离散数学 半群和独异点
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离散数学 群
{a*a1, a*a2 , …, a*an}S,
又由对任意的ai , aj∈S，若a*ai=a*aj, 可推得ai=aj. 所以a*ai互不相同，即
{a*a1, a*a2, …, a*an}=S
又S中有幺元e,故必存在某个ak∈S,使 a*ak=e. 又*可交换，a*ak=ak*a=e, 即a-1=ak, 由a任意，每个元素都可逆，即 <S,*>是群，又因可交换，故是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b 说明a*b也是等幂的，故a*bH，即*对于H是封闭的。 故 <H,*>是<S, *>的子含幺半群。
4 循环半群
定义7.1.4 给定半群<S,*> (或含幺半群<S,*,e> ), 若存在g∈S，对任意a∈S，都有n∈N，使得a=gn， 则称该半群为循环半群（或循环含幺半群）。 称g为循环半群的生成元，亦称元素g生成了循环半群。 例 代数系统<I+, +>是个循环半群，它的生成元是1. 例7.1.8 P172 循环半群证明
又由对任意的ai , aj∈S，若a*ai=a*aj, 可推得ai=aj. 所以a*ai互不相同，即
{a*a1, a*a2, …, a*an}=S
又S中有幺元e,故必存在某个ak∈S,使 a*ak=e. 又*可交换，a*ak=ak*a=e, 即a-1=ak, 由a任意，每个元素都可逆，即 <S,*>是群，又因可交换，故是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b 说明a*b也是等幂的，故a*bH，即*对于H是封闭的。 故 <H,*>是<S, *>的子含幺半群。
4 循环半群
定义7.1.4 给定半群<S,*> (或含幺半群<S,*,e> ), 若存在g∈S，对任意a∈S，都有n∈N，使得a=gn， 则称该半群为循环半群（或循环含幺半群）。 称g为循环半群的生成元，亦称元素g生成了循环半群。 例 代数系统<I+, +>是个循环半群，它的生成元是1. 例7.1.8 P172 循环半群证明
离散数学-11半群与群-1(课件模板)
举例（考虑例11.1）， (1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。 (2)<Mn(R),+>是群,而<Mn(R),·>不是群。因为并非所有的n阶实矩
阵都有逆阵。 (3)<P(B),>是群，因为对任何B的子集A，A的逆元就是A自身。 (4)<Zn,>是群。0是Zn中的单位元。x∈Zn，若x＝0，x的逆元就
•为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵
令
T
a 0
0 0
a R
10
0 1
则T S，且T对矩阵乘法•是封闭的，
所 易所以见以在<<TT,<, •T•,>,•是>中V10 1存＝00在<>S也着,•构>自的成己子一的半个单群独位。异元点 10。
0 0
，
但它不是V2=<S,•,e>的子独异点，因为V2中的单位元
证明：先证a-1b是方程ax＝b的解。 将a-1b代入方程左边的x得 a(a-1b)＝(aa-1)b＝eb ＝b
所以a-1b是该方程的解。 下面证明唯一性。 假设c是方程ax＝b的解，必有ac＝b，从而有
3-5＝(3-1)5＝(-3)5＝(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)＝-15
阵都有逆阵。 (3)<P(B),>是群，因为对任何B的子集A，A的逆元就是A自身。 (4)<Zn,>是群。0是Zn中的单位元。x∈Zn，若x＝0，x的逆元就
•为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵
令
T
a 0
0 0
a R
10
0 1
则T S，且T对矩阵乘法•是封闭的，
所 易所以见以在<<TT,<, •T•,>,•是>中V10 1存＝00在<>S也着,•构>自的成己子一的半个单群独位。异元点 10。
0 0
，
但它不是V2=<S,•,e>的子独异点，因为V2中的单位元
证明：先证a-1b是方程ax＝b的解。 将a-1b代入方程左边的x得 a(a-1b)＝(aa-1)b＝eb ＝b
所以a-1b是该方程的解。 下面证明唯一性。 假设c是方程ax＝b的解，必有ac＝b，从而有
3-5＝(3-1)5＝(-3)5＝(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)＝-15
离散数学-半群
（commutative semigroups）。
（2）当S中元素均可约时，称 S为可约半群
（cancelable semigroups）．
（3）称S中元素a是b的因子（factor），如果
有S中元素c，d，使 b = ac，b＝da． （4）在可约交换独异点<S,•,e>中，若a是b的
因子，同时 b又是 a的因子，那么称a, b相伴
x,
f
(w))
其中wS,xA 。
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
✓定理11.5
设<S,•,e1>和<T,,e2>为两个自由独异点， A,B分别为它们的生成集， 且 A = B ，那么<S,•,e1>和<T,,e2>同构。
.
