整数的整除特征

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整除的性质和特征

整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。

整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。

1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。

其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。

2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。

换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。

3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。

4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。

5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。

这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。

6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。

两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。

于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。

7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。

这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。

8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。

对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。

9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。

在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。

10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。

整数的整除特征

整数的整除特性之阳早格格创做（1）2、5：终一位能被2、5整除：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位是0战5的数能被5整除.（2）4、25：终二位能被4、25整除：如1764、123456能被4整除；17850、98765475能被25整除.（3）8、125：终三位能被8、125整除：如1760、123456能被8整除；27750、98765625能被125整除.推而广之，终n位能被2n、5n整除.2.战系的整除特性：从终位（左）→尾位（左）（1）3、9：一位一截，诸位的数字战能被3（或者9）整除：如8649→8＋6＋4＋9＝27，能被3或者9整除；还不妨采与更便当的弃3（9）法，如987654321，3、6、9、1＋2、4＋5、8＋7皆是3的倍数不妨弃来，战是0，所以987654321不妨被3整除.采与弃9法，弃来1＋8、2＋7、3＋6、4＋5、9，战是0，所以987654321不妨被9整除.（2）11、33、99：二位一截，数段战能被11、33、99整除：如260535→26＋5＋35＝66，66÷11＝6，66÷33＝2，66÷99＝0 ┅ 99，所以260535能被11战33整除，但是没有克没有及被99整除；3.好系的整除特性：从终位（左）→尾位（左）（1）11：奇奇位好法：一位一截，奇位数字之战与奇位数字之战的好能被11整除.如110220→奇数段0＋2＋1＝3，奇数段2＋0＋1＝3，3－3＝0，0能被11整除，所以110220能被11整除.（2）7、11、13：三位一截，那个整数的奇数位上的数字之战与奇数位上的数字之战的好能被7、11、13整除：如1121876→1┆121┆876，奇数段的战是876＋1＝877，奇数段是121，它们的好是877－121＝756，用那个好除以7、11、13：756÷7=108， 756÷11=68....8， 756÷13=58...2，所以1121876能被7整除，1121876除以11余8，1121876除以13余2.是11的倍数.注意：如果出现没有敷减的情况，则奇数位加上7、11、13（或者它们的倍数）后再减.如654333→654┆333，好654－333＝321没有敷减，333不妨加上11的30倍再减，333＋330－654＝9，即余数是9.如果用奇奇位好法，奇数位的战是3＋3＋5＝11，奇数位的战是6＋4＋3＝13，11减13没有敷减，那时奇数位的战加上11再减奇数位的战：11＋11－13＝9，即余数是9.。

五上13整数的整除

姓名：第十三讲整数的整除知识摘要：需要掌握的基础知识有：整除的意义、因数和倍数、奇数和偶数、数的整除特征、质数和合数、分解质因数、最大公因数和最小公倍数。

下面介绍几种数的整除特征：能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8；能被5整除的数：个位上是0、5；能被3（9）整除的数：各数字和是3（9）的倍数；能被4（25）整除的数：末两位数能被4（25）整除；能被8（125）整除的数：末三位数能被8（125）整除；能被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和之差（大减小）能被11整除。

