(优选)离散数学阿贝尔群和循环群
两类循环群的本质区别及各自的同构象
VS
拓扑同构
两个群的元素之间存在一一对应关系，且 这种对应关系保持了群的拓扑结构。
同构的应用
群论研究
同构是群论研究中的重要概念，通过同构可 以将复杂的群简化为简单的群进行处理。
密码学
在密码学中，同构可以用于构造加密算法和 数字签名算法，保证信息的安全性和完整性。
06
CHAPTER
结论
研究成果总结
对未来研究的展望
尽管已经对两类循环群进行了深入研究，但仍有许多问题 值得进一步探讨。例如，如何利用循环群的性质来解决实 际问题，如何进一步研究循环群的构造和性质，以及如何 将循环群与其他数学对象进行比较和联系。
未来研究可以进一步探索循环群的运算性质和结构特性， 以及它们在数学和物理等领域的应用。同时，也可以尝试 将循环群与其他数学对象进行比较和联系，以发现它们之 间的共性和差异。
定义
两个阿贝尔群同构当且仅当存在一个双射，满足 $f(xy)=f(x)f(y)$。
判定定理
两个有限阿贝尔群同构当且仅当它们的元素个数相 同。
例子
模n的剩余类加群Zn和模n+1的剩余类加群Zn+1同 构。
同构的分类
分类定理
任何有限阿贝尔群都同构于一个阶为素数幂的循环群。
例子
模n的剩余类加群Zn是阶为n的循环群。
定义与性质
定义
循环群是一种特殊的群，其中每 个元素都可以由一个元素生成。
性质
循环群是可交换的，即满足 $ab=ba$；循环群的阶是有限的； 循环群是阿贝尔群。
循环群的表示
循环群的表示可以通过生成元和其阶来表示，例如，对于循环 群$G=langle a mid a^n=e rangle$，其中$a$是生成元， $n$是阶。
阿贝尔群简单解释
阿贝尔群简单解释
阿贝尔群（Abelian group）是数学中的一个概念，它是一种特殊的群，其中每个元素的逆元是其自身。
换句话说，群中的每个元素都是其自身的逆元。
阿贝尔群在代数和拓扑学中都有重要的应用。
阿贝尔群的一个重要特性是它的所有元素都可以被分解为有限个元素的乘积，而且这些元素的逆元可以很容易地找到。
这个特性使得阿贝尔群在许多问题中可以更加容易地处理。
阿贝尔群的另一个重要特性是它的所有子群都是正规的。
这意味着，如果一个子群包含了群中的某个元素，那么它就包含了该元素的整个陪集。
这个特性使得阿贝尔群在研究群的结构时更加有用。
在拓扑学中，阿贝尔群的一个重要应用是处理基本群（fundamental group）。
基本群是用来描述一个拓扑空间中所有路径的等价类构成的群。
如果一个拓扑空间是阿贝尔的（即它的基本群是阿贝尔群），那么这个空间就有很多良好的性质。
例如，它的所有连通components都是开的，它的所有简单闭曲线都是互不相交的，等等。
阿贝尔群的概念和理论在代数学和拓扑学中都有广泛的应用。
5-5 阿贝尔群
例题1 设S={a,b,c,d}，在S上定义一个双射函 数 f: f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a, 对于任一xS，构造复合函数 f2(x)=f o f(x)=f(f(x)) f3(x)=f o f2(x)=f(f2(x)) f4(x)=f o f3(x)=f(f3(x)) 如果用f0表示S上的恒等映射，即f0(x)=x xS 很明显地有f4(x)=f0(x)，记f1=f，构造集合 F={f0 ,f1 ,f2, f3 } ，那么<F，o>是一个阿贝尔群。
任取x，y∈G，则x*y∈G
因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x
所以<G，*>是一个阿贝尔群。
此题的推论：若群中每个元素的逆元 都是它自己，则该群必是可交换群。
例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合， 矩阵乘法运算ο 作为定义在集合G上的二元运 算，则<G, ο >是一个不可交换群。 解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个 非奇矩阵，所以运算ο 是封闭的。 矩阵乘法运算ο 是可结合的。 N阶单位阵E是G中的幺元。 任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1οA=AοA-1=E。 但矩阵乘法运算ο 是不可交换的，因此<G, ο > 是一个不可交换群。
3、定义5-5.3 设<G,>为群，aG，如果an= e, 且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order) 为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶. 4、定理 5-5.3 设<G,>为循环群，aG是该群 的生成元，如果G的阶数是n ，即| G |= n ，则 an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群<G,>的幺元。 n是使an=e的最小 正整数。
【离散数学】知识点及典型例题整理
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。
【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。
【Abel群/交换群】·适合交换律。
可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。
【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。
单位子群{1}和G称为平凡子群。
【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。
a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。