半群
1.3 半群及高斯半群
➢定义11.3
设<S，>为一半群，那么
（l）当 满足交换律时，称<S，>为交换半群
（相伴关系等价类）． （3）S的相伴类具有相同的基数．
.
半群
1.3 半群及高斯半群
✓ 定理11.8 可约交换独异点
<S，, e>的商半群 <S/～，, [e]~>（～为 相伴关系）为一可 约交换独异点，且 S/～ = S /[e]~ .
➢ 定义11.4 设<S,, e>为可
（2）当S中元素均可约时，称 S为可约半群
（cancelable semigroups）．
（3）称S中元素a是b的因子（factor），如果
有S中元素c，d，使 b = ac，b＝da． （4）在可约交换独异点<S,•,e>中，若a是b的
因子，同时 b又是 a的因子，那么称a, b相伴
x,
f
(w))
其中wS,xA 。
.
半群
Δ 1.2 自由独异点
✓定理11.5
设<S,•,e1>和<T,,e2>为两个自由独异点， A,B分别为它们的生成集， 且 A = B ，那么<S,•,e1>和<T,,e2>同构。
.
半群
1.3 半群及高斯半群
➢定义11.3
设<S，>为一半群，那么
（l）当 满足交换律时，称<S，>为交换半群
（相伴关系等价类）． （3）S的相伴类具有相同的基数．
.
半群
1.3 半群及高斯半群
✓ 定理11.8 可约交换独异点
<S，, e>的商半群 <S/～，, [e]~>（～为 相伴关系）为一可 约交换独异点，且 S/～ = S /[e]~ .
➢ 定义11.4 设<S,, e>为可
离散数学 半群与含幺半群(独异点)
证明：令e是<S,*>的幺元， (1) ∵ a-1 * a = e = a * a-1 ，∴a -1与 a 互为逆元，
∴ (a -1) -1=a (2) ∵(a * b) * (b -1 * a -1) = a *( b * b-1) * a-1
= a * e * a-1 = a * a-1 = e (b -1 * a -1) * (a * b) = b -1 * (a -1 * a) * b
= b * e * b-1 = b * b-1 = e ∴ (a * b) -1 = b -1 * a -1
6
例1：< {a,b},* >是半群， 其中 a * a = b，求证： (1) a * b = b * a ； (2) b * b = b 。
证明： (1) a * b = a * (a * a) = (a * a) * a = b * a (2) b * b = b * (a * a) = (b * a) * a
b3p * bkp = … = bkp * bkp ∵ *在S上封闭， ∴bkp S， 令 a = bkp，则 a * a = a
4
定理3：<S,*>是独异点，则在关于*的运算表中，任何两 行或两列都是不同的。
证明：令e是<S,*>的幺元，则a，bS，且a ≠b， ∵e * a = a ≠ b = e * b ，∴任意两列在e这一行中不同 ∵a * e = a ≠ b = b * e ，∴任意两行在e这一列中不同
∴ (a -1) -1=a (2) ∵(a * b) * (b -1 * a -1) = a *( b * b-1) * a-1
= a * e * a-1 = a * a-1 = e (b -1 * a -1) * (a * b) = b -1 * (a -1 * a) * b
= b * e * b-1 = b * b-1 = e ∴ (a * b) -1 = b -1 * a -1
6
例1：< {a,b},* >是半群， 其中 a * a = b，求证： (1) a * b = b * a ； (2) b * b = b 。
证明： (1) a * b = a * (a * a) = (a * a) * a = b * a (2) b * b = b * (a * a) = (b * a) * a
b3p * bkp = … = bkp * bkp ∵ *在S上封闭， ∴bkp S， 令 a = bkp，则 a * a = a
4
定理3：<S,*>是独异点，则在关于*的运算表中，任何两 行或两列都是不同的。
证明：令e是<S,*>的幺元，则a，bS，且a ≠b， ∵e * a = a ≠ b = e * b ，∴任意两列在e这一行中不同 ∵a * e = a ≠ b = b * e ，∴任意两行在e这一列中不同
半群与独异点
离散结构半群与独异点
教学目标
基本要求
（1）掌握半群、独异点的定义
（2）熟悉半群与独异点的性质
（3）了解子系统和直积的概念
重点难点
（1）判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点
半群、独异点的定义
定义：
(1)设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群(semi-group)
(2)设V=<S, ∘ >是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点(monoid)，有时也将独异点V记作V=<S，∘，e>
实例
(1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点
(2) 设n是大于1的正整数，<M n(R),+>和<M n(R),×>都是半群，也都是独异点，其中+和×分别表示矩阵加法和矩阵乘法
(3) <P(B),⊕>为半群，也是独异点，其中⊕为集合对称差运算
(4) <Z n, ⊕>为半群，也是独异点，其中Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n加法
