极坐标参数方程导学案(一)
极坐标和参数方程的典型例题
极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。
极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。
例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。
圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。
这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。
例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。
抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。
根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。
这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。
例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。
考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。
首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。
根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。
极坐标、参数方程
极坐标、参数方程知识概念见导学单一、重要概念、基础知识回顾（可以适度填空形式回顾知识点）自主填空：1直角坐标方程与极坐标方程的互化利用： x = 2ρ=y = tan θ=2、直线与圆的极坐标方程：1.若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=-2.圆心是A （0ρ，0θ），半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+＝ 参数方程的定义：3一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数 4直线圆椭圆的参数方程：1、过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。
2、圆22020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）二、思想方法归纳（老师给出本周典型例题类型，通过例题体现重要的思想方法）（见导学案讲义）例1: 1、在极坐标系中，求过点M (4,6π)且平行于极轴的直线的极坐标方程。
2、(1) ．化曲线的直角坐标方程x 2=2p (y ＋2p ) (p >0)为极坐标方程。
(2) ．化曲线的极坐标方程ρ2=sin2θ为直角坐标方程。
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极坐标与参数方程教案极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为．有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点．极点O的坐标为.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆的参数方程可表示为. 椭圆(ab0)的参数方程可表示为. 抛物线的参数方程可表示为.经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用例1、（1）点M的极坐标化为直角坐标为（）BA．B．C．D．（2）点M的直角坐标为化为极坐标为（）BA．B．C．D．评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点的极坐标为．（2）在极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为（）A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为．有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点．极点O的坐标为.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆的参数方程可表示为. 椭圆(ab0)的参数方程可表示为. 抛物线的参数方程可表示为.经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用例1、（1）点M的极坐标化为直角坐标为（）BA．B．C．D．（2）点M的直角坐标为化为极坐标为（）BA．B．C．D．评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点的极坐标为．（2）在极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为（）A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y：综合运用例1、以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
极坐标与参数方程导学案1
专题复习 选修4-4 坐标系与参数方程（导学案）考纲要求1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。
3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。
4. 了解参数方程，了解参数的意义。
5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
$必备知识方法必备知识1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 3．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，)． !4．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．题型一极坐标方程及其应用例1 (2013·北京高考)在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．}注意：直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法． 变式探究1. (2012·江苏)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．￥题型二、极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程互化例2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .!(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．变式探究2．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． 》(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．题型三、参数方程及其应用 ）例3、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．变式探究3已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值为________．}内容小结：破解坐标系与参数方程的“雕虫小技”• 将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则．作业布置：二轮复习资料配套练习。
极坐标系与参数方程(第1课时)
《10.3极坐标系与参数方程》（第1课时）一、学习目标1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.5.了解参数方程，了解参数的意义.6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读材料完成右边的学习内容【教材梳理】1. 极坐标系(1)在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个________.设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ. 有序数对(ρ，θ)叫做点M的________，记为M(ρ，θ).一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数.(2)一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________. 特别地，极点O的坐标为________(θ∈R). 和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有________表示.如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用________极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是________的.2. 极坐标和直角坐标的互化(1)把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ). 从图中可以得出它们之间的关系：__________________________.由上式又得到下面的关系式：__________________________.这就是极坐标与直角坐标的互化公式.(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍). 一般只要取θ∈________就可以了.3. 简单曲线的极坐标方程(1)曲线的极坐标方程的定义一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程.(2)常见曲线的极坐标方程①圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为________________________________________________________________________；②圆心为(r ，0)，半径为r 的圆的极坐标方程为____________________________⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2； ③圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆的极坐标方程为 (0≤θ<π)；④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为______________________________；⑤过点(a ，0)(a ＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为____________________________⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2； ⑥过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程为 ______________________________(0<θ<π).