能被7（11、13）整除的数：末三位数与前几位数之差（大减小）能被7（11、13）整除；能被A整除的数：能同时被A的几个互质因数整除。

例1、一个六位数43□57□能被72整除，这个六位数是。

例2、在532的后面添上三个数字，组成一个六位数，使这个六位数能同时被3、4、5整除，那么这个六位数最小是。

练习一1.六位数□3475□能被45整除，这个六位数最大是是。

2.相同字母代表相同的数，不同字母代表不同的数，四位数8A1B能同时被5、6整除，问这个最小的四位数是。

3.七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。

4.四位数3AA1能被9整除，求A= 。

5.已知整数5A6A7A8A9A能被11整除，满足这个条件的整数A有。

6.七位数22A333A能被4整除，且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数，A是。

7.在254的后面添上三个数字，组成一个六位数，使这个六位数能同时被4、5、6整除，那么添上的三个数字的和最小是。

8.在123的后面添上2个数字，组成一个五位数，使这个五位数能同时被3、5、7整除，那么这个五位数是。

例3、将一个长60分米、宽45分米的长方形铁皮剪割成若干个相同的小正方形铁皮，如果铁皮正好没有剩余，那么每个正方形的面积最大是多少平方分米？至少剪割了多少个正方形？例4、用一些长12厘米、宽8厘米的长方形，拼一个正方形，这个正方形的面积最小是多少平方厘米？最少要用多少个长方形？练习二1.将一个长40分米、宽24分米的长方形铁皮，剪割成若干个大小相同的小正方形铁皮，要求铁皮正好没有剩余，那么每个正方形的面积最大是平方分米，至少剪割了个正方形。

整除的特征

整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。

（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。

例如：10、72、34、56、98都能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。

例如：180、315都能被5整除。

（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。

例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。

4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。

能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。

一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。

（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。

例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。

975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。

如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。

如700、2800都能同时被4 和25整除。

（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。

例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。

9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。

如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。

如1000、3000、78000等。

（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。

例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。

整除特征

数的整除特征几个重要的整除特征：（1）能被2或5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2或5整除，这个数就能被2或5整除。

（2）能被4或25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。

（3）能被8或125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。

（4）能被3或9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

（5）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。

（6）能被7、11或13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7、11或13整除，这个数就能被7、11或13整除。

例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。

练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。

这个六位数最小是多少？2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。

A代表的数字是几？3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。

例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。

它们的前四位都是9876，而末位数字不同。

求这两个五位数的和。

练习：4、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。

5、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例3、在□内填上合适的数，使五位数2□10□能被72整除。

练习：6、七位数22A333A能被4整除，且它的末两位3A是6的倍数，那么A=（）。

7、已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么，这个数个位上的数最小是几？8、一个六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？例4、某校六年级共有学生72人，每人买了一本语文课外读物和一本数学课外读物。

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。

理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。

一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

整除属于除尽的一种特殊情况。

二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。

三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。

（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。

①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。

【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。

任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。

又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。

整数的整除特征

整数的整除特色之马矢奏春创作1.尾系的整除特色（1）2、5：末一位能被2、5整除：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位是0和5的数能被5整除.（2）4、25：末两位能被4、25整除：如1764、123456能被4整除；17850、98765475能被25整除.（3）8、125：末三位能被8、125整除：如1760、123456能被8整除；27750、98765625能被125整除.推而广之,末n位能被2n、5n整除.2.和系的整除特色：从末位（右）→首位（左）（1）3、9：一位一截,各位的数字和能被3（或9）整除：如8649→8＋6＋4＋9＝27,能被3或9整除；还可以采取更便利的弃3（9）法,如987654321,3、6、9、1＋2、4＋5、8＋7都是3的倍数可以弃去,和是0,所以987654321可以被3整除.采取弃9法,弃去1＋8、2＋7、3＋6、4＋5、9,和是0,所以987654321可以被9整除.（2）11、33、99：两位一截,数段和能被11、33、99整除：如260535→26＋5＋35＝66,66÷11＝6,66÷33＝2,66÷99＝0 ┅ 99,所以260535能被11和33整除,但不克不及被99整除；3.差系的整除特色：从末位（右）→首位（左）（1）11：奇偶位差法：一位一截,奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除.如110220→奇数段0＋2＋1＝3,偶数段2＋0＋1＝3,3－3＝0,0能被11整除,所以110220能被11整除.（2）7、11、13：三位一截,这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被7、11、13整除：如1121876→1┆121┆876,奇数段的和是876＋1＝877,偶数段是121,它们的差是877－121＝756,用这个差除以7、11、13：756÷7=108, 756÷11=68....8,756÷13=58...2,所以1121876能被7整除,1121876除以11余8,1121876除以13余2.是11的倍数.留心：假如消掉不敷减的情况,则奇数位加上7、11、13（或它们的倍数）后再减.如654333→654┆333,差654－333＝321不敷减,333可以加上11的30倍再减,333＋330－654＝9,即余数是9.假如用奇偶位差法,奇数位的和是3＋3＋5＝11,偶数位的和是6＋4＋3＝13,11减13不敷减,这时奇数位的和加上11再减偶数位的和：11＋11－13＝9,即余数是9.。

