一元一次不等式的性质
一元一次不等式的基本概念
。 。
6+5 < 9+5
6+(-3)
< 9+(-3)Biblioteka 6*5< 9*5
6*(-5)
>
9*(-5)
1.不等式的两边都加上（或等于）同一个数或整式， 不等号的方向不变。 2.不等式的两边都乘（或除以）同一个正数不等号方 向不变。 3.不等式的两边都乘（或除以）同一个负数不等号方 向改变。
一.选择题. 1 若a>b ,则下列不等式一定成立的是( D ) A.b/a<1 B.b/a>1 C.-a>-b D.a-b>0 2 由m>n，则下列各式正确的是（C ）。 A。ma的平方>na的平方 B。m/a的平方>n/a的平方 C。-（a的平方+1）m< -（a的平方+1） n D。m的平方>n的平方
方程的基本性质
1.等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍 然成立。 a=b，c表示任意的数或整式，那么a+c=b+c
2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的 等式仍然成立。 a=b，c表示任意的数 ，那么ac=bc c≠0。
例1： 1.如果a=3，那么a+5=b 2.如果3x=6,那么x=6
• 用">"或"<"填空. • 若x-5>y-5,则(1)x > y • (2)x+5 > y+5 • (3)5-2x < 5-2y •
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第三讲 一元一次不等式复习
文字记忆
同大取大 同小取小 大小小大 取中间 大大小小 则无解
当a＞b时，
的解集是 X＞a
b b b b a
a a a a
当a＞b时，
的解集是 X＜b 的解集是 b ≤ X＜a
当a＞b时，
当a＞b时，
的解集是 无解 的解集是 X＝a
不等式组
大小等同 取等值
2（x+3）>x+5 (1)
例3、解不等式组
并求x的最大值。
练一练
1、解一元一次不等式,并把解在数轴上表示出来:
(1)6 4(1 x) 2(2 x 9) x 3 0.5 2 x (2) 1 2 3
2、求使不等式3(x-3)-1<2x成立的正整数解。
练一练
x x2 20 3 3、解不等式 x 5 2 3 并把它的解集表示的数轴上。
变式一：
x≥2a－1 不等式组 x＜3 无解，求a的范围
｛ ｛
变式二：
x≥2a－1 不等式组 x ≤ 3 无解，求a的范围
5、已知，不等式组
3（x-4）＜ 2（4x+5）-2
x5 1 3
1 x ＞ 2 2
①求此不等式组的整数解 ②若上述整数解满足方程ax-3=3a-x，求a的值 ③ 在① ②的条件下，求代数式 a
二、交流对话,巩固练习
x 2 1 2x 不等式 1, 去分母得 ( 8、 2 4
A 2(x+2)-(1-2x) ＞1 C 2(x+2)-(1-2x) ＞4 B
C )
2(x+2)-1-2x ＞4
D 2x+2-(1-2x) ＞4
二、交流对话,巩固练习
y 0.3 0.5 y 在解不等式 1时, 9、 0.5 0.6 ) 下列变形正确的是 ( D 10 y 3 5 y y 0.3 0.5 y A 10 10 B 5 6 5 6
一元一次不等式(公开课优秀课件)
实际应用中的一元一次不等式
一元一次不等式在实际生活中 有着广泛的应用，如购物、投 资、工程等领域的决策问题。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要将问题转化为数学模 型，然后运用代数法和图像法 求解。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要注意问题的实际情况 和限制条件，以及解的可行性 和最优性。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
目 录
• 一元一次不等式的定义与性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的应用 • 一元一次不等式的扩展
01 一元一次不等式的定义与 性质
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是数学中一种简单的不等式，它只含有一个变量，且变量的指 数为1。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b、c 是常 数，a ≠ 0。这个不等式表示一个线性函数在某个区间内大于或小于另一个值。
在人口发展过程中，如何预测未来人 口数量，可以通过一元一次不等式来 建立数学模型。
交通流量问题
在道路交通中，如何合理规划红绿灯 时间，ห้องสมุดไป่ตู้保证交通流畅，可以通过一 元一次不等式来求解。
一元一次不等式与其他数学知识的结合
一元一次不等式与函数
一元一次不等式可以看作是函数的值大于或小于某个常数的情况， 因此可以结合函数的性质进行求解。
代数法解一元一次不等式的步骤 包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注 意不等式的性质，如不等式的可 加性、可乘性、可除性和同向不
一元一次不等式ppt课件
A
B
C
D
2.解下列不等式,并把解表示在数轴上.
