2019-2020学年高中数学 4.11数学归纳法A导学案新人教版选修4-5.doc

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高中数学新人教A版选修4-5 用数学归纳法证明不等式举例

“应用创新演练”见“课时跟踪检测（十三）” (单击进入电子文档)
利用数学归纳法证明不等式
[例 1]
证明不等式
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n＜2
n(n∈N＋)．
[思路点拨]
验证n＝1时，不等式成立
―→
假设n＝k成立，推证n＝k＋1
―→
n＝k＋1成立，结论得证
[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
k1＋1＜2
k＋1成立．
所以当 n＝k＋1 时，不等式成立．
由(1)(2)可知，对于任意正整数 n，原不等式都成立．
数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到 n＝k 时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一． (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．
利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察—归纳—猜想—证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．

人教A版高中数学选修4-5_不等式选讲全册教案

选修4--5 不等式选讲

一、课程目标解读

选修系列4-5专题不等式选讲，容包括：不等式的根本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大〔小〕值、数学归纳法与不等式。

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是根本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、教材容分析

作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材容仍以初中知识为起点，在容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题容分为四讲，构造如以下图所示：

第一讲是“不等式和绝对值不等式〞，为了保持专题容的完整性，教材回忆了已学过的不等式6个根本性质，从“数与运算〞的思想出发，强调了比拟大小的根本方法。回忆了二元根本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算〞角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的根本方法〞，教材通过一些简单问题，回忆介绍了证明不等式的比拟法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明〞已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比方舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用根本不等式进展放缩等〔见分节教学设计〕。本讲容也是本专题的一个根底容。

4.1 数学归纳法课件(人教A选修4-5)

[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中
的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x
＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、
严谨、规范．
[通一类]
1．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋ 1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，
∴当n＝1时，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2 ＝－k· (2k＋1)．
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．

人教版A版高中数学选修4-5用数学归纳法证明不等式

故命题成立，因而对一切n∈N*命题成立．其中(*)：当k≥5时2k＞k2，证明如下： (ⅰ)当k＝5时，25＞52显然成立； (ⅱ)设k＝i(i＞5)时，2i＞i2成立，则当k＝i＋1时， 2i＋1－(i＋1)2＝2·2i－i2－2i－1＝2(2i－i2)＋(i2－2i＋1)－ 2＝2(2i－i2)＋(i－1)2－2， ∵2i＞i2，i＞5，∴(i－1)2－2＞0，故2i＋1＞(i＋1)2， ∴对一切k≥5有2k＞k2.
因为__k_x_2_＞__0_，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k ＋1)x.这就是说，原不等式当n＝k＋1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重．当然第一步是证明的基础也是不能少的．
证明不等式 n2＋n≤n＋1(n∈N＋﹡)．).
证明：①n＝1 时， 12＋1≤1＋1，不等式成立； ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 k2＋k＜k＋1，∴k2＋k＜(k＋1)2. 当 n＝k＋1 时，
k＋12＋k＋1＝ k2＋k＋2k＋2， ∴上式＜ k＋12＋2k＋3＝ k2＋4k＋4 ＝ k＋22＝k＋2＝(k＋1)＋1， ∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．综合①②可知，对任意正整数原不等式成立．

第四讲数学归纳法证明不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想—— 证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题． [例1] n∈N＋)，已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
[解] (1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝－(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k

4.1 数学归纳法课件(人教A选修4-5)

[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)．由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除．故n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．

4.1 数学归纳法课件(人教A选修4-5)

(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12
＝－2an＋10bn(n∈N*.)
[命题立意]
应用．
本题考查数学归纳法在证明数列问题中的
[解]
(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公
比为 q.由 a1＝b1＝2，得 a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由
1 1 1 1 1 ＝＋＋…＋＋－ 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 ＝＋＋…＋＋， k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 从而可知，当 n＝k＋1 时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立．
[悟一法] (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝
－2an＋10bn成立．
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[悟一法] 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也
可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关
键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
[通一类]
1 3．证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝ n· (n－3)(n≥4)． 2 1 证明：(1)n＝4 时，f(4)＝ · (4－3)＝2，四边形有两条对角 4· 2

人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法

【自我校正】
1 (1)当 n＝1 时，左边＝，右边＝1 2
1 1 －＝，等式成立． 2 2 (2)假设当 n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 1 1 1 1 1 1 ＋＋＋„＋ k－1＋ k＝1－ k，那么 2 22 23 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ＋ 2＋ 3＋„＋ k－1＋ k＋ k＋1 2 2 2 2 2 2
＝(x＋1)[(x＋1)k＋1 ＋(x＋2)2k－1]＋(x2 ＋3x＋3)· (x ＋2)2k－1. 因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋ 3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2 ＋3x＋3整
除．
这就是说，当n＝k＋1时， (x＋1)(k＋1)＋1 ＋(x＋2)2(k＋1)－1 也能被x2 ＋3x＋3整除．根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋都成立．
f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋ 1)＋2. 即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立．根据(1)、(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)＝n2－ n＋2部分．【名师点评】有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．
1)· [2(k＋1)－1]．
即n＝k＋1时等式也成立．