(5) <A A, ∘ >为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算
(6) <R*, ∘ >为半群，其中R*为非零实数集合，∘运算定义如下：
∀x, y∈R*, x∘y=y
实例
例设R*为非零实数集合, 对任意∀x, y∈R*, 规定x∘y =y, 则<R*, ∘ >为半群。
离散数学 第四讲 半群和独异点
6.6 半群和独异点
定义1：设有代数系统〈S, *〉,这里*是S上可结合的二元运 算, 则称〈S, *〉为半群。（2点） 例1：判断下列给出的代数是不是半群。 ① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； √ ② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b 中较高者； √ ×（÷不可结合） ③ 〈 R+, ·〉 √ 〈 R+, ÷〉 ④ 设k≥0， SK={x| x∈I ∧x ≥k} ,〈 SK,+〉； √ ×（+在SK上不封闭） 若 k<0， 〈 SK,+〉； ⑤ 〈S,*〉，S={a,b},S上的二元运算*的运算表如下图：
2
半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那
么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。 如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
8
半群和独异点
定理5： 证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
a b g m g n g m n g n m g n g m b a
证毕。
定义1：设有代数系统〈S, *〉,这里*是S上可结合的二元运 算, 则称〈S, *〉为半群。（2点） 例1：判断下列给出的代数是不是半群。 ① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； √ ② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b 中较高者； √ ×（÷不可结合） ③ 〈 R+, ·〉 √ 〈 R+, ÷〉 ④ 设k≥0， SK={x| x∈I ∧x ≥k} ,〈 SK,+〉； √ ×（+在SK上不封闭） 若 k<0， 〈 SK,+〉； ⑤ 〈S,*〉，S={a,b},S上的二元运算*的运算表如下图：
2
半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那
么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。 如 〈[0，1], * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
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半群和独异点
定理5： 证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
a b g m g n g m n g n m g n g m b a
证毕。
最新离散数学耿素云版第十一章 半群与群ppt课件
由消去律得(ab)t=e,从而可知,r|t. 同理可证t|r。因此|ab|=|ba|。
例11.8 设G为有限群,则G中阶大于2的元素有偶数个。
证 根据定理11.4可知,对于任意a∈G有
a2=e |a|=1或|a|=2
若a2=e,则有 a-1a2=a-1e，即 a=a-1. 反之,若a=a-1,则有 a2=aa=aa-1=e，这就推出a2=e
定义11.6 设G是群,a∈G,n∈Z,则a的n次幂。
与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。 例如在<Z3, >中有
2-3=(2-1)3=13=1 1 1=0, 而在<Z,+>中有
3-5=(3-1)5=(-3)5=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15. 定义11.7 设G是群,a∈G,使得等式 ak=e成立的最小正整数k称为a 的阶,记作|a|=k,这时也称a为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称 a为无限阶元。 例如<Z6, >中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是6阶元,0是1阶 元。而在<Z,+>中,0是1阶元,其它的整数都是无限阶元。在Klein四元 群中e为1阶元,其它元素都是2阶元
(2) 由(a-1)r=(ar)-1=e-1=e 可知a-1的阶存在。令|a-1|=t,根据上面的证明有t|r。这说明a的逆 元的阶是a的阶的因子。而a又是a-1的逆元,所以a的阶也是a-1的 阶的因子,故有r|t。从而证明了r=t,即|a|=|a-1|。
例11.8 设G为有限群,则G中阶大于2的元素有偶数个。
证 根据定理11.4可知,对于任意a∈G有
a2=e |a|=1或|a|=2
若a2=e,则有 a-1a2=a-1e，即 a=a-1. 反之,若a=a-1,则有 a2=aa=aa-1=e，这就推出a2=e
定义11.6 设G是群,a∈G,n∈Z,则a的n次幂。
与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。 例如在<Z3, >中有
2-3=(2-1)3=13=1 1 1=0, 而在<Z,+>中有