【自查自纠】1. (1)极点 极轴 逆时针 极坐标系 极径 极角极坐标(2)同一个点 (0，θ) 无数种 惟一 惟一确定2. (1)⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0） (2)[0，2π) 3. (1)f (ρ，θ)＝0 (2)①ρ＝r ②ρ＝2r cos θ ③ρ＝2r sin θ④θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ⑤ρcos θ＝a⑥ρsin θ＝a判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆. ( )(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( )(3)过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为θ＝π3(ρ≥0). ( )解：(1)×； (2)√； (3)×；(2019江苏卷)在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B (2，π2)，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离.解：(1)设极点为O . 在△O A B 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2， 由余弦定理，得A B ＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5. (2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3， 则直线l 过点⎝⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4. 又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.三、巩固诊断考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )， 依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋(y 2)2＝1， 故曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ. 【点拨】 ①解答该类问题应明确两点：一是平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解. ②求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入转化.在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A(13，－2)经过φ变换后所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程.解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2， 所以x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1. 所以点A ′的坐标为(1，－1).(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， 所以y ′＝x ′为所求直线l ′的方程.考点二 极坐标与直角坐标的互化(2021届四省八校高三第一次联考)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标中，曲线C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2：ρ2cos2θ＝2，点A(2，－π)，B (2，2π).(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设P 是曲线C 1，C 2的公共点，求点P 的极坐标以及|P A|－|PB |的值.解：(1)曲线C 1，C 2的极坐标方程分别变形为C 1：12ρsin θ－32ρcos θ＝－1，C 2：(ρcos θ)2－(ρsin θ)2＝2. 所以C 1，C 2的直角坐标方程分别为C 1：3x －y －2＝0，C 2：x 2－y 2＝2.(2)将3x －y －2＝0和x 2－y 2＝2联立消去y ，得x 2－23x ＋3＝0，则x ＝3，y ＝1，所以P (3，1)，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. 由题设知，A ，B 两点是双曲线C 2的左、右焦点.所以由双曲线定义可知|P A|－|PB |＝2 2.【点拨】 ①极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度. ②直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ上垂直于极轴的两条切线方程.解：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.考点三 直线、圆的极坐标方程(2020届四川泸州四诊)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图(如图)，其中的4个小圆均过边长为2的正方形的中心O ，且内切于正方形的两邻边，现以O 为极点，O A 为极轴建立极坐标系.(1)求圆O 1的极坐标方程；(2)若射线l 1：θ＝π6(ρ≥0)和l 2：θ＝2π3(ρ≥0)与图中阴影部分边界有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形Ω，求该几何图形Ω的面积. 解：(1)依题意，A B ＝2，所以OB ＝2，设圆O 1的半径为r ，则r2－r ＝sin45°，即2r ＝2－2r ，解得r ＝22＋2＝2－2，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2＋2)2＝(2－2)2，即x 2＋y 2－2(2－2)y ＝0，又⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2－2(2－2)ρsin θ＝0，即ρ＝2(2－2)sin θ，所以圆O 1的极坐标方程为ρ＝2(2－2)sin θ.(2)圆O 2的直角坐标方程为(x ＋2－2)2＋y 2＝(2－2)2，则圆O 2的极坐方程为ρ＝－2(2－2)cos θ，当θ＝π6时，ρ1＝2(2－2)sin π6＝2－2， 当θ＝2π3时，ρ2＝－2(2－2)cos 2π3＝2－2， 所以Ω的面积S ＝12ρ1ρ2＝12×(2－2)×(2－2)＝3－2 2. 【点拨】 求简单曲线的极坐标方程的方法：①设点M (ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解||OM 与θ的关系. ②先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程.(2021届广西钦州一中高三月考)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.解：(1)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝1，化简得ρ＝2cos θ，即为圆C 的极坐标方程. (2)设P ，Q 两点的极坐标分别为P (ρ1，θ)，Q (ρ2，θ)，因为直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3， 将θ＝π3代入ρ(sin θ＋3cos θ)＝33得， ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3×12＝33，即ρ2＝3； 将θ＝π3代入ρ＝2cos θ得，ρ1＝2cos π3＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝2.四、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。
高考复习极坐标与参数方程-导学案(教师版)
极坐标与参数方程环节１ 明晰高考要求高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用,突出极坐标以及参数方程的几何用法,考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力,命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。
主要考查四类题型：① 极坐标系中,极坐标的几何意义的应用真题示例题１ (２01７年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1) M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (2） 设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值. 【解析】(１)设()00,M ρθ,(),P ρθ，则0OM ρ=,OP ρ=，依题意016ρρ=，00cos 4ρθ=,0θθ=, 解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=()0x ≠.常规方法：曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ，则4tx y =16=, 将224x y x +=(0x ≠),即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠．（2）连接2AC ,易知2AOC ∆为正三角形,OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,如图，过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大max 12S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2= 别解：设(),B ρθ(0ρ>),由题意知2OA =,4cos ρθ=,所以OAB ∆的面积1sin 2S OA AOB ρ=⋅∠4cos sin 3πθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭2sin 223πθ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭当12πθ=-时,S取得最大值2, 所以OAB ∆面积的最大值为2+．