(1)
(2) 3x-1≥2x+4. (4) 5x-2＞11x+3.
6.某批服装的进价为每件200元,商店标价每件300元出售. 现商店准备将这批服装降价出售,但要保证毛利润不低于5 ％.问售价最低可按标价的几折?（课本P100）
本章教学重点和难点
①
课本第 97-100页
回顾问题：什么叫不等式？不等式有哪些性质？
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c。 性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不 等式仍成立.
性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得到的 不等式仍成立； 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的 方向改变,所得到的不等式成立.
教 学 目 标
●不等式的性质和解一元一次不等式是今后进一步学习代数不等式 的重和生产实 际中有着广泛的应用.因此，不等式的性质和解一元一次不等式是本 章教学的重点.
●一元一次不等式的解与方程的解有着较大的区别.一元一次不等式 的解的本质意义是适合一元一次不等式的所有数值的集合，这对学 生来说是十分抽象难懂的数学概念.列一元一次不等式解应用题往往 涉及较多的数量和数量关系，并且既有相等的， 又有不等的，错综 复杂.所以一元一次不等式的解的概念和列一元一次不等式解应用题 是本章教学的主要难点.
(3) 一个不等式的解在数轴上表示如图,则这个不等式的解
是____x__≥_-_1______.
p98例题1
P99课内练习1
P98例题2
你能解决 节前语问 题吗？
移项要变号
P99课内练习2
P99课内练习3 ∴
解法2：解方程组，用m表示x，y，代入不等式再求解。
八年级一元一次不等式(教师讲义带答案).
第四章一元一次不等式(组)考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
一元一次不等式 教案
一元一次不等式教案第一章：一元一次不等式的概念与性质1.1 引入不等式的概念通过实际例子，让学生了解不等式的含义和作用。
引导学生理解不等号（>、<、≥、≤）的含义。
1.2 认识一元一次不等式解释一元一次不等式的定义，即形如ax + b > 0 或ax + b ≤0 的不等式。
强调未知数x 的系数a 和常数项b 的重要性。
1.3 探索一元一次不等式的性质引导学生通过举例或图形来分析一元一次不等式的性质。
讨论不等式的解集，即满足不等式的x 的取值范围。
第二章：一元一次不等式的解法2.1 解基本的一元一次不等式演示如何解形如ax > b 或ax ≤b 的一元一次不等式。
强调解不等式时要注意符号的变化。
2.2 解含括号的一元一次不等式解释如何处理含括号的一元一次不等式。
引导学生先解决括号内的运算，再进行不等式的解法。
2.3 解含有绝对值的一元一次不等式解释绝对值的概念，并引导学生如何处理含有绝对值的一元一次不等式。
强调绝对值不等式的解集可能包含两个部分。
第三章：一元一次不等式的应用3.1 应用一元一次不等式解决实际问题提供实际问题，让学生应用一元一次不等式进行解答。
强调将实际问题转化为不等式问题的过程。
3.2 一元一次不等式的线性组合解释如何将多个一元一次不等式进行线性组合。
引导学生理解线性组合后的不等式的解集。
3.3 一元一次不等式组解释什么是一元一次不等式组，即多个一元一次不等式的集合。
引导学生如何解决一元一次不等式组，并讨论解集的交集。
第四章：一元一次不等式的拓展4.1 不等式的符号性质引导学生深入理解不等式的符号性质，如传递性、互补性等。
通过举例或练习题来巩固学生对不等式符号性质的理解。
4.2 不等式的变形解释如何对一元一次不等式进行变形，如两边加减乘除等。
强调变形时保持不等号方向不变的重要性。
4.3 一元一次不等式与函数的关系引导学生理解一元一次不等式与函数之间的关系。
一元一次不等式(组)专题复习
不等式（组）专题复习一、知识要点1．一元一次不等式的概念类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1•的不等式叫做一元一次不等式．2．不等式的解和解集不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示． 3．不等式的性质基本性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变。
用符号语言表达： 如果a ＞b ，那么a+c>b+c ，a-c ＞b-c 。
基本性质2 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示： 如果a>b,且c>0,那么ac>bc ，c b c a >。
基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示： 如果a>b,且c<0,那么ac<bc ，cb c a <。
不等式的其他性质：①若a>b ，则b<a ；②若a>b ，b>c ，则a>c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a ≤0，则a=0． 4．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．5．一元一次不等式组及其解法：几个含有同一个未知数的—元一次不等式合在—起，构成了一元一次不等式组．这几个不等式的解集的______，叫做由它们所组成的不等式组的解集．一元一次不等式组的求解是先分别求出每一个不等式的______，然后利用数轴找出它们的公共部分，进而求出不等式组的解集．6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组 （其中a<b ）图示解集口诀x ax b ≥⎧⎨≥⎩x ≥b同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x ≤a 同小取小x ax b ≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小、小大中间找 x ax b≤⎧⎨≥⎩空集小小、大大找不到7．