北京市顺义区2020届高三第二次统练数学试题(含评分标准)
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顺义区2020届高三第二次统练
数学参考答案及评分参考
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
（ 1 ）C
（ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B （ 7 ）D （ 8 ）B （ 9 ）A （10）D
二、填空题（共5题，每题5分，共25分）
（11）2 （12）1,N n a n n *=+∈ （13）sin(2)3
y x π=+ （14）1a =± （15）②③
注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分）
（16）（共14分）
解：选①：在ABC ∆中，1cos 3
C =, 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分 且5a b +=，3c =，得到292523
ab ab =-- ------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分
所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩
-------------10分 ∵1cos 3
C = 00
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∴sin 3
C = -------------12分 所以三角形∆ABC
的面积是1sin 2
ABC S ab C ∆== -------------14分 选②：在ABC ∆中，1cos 3
C =-, 当1cos 3
C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分 又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分
此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩
无解. ------------- 12分 所以这样的三角形不存在. -------------14分 选③：在ABC ∆
中，因为sin 3C =所以1cos 3
C =±. -------------2分 当1cos 3
C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523
ab ab =-- ------------- 6分 所以6ab = -------------8分
所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩
-------------10分 所以三角形∆ABC
的面积是1sin 2
ABC S ab C ∆== -------------12分 当1cos 3
C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,
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又5a b +=，3c =，得到12ab =,
此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩
无解. 所以这样的三角形不存在. ------------- 14分
③法二：在ABC ∆中，因为222
2()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab
+-=,得到cos 0C > ------------- 2分
因为sin C 所以1cos 3
C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分
所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩
-------------12分 所以三角形∆ABC
的面积是1sin 2
ABC S ab C ∆== -------------14分 17. （共14分）
解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O
∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分 又
AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1B D A C O ⊥平面 . ------------- 4分 又11AC AC O ⊂平面 ∴1B D A C
⊥ ------------- 5分
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（II ）
二面角1A BD C --是直二面角
∴190C OA ∠
=
∴1C O AO ⊥
∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分
∴以O 为原点，如图建系：
∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C
又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22
F ∴11(,1,)22DF =，31(0,,)22
DE = -------------8分 设(,,)n x y z =是平面DEF 的一个法向量 ∴1102231022
DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =- -------------11分 又1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC = -------------13分 ∴111cos ,n OC n
OC n OC ⋅=⋅
= ∴平面DEF 与平面ABD -------------14分 18.（本题15分）
解：（I ）根据甲班的统计数据可知：
甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数