题2 (２０15年课标Ⅱ文理）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，(t 是参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=，3C:ρθ=． (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0和322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=（ρ∈R ，0ρ≠）,其中0απ≤<. 因为A 的极坐标为()2sin ,αα,B的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,当56πα=时,AB 取得最大值,且最大值为4． ② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用真题示例题1 (2０１7年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数）.(1） 若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2） 若C 上的点到l求a .【解析】（１)1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2219x y +=, 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭． （２）直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ， 则P 到l距离d ==，其中3tan 4ϕ=. 当40a +≥即4a ≥-时,max d ==即917a +=,解得8a =． 当40a +<即4a <-时,maxd ==解得16a =-． 综上,16a =-或8a =．题2 (2017年江苏）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数),曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=，因为P 在曲线C上，设()22,P s ,故点P 到直线l 的距离224s d -+==,当s=,min 5d =， 因此当P 的坐标为()4,4时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取得最小值5. ③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数t 几何意义的应用真题示例题１ 【2018全国二卷２2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，直线的参数方程为(为参数). （1)求和的直角坐标方程；(2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率.(1)曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时,的直角坐标方程为, 当时，的直角坐标方程为．(2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，,则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ,故, 于是直线的斜率xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-题2【20１8全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与交于两点．（１）求的取值范围;(2)求中点的轨迹的参数方程. (1)的直角坐标方程为．当时，与交于两点. 当时，记,则的方程为与交于两点当且仅当,解得或，即或． 综上，的取值范围是. （2)的参数方程为为参数，.设，,对应的参数分别为，,，则,且,满足. 于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，. ④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决真题示例题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =lO ||1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t α=P (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.（1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.（２)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =．经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验，当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点． 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+． 题6 (2017年深圳二模）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆Ｃ的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(1）求圆心C 的直角坐标;（2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值． 解析:(I ）θθρsin 2cos 2-= ,θρθρρsin 2cos 22-=∴, …………(2分) 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）即1)22()22(22=++-y x ,)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………(５分） (II ）方法１:直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t , …………(８分) ∴直线l 上的点向圆Ｃ引的切线长的最小值是62 …………(１0分)方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线, …………(８分）圆心Ｃ到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-环节2 问题自主解决 1回归教材题组１ 人教A 版选修4－4 P12 课本习题编选：题1 在极坐标系中,132511(4,),(4,),(4,),(4,)6666ππππ-表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？题２已知点的极坐标分别为2(3,),(2,),(4,),()4322ππππ，求它们的直角坐标题3已知点的直角坐标分别为7),(,0),(2,2--,求它们的极坐标 问题自主探索：① 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么? ② 极坐标的几何意义是什么?题组2人教A 版选修4-4 P15 课本习题编选：题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？ (1)5ρ= （2)5()6R πθρ=∈ （３）2sin ρθ=（４）sin()124πρθ-= （５)2sin cos ρθθ= （6）2cos 24ρθ= 题２ 将下列直角坐标方程化成极坐标方程(1）4x = (2）2320x y +-= （3）22(1)(4x y -+= （4）22148x y += 题3 在极坐标系中，求适合下列条件的曲线的极坐标方程（1）过极点,倾斜角是3π的直线 (2)圆心在(1,)4π，半径为1的圆(3)过点(2,)3π，且和极轴垂直的直线 (4）过点)4π，且与2320x y +-=垂直的直线题4 设点P 的极坐标为11(,)ρθ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程题 5 已知椭圆的中心为O ,长轴、短轴的长分别2,2(0)a b a b >>,,A B 分别为椭圆上的两点，并且OA OB ⊥,求证：2211OAOB+为定值问题自主探索:① 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么？② 求解曲线极坐标方程,你是怎么处理的?它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗? ③ 极坐标的几何意义是如何应用的?题组3 人教A 版选修４-４ Ｐ２5-３4 课本例题编选 题１把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数) （２） sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线(１）22(1)(2)4x y -+-= （2)221169x y +=题3 在椭圆22194x y +=上求一点M ,使点M 到2100x y +-=的距离最小,并求出最小距离。
新人教版高中数学选修4-4《极坐标与参数方程》优质教案
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。
圆锥曲线----极坐标与参数方程(导学案)
圆锥曲线------ 极坐标系与参数方程【目标】:1、掌握点的极坐标与直角坐标的互化；2、掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、会把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题解决；4、掌握曲线的参数方程与普通（直角坐标）方程的互化；5、会参数方程解决曲线的交点与最值问题。
坐标系一、知识要点1. 对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，则ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，点M 的极坐标是 。
2. 极坐标与直角坐标的互化公式：x = ，y = ，2ρ = ， θtan = 。