列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案．◆典例精析 例1 解不等式2110136x x ++-≥54x-5，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形． 【解答】去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60． 去括号，得8x-4-20x-2≥15x-60 移项合并同类项，得-27x ≥-54系数化为1，得x ≤2．在数轴上表示解集如图所示．2o【点评】①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x<a 或x>a 时，不包括数轴上a 这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x ≤a 或x ≥a 时，包括数轴上a 这一点，则这一点用黑圆点表示；•④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握．例2 若实数a<1，则实数M=a ，N=23a +，P=213a +的大小关系为（ ） A ．P>N>M B ．M>N>P C ．N>P>M D ．M>P>N【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取a>1内的任意值即可；其二，•用作差法和不等式的传递性可得M ，N ，P 的关系．【解答】方法一：取a=2，则M=2，N=43，P=53，由此知M>P>N ，应选D ． 方法二：由a>1知a-1>0．又M-P=a-213a +=13a ->0，∴M>P ； P-N=213a +-23a +=13a ->0，∴P>N ．∴M>P>N ，应选D ．【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定．如，当a>1时，A 与2a-2•的大小关系不确定，当1<a<2时，当a>2a-2；当a=2时，a=2a-2；当a>2时，a<2a-2，因此，•此时a 与2a-2的大小关系不能用特征法．例3 如图,若数轴的两点A 、B 表示的数分别为a 、b,则下列结论正确的是( ) A.12b-a>0 B.a-b>0 C.2a+b>0 D.a+b>0解:由点A 、B 在数轴上的位置可知: a<0,b>0,│a │>│b │. ∴12b>0,-a>0. ∴ 12b-a>0. 故选A. 【点评】先由A 、B 两点在数轴上的位置分析出a 、b 的符号和绝对值的大小关系,再根据有理数法则进行选择.例4 如果关于x 的不等式(a-1)x<a+5和2x<4的解集相同,则a 的值为_____________. 解：2x<4的解集是x<2,故不等式(a-1)x<a+5的解集也是x<2,所以a-1>0,且51a a +-=2,故解得a=7,因此答案填7.【点评】考查同解不等式的概念。
初中数学重点梳理：一元一次不等式(组)
一元一次不等式（组）知识定位不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。
知识梳理一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。
（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。
2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。
3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b=0⇔a=b（3）a–b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。
不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。
2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
一元一次不等式的性质
一元一次不等式的性质
不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
一元一次不等式定义用不等号连接的，不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
一元一次不等式定义用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式。
不等式组1、一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
2、一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共局部，叫做这个一元一次不等式组的解集。
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
七下数学课件： 解一元一次不等式(课件)
再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x<10；
利用不等式的性质解不等式
根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：
5）-
x<-2
6）3x+5<0
5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变，
1
得- 5x×(-5)> -2×(-5)，即x>10；
>
性质三：不等式的两边乘(或除)同一个负数，不等号方向发生改变。
表示为：如果a>b，c<0，那么ac<bc (或
<
)
)
学习目标
学习目标
1、掌握不等式的性质。
2、运用不等式性质解不等式。
3、用数轴表示不等式的解集。
重点
用数轴表示不等式的解集。
难点
运用不等式的性质解不等式。
练一练
设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
【详解】
解：解不等式3x−a≤0，得x≤3，
∵不等式的正整数解是1，2，3，
∴3≤3＜4，
解得9≤a＜12．
故答案为：9≤a＜12．
解一元一次不等式
不等式(x－m)/3＞3－m的解集为x＞1，则m的值为___.
