二次根式定义性质

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二次根式的概念和性质

基础知识

1、二次根式的定义:

我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的

算术平方根；另一个是-a

我们把形如丄的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.

2、二次根式的性质

（皿戸=“（心0）・

兀历当go时，7^=-亿

a\a^O\

-a[a<0)

3、二次根式的积的算数平方根的性质

=厲”丽

4、最后的计算结果，具有以下特点：

（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；

（2）被开方数不含分母.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式•

注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数

②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母•

③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数)

题型一、二次根式的概念和条件

【例1】

______ 时.二次根式2有意义*

【例2】【.】

围内有意义.

(〕> \/2J_ I $ (2) 1 ；

(3) J工_ ] + y/2—x)(4) J—仝*

【分析】令各个二次根式的被幵方數大于或寻于牢•再解之即可.

【例3】

(宜若中考)F列武子没右意义的楚

【例4】

<2016 -孕做中君)便二次根式/『一1有意义的J的取值範閘是

他心1 B, .r> 1 C,.r

【例5】

(广州中考)已知| 口一l|十十柠=0・则口一A等于( ) A.—8 B.—6 (\ 6 IX 8

二次根式定义性质

运算性质
在实数范围内，二次根式可以进行加减乘除四则运算，但需要注意运算过程中的定义域和
值域问题。
03
二次根式运算规则
加减运算规则
同类二次根式
只有被开方数相同的二次根式才能直接进行加减运算。
合并同类项
将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变。
示例
√2 + 2√2 = 3√2，√3 - √3 = 0。
掌握二次根式的定义和性质，能够正确地进行二次根式的化简和运算。
学习意义
二次根式是数学中的重要概念，在解决数学问题中经常遇到。掌握二次根式的定义和性质，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。同时，二次根式也是后续学习其他数学知识的基础，如解二次方程、求函数的导数等。
02
二次根式基本概念
07
总结与展望
学习成果总结
二次根式定义
掌握了二次根式的定义，即形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的代数式，其中被开方数$a$是非负数。
二次根式性质
理解了二次根式的性质，包括非负性、乘法定理、加法定理等，并能够运用这些性质进行二次根式的化简和计算。
运算技巧
通过大量的练习，熟练掌握了二次根式的加、减、乘、除四则运算技巧，并能够快速准确地完成相关计算。
判别式法
通过计算判别式Δ=b²-4ac的值，判断方程的根的情况。当Δ>0 时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实

二次根式的概念和性质

二次根式与有理数的关系
二次根式与有理数存在着紧密的关系。有理数可以表示为二次根式的特殊形式，而二次根式也可以化简为有理数的形式。理解这种关系可以帮助我们更好地处理二次根式的运算和问题。
胡克定理和三角不等式
胡克定理
三角不等式
胡克定理描述了弹簧的弹性变形与所受力的关系，可以用二次根式的形式表示。
二次根式的运算法则
加减法
二次根式加减法遵循同底同幂原则，将根号内的数值进行合并，然后进行相应操作。
乘除法
二次根式乘除法时，可以通过有理化的方法将根号内的数值转化为有理数，然后进行相应操作。
化简
化简二次根式是将一个二次根式转化为另一种形式，通常是将根号内的数值合并或提取出满足条件的因式。
二次根式的概念和性质
二次根式是代数中的一种重要形式，表示为一个数的平方根。学习二次根式的概念和性质，将帮助我们更好地理解和运用这一概念。本章将系统介绍二次根式的相关内容。
什么Baidu Nhomakorabea二次根式？
二次根式是一个数的平方根，如√2、√5等。它们在代数和几何中都有重要的应用。通过学习二次根式的性质，可以深入理解数学中的平方根概念。
三角不等式是数学中一条基本不等式，可以用二次根式的形式表示。它在几何和代数中都有应用。
二次根式的图像及其性质
二次根式的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。通过研究二次根式的图像特性，我们可以了解它的曲线形状、对称性以及其他重要的几何性质。

二次根式的概念及性质

对于大多数人来说，学习数学常常会遇到许多难题，其中包括

二次根式。在本文中，我们将会详细探讨二次根式的概念及性质，以便更深刻地理解这一数学概念。

一. 二次根式概念

二次根式，也就是平方根式，是指表达式中含有平方根的式子。例如，我们可以将$\sqrt{2}$看做二次根式。二次根式是一种特殊

的无理数，也就是说它不能写成分数形式。

二次根式具有以下一些重要特征：

1. 二次根式中的数值通常是无理数，因此不能表示为分数形式。对于非完全平方数，无法化约，只能用$\sqrt{a}$表示。

2. 满足乘方的指数法则:$\sqrt{i} \times \sqrt{j} = \sqrt{ij}$。

3. 满足加减的公式:$\sqrt{i} \pm \sqrt{j}$是不能合并的。

二. 二次根式性质

在接下来的内容中，将讨论二次根式的乘法、开方以及化简。

乘法

我们来看一下下面这个式子:$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})$。这是二次根式的乘法公式，可以化简为$ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}$。简易的乘法公式可概述为:

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

同理，

$$(a-b)\times \sqrt{c} = a\sqrt{c}-b\sqrt{c}$$

开方

当对一个平方根求值时,我们要找到它的平方是多少。找到它的平方根就是简单的数学操作。举个例子，如果是$\sqrt{9}$，平方是9，所以它的平方根就是3.而如果是$\sqrt{a^2 + b^2}$，则无法

初中数学二次根式知识点

一、二次根式的定义和性质

1.二次根式的定义：如果a是一个非负实数且x≥0，那么关于a的二次根式定义为√x=a，记作√x=a。

-a称为二次根式的系数，x称为二次根式的被开方数。

-当x=0时，√0=0。

-当a=0时，√x=0。

2.二次根式的运算规则：

-加减法：当二次根式的被开方数相同时，只需对二次根式的系数进行加减运算，然后再带上相同的被开方数，例如√3+√3=2√3 -乘法：二次根式的乘法运算可以将系数相乘，被开方数相乘，即(√a)*(√b)=√(a*b)。

-除法：二次根式的除法运算可以将系数相除，被开方数相除，即(√a)/(√b)=√(a/b)，其中b≠0。

-简化：可以将二次根式进行简化，即将被开方数中的平方数提取出来，并在二次根式的系数前面加上被提取的平方数的根号。

3.二次根式的混合运算规则：

-当二次根式与整数进行加减乘除运算时，可以将整数看作是系数为1的二次根式。

-当二次根式与整数进行乘法运算时，可以将整数乘到二次根式的系

数上。

-当二次根式与整数进行除法运算时，可以将整数看作是系数为1的

二次根式，并将被除数除以整数。

二、二次根式的化简和合并

1.化简二次根式的方法：

-提取平方因子：将被开方数中的平方因子提取出来，并与系数相乘，然后将其平方根与提取的平方因子的平方根相乘。

-有理化分母：对于分母中含有二次根式的分数，可以通过乘以分子

分母的共轭形式，将分母化成有理数的形式。

2.合并含有相同根号的二次根式：

-必须满足被开方数相同。

-合并时只需对二次根式的系数进行加减运算，然后再带上被开方数。

二次根式的概念和性质

基础知识1、二次根式的定义：

我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的算术平方根；另。

一个是a

我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

2、二次根式的性质

3、二次根式的积的算数平方根的性质

4、最后的计算结果，具有以下特点：

（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；

（2）被开方数不含分母.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.

注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.

②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.

③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.

题型一、二次根式的概念和条件

【例1】

【例2】

【例3】

【例4】

【例5】

【例6】

题型二、二次根式的性质【例7】计算

【例8】

【例9】

【练一练】

4、

5、

6、

7、

题型三积的算数平方根的性质

【例10】

【例11】

【例12】

【例13】

【例14】

题型四二次根式的化简

【例题精析】

【例15】

【例16】

【例17】

【例18】

【练一练】

4、

5、6、6、

7、

二次根式的定义和性质.

代数式我们称这样的式子为 .
化简下列各式:
(1)(3 2 ) (2 3 )
2
2
(2) (5) ( 5 )
2 2
2
(3) m 16m 64(m 8) (4) a b (a 0, b 0)
2 2
实数p在数轴上的位置如图所示，化 2 简 2 (1 p) 2 p
1 a 1 2 3 a 3
1 2 1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
二次根式有意义：被开方数为非负数
练习2、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1
2
(2) 3x x 0
=0，则 a 2b =_____。
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1
你能求出a+b 的值吗？
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在
a
象限.
4、2+ 的最小值为＿＿，此时 x的值为＿＿。
检测：指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 4 bb 0 5 a 2a 2
3
3
21
6 7
3
a bab 2 2 8 x 1 5m
检测：2 要使下列式子有意义，x需要满足什么条件？

2、二次根式的定义及性质

二次根式的定义与性质

二次根式基本知识点

a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1

）

2,(0)a a =≥ （2）==a a 2

（3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=

（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中

各因式的算术平方根的积. （4）商的算术平方根的性质b a b

a =（0≥a ，0>

b ），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

注：

注一：二次根式的概念

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以0a ≥

0a ≥）的非负性

0a ≥）

表示a 的算术平方根，

0a ≥）

0≥（0a ≥）这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，

0=，则a=0,b=0；

||0b =，则a=0,b=0；

20b =，则a=0,b=0。

0=，则2018()x y +=____________ a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

注三：二次根式2的性质：

,(0)a a =≥

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、 a 是正数还是负数。

若是正数或0，则等于a ||,(0)a a a ==≥

二次根式的概念和性质是什么

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!