若G的元数是一个质数，则G必是循环群。
n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。
共有ϕ（n）个。
【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。
H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。
任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。
求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。
G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。
（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。
1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。
2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。
3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。
证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。
故Ha=aH。
4G的任意多个子群的交集是G的子群。
并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。
5 H是G的子群。
5.5 阿贝尔群与循环群
习题讲评
P197.证<HK, >是子群的充要条件是HK=KH 若HK=KH,
证:充分性:
h kHK, k’ h’KH有hk=k’h’成立。
i)h1k1, h2 k2HK h1 k1 h2 k2=h1 h2’k1’ k2HK(∵<H, >,<K, >是群) ii)hkHK,则k-1h-1是h k的逆元。 又∵k-1h-1=(h-1) ’(k-1) ’ HK <HK, >是一个子群。 必要性: 若<HK, >是一个子群 k hKH，则k-1 h-1KHk h=(h-1 k-1)-1HKKHHK xHK,x-1HK x-1=hk x=(x-1)-1=(h k)-1=k-1 h-1KH HKKH， KH=HK。
定义5-6.2:<Sn,>的任何子群称为集合S上的一个置
换群。<Sn,>称为S上的对称群。 例: S上对称群Sn={p0,p1,p2,p3,p4,p5}的置换群：
以p1为生成元的置换群为<{p1,p0},>，
以p2为生成元的置换群为<{p2,p0},>，
以p3为生成元的置换群为<{p3,p0},>,
123 123 123 = 321 213 231
右复合
123 123 123 = 321 213 312
证:(1)封闭性p1,p2Sn，须证p1p2Sn， 当c,d被p1置换为e,f时,必有ef。
<Sn,>是一个群
∵若a,bS且ab则当a,b被p2置换为c,d时,必有cd。 p1p2将S中任二个不同元素映射到S中的二个不同元素， p1p2Sn(有限集A上的单射必为满射)。 (2)运算满足结合律 p1，p2，p3Sn,xS有p3(x)=y ，p2(y)=z, p1(z)=u, 则(p1p2)p3(x)=u,p1(p2p3)(x)=p1(z)=u
交换群与循环群的关系
交换群与循环群的关系在数学领域中，交换群和循环群是两个重要的概念。
它们之间存在一定的联系和区别，本文将从不同的角度对这两个概念进行探讨。
一、交换群的定义和特点交换群，也称为阿贝尔群，是一个满足交换律的群。
群是一种代数结构，它由一组元素和一种二元运算组成。
对于任意的元素a和b，交换群中的运算符满足交换律，即a*b=b*a。
这意味着交换群中的元素可以以任意顺序进行运算，结果都是相同的。
交换群具有以下特点：1. 封闭性：交换群中的元素进行运算后的结果仍然属于该群。
2. 结合律：交换群中的运算符满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元：交换群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与该群中的任意元素进行运算得到的结果都是该元素本身。
4. 存在逆元：交换群中的每个元素都存在一个逆元，它与该元素进行运算得到的结果是单位元。
二、循环群的定义和特点循环群是一种特殊的群，它由一个元素生成。
这个元素称为生成元，它可以通过自身的运算和运算的次数来生成群中的所有元素。
循环群可以用一个生成元和运算符的指数形式来表示。
循环群具有以下特点：1. 封闭性：循环群中的元素进行运算后的结果仍然属于该群。
2. 存在单位元：循环群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与该群中的任意元素进行运算得到的结果都是该元素本身。
3. 存在逆元：循环群中的每个元素都存在一个逆元，它与该元素进行运算得到的结果是单位元。
4. 生成性：循环群中的一个元素可以通过运算的次数和生成元来生成群中的所有元素。
5. 无穷性：循环群中的元素可以进行无限次运算，得到无穷多个元素。
三、交换群与循环群的关系交换群和循环群之间存在一定的联系和区别。
循环群是交换群的一种特殊情况，即循环群是满足交换律的群。
因此，循环群也具有交换群的特点，包括封闭性、结合律、存在单位元和逆元等。
然而，交换群并不一定是循环群。
交换群中的元素可以以任意顺序进行运算，而循环群中的元素则是由一个生成元按照一定的规律生成的。
离散数学第五章
现在学习的是第17页，共72页
§2运算及其性质
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零
元，则θl = θr =θ，且θ Z是唯一的.