【解析】
去分母得，x﹣m＞3（3﹣m），
去括号得，x﹣m＞9﹣3m，
移项，合并同类项得，x＞9﹣2m．
∵此不等式的解集为x＞1，
∴9﹣2m=1，解得m=4．
课后回顾
课后回顾
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。
一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。
2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。
求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。
通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。
3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。
求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。
求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。
需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。
4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。
掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。
一元一次方程与一元一次不等式
第一章：一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点：1. 不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。
2. 不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3. 解不等式：把不等式变为x>a 或x<a 的形式。
4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。
5. 解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为16. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分。
法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。
”【典型例题】例1. 用不等式表示下列数量关系。
（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。
（）的与的差的相反数不小于。
2a 3525-（）的相反数的不大于的倍加。
317516x x点评：用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。
下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论.2.一元一次不等式的解法.［例1］解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解一元一次方程的步骤吗？.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.［例2］解不等式22-x ≥37x -，并把它的解集在数轴上表示出来.请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.解不等式：312 -+-x≥5解：去分母，得－2x+1≥－15移项、合并同类项，得－2x≥－16两边同时除以－2，得x≥8.有两处错误.第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变.［3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.联系：两种解法的步骤相似.区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解.例2. 有理数x、y在数轴上的对应点如图所示，试用“>”或“<”号填空：x 0 y（1）x______y （2）x＋y_____0 （3）xy____0（4）x－y______0例3. 设“A、B、C、D”表示四种不同质量的物体，在天平秤上的情况如图所示，请你用“<”号将这四种物体的质量m A、m B、m C、m D从小到大排列：_____________________________。
一元一次不等式知识点总结
一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
八年级下册数学一元一次不等式与一元一次不等式组知识点总结
一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的一个重要知识点，以下是该知识点的主要内容以及学习方法和应用：
一、定义：
1. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，可以用不等号连接的整式方程。
2. 一元一次不等式组：由几个一元一次不等式组成的方程组。
二、解题步骤：
1. 分别解每个不等式；
2. 找出解集的规律；
3. 画出数轴；
4. 根据数轴写出不等式组的解集。
三、注意事项：
1. 解不等式时要根据不等式的性质，不能丢三落四；
2. 解不等式组时要根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的原则。
四、应用：
不等式与不等式组可以应用于日常生活、工程问题、经济问题等领域，帮助我们解决实际问题。
例如，在购物时我们可以用不等式比较不同商品的价格，或者在工程问题中用不等式表示某些量的范围等。
五、练习方法：
