复变函数论(2)讲课教案
《复变函数论》第二章
第二章 复变函数
第一节 解析函数的概念及C.-R.方程
1、导数、解析函数
定义2.1:设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数,并且0z D ∈。如果极限
00,0
()()
lim
z z z D
f z f z z z →∈--
存在,为复数a ,则称)(z f 在0z 处可导或可微,极限a 称为)(z f 在0z 处的导数,记作0'()f
z ,或
z z dw dz
=。
定义2.2:如果()f z 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导,则称()f z 在0z 处解析;如果()f z 在区域D 内处处解析,则我们称()f z 在D 内解析,也称()f z 是D 的解析函数。解析函数的导(函)数一般记为'()f z 或
d ()d f z z
。
注解1、εδ-语言,如果任给0ε>,可以找到一个与ε有关的正数
()0δδε=>,使得当z E ∈,并且0||z z δ-<时,
00
()()
|
|f z f z a z z ε
--<-,则称)(z f 在0z 处可导。
注解2、解析性与连续性:在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数;反之不一定成立;
注解3、解析性与可导性:在一个点的可导性是一个局部概念,而解析性是一个整体概念;
注解4、函数在一个点解析,是指在这个点的某个邻域内解析,因此
在此点可导;反之,在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算:
()f z 和()
g z 在区域D 内解析,那么()()f z g z ±,()()f z g z ,
()/()f z g z (分母不为零)也在区域D
大学复变函数内容总结教案
课时安排:2课时
教学目标:
1. 理解复变函数的基本概念,包括复数、复变函数、解析函数等。
2. 掌握复变函数的基本运算,如求模、辐角、复数开方等。
3. 理解复变函数的积分、级数表示、留数理论及其应用。
4. 了解复变函数的保形映射和共形映射。
5. 能够运用复变函数解决实际问题。
教学重点:
1. 复变函数的基本概念和运算。
2. 复变函数的积分、级数表示、留数理论及其应用。
3. 复变函数的保形映射和共形映射。
教学难点:
1. 留数理论及其应用。
2. 复变函数的保形映射和共形映射。
教学内容:
第一课时
一、导入
1. 复数及其运算
- 复数的定义和性质
- 复数的实部和虚部
- 复数的模和辐角
- 复数的三角形式和指数形式
- 复数的乘法、除法、开方等运算
二、解析函数
1. 解析函数的定义和性质
2. 解析函数的连续性、可导性、积分等性质
3. 解析函数的例子:指数函数、对数函数、三角函数等
三、复变函数的积分
1. 复变函数积分的定义和性质
2. 复变函数积分的计算方法
3. 复变函数积分的应用:留数定理
第二课时
一、复变函数的级数表示
1. 复变函数的幂级数表示
2. 复变函数的泰勒级数表示
3. 复变函数的傅里叶级数表示
二、留数理论及其应用
1. 留数的定义和性质
2. 留数的计算方法
3. 留数理论的应用:计算定积分、求解函数零点等
三、保形映射和共形映射
1. 保形映射的定义和性质
2. 共形映射的定义和性质
3. 保形映射和共形映射的应用:解决几何问题、流体力学问题等教学过程:
一、复习导入
1. 回顾复数及其运算、解析函数等基本概念。
2. 引导学生思考复变函数在解决实际问题中的应用。
复变函数论第2章
z z
x iy x iy
1 1
iy x iy
x
1 ik 1 ik
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结束
20
铃
由于 k的任意, 性
z 1ki不趋于一个确定 . 的值 z 1ki
lim h(z0z)h(z0)不存 . 在
z 0
z
因此 h(z)z2仅在 z0处可,而 导在其他点都 不可,根 导据定 ,它义在复平面内析 处. 处不解
解 (1)z0,
lim f(0z)f(0)lim zRez()0,
z 0
z
z 0 z
故 f(z) zRz)e 在 ( z0处.可导
(2)z0,
f(zz)f(z)(z z)Rze (z)zRze ) (
z
z
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结束
23
铃
z[R z e z) (Rz)e ]R (z e z) ( z 令 z xi y,
解 (1) f(z)=z的连续性显然
(2)
fz=z zzz= zzzxiy ix x y 11 x x 0 0,, yy 0 0
iy
f 1(x0,y0) z
f 1(x0,y0) z
记作 d w f(z0) z.
