高等数学第二章复习题及答案

高等数学第二章复习题
及答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学习题集及解答
第二章
一、 填空题
1、设()f x 在x a =可导，则0()()
lim x f a x f a x x →+--=。

2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)
lim 2h f h f h →--=。

3、设1
()x
f x e -=，则0
_____________(2)(2)
lim
h f h f h
→--=。

4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2
x f x f x x x π
'=
=<<-，则0_______________________()f x =。

5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy
dx =。

6、()x f x xe =，则_______________
(ln 2)f '''=。

7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________
a =。

8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________
()f x '-=。

9、()(1)(2)
()f x x x x x n =+++，则_________________
(0)f '=。

10、ln(13)x y -=+，则____________________
y '=。

11、设0()1f x '=-，则0
___________00lim
(2)()
x x
f x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________
dy =。

13
、设ln
y =_______________(0)y '''=。

14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是
______________________。

15、1cos
0()0
0x x f x x
x λ
⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是
_______________________。

16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切 ，则2b 可以通过a 表示为____________。

二、 选择题。

17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）。

A 充分了必要条件，
B 充分但非必要条件，
C 必要条件但非充分条件，
D 既非充分条件又非必要条件。

18、函数3221()3
1
x
x f x x
x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处 （ ）
A 左右导数均存在，
B 左导数存在，右导数不存在，
C 左导数不存在，右导数存在，
D 左右导数均不存在。

19、设周期函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，又0
(1)(1)
lim
12x f f x x
→--=-，则曲线
()y f x =在点(5,(5))f 处的切线斜率为 （ ）
A
1
2
， B 0 ， C –10， D –2 。

20、设函数1
1cos (1)1()0a
x x f x ⎧⎪
--=⎨⎪⎩
1
1
x x ≠= 则实常数a 当()f x 在1x =处可导时必满足（ ） A 1a <-； B 10x -≤<； C 01x ≤<； D 1a ≥
21、已知212
()2x x x ax b x ϕ⎧->=⎨+≤⎩ ，且(2)ϕ'存在，则常数,a b 的值为 （ ）
A 2,1;a b ==
B 1,5;a b =-=
C 4,5;a b ==-
D 3, 3.a b ==- 22、函数()f x 在(,)-∞+∞上处处可导，且有(0)1f '=，此外，对任何的实数,x y 恒有
()()()2f x y f x f y xy +=++，那么()f x '=（ ）
A ;x e
B ;x
C 21x +；
D 1x +。

23、已知函数()f x 具有任何阶导数，且2()[()]f x f x '=，则当n 为大于2的正整数时，
()f x 的n 阶导数()()n f x 是 （ ）
A 1![()]n n f x +；
B 1[()]n n f x +；
C 2[()]n f x ；
D 2![()].n n f x 24、若函数()y f x =有01
()2
f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的（ ）
A 等价无穷小；
B 同阶但不等价的无穷小；
C 低阶无穷小；
D 高阶无穷小。

25、设曲线1
y x
=
和2y x =在它们交点处两切线的夹角为ϕ，则tan ϕ= （ ） A 1-； B 1; C 2； D 3 。

26、设由方程组2110y x t te y =-⎧⎨++=⎩ 确定了y 是x 的函数，则20
2
t d y
dx ==（ ）
A 21e ；
B 212e ；
C 1e -；
D 1
2e
- 。

一、 填空题的答案 1、2
)(a f ' 2、-1 ； 3、21
4
1-e ； 4、3 5、-1
6、6+2ln2
7、2
8、1
9、n! 10、-x
x --+3
13
ln 3 11、1 12、dx y dy 1sec 12-=
13、2
3
-
14、0=-y x 15、2>λ 16、 624a b =
二、选择题答案：
17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题：
27、求曲线cux y =上与直线1=+y x 垂直的切线方程。

剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。

解：设切点为)(00y x 则点).(00y x 处的切线斜度为
01|x x x y k =
='=
依题意知所求切线（）坐y x +1=垂直，从而11
=x 10=x 利切点为)01(、；切线（）为.1=k
故所求切线方程为10-=-x y 即：1-=x y 设x
e
x f 1)(-= 则21
04
1)2()2(lim
-
→-=--e tc f tc f t 9、如果)(x f 为偶函数，且)0(-f 存在 证明0)0(=-f 证明：因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =
-从而
)0(0
)
0()()(lim 0)0()(lim
)0(00
f x f x f x f x f x f f x x '-=---=-=--=→-→ ∴:0)0(2='f 故0)0(='f
28、讨函数
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
01sin 2
x x x
x y 在0=x 处方程连续性与可得
解：)0(1
sin lim lim 20
0y x
x y x x ==→→，所以函数y 在0=x 处连续 又01sin lim 1
sin
lim
)0(lim 020
0===--→→→x
x x x x x y y x x x 故函数y 在0=x 处可导、值0|
='=x y x
29、已知
⎩⎨⎧<-≥=0
)(2x x x x x f 求)0().0(-+''f f 及是否存在)0(2f '
解:
0lim 0
)0()(lim )0(2
00==--='++→→+x x x f x f f x x 1lim 0)0()(lim
)0(00
-=-=--='--
→→-x
x
x f x f f x x 故不存在)0(f ' 30、已知)(00
sin )(,
x f x x
x x x f '⎩⎨
⎧≥<=求
解： x x f x cos )(.0='<时当
1
)(.0='>x f x 时当
11lim )(lim )0(0
=='='++→→+x x x f f
所以：1)0(1=f 从而
⎩
⎨
⎧≥<='010
cos )(x x x x f 31、证明：双曲线22a xy =上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。

证明：设),(00y x 为双曲线2a xy =上的一点，则该点处切线的斜
率为,202x a k -=从而切线方程为)(00
2
02x x x a y y --=-
令
0=x 得y 轴上的截距为0
2
0202
x a x a y y =+=
令0=y 得x 轴上的截距为02x x =
从而 20
2
02|2.2|21|||21a x a x y x s ===
32、设x
e y x
1sin
1
tan
=求y '
解：)1
(sin 1sin )(1
tan 1tan
'+'='x
e x e
y x x
)1
(1cos 1sin )1)(1(sec 21
tan 22
1tan
x x e x x
x e
x x
-+-=
33、设)2323(
+-=
x x f y 在2arcsin )(x x f =' 求0
=x dx
dy
解：设2
323),(+-==x x u u f y
则：
2)
23()23(3)23(3)()2323)((+--+'='+-'=x x x u f x x u f dx dy 2
2)23(12
)(arcsin +=x u 2
22312
)2
323arcsin(+⋅
+-=x x x
从而π
2
31arcsin 3|0===x dx dy
34、设
⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠=0
001arctan )(22
x x x
x x f ，讨论0)(='x x f 在点处连续性
剖析：本题需先求)(x f '的表达式，再讨论)(x f '在点0=x 处的连续性
解：当2
232)1(12
1arctan )(0x
x x
x
x f x +-
+='≠时
4
2
2121arctan x x x +-
=
2
1
arctan
lim 0
)
0()(lim
200
π==--='→→x x x x f x f f x x 从而：
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧=≠+-='0
20121arctan )(4
22x x x x x x f π
由于)0(2121arctan lim )(lim 42200f x x x x f x x '==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-='→→π
处连续在点0)(='∴x x f 35、
:,)(dx dy y x f 的导数
求下列函数可导设
（1）)(2x f y = （2）)(cos )(sin 22x f x f y += 解：（1）)(22)(22x f x x x f y '=⋅'='
（2）))(cos (cos ))(sin (sin 2222''+''=
'x x f x x f y
=x x x f x x x f sin cos 2)(cos cos sin 2)(sin 22'-' =[])(cos )(sin 2sin 2121x f x f x -
37、设)(,)1
1(lim )(2t f x
t x f tx x '+=∞
→求 提示：t
te t f 2)(=。