二次根式的概念和性质

定义

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：

被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式

最简二次根式条件：

1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;

2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：

1.把带分数或小数化成假分数;

2.把开方数分解成质因数或分解因式;

3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;

4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;

5.约分。

算术平方根

非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质

1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有

分母存在。

2. 零的平方根是零，即 ;

3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。

6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。

二次根式的定义及性质

1、二次根式的定义

形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式

（1）式子中含有二次根号“”；

（2）a 可以表示数也可以表示代数式

（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02

≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。

2、二次根式的主要性质（1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a

a a a

、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

方法:①单项二次根式：利用a =来确定．

②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b

a -=-+来确定．

如

: a

4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式最简二次根式的条件

①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。

5、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式

6、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab

7、除法公式：)0,0______(>≥=b a b

a ；反之：)0,0______(>≥=

b a b a 8、合并同类二次根式：__________

________;=-=+a n a m a n a m

形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式

二次根式的概念和性质

一、二次根式的概念和性质

二次根式

0a ≥）的式子叫做二次根式.

说明：（1）被开方数是正数或

0；（20a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 2.

二次根式的性质：

（10；（2）2(0)a a =≥；（3

(0)

(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

；

（4）当0a ≥

时，2

=二、最简二次根式

最简二次根式

最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：

（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．

说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．

三、二次根式的加减同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减

二次根式

知识点

同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

合并同类二次根式：

(

a b =+ 分母有理化

分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．

互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．

0．

四、二次根式综合运算

二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．

注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．

二次根式的概念和性质是什么

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!

二次根式的概念和性质

定义

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的平方根，记作x=。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：

被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式

最简二次根式条件：

1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;

2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：

1.把带分数或小数化成假分数;

2.把开方数分解成质因数或分解因式;

3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;

4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;

5.约分。

算术平方根

非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质

1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的

算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣;最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即;

3. 负数的.平方根也有两个，它们是共轭的。如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如:。

二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程

二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程二次根式是高中数学中的一个重要知识点，它具有广泛的应用背景。本文将从定义、性质以及简化与化简的方法三个方面来介绍二次根式，并通过示例演示其应用过程。

一、二次根式的定义

二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。√a读作"根号a"，表示a的非负平方根。例如，√9=3，√16=4。

二次根式的定义性质：

1. 非负性质：√a≥0，即二次根式的值不小于零。

2. 封闭性质：如果a≥0，那么√a也是非负实数。

二、二次根式的性质

了解二次根式的性质，有助于我们在运算过程中灵活应用。以下是

二次根式的常见性质：

1. 拆分性质：√(a×b)=√a × √b，其中a、b分别为非负实数。这意味

着我们可以将根号下的乘法拆分为两个根号的乘积。

2. 合并性质：√(a+b)≠√a + √b。二次根式不满足普通的加法性质，

不能将根号下的两个数相加。

3. 有理化性质：有时候会遇到分子或分母含有二次根式的分数。为了消除分母中的二次根式，可以采用有理化的方法，即将二次根式的分母有理化为有理数。

三、二次根式的简化与化简方法

简化二次根式意味着将二次根式转化为最简形式，即化简得去掉根号下的平方数。

化简二次根式的方法：

1. 分解质因数法：将根号下的数按照质因数分解，然后将成对的质因数提取出来，剩下的数保留在根号内。

例如，对于√72，我们可以将72分解为2^3 × 3^2，然后取出成对的2和3，得到2 × 3√2，即简化为2√2。

2. 合并同类项法：对于根号下的数，如果有相同的因子，可以将它们合并在一起。

二次根式的概念和性质

基础知识

1、二次根式的定义：

我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作,a，称为a的

算术平方根；另一个是・.a

我们把形如2的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.

2、二次根式的性质

(a >0)・当时.你=-仇

a（a^O

）

3、二次根式的积的算数平方根的性质

4、最后的计算结果，具有以下特点：

(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；

(2)被开方数不含分母.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式• 注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数

②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母•

③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数) 题型一、二次根式的概念和条件

【例1】

出g吋，二次根式J工一2冇意义.

【例2】【•】

(1)后二B <2)/7+7：

(3)寸庶_ r + ^/2—x ； ( 4) J—邪［【分析】李各个二次根式的被开方

龜大于或争于零■再解丈即可.

【例3】

｛宜苟中詈)下列式子滋有意艾的是(

A* \! —3 B, 7^ (” JT I'.、JI—1 尹

【例4】

(2016、Z中和便二次根成/I=T有总义的丄的取值范屈足

(

A” 才HI B, ,r> 1 (\ O 丈3】

【例5】

(广州中考)已in|a-1| + /7 + /> = 0t则理十心等于

A. -8 氏一6 C. 6 1X8

二次根式的定义和基本性质

二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。

二次根式的定义：

二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。当x小于0时，√x是一个虚数。在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。

基本性质：

1. 非负数的平方根：

对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。

2. 平方根的乘法：

对于非负实数a和b，有以下运算规则：

√(a * b) = √a * √b

例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6

3. 平方根的除法：

对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：

√(a / b) = √a / √b

例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.5

4. 平方根的加法与减法：

对于非负实数a和b，有以下运算规则：

√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。

例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √5

5. 平方根的乘方：

对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：

(√a)^n = a^(1/n)

例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 3

6. 平方根的传递性：

对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。

例如，√4小于√9，因为4小于9。

通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。