3-5=(3-1)5=(-3)5=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15. 定义11.7 设G是群,a∈G,使得等式 ak=e成立的最小正整数k称为a 的阶,记作|a|=k,这时也称a为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称 a为无限阶元。 例如<Z6, >中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是6阶元,0是1阶 元。而在<Z,+>中,0是1阶元,其它的整数都是无限阶元。在Klein四元 群中e为1阶元,其它元素都是2阶元
(2) 由(a-1)r=(ar)-1=e-1=e 可知a-1的阶存在。令|a-1|=t,根据上面的证明有t|r。这说明a的逆 元的阶是a的阶的因子。而a又是a-1的逆元,所以a的阶也是a-1的 阶的因子,故有r|t。从而证明了r=t,即|a|=|a-1|。
离散数学讲解第五章
2018/12/20 10
练习
1．判断下述论断正确与否，在相应的括号中键入“Y”或“N”， (1) 在实数集R上定义二元运算*为：对于任意的 a,b R a*b=a+b+ab (a) <R;*>是一个代数系统； （ Y ） (b) <R;*>是一个半群； （ Y ） （c） <R;*>是一个独异点。 （ Y ） (2) 在实数集R上定义二元运算为，对任意 a, bR, ab=|a|· b(其中· 表示通常数的乘法运算) (a) <R;>是一个代数系统； （ Y ） (b) <R;>是一个半群； （ Y ） (c) <R;>是一个独异点。 （ N ）
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定义5-8 如果群<G; * >的运算*是可交换的，则称该群 为交换群或阿贝尔群。
2018/12/20
15
二、循环群 1．群中元素的幂 对于任意aG, a0=e, an+1=an*a 引进记号a-n=(a-1)n=a-1*a-1*…*a-1 ( n = 0,1,2, …) ( n个a-1 )
13
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对于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b), b+c=4m2+res4(b+c) 于是(a4b)4c= res4(a+b)4c=res4(res4(a+b)+c) = res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c) a4 (b4c) = a4res4(b+c) =res4(a+res4(b+c)) = res4(a+(4m2+res4(b+c))) = res4(a+(b+c)) = res4((a+b)+c) 因此(a4b)4c= a4(b4c)，即4满足结合律。 0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆 元是2。 <Z4;4>是一个群。
练习
1．判断下述论断正确与否，在相应的括号中键入“Y”或“N”， (1) 在实数集R上定义二元运算*为：对于任意的 a,b R a*b=a+b+ab (a) <R;*>是一个代数系统； （ Y ） (b) <R;*>是一个半群； （ Y ） （c） <R;*>是一个独异点。 （ Y ） (2) 在实数集R上定义二元运算为，对任意 a, bR, ab=|a|· b(其中· 表示通常数的乘法运算) (a) <R;>是一个代数系统； （ Y ） (b) <R;>是一个半群； （ Y ） (c) <R;>是一个独异点。 （ N ）
2018/12/20 14
定义5-8 如果群<G; * >的运算*是可交换的，则称该群 为交换群或阿贝尔群。
2018/12/20
15
二、循环群 1．群中元素的幂 对于任意aG, a0=e, an+1=an*a 引进记号a-n=(a-1)n=a-1*a-1*…*a-1 ( n = 0,1,2, …) ( n个a-1 )
13
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对于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b), b+c=4m2+res4(b+c) 于是(a4b)4c= res4(a+b)4c=res4(res4(a+b)+c) = res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c) a4 (b4c) = a4res4(b+c) =res4(a+res4(b+c)) = res4(a+(4m2+res4(b+c))) = res4(a+(b+c)) = res4((a+b)+c) 因此(a4b)4c= a4(b4c)，即4满足结合律。 0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆 元是2。 <Z4;4>是一个群。
半群与独异点
aR
证： T S，且T对矩阵乘法是封闭的，
所以<T,•>是V＝<S,•>的子半群。
1
0
0 0
是<T,•>的幺元。
所以<T,•>是一个独异点。
因为V的幺元T，所以<T, •>不是V 的子独异点。
实例分析
例题2 设V1＝<S1,>，V2＝<S2,*>是半群(或独异点), 证明<S1×S2,•>是半群（或独异点）。
半群的同态性质
定理3 设V=<S,∗>为半群，V’=<SS,∘>，∘为合成，则 V’也是半群，且存在V 到V’ 的同态.