复变函数论第2章第2节
e z ez cosh z , 2 cosh z coth z , sinh z
11
1 sec hz , cosh z
1 csc hz , sinh z
分别为 z 的双曲正弦函数、双曲 余弦函数、 双曲正切函数、双曲余 切函数 、 双曲正割函数 及双曲余割函数. 双曲正弦函数、双曲余 弦以 2 π i 为周期 .
( 4 ) sin z 及 cos z 是以 2π 为周期的周期函数; ( 5 ) sin z 的零点 (即 sin z 0 的根) 为
z nπ , ( n 0, 1, 2 ,) 1 cos z 的零点为 z ( n )π , ( n 0, 1, 2 ,) 2
y
9
定义2.6 规定函数
sin z tan z ; cos z 1 sec z ; cos z
cos z cot z ; sin z 1 csc z , sin z
分别为 z 的正切函数、余切函数 、正割函数及 余割函数 .
四个函数都在分母不为 零的点处解析 , 并且
10
(tan z ) sec2 z ;
若将 y 用复数 z 代替后 , 则有如下的复变正弦
函数、余弦函数概念 :
6
定义2.5 规定函数
iz iz e e , cos z , 2 分别为 z 的正弦函数和余弦函数.
复变函数论第三版钟玉泉第二章PPT课件
设 zz沿着平 y轴 行的 于直线 z,趋向
x 2yi
2yi
y x0
lim
lim 2,
z0 xyi y0 yi
所f以 (z)x2y的 i 导数 z y0
不存 . 在
o
x
5
13.11.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但
z
x0xiy
y0
当点沿平行向 于 (x虚 0)而 轴 使 的 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 1,
z 0 z z 0
z
y0xiy i
x0
当点沿这两 向个 使 z 不 0时 同 ,极的 限方 值 , 不
故f(z)Imz在复平面上处处.不可导
4
13.11.2020
例3 讨f论 (z)Im z的可.导性
解 ff(zz)f(z)Imz (z)Imz
z
z
z
ImzImzImz Im z Im(xiy) y ,
z
z xiy x iy
当点沿平行向 于 (y实 0)轴 而的 使 z 方 0时 ,
li m flim f(z z)f(z)lim y 0,
z 0 z z 0
( 4 ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
复变函数论第2章第3节
而成一单连通开区域, 记为 G . 这时, 在 D 内任取一简单 y z G 从而有 Argz 0 . 闭曲线 L , 故 L ~ 0 ,
L
L
o
x
ΔL Argz 将 于是,对于G 内的任一简单曲线L ,
只与 L 的起点和终点有关, 而与曲线的形状无关. 在
G 内固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 则 arg z0 ΔL Argz
本节将要看到, 许多复变量的初等函数都是多 值的, 在复数域中对多值函数的研究具有特殊重要 的意义. 因为只有在这样的讨论中才能看出函数多 值性的本质.
函数多值性源于辐角函数的多值性.
本节的主要内容是介绍幂函数与根式函数、指 数函数与对数函数的映射性质; 主要是采用限制辐 角或割破平面的方法, 来分出根式函数与对数函数 的单值解析分支. 最后, 对反三角函数及一般幂函数 作简单介绍.
arg z 2kπ z G , k Z .
为了后面讨论问题的需要,先给出如下定义.
定义2.8 设函数 f ( z ) 在区域 D 内有定义 , 若对 D 内任
则称函数 f ( z ) 意不同两点 z1 与 z2 ,都有 f ( z1 ) f ( z2 ) ,
此外 , 显然有 L Argz L Argz .