3. 特殊的圆的极坐标方程: r,2cos ,2sin ,cos sin a a a b ρρθρθρθθ====+4. 特殊的直线的极坐标方程：sin ,cos ,(R),a a ρθρθθαρ===∈ 二、例题与练习1. 点M 的直角坐标是 (1-，则M 点的极坐标为（ ）2.(2,).(2,).(2,).(2,2),()3333A B C D k k Z πππππ-+∈2. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 .3. 在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．4. 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为______________.5. 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程是π4cos 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
现以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则圆C 的半径是 ，圆心的直角坐标是 。
6.极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为 ．7. 在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是__ _ _.8. 已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,则圆心到直线距离为 ．9. 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；10. 在极坐标系中，直线π3θ=（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=+θ交于A 、B 两点，则AB = ．11. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是12. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 ，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是 ．13. 已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.14. 极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是_____．15. 在极坐标系中，过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为 ．参数方程一、知识要点1． 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 x f (t),y g(t),=⎧⎨=⎩,并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
极坐标与参数方程学案
极坐标与参数方程专题复习一、教学目标1、理解坐标系的作用。
了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2、会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。
4、了解参数方程,了解参数的意义；5、能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程;6、掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题。
二、重点难点1、教学重点：能进行极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化；2、教学难点:能进行极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化；三、教学策略与方法师生互动法、自主学习法、小组讨论探究、一帮一导师制四、教学过程（二）、课前自主导学：1、要点梳理：(1)点的极坐标与直角坐标的相互转化公式，当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合,两种坐标系中取相同的长度单位时,点的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：错误!错误!（2）柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式： ①柱坐标化为直角坐标公式：错误!②球坐标化为直角坐标公式：⎩⎨⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，，z ＝r cos φ（3）参数方程：①参数方程的定义:在取定的坐标系中。
如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数（tT) （1）这里T 是的公共定义域。
并且对于t 的每一个允许值.由方程（1）所确定的点。
都在这条曲线上;那么(1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。
②过点倾斜角为的直线的参数方程（I)（t 为参数）（i ）通常称(I ）为直线的参数方程的标准形式.其中t 表示到上一点的有向线段的数量。
t>0时，p 在上方或右方；t<0时，p 在下方或左方,t=0时，p 与重合.（ii)直线的参数方程的一般形式是：（t 为参数）这里直线的倾斜角的正切（时例外）。
极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用
极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t的几何意义的应用1.（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系。
已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2求M、N两点。
Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值。
解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x。
用代入法消去参数求得直线l的普通方程x-y-2=0.Ⅱ）直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2（t为参数），两曲线相交于M、N两点。
代入y2=4x，得到t1=-4，t2=6.则|PM|+|PN|=|t1+t2|=10.2.（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为x=t+1，y=t-1（t为参数），点A的极坐标为（2，π/4），设直线l与圆C交于点P、Q两点。
1）求圆C的直角坐标方程；2）求|AP|•|AQ|的值。
解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆。
2）点A的直角坐标为(2,2)，所以点A在直线l上。
把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t-2=0.由韦达定理可得t1=-2，t2=1.根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=2.3.（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)。
I）求直线l和C的普通方程；II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，-2），求||PA|-|PB||的值。
解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，所以直线l的普通方程为：x-y+2=0.圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)，所以圆C的直角坐标方程为：(x-2)2+y2=16.II）直线l的参数方程为：x=tcosθ+tsinθ，y=tsinθ-tcosθ-2（t为参数）。
极坐标与参数方程导学案
2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
【教学重点】了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
【教学难点】会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 【学习方法】学案导学法
【合作探究1】 平面直角坐标系中的伸缩变换
例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y ，
(1)求点A (1
3，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；
(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；
(3)求双曲线C ：x 2
－y 2
64
＝1经过φ变换后所得到的曲线C ′的焦点坐标．
思维升华 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝λ·x λ>0 ，
y ′＝μ·y μ>0 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
【学后反思】。
极坐标与参数方程教案