证： fa:S→S, fa(x)=a ∗x fa∈SS, 且{ fa | a∈S }⊆ SS, 令ϕ：S→SS, ϕ(a)=fa, ϕ(a ∗b)=fa∗b, ϕ(a)∘ϕ(b)=fa∘fb
故([i] +m [j]) +m [k]= [i] +m ([j]) +m [k]), +m满足结合律。因此<Zm,+m>是半群。 同理([i]×m[j]) ×m[k]= [i] ×m([j]) ×m[k]) =[(i×j×k)(mod m)] 即×m是可结合的。故代数系统<Zm, ×m>是半群。
例题3 （接上页）
离散数学第六章
特 殊
运算的结果都等于e.
代
在a,b,c三个元素中,任
数 系
何两个元素运算的结果
统
都等于另一个元素.
一般称这个群为Klein 四元群.
6.1.2 群的定义与性质
第 群的术语
六 章
(1) 若群G中的二元运算是可交换的, 则称群G为交换群, 也 叫做阿贝尔(Abel)群．
例
几 ① <Z,+>, <Q,+>,<R,+>都是群, 也是阿贝尔(Abel)群;
足如下两个条件:
① T是S的非空子集;
几 个
② T对V中的运算˚是封闭的.
特 殊
定义: 独异点的子代数叫做子独异点,
代 数
对独异点V=<S,˚,e>, <T,˚,e>构成V的子独异点,需要满
系 足如下条件:
统 ① T是S的非空子集;
② T要对V中的运算˚封闭;
③ e∈T.
6.1.2 群的定义与性质
离散数学第六章
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离 散
数 6.1半群与群
学
6.1.1半群与独异点
第
六
章
几 6.1.2群的定义与性质
个
特
殊 代
6.1.3子群
数
半群和独异点
，
例 独异点V=
T对V中的运算˚是封闭的，
矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.
令 : S→ S 而
不是独异点V的么元,因此,
❖ , 定义 设V1 =<S1,˚>, V2=<S2,*>为半群,
< Zn , >是半群和独异点,其中Zn ={0,1,…,n-1}, 表示模n加法。
而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。
❖
x0=e
❖
xn+1= xn ˚x n为非负整数．
❖ 而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的 m和n是非负整数就可以了。
4
例
5
6
子半群
❖ 半群的子代数叫做子半群．
❖ 如果V=<S,˚>是半群, <T,˚>就是V 的子半群,需要满足：
T是S的非空子集， T对V中的运算˚是封闭的， 即可。
7
<Mn(R),·>是半群和独异点,其中·表示矩阵乘法。 矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E. < Mn(R) , ·,E > <Σ*, ˚>是半群和独异点,其中Σ是有穷字母表, ˚表 示连接运算.连接运算的幺元是空串. <∑*,˚, > <P(B),>是半群和独异点,其中表示集合的对称 差运算．对称差运算的幺元是. < Zn , >是半群和独异点,其中Zn ={0,1,…,n-1}, 表示模n加法。模n加法的幺元是0. <Zn, ,0>.
