一元一次不等式的性质

合集下载

一元一次不等式的性质

不等式的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子),不等号的方向不变.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变.（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变.（4）不等式的两边都乘以0,不等号变等号.不等式的基本性质（字母表示）1.性质1：如果a>b,那么a±c>b±c 2.性质2：如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c) 3.性质3：如果a>b,c

一元一次不等式知识点总结

一元一次不等式知识点一：不等式的概念

1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：(1)不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

一元一次不等式知识点

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1)不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

一元一次不等式(公开课优秀课件)

03 一元ຫໍສະໝຸດ Baidu次不等式的应用
在数学中的应用
求解最值问题
一元一次不等式可以用来求解函数的最值问题，通过将函数转换为不等式形式，可以找到函数的最大值或最小值。
解决几何问题
求解概率统计问题
在概率统计中，一元一次不等式可以用来解决概率、期望和方差等统计量的问题。
在几何学中，一元一次不等式可以用来解决与长度、角度和面积等相关的几何问题。
代数法解一元一次不等式的步骤包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注意不等式的性质，如不等式的可加性、可乘性、可除性和同向不
等式的可加性等。
图像法解一元一次不等式
图像法解一元一次不等式是通过绘制一元一次函数的图像来求解不等式的方法。
图像法解一元一次不等式的步骤包括：绘制函数图像、找到不等式的临界点、根据临界点判断不等式的解集。
在经济中的应用
解决供需问题
在经济中，一元一次不等式可以用来解决与供需关系、价格和产量等相关的经济问题。
解决成本效益问题
在成本效益分析中，一元一次不等式可以用来解决与成本、收益和利润等相关的经济问题。
解决金融问题
在金融学中，一元一次不等式可以用来解决与投资、风险和回报等相关的金融问题。
在物理中的应用

一元一次不等式的特点-概述说明以及解释

1.引言

1.1 概述

概述部分的内容应该是对一元一次不等式的特点进行简要介绍和概括。下面是可能的概述内容：

概述:

一元一次不等式是数学中的基础概念之一，它描述了未知数在数轴上的取值范围。不同于一元一次方程，不等式可以有无数个解，从而具有独特的特点和性质。本文将重点探讨一元一次不等式的特点及其在数学和实际问题中的应用。

一元一次不等式的特点主要体现在以下几个方面：

首先，一元一次不等式的解集通常是由一个区间或数轴上的一段区间表示。这意味着我们可以通过图形表示法直观地看出解集的位置和范围，更方便地理解问题。

其次，一元一次不等式的解集可以用不等式符号表示。这些符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)等，用于表示不同类型的

不等式。不等式符号的选择取决于问题本身的条件和要求。

此外，一元一次不等式的解集可以用数集符号表示。数集符号包括开区间、闭区间、半开半闭区间等，用于更精确地描述解集在数轴上的位置和范围。数集符号的选择取决于不等式中的不等号类型和边界条件。

最后，一元一次不等式的解集可以通过代数方法求解。我们可以利用不等式的性质和规律，运用加减乘除、移项合并等运算规则，将不等式转化为等价的形式，从而找到解集的具体表达式。

通过对一元一次不等式的特点的分析和理解，我们可以更好地应用它们解决数学问题，如解决问题的范围限制、找到满足特定条件的解等。另外，在实际问题中，一元一次不等式也有着广泛的应用，如经济学中的供需关系、物理学中的速度限制等。因此，深入了解和掌握一元一次不等式的特点对于建立数学思维和解决实际问题都具有重要意义。

一元一次不等式概念

2 工程学
不等式可以用来优化工程设计、资源利用和成本控制等工程问题。
3 社会科学
不等式可以用来研究社会结构、人口变化和社会不平等等社会科学问题。
一元一次不等式的乘除法
规则同向相乘同向相除异向相乘异向相除同向和异向指的是不等式符号的方向。
示例如果 a > b 且 c > d（c、d > 0），则 ac > bd。如果 a > b 且 c > d（c、d > 0），则 a/c > b/d。如果 a > b 且 c < d（c、d > 0），则 ac < bd。如果 a > b 且 c < d（c、d > 0），则 a/c < b/d。
一元一次不等式概念
通过本次演示，我们将深入探讨一元一次不等式的概念及其应用。我们将介绍一元一次不等式的定义、解法、性质以及与其他数学概念的关联。
什么是一元一次不等式
定义
一元一次不等式是一种数学方程，它包含一个未知数的一次项和常数项，并以不等式符号表示。
一般形式
一元一次不等式的一般形式为ax + b < c（或>、≤、≥），其中a、b和c是已知数，a ≠ 0。
一元一次不等式的等效变形
1
消去常数项
通过加减法，将常数项移到不等式的右边，变成0。

一元一次不等式

一元一次不等式是初中数学中的一个重要概念。它是一种用来描述

数之间大小关系的数学式子，由一个未知数和一个或多个常数构成。

本文将从基本概念、求解方法和应用场景三个方面介绍一元一次不等

式的相关知识。

1. 基本概念

一元一次不等式是指由一个未知数和一个或多个常数构成的不等式。一元一次不等式的一般形式为Ax + B > 0（或< 0），其中A和B为实数，且A ≠ 0。

在求解一元一次不等式时，需要注意以下几个基本规则：

- 若A > 0，则不等式两端同时乘以正数（或正数的等价形式）不改

变不等式的方向。

- 若A < 0，则不等式两端同时乘以负数（或负数的等价形式）会改

变不等式的方向。

- 不等式两端同时加（或减）同一个数值，不等式的方向不变。

2. 求解方法

对于一元一次不等式的求解，我们可以采用图像法、试值法或代数

法等不同方法。

2.1 图像法

图像法是一种直观的方法，通过绘制函数图像来确定不等式的解。对于一元一次不等式Ax + B > 0（或< 0），我们可以绘制出函数y = Ax + B 的图像，并根据图像在数轴上的位置来确定不等式的解集。