整数的整除特征

整数整除的特征
说起整数整除嘞特征，咱四川人也得来摆一摆。

要晓得嘛，整除这个事情，就像咱们吃火锅，要得就是那个整儿齐儿的味儿。

你看哈，两个整数相除，要是能除得尽，没得啥子余数，那就叫整除。

就好比吃火锅，菜品码得整整齐齐，一片儿不剩，这才安逸。

整除嘞特征嘛，首先就是除数和被除数都得是整数，不能是个带小数点儿嘞。

这就像选食材，得是新鲜嘞、囫囵个儿嘞，不能是些边角料。

再一个，整除嘞时候，商也得是个整数。

这就跟咱们喝酒划拳一样，喊嘞数儿得是个整嘞，不能是个半拉子数儿。

比如说，10除以2，商就是5，是个整数，这就对了。

还有嘞，要是被除数能被除数整除，那它们之间就有种特殊嘞关系，咱们四川人叫做“对得拢”。

就像你跟我借钱，我说要借就借个整数，好算好还，对得拢账。

最后嘞，还有个简单嘞方法来判断，就是被除数的各个数位上的数字加起来，如果能被除数整除，那被除数多半也能被除数整除。

当然嘞，这个方法不是百分之百准，但多数时候还是管用嘞。

所以说嘛，整数整除嘞特征，就像是咱们四川人的性格一样，直截了当，没得啥子弯弯绕绕。

掌握了这些特征，以后算起整数整除来，那就跟吃火锅一样，巴适得板！。

整数的整除性

整数的整除性竞赛讲座02－整数的整除性1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d 整除，记作d|a。

若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。

（2）性质1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am2）若a|b，b|a，则|a|=|b|;3）若b|a，c|b，则c|a4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b 互质，则b|c；5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。

证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1∴ 11｜(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明方法(1) 利用数的整除性特征（见第二讲）例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。

解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。

若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。

若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。

（2）利用连续整数之积的性质① 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。

② 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。

这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。

证明∵ 为连续二整数的积,必可被2整除.∴ 对任何整数n均为整数,∵ 为整数,即原式为整数.又∵，2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，∴ 是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3 a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整数的奇偶性下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：abcd-a= ①abcd-b= ②abcd-c= ③abcd-d= ④证明由①，a（bcd-1）∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd 为奇数，bcd-1必为偶数，则a（bcd-1）必为偶数，与①式右端为奇数矛盾.所以命题得证.例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且试证n是4的倍数.证明设(i=1,2,…，n-1)，则yi不是+1就是-1，但y1+y2+…+yn=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.又y1y2y3…yn=1，即（-1）k=1，故k为偶数，∴n是4的倍数.其他方法：整数a整除整数b，即b含有因子a.这样,要证明a 整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路.例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.解∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②＜＜＜＜∴若a≥3，此时- ＜矛盾.已知a＞1. ∴只有a=2.当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即 1= ＜∴0＜b＜4，知b=3，从而易得说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.例9 （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数，都能被1987整除.证明∵ × × × （103n+ ），且能被1987整除，∴p能被1987整除.同样，q= （）且∴故、102（n+1）、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表示式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q 能被1987整除.练习二1．选择题（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数n=2030405060708090100110120130，则不是n的因数的最小质数是（）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于（）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最小整数是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2．填空题（1）（1973年加拿大数学竞赛题）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.(2) 一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.(3) (1989年全国初中联赛题)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________求使为整数的最小自然数a的值(1971年加拿大数学竞赛题)证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数(1984年韶关初二数学竞赛题)设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d的111倍, 又是18的倍数.求出这个四位数 ,并写出推理运算过程(1954年苏联数学竞赛题)能否有正整数m、n满足方程m2+1954=n2证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除(1986年上海初中数学竞赛题)100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.练习参考答案１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５５５．（２）２７．３．由2000a为一整数平方可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴ 只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第一项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ¬２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１。