设 L 是 C {0}内的一条简单曲线, z0 是 L 的
复变函数课程教学纲要
《复变函数》课程教学纲要
一、课程概述
(一)课程学时与学分
课程代码:1302,开课专业:数学与应用数学(师范)专业,第5学期开课;
课程总学时68学时,4学分。
(二)课程性质
复变函数论是数学专业的一门重要的专业基础课。它是数学分析、高等代数等
课程的进一步延伸,又是近代分析学的基础。它的思想方法是许多后续课程得以展开
的保证。属于院专业必修课。
(三)教学目的
开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法,进一步培养
学生的逻辑思维能力,扩展学生视野,为掌握复变函数在自然科学中的广泛应用奠
定良好的数学基础。
(四)本课程与其他课程的联系与分工
本课程是在学生学习了数学分析、高等代数及其概率论与数理统计的基础上开
设的,并在之后开设离散数学,数值分析等进一步的数学课程的本科学习中起到基础
和工具的作用,是学习数学和应用数学专业的必备课程。
二、课程教学的基本内容与要求
(一)教学要求
复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展,通过复变函数论的学习能使
学生对微积分学的某些内容加深理解,提高认识。复变函数论在联系和指导中学数
学教学方面也有重要的作用,学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有
比较透彻的理解与认识,从而增加做好中学数学教育工作的能力。
(二)课程总学时数与课程学时分配
1、总学时: 174=68(学时)
2、学时分配表
章次内容学时
引言复变函数论的基本思想 1
第一章复数与复变函数8
第二章解析函数9
第三章复变函数的积分9
第四章解析函数的幂级数表示法9
第五章解析函数的洛朗展开与孤立奇点9
第六章留数理论及其应用7
《复变函数论》教学大纲
《复变函数论》教学大纲
一、课程基本信息
课程编码:0601112B
中文名称:复变函数论
英文名称:Theory of Functions of Complex Variable
课程类别:专业基础及核心课
总学时:48
总学分:3
适用专业:数学与应用数学
先修课程:数学分析,高等代数,解析几何
二、课程目标
(一)具体目标
通过本课程的学习,使学生达到以下目标:
1.了解复变函数的发展历史,遵循周易中的复卦的复。【支撑毕业要求1】
2.理解复数的表示方法。【支撑毕业要求2】
3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。【支撑毕业要求3】
4.掌握留数的计算和应用。【支撑毕业要求5】
5.能够应用复变函数方法解决实际问题,理解不同学科间的联系与渗透。【支撑毕业要求3、4】
6.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和解决实际问题的能力。【支撑毕业要求4、6、7、8】
(二)课程目标与毕业要求的对应关系
表1 课程目标与毕业要求的对应关系
(一)课程内容与课程目标的关系
表2 课程内容与课程目标的关系
(二)具体内容
第一章复变函数的基本概念(10学时)
【学习目标与要求】
1、学习目标:
了解复变函数的发展历史,理解“复”的含义。会用复数的6种表示方法互相变换,会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题。会计算复数列的极限。掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系,
会计算复变函数的极限。掌握柯西黎曼方程,理解可微分的必要条件,理解可微分的充要条件,理解可微分的必要条件。
复变函数论第2章第1节
当点 z z 沿平行于实轴的方向 (y 0 , x 0) 趋于点 z 时 , ( 2.4) 成为
x u x v lim i lim f ( z ) x 0 x x 0 x
u v 且有 , 必存在, 于是知 x x u v i f ( z ) x x
( 2.5)
15
u i v lim f ( z ) ( 2.4) x 0 x i y y 0
同样,当点 z z 沿平行于虚轴的方向 ( x 0 ,
y 0)趋于点 z 时 , ( 2.4) 成为
y u yv i lim lim f ( z ) y 0 y y 0 y u v 因此, , 也存在, 且有 y y
限为 函数 f ( z ) 在点 z0 的导数, 记作 f ( z0 ) , 即
w f ( z z ) f ( z ) 0 0 f ( z0 ) lim lim z 0 z 0 z z
3
( 2.1)
说明: 0 1 定义中 z 0 , 即 z0 z z0 的方式是任意的,
2
1 复变函数的导数与微分 定义2.1 设函数 w f ( z ) 在区域 D 内有定义 , z0 为
D 中的一点 ,点 z0 z 在D 内 , 如果极限
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim lim z 0 z 0 z z
复变函数 课程教学大纲
复变函数课程教学大纲
适用专业:本科数学各专业学时:50
先修课程:数学分析、高等代数制定日期:2002年9月
一、本课程的地位和作用
复变函数论是数学各专业的一门重要基础课,也是数学分析的一门后继课程。本课程用分析的、几何的、代数的等方法研究复变量的解析函数的有关问题,已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系,其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支,同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着极其重要的应用。另外,还可以利用复变函数论知识解决中学数学中的问题。学习复变函数论这门课程,可以使学生获得必要的数学知识修养,提高数学素质,锻炼逻辑思维和复杂的计算能力,并为学生学习后继课程打下良好的基础。
二、本课程的教学目标
