函数极值与导数解析
导数与函数的极值解析与归纳
导数与函数的极值解析与归纳导数和函数的极值是微积分中的重要概念，对于函数的研究和应用
都有着重要的意义。在这篇文章中，我们将探讨导数与函数的极值，
并对其进行解析与归纳。
一、导数的定义与性质
导数可以看作是函数变化率的极限，它的定义可以用以下公式表示：\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]
其中，\(f'(x)\) 表示函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处的导数。导数具有以下
性质：
1. 导数存在性：当函数在某点可导时，该点的导数存在；
2. 导数与函数图像：导数的值可以用来描述函数图像在某点的切线
斜率；
3. 导数与函数极值：导数为零的点可能是函数的极值点。
二、函数的极值与导数
函数的极值可以分为最大值与最小值，即函数在某个区间内取得的
最大值和最小值。在寻找函数的极值时，我们可以利用导数的性质。
1. 极值的必要条件
若函数在某点 \(x_0\) 处取得极值，则导数在该点的值为零或不存在。
2. 求导数与解析表达式
要求得函数的导数，我们可以先找到函数的解析表达式，然后对其求导。例如，对于多项式函数：
\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\]
我们可以通过幂函数的求导法则得到：
\[f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + ... + a_1\]
3. 导数与极值的关系
当函数在某点的导数为零时，该点可能是函数的一个极值点。根据导数的定义，我们可以得到极值点的关键条件为：
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
导数与函数的极值、最值问题(解析版)
【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】
类型一利用导数研究函数的极值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；
第二步求方程'()0f x =的根；
第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值.
例1已知函数x x
x f ln 1
)(+=
，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值.
【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2
,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232
a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩
⎨⎧=-=33b a ．?
当⎩⎨⎧=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．?当⎩⎨⎧-==11
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值
一、知识梳理
1.函数的极值与导数
形如山峰形如山谷
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
二、例题精讲 + 随堂练习
考点一利用导数解决函数的极值问题
角度1根据函数图象判断函数极值
【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D
规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.
函数的导数与极值问题知识点总结
函数的导数与极值问题知识点总结函数的导数与极值问题是数学中的重要概念，涉及到数学分析的基
本思想和方法。在本文中，我们将对函数的导数与极值问题进行总结
和讨论。
一、导数的定义与性质
在微积分中，导数是描述函数变化率的重要工具。导数的定义如下：对于函数y = f(x)，如果极限$$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$$存在，则称该极限为函数f(x)在点x处的导数，记作
f'(x)，即$$f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$$。
函数的导数具有以下基本性质：
1. 导数存在的条件是函数在该点可导；
2. 导数反映了函数在每一点的斜率，可以用来描述函数的变化趋势；
3. 导数可以通过求导法则来求取，包括常数倍法则、和差法则、乘
积法则、商法则等。
二、函数导数的计算方法
1. 基本函数的导数计算：
- 常数函数的导数为零；
- 幂函数的导数可通过幂函数求导法则来求取；
- 指数函数的导数等于指数函数本身与自然对数的乘积；
- 对数函数的导数为其自变量的倒数；
- 三角函数的导数可根据三角函数的导数公式求取。
2. 复合函数的导数计算：
- 复合函数的导数可通过链式法则来求取，即将复合函数视为两个函数的复合，然后分别求导并相乘。
三、极值问题的判断与求解
函数的极值问题是导数与函数的关系密切相关的。通过分析函数的导数的性质，我们可以判断函数的极值类型，并进一步求解极值点。
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值
【基础知识回顾】
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数
f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()
A.1
B.2
高中数学 第一章1.3.2 函数的极值与导数讲解与例题 新
1.3.2 函数的极值与导数
问题导学
一、求函数的极值
活动与探究1
求下列函数的极值：
(1)f (x )＝x 3
－12x ；
(2)f (x )＝2x
x 2＋1
－2．
迁移与应用
求函数f (x )＝ln x
x
2的极大值．
利用导数求函数极值的步骤：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；
(3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化．
①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
②如果由负变正，则f(x0)是极小值；
③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．二、函数极值的逆应用
活动与探究2
已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的另一个极值．
迁移与应用
1．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( )
A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4
2．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________．
(1)已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
①常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解．
②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
(2)对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．
导数与函数的极值、最值
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
方法技巧：（1）熟悉函数极值点叙述中的隐含条件.如“f(x)在x=a
时取得极大值b”即“f′(a)=0，f(a)=b”；“x=a是函数f(x)的极值点”
也即“f′(a)=0”；“x=a是f(x)在［m，n］上的极值点，”也即 “f′(a)=0，或x=a是方程f′(x)=0在［m，n］上的一个根”等. （2）求f′(x)=0的根，列表呈现x在不同区间变化时，f′(x)的符 号与函数f(x)的函数值变化情况是求函数极值、最值的基本步骤，
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
1 3 【变式探究】 1.求函数 f(x)＝－3x ＋2ax2－3a2x＋1，(0＜a＜1) 的极大值．
解：因f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，且0＜a＜1，