4.1 数学归纳法课件(人教A选修4-5)

2＋3d＋2q3＝27，条件，得方程组 8＋6d－2q3＝10， d＝3，解得 q＝2.
所以 an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)法一：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，
＋
①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n 1a1. ② 由②－①，得
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n 2＝ 121－2n－1 ＋＋2n 2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 1－2 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－ 6n－10，故 Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.
＋
法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋
由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
[悟一法]
利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数
因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减
项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼
凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑
出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝
－2an＋10bn成立．
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10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk

4.1 数学归纳法课件(人教A选修4-5)

10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
(2)应用数学归纳法时的常见问题
①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. ②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1
时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝
－2an＋10bn成立．
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[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．

4.1 数学归纳法课件(人教A选修4-5)

2．用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 1 1 1 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ . 2 3 4 2n n＋1 n＋2 2n 2n－1
1 1 1 证明：①当 n＝1 时，左边＝1－＝＝＝右边， 2 2 1＋1 所以等式成立． ②假设 n＝k 时等式成立，即 1 1 1 1 1 1 1 1 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ . 2 3 4 2k 2k－1 2k k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ 2 3 4 2k－1 2k 2k＋1 2k＋2
数学归纳法 (1)数学归纳法的概念：
先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成
立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)数学归纳法适用范围：
数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数
学命题的证明．
(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步
1 1 1 解：(1)n0 为 2.此时左边为 1－，右边为 2× ＝ . 2 4 2 (2)假设 n＝2k(k∈N＋)时，等式成立，就需证明 n＝2k＋ 2(即下一个偶数)时，命题也成立． (3)若假设 n＝k(k 为正偶数)时，等式成立，就需证明 n ＝k＋2(即 k 的下一个正偶数)时，命题也成立．

高中数学新课程选修4-5学习指导

高中新课程选修4-5学习指导

关于选修4-5专题：不等式选讲的教学研究

一、学习本课程已有的相关知识准备

（一）初中课标要求：不等式与不等式组

①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。

③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。

（一）初中课标要求：不等式与不等式组

（二）高中必修5

不等式（约16课时）

（1）不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

（2）一元二次不等式

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题

①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决

（4）基本不等式：()ab a b a b ≤

+≥20，。

①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。

二、课程标准内容与要求

在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系。它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

4.1 数学归纳法课件(人教A选修4-5)

1 1 1 1 1 ＝( ＋＋…＋ )＋－ 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 1 ＝( ＋…＋＋ )＋( － ) 2k 2k＋1 k＋2 k＋1 2k＋2 1 1 1 1 ＝＋…＋＋＋＝右边， 2k 2k＋1 2k＋2 k＋2 所以，n＝k＋1 时等式成立．由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
1 又 ×(12＋1＋2)＝2， 2 ∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k 时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把 1 2 平面分割成了 (k ＋k＋2)个区域．那么当 n＝k＋1 时，k＋1 2 1 2 条直线中的 k 条直线把平面分成了 (k ＋k＋2)个区域，第 k 2 ＋1 条直线被这 k 条直线分成 k＋1 段，每段把它们所在的区
域分成了两块，因此增加了 k＋1 个区域，所以 k＋1 条 1 2 1 直线把平面分成了 (k ＋k＋2)＋k＋1＝ [(k＋1)2＋(k＋ 2 2 1)＋2]个区域． ∴n＝k＋1 时命题也成立．由(1)、(2)知，对一切的 n∈N＋，此命题均成立．
用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从
n＝k到n＝k＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．
骤：第一个值n0 ①证明当n取 (如取n0＝1或2

高中数学新人教A版选修4-5 数学归纳法

一数学归纳法

1．数学归纳法的概念

先证明当n 取第一个值n 0(例如可取n 0＝1)时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

2．数学归纳法适用范围

数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明． 3．数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤

(1)证明当n 取第一个值n 0(如取n 0＝1或2等)时命题成立；

(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．由此可以断定，对于任意不小于n 0的正整数n ，命题都成立．

[例1] 用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －

1·n 2＝(－1)n

－1

n (n ＋1)

. [思路点拨] 首先判断第1步是否满足，然后考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加了哪些项，进行分析变形，从而证明等式．

[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，所以等式成立．

(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －

1·k 2＝(－

1)k

－1

k (k ＋1)

. 那么，当n ＝k ＋1时，则有

12－22＋32－42＋…＋(－1)k －

1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2

＝(－1)k

－1

k (k ＋1)

＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k k ＋1

[－k ＋2(k ＋1)]

＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)

2020最新人教版高三数学选修4-5电子课本课件【全册】

引言
2020最新人教版高三数学选修4－5 电子Байду номын сангаас本课件【全册】
2020最新人教版高三数学选修4 －5电子课本课件【全册】目录
0002页 0004页 0020页 0091页 0166页 0250页 0299页 0350页 0433页 0474页
引言一不等式 2.基本不等式二绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法一比较法三反证法与放缩法一二维形式柯西不等式第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式

2019-2020学年高中数学 4.11数学归纳法A导学案新人教版选修4-5.doc

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