通过讲授本课程,使学生获得:(1)复变函数的积分理论;(2)复变函数的级数理论;(3)复变函数的几何理论等方面的基本概念、基本理论和基本方法。认识到高等数学对初等数学的指导作用;认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。培养学生的运算能力,抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、课程内容和基本要求
(一)复数与复变函数
1.教学基本要求
(1)详细介绍引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用;
(2)熟练掌握复数的三种形式的表示法,复数的代数运算。
(3)掌握用复数解决几何问题的思想和方法。
(4)了解复平面上点集的一般概念,能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。
(5)能精确叙述复变函数的极限与连续的概念,掌握其基本性质。
(6)详细介绍引进扩充复平面的思想和方法,说明紧化的重要作用。
复变函数-复数及其运算(2)
23
(4) 复数的三角表示和指数表示
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
r
sin
复数可以表示成
z x iy
r(cos i sin )
24
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i;
(2) z sin i cos ;
5
5
解 (1) r z 12 4 4, 因 z 在第三象限,
10
10
26
乘幂与方根
设复数 z1 和 z2 的三角形式分别为
z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2(cos2 i sin2), z1 z2 r1(cos1 i sin1 ) r2(cos2 i sin2 )
r1 r2[(cos1 cos2 sin1 sin2 ) i(sin1 cos2 cos1 sin2 )]
arctan
2 12
π
arctan
3
3
5,
6
故
z
4cos
5
6
i sin
5
6
5i
4e 6 .
25
(2) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin 5
cos
2
5
cos
3
复变函数论第2章第1节
(1) (c ) 0, 其中c为复常数. ( 2) ( z n ) nz n1 , 其中n为正整数.
(3)
f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
(4)
f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
域 D 内可导;
3 导数的其他表达形式
设 z0 z z , 则 z z z0 , 当z 0 时 , z z0 ,
于是
f ( z0 ) lim w f ( z ) f ( z0 ) lim . z 0 z z z0 z z0
0
复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数 的微分概念完全一致.
定义2.3 如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 但在 z0 的任一
易证 f ( z ) z 在 z 平面上处处连续
例1
证明函数 f ( z ) z 在 z 平面上处处不可微.
证明: 由于 f ( z z ) f ( z ) z z z lim lim z 0 z 0 z z x iy z z z z lim lim lim x 0 x iy z 0 z z 0 z
y 0
当 z 取实数 (y 0) 趋于零时,其极限为1 ;
复变函数教案(双语)
复变函数论课程教学实施方案
章节、名称:第一章,第1、2、3节,I Complex number field, 1.1 Sums and products, 1.2 Operation, 1.3 Modulus and arguments 课时安排:2
教学方式:理论讲授
教学目的和要求:
重温熟悉复数的概念,熟练掌握复数的四则运算及共轭运算,了解复平面,理解复数的几何表示及其应用。
教学内容及重点、难点:
介绍课程理论框架:
Chapter I Complex number field
Chapter II Analytic Functions
Chapter III Elementary Functions
Chapter IV Integrals
Chapter V Series
Chapter VI Residues
Chapter VII Applications of Residues
第一章 Complex number field
介绍复数的背景知识,复数的代数表示、代数运算、几何表示。1.Complex numbers
2. operations;
Grip the operations, representations and the triangle inequality of complex numbers;
3.Complex plane, moduli and arguments of complex numbers;
授课实施方案:
启发式教学法,以讲授为主,讲练结合。注重知识背景的阐述,适当增加课外知识、实例分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
方向:
Argv
arctan 1
1
3
4
3. 三角表示法
非零复数的三角表示定义为:
z |z|(cA o rs is gi A z n) rgz
复数加、减法的 几何表示如右图:
y
z2
z1 z2
z2
0
z1 x
z1 z2 z2
关于两个复数的和与差的模,有以下不等式:
(1 )|z1z2| |z1||z2| ( 2 ) |z 1 z 2 | |z |1 | |z 2 || ( 3 ) |z 1 z 2 | |z 1 | |z 2 | ( 4 ) |z 1 z 2 | |z |1 | |z 2 ||
背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为 使负数开方有意义,需要再一次扩大数系,使实数 域扩大到复数域. 但在十八世纪以前,由于对复数 的概念及性质了解得不清楚,在历史上长时期人们 把复数看作不能接受的“虚数”.