2.2 试值法

试值法是一种简单有效的方法，在不等式两边选择一些特定的数值进行代入，然后判断不等式的成立情况。通过不断尝试，最终找到满足不等式的解集。

2.3 代数法

代数法是一种更为精确的方法，它基于等价变形和性质运算对不等式进行求解。通过将一元一次不等式进行等价变形，将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集。

3. 应用场景

一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。以下是两个常见的应用场景：

一元一次不等式

一、知识点梳理

不等式及其基本性质

1．定义

凡用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．

2．性质

性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

不等式的解集

1．不等式的解集

一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．

2．解不等式

求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如5x≥15的解集为x≥3，即在数轴上(图1-1)用表示3的点及其右边部分来表示，这里的黑点表示包括3这一点．如果不等式的解集为-1≤x＜4(图1-2)，则用数轴上表示-1的点和点4的左边之间的部分来表示，这里的黑点表示包括-1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括4这一点在内．

一元一次不等式和它的解法

1．一元一次不等式

左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式．叫做一元一次不等式．

2．一元一次不等式标准形式

ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．

3．同解不等式

如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式．

4．不等式的同解原理

原理l 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式；

原理2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式；

一元一次不等式知识点

一元一次不等式知识点总结

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1) 不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

3．不等式的解集：

一元一次不等式知识点

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1)不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左侧的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左侧的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左侧的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左侧的数不大于右边的数；

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的概念能够明白，当对不等式中的未知数取一个数，假设该数使不等式成立，那么那个数确实是不等式的一个解，咱们能够和方程的解进行对照明白得，一样地，要判定一个数是不是为不等式的解，可将此数代入不等式的左侧和右边利用不等式的概念进行判定。

3．不等式的解集：

一样地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成那个不等式的解集。求不等式的解集的进程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

一元一次不等式知识点总结

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“V” (或“W” )，“〉” (或)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式

用"工”表示不等关系的式子也是不等式

要点诠释：

(1)不等号的类型:

①“工”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“〉”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“V”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“W”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(2)等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3)要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4V 1 的解集是x V5. 不等式的解集与不等式的解的

一元一次不等式的性质及解法

变形规则
一元一次不等式可以通过合并同类项、移项等变形规则进行化简。
等价变换
在解一元一次不等式时，要保证每一步变换都是等价的，即不改变原不等式的解集。常见的等价变换包括乘以非零常数、加减同一个数等。
03 解一元一次不等式基本方法
移项法求解过程演示
确定不等式的解集方向
求解
根据不等式中的不等号方向，确定解集的方向，如“>”表示解集在右侧，“<”表示解集在左侧。
应用举例
如解不等式 $x + 3 > 5$，可同时减去 3得到 $x > 2$。
乘除性质及注意事项
乘除性质
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
注意事项
在乘除运算中，要特别注意不等号方向可能发生变化，避免出错。
变形规则与等价变换
不等式表示方法
用不等号（<、>、≤、≥、≠）连接两个数或代数式。
不等式性质简述
不等式两边同时加或减去同一个数或整式，不等号方向不变。
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
一元一次不等式概念引入
一元一次不等式定义
确定参数范围
根据不等式的性质，先确定参数的可能取值范围。

（完整版）一元一次不等式知识点总结

（完整版）⼀元⼀次不等式知识点总结

⼀元⼀次不等式知识点⼀：不等式的概念

1. 不等式：⽤“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表⽰⼤⼩关系的式⼦，叫做不等式.⽤“≠”表⽰不等关系的式⼦也是不等式.

要点诠释：(1)不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁⼤谁⼩；②“＞”读作“⼤于”，它表⽰左边的数⽐右边的数⼤；

③“＜”读作“⼩于”，它表⽰左边的数⽐右边的数⼩；

④“≥”读作“⼤于或等于”，它表⽰左边的数不⼩于右边的数；

⑤“≤”读作“⼩于或等于”，它表⽰左边的数不⼤于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都⽤来表⽰现实世界中的数量关系，等式表⽰相等关系，不等式表⽰不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量⽐较所得的关系，不是同类量不能⽐较。

(3) 要正确⽤不等式表⽰两个量的不等关系，就要正确理解“⾮负数”、“⾮正数”、“不⼤于”、“不⼩于”等数学术语的含义。2．不等式的解：能使不等式成⽴的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取⼀个数，若该数使不等式成⽴，则这个数就是不等式的⼀个解，我们可以和⽅程的解进⾏对⽐理解，要判断⼀个数是否为不等式的解，可将此数代⼊不等式的左边和右边利⽤不等式的概念进⾏判断。

3．不等式的解集：⼀般地，⼀个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成⽴的未知数的取值范围,是所有解的集合,⽽不等式的解是使不等式成⽴的未知数的值.⼆者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

一元一次不等式知识点总结

一元一次不等式知识点一：不等式的概念

1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：(1) 不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

一元一次不等式知识点总结

一元一次不等式知识点一：不等式的概念

1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：(1)不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。