个农庄

组成一个公共农业社区。在本课题中的这个公共农业社区由三个农庄组成，我们称之为南方农庄联盟。

南方农庄联盟的全部种植计划都由技术协调办公室制订。当前，该办公室正在制订来年的农业生产计划。

南方农庄联盟的农业收成受到两种资源的制约。一是可灌溉土地的面积，二是灌溉用水量。这些数据由下表给出。

注：英亩-英尺是水容积单位，1英亩-英尺就是面积为1英亩，深度为1英尺的体积；1英亩-英尺≈1233.48立方米。

南方农庄联盟种植的作物是甜菜、棉花和高粱，这三种作物的纯利润及耗水量不同。农业管理部门根据本地区资源的具体情况，对本联盟农田种植规划制定的最高限额数据由下表给出。

三家农庄达成协议：各家农庄的播种面积与其可灌溉耕地面积之比相等；各家农庄种植何种作物并无限制。所以，技术协调办公室面对的任务是：

根据现有的条件，制定适当的种植计划帮助南方农庄联盟获得最大的

总利润，现请你替技术协调办公室完成这一决策。

对于技术协调办公室的上述安排，你觉得有何缺陷，请提出建议并制定新的种植计划。

简单数学建模应用例子

2024/5/10
14
建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围内，确定每一步的决策，达到渡河的目标模型的过成：记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，
2024/5/10
7
建模实例
虽然椅子只有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A， C两脚与地面的距离之和为f( )，B，D两脚与地面的距离之和为g( )， f( ),g ( )≥0，由假设2， f与g均是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的， f( ), g( )中至少有一个为零，当 =0时不妨设g( )=0, f( )>0。
5
建模实例
图中椅脚连线为正方形ABCD，对角线 AC与x轴重合椅子绕中心点旋转角度后，正方形ABCD转至A`B`C`D`的位置，所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角表示了椅子的位置。其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的距离不同，所以这个距离就是位置变量的函数。

数学建模练习题作业

20 次就够了。1999 年 9 月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的 206,158,430,000 位，创出新的世界纪录。
4、波尔文四次迭代式：这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于 1985 年发表的。 5、bailey-borwein-plouffe 算法这个公式简称 BBP 公式，由 David Bailey, Peter Borwein 和 Simon Plouffe 于 1995 年共同发丘德诺夫斯基公式表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第 n 位，而不用计算前面的 n-1 位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。最新纪录 1、新世界纪录圆周率的最新计算纪录由日本筑波大学所创造。他们于 2009 年算出 π 值 2,576,980,370,000 位小数，这一结果打破了由日本人金田康正的队伍于 2002 年创造的 1,241,100,000,000 位小数的世界纪录。 2、个人计算圆周率的世界纪录 11 月 20 日，在位于陕西杨凌的西北农林科技大学，生命科学学院研究生吕超结束背诵圆周率之后，戴上了象征成功的花环。当日，吕超同学不间断、无差错背诵圆周率至小数点后 67890 位，此前，背诵圆周率的吉尼斯世界纪录为无差错背诵小数点后 42195 位。整个过程用时 24 小时 04 分。
练习题 3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币

数学建模例题及解析

例1差分方程——资金(de)时间价值

问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起

每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.

a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de)：

需要借多少钱,用记；

月利率(贷款通常按复利计)用R记；

每月还多少钱用x记；

借期记为N个月.

b．建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为

k=0,1,2,3,

而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下

(1)

c. (1)(de)求解.由

(2)

这就是之间(de)显式关系.

d．针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年＝60个月,已知；每月还款x＝1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得

数学建模全部作业

一、图论（组合优化）和排列论实验

解：设cij表示i年开始到j-1年结束购车的总消费，则有：

C12=2.5+0.3-2.0=0.8,C13=2.5+0.3+0.5-1.6=1.7,C14=2.5+0.3+0.5+0.8-1.3=2 .8,C15=2.5+0.3+0.5+0.8+1.2-1.1=4.2,C23=2.6+0.3-2.0=0.9,C24=2.6+0.3+0. 5-1.6=1.8,C25=2.6+0.3+0.5+0.8-1.3=2.9,C34=2.8+0.3-2.0=1.1,C35=2.8+0.3 +0.5-1.6=2,C45=3.1+0.3-2.0=1.4;

建模如下：

sets:

nodes/1..5/;

arcs(nodes, nodes)|&1 #lt# &2: c, x;

endsets

data:

c = 0.8 1.7 2.8 4.2

0.9 1.8 2.9

1.1

2.0

1.4;

enddata

n = @size(nodes);

min = @sum(arcs: c * x);

@for(nodes(i)| i #ne# 1 #and# i #ne# n:

@sum(arcs(i,j): x(i,j)) = @sum(arcs(j,i): x(j,i))

);

@sum(arcs(i,j)| i #eq# 1 : x(i,j)) = 1;

LINGO运行如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 3.700000

Total solver iterations: 0

西交大经济数学建模作业及答案

查表得
5k e5 b c 10 1 kQ k ! a c 30 3
Q6
线性规划作业
一、用图解法求解
1 max z 3x1 2x2
2x1x1x22
1 x2
3
x1 0, x2 0
max z 3x1 5x2
2
2x1 3x2 25
x1
2x2
15
x1 0 , x2 0
无可行解
（4）直接消耗阵为
1 25
A
2
5
6 25
1 4 12 15
1
1
3
15
17 60 30
1、某工厂生产某种机器，决策者可选择生产10台、20台或 30台。实际需求可能是10台、20台或30台。假定卖出一台利润为10万元，滞销一台损失2万元，试用悲观准则和乐观准则确定工厂的生产量。若假定需求是10台、20台或30台的概率分别为0.5、0.3、0.2，再确定工厂的生产量。
1.假设人口增长率与 1 ( x )a成正比；试建立人口模型并
xm
给予评价，这里 xm 为最大人口数，a为常数。
模型为
dx
dt
k[1
(x xm
)a ]x
x(0) x0
令得
解得
y 1 ( x )a xm
则
dy
aky(1

数学建模作业题

数学建模练习题

练习题1. 某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图

水源A 水源B ↓

―――→ 水库A ―――→ 发电站A ―――→ 水库 B ―――→发电站B ―――→

已知发电站A 可以将1万3m 的水转换为400千度电能，发电站B 只能将水库B 的1万3m 的水转换为

200千度电能。发电站A 、B 每个月的最大发电能力分别是60000千度和35000千度。每个月最多有50000千度电能够以200千度元的价格售出，多余的电能只能够以140元的价格售出。水库A 、B 的其它有关数据如下（单位：万立方米）

请你为该公司制定本月和下月的生产经营计划（千度是非国际单位制单位，1千度＝1000千瓦时）

练习题2. 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生人数（单位：

千人）已经表示在图中。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。

Xij i>j 防止前重复用for 取出最大再用for 防止后重复，

练习题3. 某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记做甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A 、

B ）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A 、B 。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3％、1％、2％、1％，进货价格分别为6吨千元、16吨千元、10千元、15千元；产品A 、B 的含硫量分别不能超过2.5％和1.5％，售价分别为9千元和15吨千元.根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨：产品A 、B 的市场需求量分别为100吨和200吨。问如何安排生产？