极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化 【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =； 5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,2pt x 2为参数⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M 的极坐标)32,5(π化为直角坐标为（ ）B A ．)235,25(--B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)235,25( （2）点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）B A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(π D ．)6,2(π 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点()22-，的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在)4A(1,π，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化 成直角坐标方程为（ ）A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4【解析】将ρ=22y x +，sin θ=22yx y+代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.（2）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. ①把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式1：极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆【解析】原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.变式2：在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-【解析】A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切．例3、在极坐标系中，已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．变式2、在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．例4、极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________；变式1、把极坐标方程cos()16πρθ-=化为直角坐标方程是 ．变式2、在极坐标系中，圆心在)π且过极点的圆的方程为_ .变式3、在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB _________ _．题型二：参数方程的互化和应用例1、若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .变式1、设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______变式2、已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
极坐标与参数方程知识点+典型例题与详解(可编辑修改word版)
⎩ ⎩ 极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即⎧x = ⎨y = f (t ) f (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin（t 为参数）其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论．○1 ．设 A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝．t A + t B．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ．22. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：x = x 0 + r cosy = y 0 + r s in（为参数）3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：x = a c os y = b s in（为参数） （或x = b c os ）y = a s in中 心 在 点 （ x0,y0） 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程⎧x = x 0 + a cos ,⎨y = y + b sin (为参数） .4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：(t B - t A ) - 4t ⋅ t2A B○2 0x = a s ec （为参数） （或x = b tg）y = b tgy = a s ec5. 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x = 2 pt 2 y = 2 pt（t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x ，y ），倾斜角为的直线的参数方程是⎧x = x 0 + t cos（t 为参数）．⎨⎩ y = y 0+ t sin（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用
极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．2．（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0．由韦达定理可得t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．3．（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程；（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值．解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为：，因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17，则：||PA|﹣|PB||=，=．4．（2018•内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B 两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，得，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分）∴===3．…（10分）5．（2018•上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2=4，得t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2tcosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，=因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．6．（2018•武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．解：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，即直线l的普通方程为；因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）2=4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0，由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，∴==．∵，cos2α∈（0，1]，，当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为．7．（2018•洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）8．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．②当直线的斜率存在时，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．9．（2018•合肥二模）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解（Ⅰ）曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．即x2=2ay（a＞0）．（Ⅱ）将代入x2=2ay，得，得．∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|•|PN|，即，∴，即，解得a=0或．∵，∴．10．（2018•芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值．解：（1）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），消参得曲线C1的普通方程为x+y﹣a﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，即y2=2x．………（5分）（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+1﹣2a=0，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，∴，解得a=．………（10分）11．（2018•深圳一模）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．在以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|PA|=3|PB|．求a的值．解：（Ⅰ）直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．转化为直角坐标方程为：4x﹣3y﹣4a+3=0．曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，转化为直角坐标方程为：y2=8x．（Ⅱ）设A、B的两个参数为t1和t2，则：，整理得：，所以：．由，解得：．由|PA|=3|PB|．则：t1=3t2或t1=﹣3t2，当t1=3t2时，，解得：．当t1=﹣3t2时，，解得：．故：．极坐标与参数方程专题（2）——极坐标系下ρ意义的应用1．（2018•顺德区一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．2．（2018•内江一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．3．（2016•晋中一模）已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．4．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．5．（2018•城关区校级模拟）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．解：（1）由，得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得到曲线C的普通方程是．…（5分）（2）因为，所以，由OA⊥OB，设A（ρ1，α），则B点的坐标可设为，所以===．…（10分）6．（2018•衡阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线OB的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．