整数的运算和性质

整数的运算和性质整数是数学中的基础概念之一，其运算规则和性质在数学中有着重要的地位。

本文将围绕整数的运算和性质展开论述，包括整数的四则运算、整数的质数与合数性质、整数的奇偶性质以及整数的整除性质等。

通过深入探讨，我们将更好地理解和应用整数的运算和性质。

一、整数的四则运算整数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

具体规则如下：1. 加法：整数相加遵循“正+正为正，负+负为负”的原则。

例如，2+3=5，(-2)+(-3)=-5。

2. 减法：整数相减可以转化为加法运算。

当减数为正整数，被减数为负整数时，减法可以转化为整数的加法。

例如，7-(-2)=7+2=9。

3. 乘法：整数相乘遵循“异号相乘得负，同号相乘得正”的原则。

例如，(-3)×(-4)=12，2×3=6。

4. 除法：整数之间的除法需要注意取整规则。

当除数和被除数同号时，商为正整数；当除数和被除数异号时，商为负整数。

例如，8÷(-2)=-4，(-6)÷2=-3。

二、整数的质数与合数性质质数是只能被1和自身整除的正整数，而合数是能够被其他正整数整除的正整数。

我们可以根据这一定义来判断一个整数是质数还是合数。

1. 质数：质数只有两个正因数，即1和自身。

例如，2、3、5、7等都是质数。

2. 合数：合数可以分解为两个以上的正整数相乘的形式。

例如，4=2×2，6=2×3，8=2×2×2等都是合数。

三、整数的奇偶性质整数可以分为奇数和偶数两类。

1. 奇数：奇数是不能被2整除的整数，其个位数字只能是1、3、5、7或9。

例如，1、3、5、7等都是奇数。

2. 偶数：偶数是能够被2整除的整数，其个位数字只能是0、2、4、6或8。

例如，2、4、6、8等都是偶数。

奇数和偶数之间有一些特殊的性质。

例如，两个奇数相加的结果是偶数，奇数与偶数相乘的结果是偶数，偶数与偶数相乘的结果是偶数等。

四、整数的整除性质整数的整除性质是指一个整数能否被另一个整数整除的规律。

整除的判断方法

一个数被整除的判断方法：被4整除：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

被5整除：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

被6整除：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

被7整除：（比较麻烦一点）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

被8整除：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

被9整除：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

被10整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

被11整除：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

被13整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

被17整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

被19整除：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

整数的整除特性

能被2整除个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数余类推。

能被8整除百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除“奇偶位差法”奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

能被17整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

数的整除特征

数得整除特征1、一个整数得末尾一位数能被2或５整除,那么这个数就能被2或5整除。

2、一个整数得末尾两位数能被4或2５整除，那么这个数就能被4或25整除.3、一个整数得末尾三位数能被8或12５整除，那么这个数就能被8或１25整除.4、能被９与3整除得数得特征，如果各位上得数字与能被9或３整除，那么这个数能被９或3整除。

5、一个整数得末尾三位数与末尾三位数以前得数字组成得数得差（大数减小数)能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、１1、13整除。

6、一个整数得奇数位上得数字与与偶数位上得数字之与得差(大减小)能被11整除，这个数就能被11整除。

【例1】七位数错误!能被15整除，A与B 可以就是哪些数字？【例２】从０，4，9，5这四个数中任选三个排列成能同时被2，5，5整除得三位数.问:这样得三位数有几个？【例３】五年级(1）班有3６名同学,每人买了一本英语词典，共花了6 元,问:每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3，4,５整除，而且使这个数尽可能小。