当f′(x)＞0时，得a＜x＜3a；当f′(x)＜0时得x＜a或x＞3a. ∴f(x)的单调递增区间为(a,3a)，单调递减区间为(－∞，a)和 (3a，＋∞)． 故当x＝3a时，f(x)有极大值，其极大值为f(3a)＝1.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
(3)原题可转化为：方程 a＝(1＋x)－ln(1＋x)2 在区间[0,2]上恰好 有两个相异的实根． 2 令 g(x)＝(1＋x)－ln(1＋x) ，则 g′(x)＝1－ ，令 g′(x) 1＋x
函数的极值与导数
例3:下列函数中，x=0是极值点的函数 是(
B
)
2 B.y=x
3 A.y=－x
C.y=x2－x
D.y=1/x
分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一 个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断 x=0是否是极值点，只要看 x=0点两侧的导数 是否异号就可以了。
例4:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处 有极值，求a、b的值
C)
A.函数在闭区间上的极大值一定比 B.函数在闭区间上的最大值一定是
极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ 2
6 ， 6
则f(x)无极值
D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
例6、求函数y e cos x的极值。
x
【思考交流】
导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是导 数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数 的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极 值点的必要非充分条件.
知识回顾
1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
王新敞
奎屯 新疆
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
２、用导数法确定函数的单调性时的步骤是
导数与函数的极值、最值 解析版
导数与函数的极值、最值
【考试提醒】
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.掌握利用导数研究函数最值的方法.
4.会用导数研究生活中的最优化问题．
【知识点】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f′(a)=0；而且在点x =a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x= b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f （x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f （x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)
专题3.5 导数与函数的极值、最值
1．函数的极值与导数
条件
f ′(x 0)＝0
x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0
x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0
图象
极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点
x 0为极大值点
x 0为极小值点
2．函数的最值
(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．
【题型1 根据函数图象判断极值】
【方法点拨】
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点.
【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（）
A．3个驻点B．4个极值点
C．1个极小值点D．1个极大值点
【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质．
【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．
故选：C．
导数与函数的极值和最值
第十一讲函数的极值和最值与导数
一、函数极值：
1.定义一般地，设函数)
(x
f
y=在
x
x=及其附近有定义，如果)
(
x
f的值比
x附近所有各点的函数值都大，我们说)
(
x
f是函数)
(x
f
y=的一个极大值；如果)
(
x
f的值比
x附近所有各点的函数值都小，我们说)
(
x
f是函数)
(x
f
y=的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
注：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
1
x
是极大值点，
4
x是极小值点，而)
(
4
x
f>)
(
1
x
f。
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
2.判别与求法
假设
x使0
)
(
=
'x
f，那么
x在什么情况下是的极值点呢？
如上左图所示，若
x是)
(x
f的极大值点，则
x两侧附近点的函数值必须小于)
(
x
f。因此，
x的左侧附近)
(x
f只能是增函数，即0
)(>
'x
f。
x的右侧附近)
(x
f只能是减函数，即0
)(<
'x
f，同理，如上右图
所示，若0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
导数与函数的函数极值定理详解
导数与函数的函数极值定理详解函数的极值是函数在某个区间上最大或最小的值。函数的极值点则
是函数取得极值的点。函数的极值点与导数息息相关，导数可以帮助
我们确定函数的极值点所在位置。在本文中，我们将详细讨论导数与
函数的函数极值定理，揭示其中的原理和应用。
一、导数的定义和性质
在我们深入探讨导数与函数的函数极值定理之前，我们先来回顾一
下导数的定义和性质。
1. 导数的定义
给定函数$f(x)$，若极限$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 存在，
则称该极限为函数$f(x)$在$x$处的导数，记作$f'(x)$。
2. 导数的几何意义
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率。通过导数的概念，我们可以研究函数的变化趋势和曲线的形状。
3. 导数的性质
（1）常数的导数为零：$\frac{d}{dx}c=0$，其中$c$为常数。
（2）幂函数的导数：$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$，其中$n$为实数。
（3）指数函数的导数：$\frac{d}{dx}a^x=\ln a\cdot a^x$，其中
$a>0$，$a\neq 1$。
（4）对数函数的导数：$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$。
二、函数的极值定理
函数的极值定理是导数与函数极值之间的重要联系。它指出，若函数在某个区间内可导，且导数在该区间内既大于零又小于零，那么函数在该区间内必然存在极值点。
具体而言，如果函数在某个区间上连续，且在该区间某一点
$x_0$处导数大于零，在该点左侧导数小于零，在该点右侧导数又大于零，那么函数在点$x_0$处必然存在极小值。
导数与函数的极值、最值讲义
导数与函数的极值、最值讲义
题型一：用导数求解函数极值问题
命题点1：根据函数图象判断极值
典例 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 命题点2：求函数的极值
典例 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． 命题点3：根据极值求参数
典例 (1)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________．
(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间)3,2
1(上有极值点，则实数a 的取值范围是 思维升华 函数极值的两类热点问题