离散数学 半群和独异点、群与子群
例 <I,+>是一个群，设IE={x|x=2n,n∈I}，证明<IE,+>是<I,+> 的一个子群。
分析 1）+在IE上封闭。 2）+在IE上可结合。 3） <IE,+> 有幺元。 4） IE中的每个元素都有逆元。
七. 平凡子群
定义 设<G，*>是一个群， <S，*>是<G,*>的子群，如果
S={e}，或者S=G，则称<S，*>是<G,*>的平凡子群。
则称代数系统 <S，*>为半群。
例 设集合Sk={x|x ∈I ∧ x≥k}，k≥0，那么<Sk,+>是一个
半群吗？（其中+是普通加法运算） 分析 因为加法运算在Sk上是封闭的，并且该运算可结合，
所以<Sk,+>是一个半群。 注意 若k＜0，则运算+在Sk上是不封闭的。
？ 代数系统<I+,－>是半群吗？<R，/>呢？
第二讲 半群、群和子群
一. 广群 定义 一个代数系统<S，*>，其中S是非空集合，*是S上的
一个二元运算，如果运算*是封闭的，则称代数系统 <S，*>为广群。
二. 半群 定义 一个代数系统<S，*>，其中S是非空集合，*是S上的
离散数学课件第十一章半群与群演示文稿
第二十页，共148页。
群论中常用的概念或术语
定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无限群。
群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。 (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔
(Abel)群。
第二十一页，共148页。
例
a2 0
0 0
a1a2 0
0 0
即
第十三页，共148页。
a1 0
0 d1
a2 0
0 d2
a1 0
0 d1
a2 0
0 d2
自同态
因此，是半群V1到自身的同态，称为V1的自同态。
但不是独异点V2的自同态,因为它没有将V2的单位元映 到V2的单位元。
注意：
1 0 V2 S,, 0 1
1 0
10
举例（考虑例11.1）， (1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。 (2)<Mn(R),+>是群,而<Mn(R),·>不是群。因为并非所有的n阶实矩
阵都有逆阵。 (3)<P(B),>是群，因为对任何B的子集A，A的逆元就是A自身。 (4)<Zn,>是群。0是Zn中的单位元。x∈Zn，若x＝0，x的逆元就是0
群论中常用的概念或术语
定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无限群。
群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。 (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔
(Abel)群。
第二十一页，共148页。
例
a2 0
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a1a2 0
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即
第十三页，共148页。
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a1 0
0 d1
a2 0
0 d2
自同态
因此，是半群V1到自身的同态，称为V1的自同态。
但不是独异点V2的自同态,因为它没有将V2的单位元映 到V2的单位元。
注意：
1 0 V2 S,, 0 1
1 0
10
举例（考虑例11.1）， (1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。 (2)<Mn(R),+>是群,而<Mn(R),·>不是群。因为并非所有的n阶实矩
阵都有逆阵。 (3)<P(B),>是群，因为对任何B的子集A，A的逆元就是A自身。 (4)<Zn,>是群。0是Zn中的单位元。x∈Zn，若x＝0，x的逆元就是0
离散数学第10章课件_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编
则偏序集< L(G), >称为G的子群格 实例： Klein四元群的子群格如下：
图1
22
陪集定义与实例
定义10.9 设H是G的子群，a∈G.令 Ha={ha | h∈H}
称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
例7 (1) 设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群. H所有的右陪集是：
ห้องสมุดไป่ตู้12
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r ( b 1a b) (b 1 a b). ..b (1a b)
r个
b1arbb1ebe
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b
所以a1b 是该方程的解. 下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有
c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可证ba1是方程 ya=b的惟一解.
例3 设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 解下列群方程： {a}X=，Y{a,b}={b}
图1
22
陪集定义与实例
定义10.9 设H是G的子群，a∈G.令 Ha={ha | h∈H}
称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
例7 (1) 设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群. H所有的右陪集是：
ห้องสมุดไป่ตู้12
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r ( b 1a b) (b 1 a b). ..b (1a b)
r个
b1arbb1ebe
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b
所以a1b 是该方程的解. 下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有
c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可证ba1是方程 ya=b的惟一解.