直到十八世纪,J.D’Alembert与L.Euler等人逐 步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数 的概念,并且应用复数和复变函数研究了流体力学 等方面的一些问题. 复数才被人们广泛承认接受, 复变函数论才能顺利建立和发展.
共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
z1z2 z1z2
(4)zz 2Re(z)
( z1 ) z1
zz 2iIm(z)
z2 z2
(3 )z z R e (z )2 Im (z )2 x 2 y 2
1 z
z | z |2
例1 设z155i,z2 34i, 求z1,(z1)及它们的实部, 虚部. z2 z2
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示:zxiy复平面上 P(x, 的 y)点
2. 向量表示法
u u u r zx iy 点 P (x , y) O P { x,y}
u u u r 可 用 向 量 O P 表 示 zx iy.
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值; 以正实轴 为始边, 以向量OP 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
( (a a 2 1 iib b 1 2 ) )a 1 a a 2 2 2 b b 1 2 2 b 2 ia 2 a b 2 2 1 a b 1 2 2 b 2
全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域 . 记为C,复数域可以看成实数域的扩张. 注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.
运算规律
解: z1 55i 7i. z2 34i 5
例 2 设 z1 及 z2 是两个复数,试证
z1 z2 2 z1 2 z2 2 2 Re z1 z2 .
证
z1 z2 2
z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1z2 z1 2 z2 2 z1 z2 z1 z2 z1 2 z2 2 2 Re z1 z2
模|: z||OP|r x2y2, y
(z)
P(x,y)
记作
y
辐角 : Arzg
wk.baidu.com
z r
z 0 O 0 P
o
xx
z 0 时 taA , n z)r (y g /x
辐角无穷多:Arg z=θ=θ0+2kπ, k∈Z,
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值,
记作θ0=argz.
z=0时,辐角不确定.
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. (与实数相同)即,
z1+z2=z2+z1; z1z2=z2z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3); z1(z2z3)=(z1z2)z3; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
3. 共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x—iy 为z 的共轭复数.
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
y arctan
x 2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
例 1 求 Arg 2 2i及 Arg 3 4i .
解:运用辐角定义可以得到
Arg 2 2i arg 2 2i 2k
二 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见 z, xiy一对有(序 x,y)实 , 数 在 平 面 上 取 定 直系角,坐则标 任意P点(x, y)一对有序(实 x, y数 ) zxiy平面上的 P(x点 , y) 复 数 z x iy 可 用 平 面 上 坐 标 为 (x , y )的 点 P 表 示 . 此 时 , x轴—实 轴 y轴—虚 轴
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为:
( a 1 i 1 ) b ( a 2 i 2 ) b ( a 1 a 2 ) i ( b 1 b 2 )
( a 1 i 1 ) a 2 b i ( 2 ) b ( a 1 a 2 b 1 b 2 ) i ( a 1 b 2 a 2 b 1 )
一 复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
1. 复数
复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数,其中x和y是任
意的实数,i是虚数单位( 1 的平方根). x和y分别称为的实部和虚部,分别记作:
xRz,e yIm z
注:复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0,则z可以看成一个实数; 如果Imz不等于零,那么称z为一个虚数; 如果Imz不等于零,而Rez=0,称z为一个纯虚数.
arctan 2 2k
2
2k k 0, 1, 2,L
4
Arg 3 4i arg 3 4i 2k
arctan 4 2k
3
arctan 4 2k 1 k 0, 1, 2,L
3
例 2 已知流体在某点 M 的速度 v 1i ,求其大 小和方向.
解:大小: v 2
对象
复变函数(自变量为复数的函数)
主要任务 研究复变函数之间的相互依赖关系,
具体地就是复数域上的微积分.
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等.
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展,它们之间有许多相似 之处.但又有不同之处,在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果.