复变函数论(2)讲课教案

计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
y arctan
x 2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
例 1 求 Arg 2 2i及 Arg 3 4i .
解：运用辐角定义可以得到
Arg 2 2i arg 2 2i 2k
解: z1 55i 7i. z2 34i 5
例 2 设 z1 及 z2 是两个复数，试证
z1 z2 2 z1 2 z2 2 2 Re z1 z2 .
证
z1 z2 2
z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1z2 z1 2 z2 2 z1 z2 z1 z2 z1 2 z2 2 2 Re z1 z2
一 复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
1. 复数
复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任
意的实数，i是虚数单位( 1 的平方根）. x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
xRz,e yIm z
注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
3. 共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x—iy 为z 的共轭复数.
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
( a 1 i 1 ) b ( a 2 i 2 ) b ( a 1 a 2 ) i ( b 1 b 2 )
( a 1 i 1 ) a 2 b i ( 2 ) b ( a 1 a 2 b 1 b 2 ) i ( a 1 b 2 a 2 b 1 )
( (a a 2 1 iib b 1 2 ) )a 1 a a 2 2 2 b b 1 2 2 b 2 ia 2 a b 2 2 1 a b 1 2 2 b 2
全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域 . 记为C，复数域可以看成实数域的扩张. 注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.
运算规律
方向：
Argv
arctan 1
1
3
4
3. 三角表示法
非零复数的三角表示定义为：
z |z|(cA o rs is gi A z n) rgz
复数加、减法的 几何表示如右图：
y
z2
z1 z2
z2
0
z1 x
z1 z2 z2
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
(1 )|z1z2| |z1||z2| ( 2 ) |z 1 z 2 | |z |1 | |z 2 || ( 3 ) |z 1 z 2 | |z 1 | |z 2 | ( 4 ) |z 1 z 2 | |z |1 | |z 2 ||
背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为 使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数 域扩大到复数域. 但在十八世纪以前，由于对复数 的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们 把复数看作不能接受的“虚数”.
直到十八世纪，J.D’Alembert与L.Euler等人逐 步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数 的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学 等方面的一些问题. 复数才被人们广泛承认接受， 复变函数论才能顺利建立和发展.
对象
复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变函数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分.
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等.
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处.但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果.
arctan 2 2k
2
2k k 0, 1, 2,L
4
Arg 3 4i arg 3 4i 2k
arctan 4 2k
3
arctan 4 2k 1度 v 1i ，求其大 小和方向.
解：大小： v 2
二 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见 z， xiy一对有(序 x,y)实 , 数 在 平 面 上 取 定 直系角，坐则标 任意P点(x, y)一对有序(实 x, y数 ) zxiy平面上的 P(x点 , y) 复 数 z x iy 可 用 平 面 上 坐 标 为 (x ， y )的 点 P 表 示 . 此 时 ， x轴—实 轴 y轴—虚 轴
模|： z||OP|r x2y2, y
(z)
P(x,y)
记作
y
辐角 : Arzg
z r
z 0 O 0 P
o
xx
z 0 时 taA ， n z)r (y g /x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定.
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
2. 向量表示法
u u u r zx iy 点 P (x ， y) O P { x,y}
u u u r 可 用 向 量 O P 表 示 zx iy.
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以向量OP 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
z1z2 z1z2
(4)zz 2Re(z)
( z1 ) z1
zz 2iIm(z)
z2 z2
(3 )z z R e (z )2 Im (z )2 x 2 y 2
1 z
z | z |2
例1 设z155i,z2 34i, 求z1,(z1)及它们的实部, 虚部. z2 z2