例3 设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 解下列群方程： {a}X=，Y{a,b}={b}
离散数学第十三、十四章 半群与群、环与域
可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此 有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强 调幺元e，独异点表为<M，○，e>。 例13.1.1 给定<N，+>和<N，×>，其中N为 自然数集合，+和×为普通加法和乘法。由普通 加法和乘法满足结合律易知，<N，+>和<N，×> 都是半群，而且还是独异点。因为0是+的幺元， 1是×的幺元。
例14.4.1 <R，+，·>和<Q，+，·>皆为域， 而<Z，+，·>不为域，其中R、Q和Z分别为实数 集合、有理数和整数集合，+和·是普通加法和乘 法。
14.1 环
定义14.1.1 给定<R，+，·>，其中+和·都是二 元运算，若 ①<R，+>是Abel群， ②<R，·>是半群， ③·对于+是可分配的，即：对任意x,y,z∈R， x · (y+z) = x · y + x · z (y+z) · x = y · x + z · x 则称<R，+，·>是环。
13.4 群Fra Baidu bibliotek基本定义
定义13.4.1 给定<G，⊙>，若<G，⊙>是独 异点且每个元素存在逆元，或者说 ①⊙是可结合的，②关于⊙存在幺元，③G 中每个元素关于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。 可见，群是独异点的特例，或者说，群比独 异点有更强的条件。
离散数学-5-4 群与子群
三、置换
为进一步讨论群性质，引入置换的概念。 定义5-4.3 设S为一个非空集合，从集合S到S的一个双射 称为S的一个置换。 例：集合S={a, b, c, d}置换为ab, bd, ca, dc 这是一个从S到S上的一对一映射，可表示为：
a b b d c a d c
定理5.4.4 群〈G，*〉的运算表中任一行（列）的元素都是G中元素 的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。 证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能 多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。 其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。 再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：<G,*>的运算 表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样 的结论对于列也是成立的。
<G,>
封闭性
广群
结合性
半群
含幺元
独异点
存在逆元
群
独异点
群
半 群
广群
群的基本性质
由于群的运算可结合，故对任何一个元a，其逆元都是唯 一的，记a-1。 (a-1=a-1*e=a-1*(a*(a-1)’)=(a-1 *a) *(a-1)’= (a-1)’) 定理5-4.1 群中不可能有零元。 证明：当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元 。 设|G|>1 且群<G,>有零元 。那么群中任何元素x G，都有 x ＝ x ＝ ≠ e，
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定理 4: 在任何可交换独异点〈S, *, e〉中, S的等幂元素 集合T
证: i) 任取x,y∈T,
则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y) 所以, x*y∈T, ii) T是S的子集，*在T上可结合；
iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。
故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
a b gm gn gmn gnm gn gm b a
证毕。
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11
作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当 i=0 时，0= 10 ； i≠0时，有 i= 1i 。
② 是循环独异点，生成元为b,c 1= b0,a= b2, b= b1,c= b3 ; 1= c0,a= c2, b= c3,c= c1 .
7
半群和独异点
定理5：
证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
12
(ai ) j ai j
(i, j N )
6
半群和独异点
定义6: 在独异点〈S, *, e〉中, 如果存在一个元素g∈S, 使每一元素a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成 gh, 即a= gh ，则称此独异点为循环独异点。并称元素g
是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由
g生成的。 例3：① 〈N,+,0〉
半群和独异点
定义2：若半群〈S, *〉对运算*有么元，则称该半群为含么
半群, 也称独异点。 （3点）
例2：判断下列给出的代数是不是独异点。
① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； ×
② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b
中较高者； √，么元为最矮的人
③ 〈 R+, ·〉 √
5
半群和独异点
下面我们定义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。
用归纳定义:
(1) (基础) a0 = e (2) (归纳) an+1 = an* a(n∈N)
由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义 的a的幂满足以下指数定律:
(1)
ai a j ai j
(i, j N )
(2)
定理3：独异点〈S, * 〉中，运算*的运算表没有两行和两 列是相同的。
证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj 则e * ai ≠e * aj ,所以任意两列都不相同。 又因为 ai * e ≠ aj * e ,所以任意两行都不相同。
4
半群和独异点
定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)
〈 R+, ÷〉 ×
④ 〈 {Rn|n∈N}, 合成运算， R0 〉，其中R是S上的二元
关系 ； √
1
半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那 么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。
如 〈[0，1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理 2： 子独异点是独异点。 证： 子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元,
结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。
3
半群和独异点
注：独异点一定是半群，但半群不一定是独异点。但可通过 添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), * 〉 添加么元1可变为独异点〈[0，1], * ,1〉。
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
所以是半群。 证毕。
2
半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封 闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.
