n阶行列式.ppt
合集下载
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
线性代数课件1-1n阶行列式的定义
03
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
线性代数课程课件-第一节n阶行列式的定义
行列式性质3
如果行列式的某行(列）的各元 素是两个元素之和，那么这个 行列式等于两个行列式的和。
行列式转置性质
行列式D的转置行列式DT等于 D，即DT=D。
行列式性质2
把行列式中某一行（列）的所 有元素都乘以一个数K，等于 用数K乘以行列式。
行列式性质4
如果行列式中有两行（列）相 同，那么行列式为零。
n阶行列式的运算规则
01
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
02
克拉默法则
如果线性方程组系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解，且解向量
可由系数行列式的各列元素唯一确定。
03
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素
性质
范德蒙德行列式的值等于$prod_{1 leq j < i leq n} (x_i - x_j)$，即所有不同两行对应元素之差的乘积。若$x_i = x_j$（$i neq j$），则范德蒙德行列式的值为零。
04 n阶行列式的性质与运算
n阶行列式的性质
行列式性质1
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
主对角线
从左上角到右下角的连线 称为主对角线，主对角线 上的元素称为主对角元素。
n阶行列式的性质
01
02
03
04
行列式转置
行列式行与列互换，其值不变 。
行列式性质
对换行列式的两行（列），行 列式变号。
行列式的数乘性质
某一行（列）的所有元素的公 因子可以提到行列式符号的外
面。
行列式的加法性质
若行列式中有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。
高等代数课件 第五节 n阶行列式的展开
D 0 aij 0 中的余子式Mij .
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1 ann
故得
aij 0 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
aij Aij .
⑶ 一般情形
a11 a12
a1n
ai1 ai2
ain
an1 an2
ann
a11
a12
a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素aij 的代数余子式．
例如
a a a 11
12
13
a14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1
anj an, j1
余子式仍然是aij在
0 ai1,n 中的
ann
线性代数课件 n阶(方阵的)行列式
例4
a11
计算上三角行列式
a12 a1n a22 a2 n ann
a11 a22
ann
a11a22 ann
注意！
d1 dn dn
-13-
d1
n( n 1) ( 1) 2 d
1d 2 d n
性质7
a11 a1k a k 1 a kk D c11 c1k c n1 c nk
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
an1
an2 ann
DT
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a n 2 a1n a 2 n a nn
1 0 0 D 2 1 0 0 1 2
1 2 0 0 1 1 DT 0 0 2
说明
行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。
3 100 204 100 100 204 200 200 395 1 200 395 1 300 600 300 300 600
-10-
性质6
把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加
到另一行对应的元素上去,行列式的值不变。 只用 ri k r j 这种变换，把行列式化为 三角形，然后计算行列式的值。
0 b11 b1n bn1 bnn
b11 b1n D2 det(bij ) , bn1 bnn
a11 a1k D1 det(a ij ) , a k 1 a kk
则 D D1 D2
-14-
例5
0 0 0 0 0 0
-1-
第1讲n阶行列式的定义与性质PPT幻灯片课件
新的列下标排列的逆序数为
，
1
则
1 ( p1... pj ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排
列的逆序数1与原列下标排列的逆序数 的奇
偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： (1)1 (1) (1) (1)r1 (1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn (1)1r a1 p1 ...a jpj ...aipi ...anpn
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
an1 an2 ... ann
简记为det(aij )。数aij称为行列式det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
称为 n 阶行列式，记作
a11 a12 ... a1n
的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
奇偶性相同，且有
(1) a1 p1a2 p2 ...aipi ...anpn (1)s aq1 a1 q2 2 ...aqj j ...aqnn
又若 pi j，则q j i(即aipi aij aqj j )，由此可见
排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
同济版线性代数课件-§3n阶行列式的定义
线性代数提供了一种系统的方法 来研究线性方程组、向量空间、
线性变换等基本概念和性质。
掌握线性代数对于理解和应用高 级数学工具，如微积分、概率论、
数值分析等具有重要意义。
行列式在线性代数中的地位
行列式是线性代数中的一个基 本概念，用于描述方阵的性质 和计算。
行列式在线性方程组、特征值、 矩阵的逆等问题的求解中发挥 着重要作用。
同济版线性代数课件 -§3n阶行列式的定 义
目录
CONTENTS
• 引言 • n阶行列式的定义 • n阶行列式的计算 • n阶行列式的应用 • n阶行列式的性质与定理 • 典型例题解析与课堂练习
01
引言
线性代数的重要性
线性代数是数学的一个重要分支， 广泛应用于各个学科领域，如物 理学、工程学、计算机科学等。
递推法
递推关系式
根据n阶行列式的特点，构造递推关 系式，通过已知的低阶行列式求解高 阶行列式。
典型递推式掌握一些典型Fra bibliotek递推式，如范德蒙德 行列式、克莱姆法则等，以便快速求 解相关问题。
数学归纳法
01
02
03
归纳假设
假设当n=k时，结论成立， 即k阶行列式满足某种性 质或等式。
归纳推理
证明当n=k+1时，结论也 成立。通常通过对k+1阶 行列式进行变换或分解， 利用归纳假设进行推导。
n阶行列式可以表示为一个n次多项式， 其变量为矩阵中的元素。
行列式的值是由其所有元素的代数余 子式通过求和计算得到的。
n阶行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等。 互换行列式的两行（列），行列式变号。
行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
第1章行列式
j1 j2 jn
和式中仅当 j1 n, j2 n 1,, jn1 2, jn 1时，
a1 j1 a2 j2 anjn 0
D
(1) (n(n1)321) n( n1)
a1na2,n1
an1
(1) 2 12 n
例9 证明上三角行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann
D1
b1 b2
a12 a22
,
D2
a11 a21
b1 b2
当D a11 a12 0时, 方程组的解可表为
a21 a22
x1
D1 D
，x2
D2 D
例1
解二元线性方程组
4xx11
3x2 3x2
5 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
1 3
D
3 (3) 4 15 0
43
方程组有唯一解.又
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
,则
DT
a12
a22
an2
.
an1 an2 ann
a1n a2n ann
性质1 行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT） 证：事实上,若记 DT=det(bij),则 bij a ji (i, j 1,2,, n)
(iii)项数为 3！=6 “-” 321 213 132 （奇排列）
推广之，有如下n 阶行列式定义
定义： n阶行列式
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
记
(1) ( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn det (aij )
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
其解是否也能用类似的行列式来表示？？
二、三阶行列式
定义
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 .列标a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
行标
上式称为三阶行列式.
对角线法则
14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 12 2x2 9x
x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
解 由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
a31 a32 a33
若记
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
排列的逆序数
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数 it is t s则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
在三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
第一章 行列式
中南财经政法大学信息系
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
D1
b1 b2a12 , aFra bibliotek2D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 21 (3) (4)(2) 4
(4) 2 (3) 2(2)(2) 114
4 6 32 24 8 4
a12 x2 a22 x2
b1, b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
D a11 a12 , a21 a22
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义
记
a11
a21
对角线法则
a12 a22
a11a22 a12a21
称为二阶行列式。
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
123，231，312 132，213，321
此三项均为正号
符号与下标 的排列有关
此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排 列及其逆序数的概念及性质。
三 全排列及其逆序数的定义
定义 由 1,2, , n 组成的一个有序数组
i1 , i2 , , in
称为一个n级排列。
n级排列的总数：n!