答案：
t
e t t
f 2)21()(+='
38、求2
12arcsin t t
y +=导数
解:2
222
2
)1(22)1(2)
12(11
t t t t t t y +⋅-+⋅
+-=
'
=
22221)1(2)
1(1
t t t +-⋅- =⎪⎩⎪⎨⎧>+-
<+1
12
112
2
2
22
t t t t
39、y f x x f y ''-=求二阶可导,),(2 解x x u u f y -==2),(
)12()()(2-⋅-'=''=
'x x x f u u f y
)()12()(2222x x f x x x f y -''-+-'=''
40、设
)
(26
51n y
x x y 求++=
剖析：此类函数直接求导，很难找出规律，先对
而后求导再将又拆项分解因式,,652++x
1
1)(4
43
322)3(!
)
1()2(.!)1()3(2
.3)2(2.3)3(2
)2(2)3(1
)2(13
121)3)(2(1+++-++-=++
+-='''+-
+=''++
+-='+-
+=++=n n n
n x n x n y x x y x x y x x y x x x x y
41、求下列函数的n 阶导数的一般表达式 x y 2sin )1(= x x y ln )2(= x xe y =)3(
3,2,)!2()1(2
3211
ln 1)2(2)1(2sin 2)2
22sin(2)2
2cos(2)
2
2sin(22cos 22sin )1(:1
)
(4
)5(3
)4(21)(2=--=⋅-
==-='''=
''+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-+
=+
=+='''+==''='--n x
n y
x y x y x y x
y x y 、n x y x x y x x y x y 、n n n n n
πππ
π
解
x
n x x x x x x x x e x n y e x y e x xe e e y e x xe e y 、)()3()2()1()3()(+=+='''+==++=''+=+='
44、求曲线⎩⎨⎧==t
y t x 3
3sin cos 上对应于6
π=t 点处的法线方程
从而所求法线方程为
时
当则解法切,8
1
8
336
333|tan tan )sin (cos 3cos sin 36
3
2==
=
-=-
=-=-=-⋅⋅==
y x t K t K t t t t t dx dy ：t π
π
13)833(381-=--=-
x y x y
220sin 21)(45dx y d y y x x y y 、确定的求是由方程设函数=+-=
3222)2(cos sin 4)cos 2(sin 2)cos 2()cos 2(2cos 220cos 2
110sin 2
1:-=-'--=-'--=-=='='+'-=+-y y y y y y y dx y d y
dx dy y y y y x y y x 得求导数有两边对将方程解
46、求二导数x x a y x ln 1=
剖析：由于函数是根式私连乘，所以用对数示导法取对数有将解x x a y x ln :1
=
)ln 21ln 1(ln 21)ln 21ln 1(2:ln 41212ln .1ln ln 4
1ln 21ln 21ln 12
x x a x x a x x
x a x y y x x x x a y y x x x a x y x +-=+-='++-='++=
从而求导数再将上式两边
47、（相关变化率问题是）设气球以100cm 3的速度，浸入气球（假设气球是球体）求在半径为10cm 的气球半径增加的速度（假空气体压力不变）
剖析：解决相关变化率问题一般分三步：
第一步：是建立气球体积v 和半径r 之间的关系。

第二步：根据等式找出的关系和dx
dr dx dy
第三步：由己知的变化率求出未知的变化率
解：v =334r π dt dr
r dt dv
.42π= 由s cm dt dv
/1003= r =10cm
)/(41
s cm dt dr
π= 即当r =10cm 时 半径以)/(41
s cm π 的速率增加。

