高一数学数列求和6

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高一数学《等比数列的求和公式》PPT课件

a 2 ,q3 1
例 4 ：已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n项和， S3, S9 , S6成等差数列，求证： a , a , a 成等差数列。 2 8 5
证明： S3 , S9 , S6成等差数列 S3 S6 2S9
当 q 1 时， S 3 a , S 6 a , S 9 a 3 1 6 1 9 1
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为： q 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
…① …②
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得： Sn-qSn=a1-a1qn

n y 1 n 1 n y y
练习 : 求下式的和（ 2 3 5 ) ( 4 3 5 ) ( 6 3 5 ) ... ( 2 n 3 5 )

高一数学数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、

4、

5、

[例1] 已知

，求

的前n项和.

解：由

由等比数列求和公式得

（利用常用公式）＝

＝

＝1－

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

的最大值.

解：由等差数列求和公式得

，

（利用常用公式）

∴

＝

∴ 当

，即n＝8时，

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用

于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：

………………………①

解：由题可知，{

}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{

}的通项之积

设

………………………. ②（设制错位）

①－②得

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例4] 求数列

前n项的和.

解：由题可知，{

}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

}的通项之积

设

…………………………………①

………………………………②（设制错位）

①－②得

（错位相减）

∴

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个

数列求和的基本方法归纳

教师：王光明

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪

⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n n

3、)1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(61

2++==∑=n n n k S n

k n

5、21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用

公式）

＝x x x n --1)1(＝2

11)21

1(2

1--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

高一数学《数列求和》教案

城东蜊市阳光实验学校数列求和

姓名____________

【知识要点】

23333(1)1232n n n +⎡⎤+++

+=⎢⎥⎣⎦。例2.在数列{}n a 和{}n b 中，1a =2，且对任意自然数1,30,n n n n a a b +-=是n a 与1n a +的等差中项，求{}n b 的各项和

例3．102n n a n =++，求n n a a a S +++= 21

练习4．求数列

n 9999,999,99,9的前n 项和例5．求和()()23110741--+++-+-=n S n

n 例6．数列{}n a 的通项公式**65,21()4,2()

n n n n k k N a n k k N ⎧-=-∈=⎨=∈⎩。〔1〕求数列

{}n a 的前2n 项的和。〔2〕求数列{}n a 的前n 项的和。

练习7.数列{}n a 中，32(15)3.2

(6)n n n n a n +≤≤⎧=⎨≥⎩，求n S =123...n a a a a ++++ 例8．求和()11+=n n a n

求n n a a a S +++= 21 练习9．求()()1111133557

2121n S n n =++++-+ 练习10.求和234993!4!5!

100!

++++. 例11．n n n a 2=求n S 练习12.求数列110

,4000,300,20,1-⋅n n 的前n 项和例13．求和：12323n n n n n n

S C C C nC =++++；

作业

1.数列1,2,3,4,,99,100,---的前200项的和为()

等差等比数列求和公式(2024高考必考)

等差等比数列求和公式（2024高考必考）等比数列求和公式

通项公式 an=a1×q^(n-1)

求和公式 a1(1-q^n)/(1-q)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)

求和公式推导

(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

(2)qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

(3)Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

(4)a(n+1)=a1q^n

(5)Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

等差数列求和公式

Sn=n(a1+an)/2

Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n

末项=首项+(项数-1)×公差

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=末项-(项数-1)×公差

和=(首项+末项)×项数÷2

末项:最后一位数

首项:第一位数

项数:一共有几位数

和:求一共数的总和

高中数学学习方法

明晰概念

高中数学中的概念是比较严谨的，各个定义间都有很强的逻辑联系，逐个理解后就应把概念记牢，高考的选择题会涉及这方面的内容，而某些解答题也会由于概念定义所限而由繁变简，掌握好概念之后，有利于基础打牢，要做到“明晰”，关键是要多查书，勤查书，不要一知半解。

刻苦练习

熟能生巧，对数学而言，也是如此。做题能提高对题型的熟识度，对技巧的熟识度，以及计算的准确度。而以上这些，会大大提高解题速度和准确率。而练习，也是要掌握方法的，习题太易，会使人生厌;习题太难，会让人胆怯。

调整状态

状态对于考生来讲，非常重要，考试中状态的差异，会带来成绩上巨大的波动。一般考前一段时间，老师会发很多练习以强化训练，而实际上，状态的调整因人而异。有的人在训练之后对题目很厌烦，即使在考场上题目会做，往往草草

高一数学辅导--求数列通项与求和

一．求数列通项常用方法：

1.已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n

2（n ∈N +），求n a .

2.求数列

的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足112,12

n n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。

4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

5.已知数列{}n a 中，51=a ,1123+++=n n n a a ，求n a 。

6.设n S 为{n a }的前n 项和，n S =

3（n a －1），求n a （n ∈N +）

二．数列求和常用方法：

1.求数列

311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S

2.求和111112123123n +

++++++++++ 。

3.求数列

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.