证明：方法同幺元。 例：
（1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ；
e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。
∴若存在幺元的话一定是唯一的。 例：
（1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）；对而言, e =（空集）；
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。
上的封闭运算。
现在学习的是第8页，共72页
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS 有xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者 说在S上满足交换律）。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何 a ,b I,ab a b (a b )
其中的 +， 分别表示数的加法和乘法。
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴★是满足结合律的
现在学习的是第10页，共72页
§2运算及其性质
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）；
（y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是可分 配的（或称对满足分配律）。
特殊群(循环群)
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
•什么是阿贝尔群•若群<G, •>的运算•适合交换律，则称<G, •>为阿贝尔群（Abelian Group）或交换群。
•在一个阿贝尔群<G, •>中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。
•在阿贝尔群中，易见有如下指数律成立•(a•b)m=a m•b m，m为任意整数知识回顾•生成子群设G为群, a G,即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.循环群的定义定义8.10设G是群，若存在a∈G使得G={a k| k∈Z}则称G是循环群，记作G=<a>，称a 为G 的生成元.循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群.设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 }那么|G| = n，称G 为n 阶循环群.若a 是无限阶元，则G = { a0=e, a±1, a±2, … }称G 为无限循环群.实例：<Z,+>为无限循环群;<Zn,⊕>为n阶循环群循环群的生成元定理8.13设G=<a>是循环群.(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n互质的数r∈{0,1,…,n-1}, a r是G的生成元.φ(n)称为欧拉函数，例如n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个：1, 5, 7, 11，所以φ(12)=4.例10(1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4.小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元.(2) 设G=<Z9,⊕>是模9的整数加群，则φ(9)=6.小于9且与9互素的数是1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理8.13，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8.(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3和-3.循环群的子群定理8.14设G=<a>是循环群.(1) G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.例11(1) G=<Z,+>是无限循环群，其生成元为1和 1.对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N. 即<0> = {0} = 0Z<m> = {mz | z∈Z}= mZ，m>0(2) G=Z12是12阶循环群. 12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群:1阶子群<12>=<0>={0}2阶子群<6>={0,6}3阶子群<4>={0,4,8}4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}12阶子群<1>=Z12•适合交换律的群称为阿贝尔群，阿贝尔群适合指数律。
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学5_3
>>>>
定理5-5、2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。 证明 设<G,*>是一个循环群，它的生成元是a, 那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈I，使得 x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此， <G, *>是个阿贝尔群。 有限阶循环群：生成元是有限阶元时生成的有限 阶循环群。 如: <{0,1,2,3,4,5},+6>,该循环群的生成元为1 （其中，0为幺元，16=0）
(b) 由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G 划分成k个不同的等价类[a1]R,[a2]R,…，[ak]R, 又因 H中任意两个不同的元素h1,h2,a∈G, 有a*h1≠a*h2,所以 |[ai]|=|aiH|=|H|=m,i=1,2,…，k.
aiH = | aiH | =mk 因此 n=|G|= i 1 i 1
而 且 k=mq+r ， 其 中 ， q 是 某 个 整 数 ， 0≤r<m。这就有 ak=amq+r=(am)q*ar=ar 这就导致G中每一个元素都可表示成 ar(0≤r<m) ，这样， G中最多有 m 个不同的元素， 与 |G|=n 相矛盾。所以 am=e(m<n) 是不可能的。 进一步证明a,a2,a3,…，an-1,an都不相同。用 反证法。 假 设 ai=aj, 其 中 1≤i<j≤n, 就 有 aj-i=e, 而 且 1≤j-i<n, 这已经由上面证明是不可能的。所以， a,a2,a3,…，an-1,an都不相同，因此 G={a,a2,a3,…，an-1,an=e}