(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )
2021届高考数学(理)考点复习：导数与函数的极值、最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习
导数与函数的极值、最值
1．函数的极值与导数
条件
f ′(x 0)＝0
x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0
x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0
图象
极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点
x 0为极大值点
x 0为极小值点
2.函数的最值
(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 概念方法微思考
1．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分
2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？
提醒 不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．
1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；
（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解析】（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11
()1x f x lnx lnx x x
-'=
+-=-，
y lnx =单调递增，1
y x
=
单调递减，()f x ∴'单调递增， 又f '（1）10=-<，f '（2）1412022
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函数的极值与导数练习
基础篇
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-10所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()
图1-3-10
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B[依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
【答案】C[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．]
3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()
A．－4 B．－2
C．4 D．2
【答案】D [∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.
当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.]
4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) 过（1,4）f ′(1)=0 过（3,0）f ′(3)=0
A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x
B ．y ＝x 3－6x 2＋9x
C ．y ＝x 3－6x 2－9x
D ．y ＝x 3＋6x 2－9x
【答案】B [∵三次函数过原点，故可设为 y ＝a x 3＋bx 2＋cx ， ∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c .
又x ＝1,3是y ′＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋3＝－2b 31×3＝c 3
，即⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－6，
c ＝9
∴y ＝x 3－6x 2＋9x ，
又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3) ∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ，
当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.]
5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)
) A ．00
D ．b <1
2
【答案】A [f ′(x )＝3x 2
－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′(0)＜0，
f ′(1)＞0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－3b ＜0，3－3b ＞0，
解得0
D ． 二、填空题
6．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________.
【答案】 －2
∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
∴⎩⎨⎧
f ′(1)＝3，f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23 ＝0，即⎩⎨⎧
3＋2a ＋b ＝3，
43＋4
3a ＋b ＝0.
解得a ＝2，b ＝－4， ∴a ＋b ＝2－4＝－2.
7．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为________. 导函数有大于零的解
【答案】 (－∞，－1) ∵y ＝e x ＋ax ，
∴y ′＝e x ＋a ，令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )，又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.
8．若直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是_______．
【答案】 (－2,2)
令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，则极大值为
f (－1)＝2，
极小值为f (1)＝－2.如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点． a=2或-2两个点 a>2或a<-2一个点 －2＜a ＜2三个点 改：方程x 3－3x=a 解的个数
三、解答题
9．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；
(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由. 【答案】 f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由根与系数的关系知 ⎩⎪⎨⎪⎧
－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1，
②
又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③
由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.
法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0， ① 3a －2b ＋c ＝0，
② 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，
③
由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－3
2. (2)f (x )＝12x 3－3
2x ，
∴f ′(x )＝32x 2－32＝3
2(x －1)(x ＋1)． 当x ＜－1或x ＞1时f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.
∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数．
∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数