4.求数列9，99，999，… 的前n 项和n S

5.求和S n =23133353(21)3n n ∙+∙+∙++-∙

6.求和23135212222

n n n S -=

++++

三．综合问题：

1.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥

（1）求{}n a 的通项公式;（2）求n S

2.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，

(Ⅰ)设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)设数列),2,1(,2

高一数学六七章知识点

在高一数学的六七章节中，我们学习了许多重要的数学知识点，涵盖了数列、数列的通项公式、数列的求和、基本概率与排列组

合等内容。这些知识点在数学学习中起到了至关重要的作用，能

够帮助我们更好地理解和应用数学知识。

一、数列

数列是数学中非常重要的一个概念，它是按照一定的规律排列

的一列数。在学习数列时，我们了解了等差数列和等比数列两种

常见的数列形式。

等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。我们可以通过

找到通项公式来确定等差数列的第n项，也可通过已知数列的前n 项来求解等差数列的通项公式。

等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。与等差数列类似，我们也可以通过通项公式和已知数列的前n项来求解等比数列。

二、数列的通项公式

数列的通项公式是一个十分重要的概念，它能够把一个数列的每一项都用一个公式来表示。在学习数列的通项公式时，我们需要先观察数列规律，寻找递推关系，然后利用这一关系得到通项公式。

对于等差数列而言，通项公式的一般形式为an=a1+(n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。

而对于等比数列而言，通项公式的一般形式为an=a1*q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。

通过掌握数列的通项公式，我们可以方便地求解数列中任意一项的值。

三、数列的求和

在解决实际问题时，有时候我们需要计算数列的前n项和。在数列的求和过程中，我们涉及到了等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。

对于等差数列而言，求和公式的一般形式为Sn=(n/2)(a1+an)，其中Sn表示等差数列的前n项和。

高一数学等差数列求和公式

等差数列是常见数列的一种，也是高一数学课本的主要内容，下面是店铺给大家带来的高一数学等差数列求和公式，希望对你有帮助。高一数学等差数列求和公式

公式Sn=(a1+an)n/2

Sn=na1+n(n-1)d/2;(d为公差)

Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2)

和为Sn

首项a1

末项an

公差d

项数n

通项

首项=2×和÷项数-末项

末项=2×和÷项数-首项

末项=首项+(项数-1)×公差

项数=(末项-首项)(除以)/公差+1

公差=如：1+3+5+7+……99公差就是3-1

d=an-a

性质：

若m、n、p、q∈N

①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq

②若m+n=2q，则am+an=2aq

注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。

高一数学等差数列知识点

高一数学学习方法

做题之后加强反思，做到知识成片，问题成串。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。俗话说：“有钱难买回头看”。一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此，应该

适当地多做题。但是，只顾钻入题海，堆积题目，在考试中一般也是难有作为的。所以要把自己学到的知识合理地系统地组织起来，要总结反思，这样高中数学水平才能长进。

积累高中数学资料随时整理，要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，区单元测验，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，数学复习资料才能越读越精，一目了然。

配合老师主动学习，高一新生的学习主动性太差是一个普遍存在的问题。小学生，常常是完成了作业就可以尽情地欢乐。初中生基本上也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知做作业是绝对不够;老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明。因此，高中新生必须提高自己学习数学的主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

高一人教A版必修五数学课件：2.5.2 混合数列求和 (共12张PPT)

解由题得 an＝2n－3n－1，
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝211－－22n－3·nn2＋1－n
＝2n＋1－n3n2＋5－2.
课堂达标检测
5. 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn＞0，且 b1＋b2＋b3＝15，又 a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列． (1)求数列{anbn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.
跟踪训练 2 求和：22－1 1＋32－1 1＋42－1 1＋…＋n2－1 1，n≥2，n∈N*.
解 ∵n2－1 1＝n－11n＋1＝12n－1 1－n＋1 1，
∴原式＝121－13＋12－14＋13－15 ＋…＋n－1 1－n＋1 1
变式：
＝121＋12－n1－n＋1 1＝34－2n2nn＋＋11(n≥2，n∈N*)．
＋ 2×2n－1 －(2n－1)×2n
＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以 Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.
题型四并项求和
例 4 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．解当 n 为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)＝ ] 2·n2＝n. 当 n 为奇数时，

数列求和的8种方法

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）

一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和

分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(611

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和.

解：由2

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）

等差数列的求和PPT课件

3
知识新授
1、Sn

na1

n(n
1)d 2

d 2
n2

(a1

dBaidu Nhomakorabea2
)n
当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.
4
例1、已知数列{an}的前n项和为
Sn

n2

1 2
n, 求这个数列的通项
公式，这个数列是等差数列吗？
若Sn

n2

1 2
n
1呢？
5
2、若数列{an}的前n和Sn＝pn2＋qn，那么数列{an}是等差数列吗？
首项为 3
2
，公差为
3 2
,
项数为8.
11
课后作业
作业：P46习题2.3 A组：5；B组2，3，4 ；《学海》第6课时
12
2019/9/18
13
高一数学必修五第二章《数列》
2.3 等差数列的前n项和第2课时
1
复习巩固
1. an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d 2.等差数列前n项和公式:
Sn

n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1 2
2
复习巩固
已知一个等差数列的前4项和为21，末4项和为67,前n项和为286，求数列的项数n.