证: i) 任取x,y∈T,
则 x * y=(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=(x*y)*(x*y) 所以, x*y∈T, ii) T是S的子集，*在T上可结合；
iii) e*e=e, e是等幂元素,所以,e∈T。
故〈T, *, e〉是子独异点。证毕。 本定理对可交换半群也成立。
a b gm gn gmn gnm gn gm b a
证毕。
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作业：P187 1, 7, 8, 9, 12, 13
是循环独异点，生成元是1，因为任取i ∈N，当 i=0 时，0= 10 ； i≠0时，有 i= 1i 。
② 是循环独异点，生成元为b,c 1= b0,a= b2, b= b1,c= b3 ; 1= c0,a= c2, b= c3,c= c1 .
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半群和独异点
定理5：
证： 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn,
12
(ai ) j ai j
(i, j N )
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半群和独异点
定义6: 在独异点〈S, *, e〉中, 如果存在一个元素g∈S, 使每一元素a∈S, 都有一个相应的h∈N能把a写成 gh, 即a= gh ，则称此独异点为循环独异点。并称元素g
是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是由
g生成的。 例3：① 〈N,+,0〉
半群和独异点
定义2：若半群〈S, *〉对运算*有么元，则称该半群为含么
半群, 也称独异点。 （3点）
例2：判断下列给出的代数是不是独异点。
① 〈E,+〉和〈E, *〉,E为正偶数集{2,4,6,…} ； ×
② 〈S,*〉，其中S是不同高度的人的集合，a*b表示a,b
中较高者； √，么元为最矮的人
③ 〈 R+, ·〉 √
5
半群和独异点
下面我们定义独异点〈S, *, e〉中任意元素a的幂。
用归纳定义:
(1) (基础) a0 = e (2) (归纳) an+1 = an* a(n∈N)
由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义 的a的幂满足以下指数定律:
(1)
ai a j ai j
(i, j N )
(2)
定理3：独异点〈S, * 〉中，运算*的运算表没有两行和两 列是相同的。
证：设S是有限集{e,a1,a2…an}，对任何ai,aj∈S，若ai≠aj 则e * ai ≠e * aj ,所以任意两列都不相同。 又因为 ai * e ≠ aj * e ,所以任意两行都不相同。
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半群和独异点
定义 5：在半群(独异点)中, 若运算是可交换的, 则称此半 群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)
〈 R+, ÷〉 ×
④ 〈 {Rn|n∈N}, 合成运算， R0 〉，其中R是S上的二元
关系 ； √
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半群和独异点
定义 3 ：如果〈S, *〉是半群,T ⊆S且关于运算*封闭, 那 么〈T, *〉是〈S, *〉的子代数, 称〈T, * 〉为 〈S, * 〉的子半群。
如 〈[0，1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, * 〉,〈N, * 〉都是〈R, * 〉的子半群.
定理 2： 子独异点是独异点。 证： 子独异点是子代数,关于运算 * 封闭, 含有么元,
结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。
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半群和独异点
注：独异点一定是半群，但半群不一定是独异点。但可通过 添加新元素将半群变为独异点，如半群〈[0，1), * 〉 添加么元1可变为独异点〈[0，1], * ,1〉。
定理1 证： 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的,
所以是半群。 证毕。
2
半群和独异点
定义4：如果〈S,*,1〉是独异点。T ⊆S , 且关于运算*封 闭, 1∈T, 那么〈T ,* ,1〉是〈S ,* ,1〉的子代 数,称〈T,*,1〉是〈S ,* ,1〉的子独异点。
如 〈N, *,1 〉就是〈R, *,1 〉的子独异点.