定义：设<G，▫>是 S的一个置换群，称
三、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构
k
k
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又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有 a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。 因此 n=|G|=
k
aiH
=
i1
k
i 1
a i H =mk
推论1
推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。 证明见书Ｐ210
b*b*b=e
定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
证明 设<G，*>是一个循环群，生成元为a， 那么对于任意的x,y∈G，
必有r,s∈I，使得x=ar 和 y=as
且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此<G,*>是一个阿贝尔群。
离散数学第7章群、环和域
第7章 群、环和域
如果G,*是群，其中e单位元。e和G都是G的非空子 集，e,*和G,*也都构成群，它们是G,*的子群，这 是两个特殊的子群。
定义7.3.2 设G,*是群，e,*和G,*是G,*的 子群，称为群G,*的平凡子群。
第7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e 又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
定理7.1.1 设<S,*>是半群，*是S上的二元运算，BS， 如果*在B上是封闭的，则B,*也是半群。
第7章 群、环和域
证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算。
B,*是代数系统。a,b,cB，由于BS，所以a,b,cS，又由 于S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B,*是半群。
证明：bS，由*在S上的封闭性知： b2=b*bS b3=b2*bS …
பைடு நூலகம்
因为S是有限集，所以必有i＜j使
bi=bj 令p=j–i，则p=j–i≥1，而j=p＋ i
bi=bj=bp+i=bp*bi
于是下式成立：
bq=bp*bq q≥i 因为p=j–i≥1，总可以找到k≥1，使得kp≥i
对于S中的元素bkp，就有 bkp=bp*bkp =bp*(bp*bkp) =b2p*bkp =b2p*(bp*bkp) =… =bkp*bkp
5-4阿贝尔群和循环群
定义5-9.4：设<A ,+, · > 是一个代数系统，如果满足： 1．<A,+>是阿贝尔群。
2．<A-{} , · >是阿贝尔群。
3．运算 ·对于运算 + 是可分配的。 则称<A ,+, · >是域。 例如，<Q ,+, · >，<R ,+, · >，<I ,+, · >，
定理5-9.：域一定是整环。
则称<A ,+, · >是整环。
例5 Z5= { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法与乘法
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 2 3 4 3 4 0 4 0 1 0 1 2
4 4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
定理5-4.7设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一 个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*> 的子群。 证明：设b是B的任一个元素。若*在B上封闭，则元素 b2=b*b,b3=b2*b,…都在B中。由于B是有限集，所以必存在 正整数i和j,不妨假设i<j,使得 bi = b j 即 bi = bi * bj-i.
因此，<S,Δ>是<G,Δ>的子群。
例题4：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群， 试证明<H∩K，*>也是<G,*>的子群。 证明：设任意的a,b∈H∩K, 因为<H,*>和<K,*>都是子群， 所以b-1∈H∩K, 由于*在H和K中的封闭性， 所以a*b-1∈H∩K, 由定理5-4.8即得<H∩K,*>是<G,*>的子 群。
离散数学第20讲
第五章 代数结构
证明(续 证明 续) ：
于是G中最多有m个不同的元素， |G|=n矛盾。所以， 于是G中最多有m个不同的元素，与|G|=n矛盾。所以， 矛盾 =e(m<n)是不可能的 是不可能的。 am=e(m<n)是不可能的。 下一步证明a,a 都不相同。 下一步证明a,a2,a3 ,….,an-1 ,an都不相同。假设 .,a ai = aj ，其中1≦i<j≦n,就有 其中1 i<j≦n,就有 ai = ai * aj-i ⇒aj-i =e 而且1 i<n,这已经由上面证明是不可能的 这已经由上面证明是不可能的。 而且1≦j-i<n,这已经由上面证明是不可能的。所以 都不相同， a,a2,a3 ,….,an-1 ,an都不相同，因此 .,a .,a G={a,a2,a3 ,….,an-1 ,an=e }
要条件是对∀a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 。
9
第五章 代数结构
a3*b3=(a*b)3, a4*b4=(a*b)4, a5*b5=(a*b)5,则<G,*> 是一个阿贝尔群。 是一个阿贝尔群。 证明：对于∀a,b∈ 证明：对于∀a,b∈G a3*b3=(a*b)3 ⇒ a-1 *( a3*b3 ) *b-1 = a-1 *(a*b)3 *b-1 ⇒ a2*b2=(b*a)2 同理 a4*b4=(a*b)4 ⇒ a3*b3=(b*a)3 a5*b5=(a*b)5 ⇒ a4*b4=(b*a)4 由此可得 (a3*b3)*(b*a)=(b*a)4=a4*b4 ⇒ b4*a=a*b4 同理( 同理(a2*b2)(b*a)=(b*a)3=a3*b3 ⇒ b3*a=a*b3 )=(b* 由 (a*b)*b3=a*b4=b4*a=b*(b3*a)= b*(a*b3)=(b*a)*b3 所以，<G,*>是一个阿贝尔群 ⇒a*b=b*a 所以，<G,*>是一个阿贝尔群。