7．（2018•全国I模拟）在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，记P的轨迹为曲线C；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l与C的极坐标方程；（2）设A的极坐标为（2，），点B在曲线C上，△OAB的面积为，求B点的直角坐标．解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，∴直线l的极坐标方程为l：ρcosθ=4．设P（ρ，θ），（ρ＞0），M（ρ1，θ），（ρ1＞0），则ρ1cosθ=4，∵M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，∴|OM|•|OP|=ρρ1=16，∴ρ=4cosθ，ρ＞0，∴C的极坐标方程为ρ=4cosθ，ρ＞0．=|AO|•|BO|sin∠AOB=（2）依题意设B点极坐标为（4cosα，α），则S△ABO=2|sin（2α﹣）﹣|=，解得，此时B（2，），或α=﹣，此时B（2，﹣），化为直角坐标为B（3，）或B（1，﹣）．8．（2018•石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y=+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r==2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），==4sin（）sin（）=2sinθcosθ+2=sin2θ+=2sin（2）+，当时，，所以△MON面积的最大值为2+．极坐标与参数方程专题（3）——求取值范围或最值1．（2018•曲靖二模）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．解：∵曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，∴=3，∴曲线C1的直角坐标方程为．∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4．（2）∵曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，圆心（0，2）到曲线C1：的距离d==4，P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，∴|PQ|的最小值为：d﹣r=4﹣2=2．2．（2018•赤峰模拟）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，求|MN|的最大值．解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2=1，∵曲线C2的极坐标方程为．∴=4cosθ+4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的普通方程为4x+4y﹣1=0．∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程4ρcosθ+4ρsinθ=1．（2）∵曲线C1：x2+y2=1的圆心为C1（0，0），半径r1=1，曲线C2：x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心C2（2，2），半径r2==2，|C1C2|==2，∵设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，∴|MN|的最大值为：|C1C2|+r1+r2=2=4+1．3．（2018•洛阳三模）已知直线l的极坐标方程为，现以极点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（2）若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为（2，2），求|AP|+|BP|的最小值．解：（1）直线l的极坐标方程为，∴，即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0；曲线C1的参数方程为（φ为参数）．∴曲线C1的普通方程为（x+1）2+（y+2）2=4．（2）∵点P在直线x+y=4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等．曲线C1是以（﹣1，﹣2）为圆心，半径r=2的圆．∴|AP|min=|PC1|﹣r=．所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．4．（2018•黑龙江模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）5．（2018•孝义市一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ=16，又ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2+4y2=16，即．设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4=0．设M（2cosθ，sinθ），则点M到AB的距离为，∴△MAB面积的最大值为．6．（2018•思明区校级模拟）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4，∵正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），∴B点的坐标为（2cos120°，2sin120°），即B（﹣1，），C点的坐标为（2cos240°，2sin240°），即C（﹣1，﹣）．（2）∵圆C2：x2+（y+）2=1，∴圆C2的参数方程，设点P（cosα，﹣），0≤α＜2π，∴|PB2|+|PC|2=+（cosα+1）2+sin2α=16+4cosα﹣4sinα=16+8cos（），∴|PB2|+|PC|2的范围是[8，24]．7．（2018•河南一模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），∴，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为=0．（2）设z=，圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）8．（2018•湖南三模）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2=1∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．∵曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．即ρ2=﹣2ρsinθ，∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2=﹣2y，即x2+（y+1）2=1，∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d==．∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα=时，d max=．∴|PQ|max=d max+r=+1=．9.（2018•大庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．10．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．。
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极坐标参数方程复习学案（一）
【高考要求】：（1）坐标系
①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变
化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角
坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标
中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的
方程。
理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义
(2)参数方程
①了解参数方程，了解参数的意义
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
【教学目标】：
1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将
极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极
坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。
}
2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系
的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立
坐标系有哪些方便之处。
3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的
兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实
践能力。
【自主探究】
已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ
=⎧⎨=⎩． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程；
（2）化圆的方程为普通方程；
（3）求直线l 被圆截得的弦长．
)
【巩固练习】
1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。
,
、
2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,
x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极
坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当
α=2
π时，这两个交点重合. )
（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.
.
【课堂小结】
【课后作业】
已知极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρ=θ，
曲线2C
的参数方程为：x 2cos y =θ⎧⎪⎨θ⎪⎩
（θ为参数），曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．。