两因素设计

交互作用（Interaction）概念

一个因素的水平改变时，一个或几个因素的效 应也相应有所改变。也就是说，如果一个因素 的效应大小在另一个因素不同水平下明显不同， 则称为两因素间存在交互作用。当存在交互作 用时，单纯研究某个因素的作用是没有意义的， 必须分另一个因素的不同水平研究该因素的作 用大小。
两因素设计（最简单的析 因设计）及其方差分析
复旦大学生物统计学教研室 2015/11/30



概念 方法与设计 无重复和有重复实验设计 数据分析 交互作用的概念和分析方法

例：如果需要研究A药和B药两种药物治疗缺 铁性贫血的效果，共有12例病人分别给予不同 的药物治疗，其中A药和B药用与不用均要考 虑到，结果变量是红细胞增加数，如何设计？
总体 A B 均数
11 21 12 22
1 1 2 1 1 2 2 2
数据表达
第1组 第2组 第3组 第4组 一般 一般+A 药 一般+B 药 一般+A 药+B 药 0.8 1.3 0.9 2.1 0.9 1.2 1.1 2.2 0.7 1.1 1.0 2.0
换一种数据表达形式
B药 用 用 A 药 2.1 2.2 2.0 不用 0.9 1.1 不用 1.3 1.2 1.1 0.8 0.9
2,4列对调
A B C D
D A B C
C D A B
B C 1,3行对调 D A
C B A D
B A D C
A D C B
D C B A
规定方阵中字母表示某因素的各个水平，定 义行因素和列因素


一般3个因素中有一个最重要的称之为处理因素， 用字母表示 其它两个是需要加以控制的因素，分别用行和列 表示

判断何种交互作用
组别 第1组 不用 B 药 不用 A 药 样本均数 0.8 第4组 用B药 用A药 2.1 第2组 不用 B 药 用A药 1.2 第3组 用B药 不用 A 药 1.0
0.8+2.1=2.9> 2.2=1.2+1.0


结合两因素方差分析的结果说明A药和B药的 疗效构成协同作用。 结果小结：A药和B药均能使红细胞增加数提 高。若仅用一个药的情况下，A药优于B药， 但用两个药的疗效已经超过单独使用其中一个 药的疗效之和(有协同作用)。
22
步骤

选择合适的拉丁方，例题每个因素为4个水平， 选择一个4阶拉丁方
A B C D B C D A C D A B D A B C 实现随机分配，将所选拉丁方随机化


将任意整行、整列之间对调 根据随机数字确定行、列、字母的次序
步骤
A B C D

B C D A
C D A B
D A B C


FB=90.75，P值<0.05，B药的主效应也有统 计意义。
协同作用和拮抗作用

如果有交互作用，则
两个药都用的均数>A药的均数＋B药的均数－ 两个药都未用的均数(本例即：22>12+21－ 11)，则称协同作用。 两个药都用的均数<A药的均数＋B药的均数－ 两个药都未用的均数(本例即：22<12+21－ 11)，则称拮抗作用。
概述

研究两个因素

每个因素有两个或多个水平 需要了解协同或拮抗作用——交互作用


无重复：往往是限于人力、物力、时间或只能得到有 限个观察数而设计，不可分析交互作用 有重复：重复实验，非重复测量，可分析交互作用


重复数相等 重复数成比例 重复数不等也不成比例
各组合计数与总合计数
B药 A药 不用 不用 用 合计 2.4 3.6 6.0 用 3.0 6.3 9.3 5.4 9.9 15.3 合计
两因素设计

例1 欲研究A药和B药两种药物治疗缺铁性贫血的情况， 用了以下四种疗法去治疗病人，然后观察红细胞增加 数，结果如下表（服用A药，则A＝2,否则A=1；服用B 药，则B＝2,否则B=1 ）
疗法 疗法 1(一般疗法) 疗法 2(一般疗法+A 药) 疗法 3(一般疗法+B 药) 疗法 4(一般疗法+A 药＋B 药) X 0.8 ，0.9 ，0.7 1.3，1.2，1.1 0.9，1.1，1.0 2.1，2.2，2.0
1.0
0.7
析因设计factorial design
源自文库
概念

将两个或多个实验因素的各水平进行组合，对各种 可能的组合都进行实验，探讨各实验因素的主效应 （main effect），以及各因素间的交互作用（ interaction）的研究设计类型 不仅要考虑某一种或几种因素的效应，同时经常要 考虑多种因素的联合效应