高中数学数列求和教案模板

数列求和

数列求和常见的几种方法：

（1）公式法：①等差（比）数列的前n项和公式；

1n(n1)21222n2nn(

123......6②自然数的乘方和公式：123......n（2）拆项重组：适用于数列

1n)(21)an的通项公式an bn cn，其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方；

（3）错位相减：适用于数列an的通项公式an bn cn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；

（4）裂项相消：适用于数列a的通项公式：akn n n(n1),a1n n(n k)（其中k为常数）型；

（5）倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.（6）

分段求和：数列an的通项公式为分段形式

二、例题讲解

例

1、（拆项重组）求和：311254718......[(2n1)12n]

练习1：求和Sn122334......n(n1)

例

2、（裂项相消）求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和

练习2：求S11n11212311234...1123...n

例

3、（错位相减）求和：1473n222223...2n

练习3：求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)

例

4、（倒序相加）设f(x)4x4x2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求：f(11001)f(21001)f(31001)...f(xxxx)的值

a3n2(n4)例

5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(n N*)求数列an的前n项和Sn

检测题

数列求和基本方法技巧

数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）

＝x

x x n

--1)1(＝

11)

1(21--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

等差数列求和-学生版

高一数学等差数列求和

一、考点、热点回顾

1.等差数列

等差数列的通项公式：或；递推公式： .

2.从函数的角度思考等差数列：n a 是关于n 的

3.等差中项

（1）如果a A b 、、成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 .

（2）如果212

n n n a a a +++=对任意正整数n 都成立，则数列{}n a 是 . 4.等差数列的性质（1）若{}n a 是等差数列且m n p q +=+，（,,,mnpq ∈N *）则有_____________.

(2) 若{}n a 是等差数列且2m n k +=，（,,m n k ∈N *）则有______________.

5.等差数列的设项技巧

若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为________________，若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为_____________________.

6.等差数列求和所用方法--倒序相加：S n = = .

7.如果数列{}n a 的前项n 项和n S 是关于n 的二次函数，那么这个数列是等差数列吗？

8.等差数列前n 项和的性质：n n n n S S S S 232n ,,S --仍成等差数列，公差为。

9.等差数列前n 项和与通项公式的关系：{1

,1,11=--=n S n S S n n n a ＞

二、典型例题

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

高中等差数列求和公式有哪几种

等差数列求和公式有哪几种

等差数列公式an=a1+(n-1)d

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2

若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2

若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq

若m+n=2p则：am+an=2ap

以上n均为正整数

文字翻译

第n项的值an=首项+(项数-1)×公差

前n项的和Sn=首项+末项×项数(项数-1)公差/2

公差d=(an-a1)÷(n-1)

项数=(末项-首项)÷公差+1

数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数

数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2

等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列

等差数列相关公式

第n项=首项+(项数-1)__公差

项数=(末项-首项)/公差+1

公差=(末项-首项)/(项数-1)

通项公式推导：

a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d……an-a(n-1)=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)__d→an=a1+(n-1)__d。

前n项和公式为：Sn=a1__n+[n__(n-1)__d]/2

Sn=[n__(a1+an)]/2

Sn=d/2__n?+(a1-d/2)__n

注：以上n均属于正整数。

等差数列求和解题技巧

一.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

高一数列归纳知识点总结

数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学研究中的一个基本对象。在高一阶段，数列的学习是数学学习的一个重要内容。本文将从数列的定义、常见数列的特点以及数列的求和公式等方面进行归纳总结。

一、数列的定义与表示方法

1. 数列的定义：

数列是按照一定的顺序排列起来的数的集合，其中每个数称为数列的项。

2. 数列的表示方法：

（1）通项公式表示法：数列可以通过一个解析式来表示，该解析式可以计算出数列中各项的具体数值。

（2）递推公式表示法：数列可以通过一个递推公式来表示，该递推公式利用前一项或前几项来递推求得后一项。

二、常见数列的特点与分类

1. 等差数列：

等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。常用通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 等比数列：

等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。常用通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 斐波那契数列：

斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。通常用

F(n)表示第n项，前两项分别为F(1) = 1，F(2) = 1。

4. 平方数列：

平方数列是指数列中每一项都是某个整数的平方的数列。例如1，4，9，16，25，...

5. 等差-等比混合数列：

等差-等比混合数列是指数列中同时满足等差和等比条件的数列。

通常用an表示第n项，其通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + (n-1)d。

三、数列的性质与求和公式

1. 数列的有界性：

数列可以是有界的，即存在一个上界或下界，也可以是无界的。