1. 课本例题练习：通过解决课本例题来加深对一元一次不等式与一元一次不等式组的理解；
2. 课后习题练习：通过解决课后习题来巩固知识点；
3. 自测练习：自己出题并解答，以加深对知识点的掌握；
4. 专题练习：针对某一知识点进行专题练习，以加深对该知识点的理解和掌握。
六、总结：
一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的重要知识点，需要我们通过多练习来加深对知识点的理解和掌握。
同时，我们也要学会在实际问题中应
用这些知识点，以增强我们的数学应用能力。
人教版七年级数学下册《一元一次不等式》知识点
不等式知识点归纳一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。
3．当x 时，代数式52+x 的值不大于零4..若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）5.不等式x 27->１，的正整数解是6.不等式x ->10-a 的解集为x <３，则a7.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质 的含量为 _____ g三、一元一次不等式（重点）1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2．解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母 （2）去括号 （3）移项（4）合并同类项 （5）将x 项的系数化为1例：一、 判断题（每题1分，共6分）1、 a ＞b ，得a ＋m ＞b ＋m （ ）2、 由a ＞3，得a ＞23 （ ） 3、 x = 2是不等式x ＋3＞4的解 （ ）4、 由－21＞－1，得－2a ＞－a （ ） 5、 如果a ＞b ，c ＜0，则ac 2＞bc 2 （ ）6、 如果a ＜b ＜0，则ba ＜1 （ ） 二、 填空题（每题2分，共34分）1、若a ＜b ，用“＞”号或“＜”号填空：a －5 b －5； －2a －2b ；－1＋2a －1＋2b ；6－a 6－b ； 2、x 与3的和不小于－6，用不等式表示为 ；3、当x 时，代数式2x －3的值是正数；4、代数式41＋2x 的不大于8－2x 的值，那么x 的正整数解是 ； 5、如果x －7＜－5，则x ；如果－2x ＞0，那么x ； 6、不等式ax ＞b 的解集是x ＜a b ，则a 的取值范围是 ； 7、一个长方形的长为x 米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x 应满足的不等式为 ；8、点A （－5，y 1）、B （－2，y 2）都在直线y = －2x 上，则y 1与y 2的关系是 ；9、如果一次函数y =（2－m ）x ＋m 的图象经过第一、二、四象限，那么m 的取值范围是 ；易错点分析：例 解关于x 的不等式（12－a ）x ＞1－2a ． 错解：去分母，得(1－2a )x ＞2(1－2a )．将不等式两边同时除以（1－2a ），得x ＞2． 错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a )，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．正解：将不等式变形，得(1－2a )x ＞2(1－2a )．（1）当1－2a ＞0时，即a ＜12时，x ＞2； （2）当1－2a ＝0时，即a ＝12时，不等式无解； （3）当1－2a ＜0时，即a ＞12时，x ＜2．。
八年级数学一元一次不等式
(3) x 3 x 2 ． 5 2
七嘴八舌
8 3
下列解不等式过程是否正确，如果不正确 请给予改正。 x x 1 x 8 1 解不等式 x 2 3 6 去分母得 6x－3x＋2（x+1）＜6＋x＋8 去括号得 6x－3x＋2x+2 ＜6＋x＋8 移项得 6x－3x＋2x—x＜6＋8－2 合并同类项得 6x＜16 8 系数化为1，得 x〉
4 什么叫解不等式? 求不等式的解集的过程，叫做 解不等式。
5、解一元一次不等式的步骤？ 解题过程中应注意些什么？ 怎么样在数轴上表示不等式的解？
解一元一次不等式的步骤
1、去分母 2、去括号 各步骤都有哪 3、移项 些注意点呢? 4、合并同类项 5、系数化为1 把解集在数轴上表示出来
去分母 去括号
/ 家政公司
弓箭,提起佩剑朝东舌走咯过去,嘴中满是讥讽嘲笑之话.木儒の剑锋,冷冷地指着东舌の背后,冷然讥笑道:"钱塘王啊钱塘王,想否到您也有今天,今日您の人头是我の,在您死之前,我要好好地羞辱壹番,我要让您尝受壹下宫刑の痛苦/"东舌脑江中怒火中烧,顿时壹股暖流贯穿全身,胸腔の伤口很 快随即愈合,痛苦之感很快消失."滚/老子送您上天/"说时迟,那时快.刀光壹闪/东舌拔出咯腰刀,登时寒光四射,刀刃破空袭出,所有人瞬间失色.唰/壹声惊鸿匹练过后般の裂帛声,东舌壹瞬间将木儒の二弟给解决咯.望着下体鲜血迸流,壹股痛彻心扉の痛苦油然而起,木儒瞬间如同死猪壹般哀嚎 咯起来.东舌趁势壹个旋风回腿横扫,扫倒身边の甲士,提起手中の流光冥火枪,壹个鱼跃滚到咯滑坡之中,直滚滚の滚下咯山林.众人壹脸呆滞地望着东舌逃走,连神都没什么回过来/木儒面如死灰,破空痛苦地大骂:"壹帮废物/快去通知奉先,给我召集精兵精将,我誓要将那小王八蛋碎尸万段/
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练习：
设a>b,用“>”或“<”填空 ：
（1）3a > 3b； （2）a-8 > b-8 （3）-2a < -2b
（4）2a-5 >2b-5
（5）-3.5a+1 < -3.5b+1
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
( 1 )4 x 1 2 解：
4x 11 21
4x 3
x 3 4
②若a>b,则a÷c>b÷c
(c为正数)
不等式性质2：在不等式两边都乘 以或除以同一个正数，不等号的 方向不变。
填一填、想一想
在横线上填上适当的符号，并将你所得的规律 总结出来。