第3、4个假设检验
H0：A药没有疗效11+ 12 =21+22
H1：A药有疗效11 + 12 ≠21+ 22
FA=168.75，P值<0.05，A药的主效应有统 计意义 H0：B药没有疗效11 + 21 = 12 + 22 H1：B药有疗效11 + 21≠12 + 22

四种食品及四种加工方法喂养大鼠所增体重（g）
区组号 甲组 乙组 丙组 丁组
1
2 3 4
80 (D)
47 (A) 48 (B) 46 (C)
70 (B)
75 (C) 80 (D) 81(A)
51 (C)
78 (D) 47 (A) 49 (B)
48 (A)
45 (B) 52 (C) 77 (D)

按上面的拉丁方设计去安排试验 统计分析
优缺点


节省实验单位数 双区组设计，可以减少或消除两个重要非处理 因素对实验结果的影响，比随机区组设计误差 更小，效率更高 应用有一定局限性

例 欲比较A、B、C、D四种加工方法对大鼠体 重的影响，已知窝别和食品种类为混杂因素。 用4窝大鼠进行实验，每窝4只，每只大鼠随机 喂养一种食品，随机采用一种加工方法，8周 后观察大鼠增体重（g）情况。观察值（x）分 组归纳如下表所示。问食品种类是否影响大鼠 增体重？食品加工方法是否影响大鼠增体重？ 不同窝别（混杂因素）是否影响大鼠增体重？
( xi j ) C
ij
2
S S甲
5 .4 9 .9 6
6 .0 9 .3 6
2
C
1 2 7 .1 7 6
1 2 2 .4 9 6
N
1 9 .5 1
1 9 .5 1 1 .6 9
2
S S乙
C
1 9 .5 1 0 .9 1
结果
Number of obs = Root MSE = 12 .10 R-squared = 0.9737 Adj R-squared = 0.9638
结果说明



第1个假设检验 H0:没有交互作用并且A药和B药疗效的主效应 都没有差异 H1：有交互作用或A药主效应有差异或B药主 效应有差异 FModel=98.75，P值<0.05，认为模型是有效的 (或有交互作用或有主效应)。

第2个假设检验
H0：A药与B药的疗效没有交互作用 22-11=21-11+12-11或22- 21=12-11 或22- 12=2111 H1：A药与B药的疗效有交互作用 22-11≠21-11+12-11或22- 21≠12-11 或22- 12≠21-11 FA×B=36.75，P值=0.0003<0.05，A药与B药的疗效有交互 作用。

概念

将三个因素按水平数r排列成一个r×r随机方阵

用r个拉丁字母排成r行r列 每行每列中，每个拉丁字母只出现一次

特点

三个因素 各个因素间无交互作用（或交互作用可忽略不计） 水平数相等，均为r
基本拉丁方
ABC BCA CAB
ABCD BCDA CDAB DABC
ABCDE BCDEA CDEAB DEABC EABCD
拉丁方设计（latin square design）

例：现想设计一项医学研究用于评价四种治疗 类型（放射、化疗、外科手术、基因治疗）治 疗四种癌症（肺、脑、乳腺和大肠癌）的疗效， 其中病人有白人、黑人、印地安人、亚洲人四 种种族。结果变量是生存时间。问如何设计？
r阶拉丁方(r×r拉丁方)及其特点
结果
总处理 A药 B药 交互作用 误差 总变异
2 2
SS 2.96 1.69 0.91 0.36 0.08 3.04
2 2
3 1 1 1 8 11
MS 1.69 0.91 0.36 0.01
F 169 91 36
SS
处理

2 .4 3 .6 3 .0 6 .3 3
2 2
19 . 51 2 . 96
Source | Partial SS df MS F Prob > F -----------+---------------------------------------------------Model | 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 | a | 1.6875 1 1.6875 168.75 0.0000 b | .907499974 1 .907499974 90.75 0.0000 a*b | .367499967 1 .367499967 36.75 0.0003 | Residual | .080000002 8 .01 -----------+---------------------------------------------------Total | 3.04249994 11 .276590904

目的

析因设计factorial design

例1中，有两个因素A药和B药，对于A药而 言，可以有2种选择：不用A药，用A药， 故称为A药因素有两个水平，同理用B药也 有2种选择，故B药因素也有两个水平，如 果按照析因设计的规范去设计，则可以称 为两因素两水平的析因设计，是一种最简 单的析因设计，记为2×2析因设计