【例5】要使错误!这个五位数能被４４整除,那么个位，百位各应该就是几？【例6】能被11整除，首位数字就是６,其余各位数字均不相同得最大与最小六位数分别就是几? 数得整除专项练习:1、五位数错误!得A ，Ｂ各就是什么数字时，这个五位数能被75整除？问:这样得五位数共有几个？内填上合适得数使七位数1能被72整除.3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数,使它能同时被3，４，5整除，并且使这个数尽可能小.4能被11整除，求这个六位数。

5、能被1１整除,首位数字就是6,其余各位数字均不相同得最大与最小六位数分别就是几？6、一个六位数错误!就是99得倍数，求这个数除以33得商。

７、在9７得内填上什么数字,就能被1５整除？填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除?8、四年级有72 内得数字模糊不清）。

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。

理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。

a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

整除属于除尽的一种特殊情况。

二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。

三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。

（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。

【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。

任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。

又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。

整除的性质和特征

整除得性质与特征整除问题就是整数内容最基本得问题。

理解掌握整除得概念、性质及某些特殊数得整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子得数感。

一、整除得概念：如果整数ａ除以非0整数b，除得得商正好就是整数而且余数就是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a),记作b/ａ，读作“b整除ａ”或“a能被ｂ整除".a叫做b得倍数，b叫做a得约数（或因数）.整除属于除尽得一种特殊情况.二、整除得五条基本性质:（1)如果a与ｂ都能被c整除，则a+b与ａ-ｂ也能被c整除;（２）如果a能被b整除，c就是任意整数,则积ac也能被b整除；(3）如果a能被b整除,ｂ能被ｃ整除，则积a也能被c整除；（4)如果a能同时被b、c整除,且ｂ与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立;（5)任意整数都能被1整除，即1就是任意整数得约数；０能被任意非０整数整除，即0就是任意非0整数得倍数。

三、一些特殊数得整除特征:根据整除得基本性质,可以推导出某些特殊数得整除特征，为解决整除问题带来方便。

(1)如果一个数就是整十数、整百数、整千数、……得因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数得整除特征。

①若一个整数得个位数字就是2得倍数(0、2、4、6或8)或５得倍数（0、５),则这个数能被２或5整除；②若一个整数得十位与个位数字组成得两位数就是4或２5得倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数得百位、十位与个位数字组成得三位数就是8或125得倍数，则这个数能被8或125整除。

【推理过程】:２、5都就是10得因数,根据整除得基本性质（２）,可知所有整十数都能被１0、２、5整除。

任意一个整数都可以瞧作一个整十数与它得个位数得与,如果一个数得个位数字也能被２或5整除，根据整除得基本性质（1）,则这个数能被２或５整除。

又因为4、25都就是1００得因数,８、１２５都就是100０得因数，根据整除得基本性质(2)，可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、1２5整除.同时，任意一个多位数都可以瞧作一个整百数与它末两位数得与或一个整千数与它得末三位数得与,根据整除得基本性质(1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征.同理可证,若一个数得末四位数能被１６或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推.(2）若一个整数各位上数字与能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。

数的整除性及性质

数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。

整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。

性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。

性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。

性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。

性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。

性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。

性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。

性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。

性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。

性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。

性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。

性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。

性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。

性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。

性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。

常见整数的整除规律

常见整数的整除规律（1）被“1”整除：任何数都能被1整除。

（2）被“2”整除：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

即偶数（3）被“3”整除：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）被“4”整除：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

（5）被“5”整除：个位上是0或5的数都能被5整除。

（6）被“6”整除：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

（7）被“7”整除：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

（8）被“8”整除：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

（9）被“9”整除：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

（10）被“10”整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除（11）被“11”整除：a.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

b.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）被“12”整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

组合判。

（13）被“13”整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）被“17”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

b.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（15)被“19”整除：a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。