（1）、2 ___3 2× (-2)___3× (-2) 2× (-5)___3× (-5)
(2)、2÷ (-2)___2÷ (-2) 2÷ (-5) ___2÷ (-5)
(4)-a/4______0; (5)a2_____0;
(6)a3______0
(7)a-1______0； (8)|a|______0．
答： (1)a+2＜2，根据不等式基本性质1．
(2)a-1＜-1，根据不等式基本性质1．
(3)3a＜0，根据不等式基本性质2．
(4) -a/4>0,根据不等式基本性质3． (5)因为a＜0，两边同乘以a＜0，由不等式基本性质3， 得a2＞0． (6)因为a＜0，两边同乘以a2＞0，由不等式基本性质2， 得a3＜0．
万峪中学 党仕章
复习:用不等式表示:
⑴ a与1的和是正数;
a+1>0
⑵ y的2倍与1的和小于3;
2y+1<3
⑶ y的3倍与x的2倍的和是非负 3y+2x≥0 数
⑷ x乘以3的积加上2最多为5. 3x+2≤5
写一写: 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
○
-3 0 ⑴
X > -3
●
02 ⑵
X≥2
○
-3 0 ⑶
(7)因为a＜0，两边同加上-1，由不等式基本性质1， 得a-1＜-1．又已知，-1＜0，所以 a-1＜0．
(8)因为a＜0，所以a≠0，所以|a|＞0．
例3 判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答) (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a． 答：(1)正确，根据不等式基本性质3．
变；③若是0，原不等式就不成立。
等式的性质
1、如果 a，b
那么 acbc
2、如果 ab ，
那么 acbc
a b (c 0) cc
不等式的性质
1、如果 a b
那么：acb c
2、如那果么aacb，bcc,a0 b cc
3、如果 那么
ab,c0 acbc, a
b
cc
例1 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成 立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． (1)若a-3＜9，则 a ______12； 答： a＜12，根据不等式基本性质1． (2)若-a＜10，则a______ -10；
用“＞” 或“＜”填空，并总结其
中的规律
（1） 5 >3
（2） -1<3
5+2 > 3+2
-1+2 < 3+2
5-2 > 3-2
-1-3 < 3-3
怎样用式子表示这个不等 式呢？
①若a>b,则a+c>b+c. (c表示一个数或一个式子） ②若a>b,则a-c>b-c
归纳：
不等式性质1：在不等式两边都加上或 减去同一个数（或式子），不等号的
成立
成立
用数轴表示下列不等式的解集:
⑴ x>－1; ⑵ x≥ －1; ⑶ x< －1; ⑷ x≤ －1.
解:
○
-1 0
⑴
●
-1 0
⑵
○
-1 0
●
-1 0
⑶
⑷
总结: ①用数轴表示不等式的解集的步骤:
第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向.
方向不变。
不等式还有其它的性质吗？
请同学们先自己研究， 可以小组讨论交流。
2 1 2 3 1 3 ......
（3 ） 6>2，
65 > 25 6(-5) < 2(-5)
(4)
-2<3
(-2)6< 36
(-2)(-6) > 3(-6)
怎样用式子表示这个不等 式呢？
①若a>b,则ac>bc (c为正数)
(2)正确，根据不等式基本性质1．
(3)正确，根据不等式基本性质2． ． (4)正确，根据不等式基本性质1．
(5)不对，应分情况逐一讨论． 当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a． 当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3)
思考：
1、若 a0,ab0，则 b< 00 2、若 a0,b0，则 a < 00
( 2 ) x 5 6
解：
x 1 5 (1)
6 x5
6
( 3 )1 x 3 解：2
2 1 x 32 2 x6
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
( 1 ) x 6 ＞ y 6 ;
( 2 ) 3 x ＞ 3 y ;
不成立
不成立
( 3 ) 2 x 2 y ;
( 4 ) 2 x 1 2 y 1 .
a＞-10，根据不等式基本性质3 (3)若a/4>-1,则a ______-4 ；
a＞-4，根据不等式基本性质2．
(4)若-2a/3>0，则a ________ 0 ； a＜0，根据不等式基本性质3．
例2 已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空： (1)a+2 ______ 2； (2)a-1 ______ -1； (3)3a______ 0；
X < -3
●
0a ⑷
X ≤a
选一选:
在数轴上表示x≥－2正确的是 ( D)
●
-2
A
○
-2 0
C
●
-2 0
B
●
-2 0
D
看图说话：
a
b
+c -c
a
b
等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去） 同一个代数式，所得结果仍是等式。
看图说话：
aba源自33b你能用式子表示上边关系吗？
那么不等式是否 有和等式类似的性质呢？
不等式性质3：在不等式两边都乘 以或除以同一个负数，不等号的 方向改变。
想一想 不等式的：性质和等式的性质有什么相 同之处，有什么不同之处。应注意什 么问题？
（1）、不等式的两边同时加上或减去同一个任意 的数或式子，不等式仍然成立
（2）、不等式的两边同时乘以或除以同一个数或 式子时，千万要记住：要考虑这个式子或数的性 质符号（即是正数还是负数），①若是正数，不 等号方向不变，②若是负数，不等号的方向要改