48、已知 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t t y t x arctan )
1ln(2 求3
3dx y d 3
42
2
22332
2
222
281
12)4()
1(44.2/4141121
2121*2
2
1211
1t t t t
t t t t dt dx
dt t t d
dx y d t t t t
dt dx dx de ax t
d dx y d t
t t t dx dy ：-=++-=+=+=+====++-=解
49、设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求dy
解：利用公式dx y dy '=
将方程)ln()(2y x y x x y --=-两边分别对x 求导，有
y x y y x y x y y -'
--+-'-=-'1)()ln()1(12得 y '=)ln(3)
ln(2y x y x -+-+
从而dy =dx y x y x )ln(3)
ln(2-+++
50、设y=ln (1+3-x ). 求dy
解： dy =x
x x x x dx ----+-=++31)(331)31(1
1dx =-dx x
x --+-313ln 3 51、求下列函数的微分
x x x 、y x x 、y +=--=)2()1ln(cos ln )1(2
解：(1)、dy =(dx x x x x )1
2cos sin 2--- =(-x tan -1
22-x x )dx （2）函数变形为x x x y =-两边取对数有x x x y ln )ln(=-两边对x 求微分得
dx xdx x
y dx dy +=--ln dx x x dy x ]1)1(ln [++=
53、扩音器插头为圆柱形，截面半径为0.15cm ，长度l 为4m ，为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm 的钱铜，问每个插头约要多少克纯铜。

解：l r V 2π= ΔV ..2l r dv π=≈Δx
=2π×0.15×4×0.0037699.0≈
故镀的铜的重量为0.0037699×8.9)(03355.0g ≈
54、有一立方形的铁箱，它的边长为70±0.1cm ，求出它的体积，并估计绝对误差和相对误差。

解：体积：V=703=343000cm 3
绝对误差 v δ=333101.1472|1.70.70|cm =-
相对误差 %43.0343000
101.1472≈=v v
δ 55、求a 、b 的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1ln 1
)1(sin )(x b x x x a x f 在1=x 可导。

解：为使)(x f 在1=x 得可导，必须在1=x 连续
故b b x x f x x =+=++→→)(ln lim )(lim 1
1 0)(=x f 即0=b
又因 1
0)1(sin lim 1)1()(lim 11
'---=--=--→→-x x a x f x f x x f =a 1
00ln lim 1)1()(lim )1(11'--+=--=++→→+x x x f x f x x f =[]11
)1(1ln lim 1=--++→x x x 因此有1=a ，从而当0,1==b a 时
)(x f 在1=x 处可导
56、证明可导偶函数的导数)('x f
为奇函数 证：由题设)()(x f x f =
- )('x f 存在 x
x f x x f x x f ∆-∆+-=-→∆)()(lim
)(0' 于是x
x f x x f x x f ∆--∆+-=-→∆)()(lim )(0' x
x f x x f x ∆-∆-=→∆)()(lim 0 =-)()()(lim '0x x x f x x f f x -=∆--∆-→∆ ∴可导偶函数)(x f 的导数)('x f 为奇函数
同理可证：可导奇函数的导函数为偶函数
以同期为T 的可导函数的导函数以T 为周期的函数。

57、设))...(2)(1(n x x x x y +++= 求)0(y '
解：)1)...(1())...(3)(2())...(2)(1(-++++++++++='n x x x n x x x x n x x x y !)0(n y ='∴
4、321ln )21()1(x x x x y +--=
解：两边取对数 )1ln(ln ln )21ln(3
1)1ln(ln 2x x x x y +-+-+-= 两边对X 求导 x y x x x x x Y
2/12)ln 1212(31111+-+--+-= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-+--=∴23/12ln 1122311121ln )21()1(x x x x x x x x x x y 58、设)("x f 存在，)(x xe f y -=求22ax
y d 解：//)()(x x xe xe dx
dy f --•= x x x e xe xe f ---+-•=)()(/ []x x x x x x x e xe e xe xe e xe dx y d f f --------+-+
-•=)()()(/2"22 =))(())((/2"x x x x x x ze xe xe xe e
xe f f -------+- 59、设x e
y 1
tan =求1=x dy 解：)1(1sec )1(tan 221tan /1tan /x x e x e x x y
-•=-= 1sec 21tan 1/e x y
-=∴= dx e dx y dy x 1sec 21tan /
1-===
60、设x e y x arctan ln 21•=-求dy
arcranx de dy x ln 21-=
=dx x x e xdx e x x 2
212111arctan 1arctan ln )2(+•+-•--。