期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树法
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
Black_Scholes模型在股票定价中的应用
公司价值 300
500
800 1200 1800
出现概率 0. 1
0. 2
0. 3
0. 3
0. 1
已知 ,约定价格为 9800 万元 ,Si = 公司价值 - 257 ,股票 价格 = m a x ( Si - x ,0) ,期望值 = 股票价格 x 出现概率 ,从而
n
得到 Σpi m a x ( Si - x ,0) = 560. 5 (百万) 。若股票的期望收益 i=0
[J ] . 湖北社会科学.
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加上风险补偿率。该模型的缺陷在于 Dt 的估计。也许可以较
为准确的估计未来一两年的股息数额 ,但即使是内部人士也很
难预计未来更长时间内支付的现金股利 。
于是有了对传统模型的一个改进模型 ,即假设股票未来
的股利增长模式是可以预计的 ,并设股利按比例 g 增长 ,则
传统的模型变为 : P0
∞
=Σ t=1
D0 (1 + g) t (1 + r) t
,在
r
>
g
的条件下可以
简化为 : P0 = D1Fra bibliotek/ (r - g) 。然而当 r < g 时 ,该式则失去了意
义 。因此该模型具有很大的局限性 ,同时未来的股息也不会
一直按照同比例 g 增长 。
与传统的股票定价模型相比 ,二叉树定价模型不需要预
测公司未来的现金股利以及增长方式 ,在一定程度上克服了
其中 S0 为股票价格 ;pi 为到期股票价格为 max ( Si - x , 0) 的概率 ; Si 是公司到期的 i 种可能的价格 ; x 为公司债务的 总面值 ;r 为股票的到期收益率 ,它等于无风险利率加风险补 偿率 ,在二叉树模型中我们用无风险利率 ,但是在用期权定 价模型给股票估价的过程中由于期限比较长 ,所面临的风险 相对较大 ,相应的就需要一定的风险补偿金 。
期权定价理论文献综述
期权定价理论文献综述[摘要］本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black—Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。
最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。
[关键字］综述;期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型;蒙特卡罗法1 期权的分类及意义1.1 期权的定义期权（option）是一份合约，持有合约的一方(seller）有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。
为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。
1。
2 期权的分类期权交易的类型很多，大致有如下几种:（1)按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权；（2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权；（3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权；此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。
1.3 期权的功能作为套期保值的工具。
当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。
当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。
通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
基于偏微分方程框架分析下期权定价中BlackScholes模型与二叉树模型
理论探讨摘要：近年来，期权定价理论和衍生的产品越来越广泛。
期权的定价原理基本上可以分为蒙特卡罗模拟法、偏微分方程方法、动态规划法，有限差分方法等。
关于期权定价，其中最著名和适用最广泛的方法有两种，一种是动态规划法中的二叉树期权定价模型，另一种是偏微分方程法中的Black-Scholes 期权定价模型，两种方法在实际中都得到了大量应用。
本文通过对两个数学模型的整合和分析，做优缺点对比，整理总结两个模型各自的适用范围。
关键词：期权定价；二叉树模型；Black-Scholes模型一、期权理论在国内外的发展最早期权定价的研究大概是上世纪60年代，Bachelor 在其博士论文中提出了股票价格的布朗运动假设，并运用其对欧式期权进行定价，然而模型中有几点假设与实际市场不符：股票没有回报、买进价格可能大于股票实际价格、股票价格可能为负。
自从1965年F.Black从事认股权证定价研究，与传统方法不同他希望一些简单的假设：1.忽略交易费用；2.借贷利率相同且为常数；3.股票价格是常数波动率下的几何布朗运动。
他通过无风险对冲技巧，建立了认股权众偏微分方程，即Black-Scholes方程。
1970年，M.Scholes 与R.Merton及F.Black为最后一段公式进行了补充说明认识到只有在不存在套利情况下，期权价值才可以在此公式下进行定价。
事实上，若假设股票的期望收益率是无风险利率，则相应期权的期望收益率也是无风险利率。
这个公式使Scholes 与 Merton 于1997 年获得诺贝尔经济学奖。
对如今比较流行的定价方法比如Black-Scholes偏微分方程解、二叉树方法、蒙特卡洛模拟、有限差分方法和解析近似方法等。
但由于Black-Scholes模型假设条件比较苛刻，涉及的数学知识很深，而且适用条件十分有限，因此在1979年，Cox，Ross，Rubinstein 提出了期权定价的二叉树模型。
该模型易于理解，方便计算，理论比较直观，不仅适用于欧式期权的定价，而且也适用于美式期权的定价，应用比较广泛，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
14.期权定价的二叉树
乐经良
有关数据
若将 T 分成五段,每段长度1个月, 则t ＝0.0833(年),利用已知数据可以求出
ue
0 .4 t
1.1224,
1 d 0.8909 u
a e 0.1 t 1.0084,
ad p 0.5076 ud
乐经良
用二叉树计算
79.35 0 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.50 18.50 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 14.64 28.07 22.93
乐经良
Su2 Su S Sd Sd2
S
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率, 故
Ve r t pVu (1 p )Vd
V e r t [ pVu (1 p )Vd ]
期权的计算将从树图 Vu V Vd
乐经良
的末端( T 时刻)开始向后 倒推进行.时刻T 的期权价 值是已知的,可倒推出前 一个时刻的期权价格
利用 Matlab
编制 m 文件后可以取t 充分小，例如取 t =1/360, 求得期权价格＝ $4.76
乐经良
美式期权的例子
股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率 为 s=40% ,市场的无风险年利率 r =10%;敲定价 格 X =50(美元),美式看跌期权的有效期为五个 月,即 T =0.4167 (年)意味着期权持有者有权在 月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价 格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃 这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
乐经良
如何定价的思路
基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而 采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为V ,再以价格S 买进 a 份这种股票,那么该组合的价格为
第十讲期权的定价
X=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25 股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组 合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利
率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应
为：
2.25e 0.10.25 2.19元
应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过 这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用 于投资者厌恶风险的所有情况。
举例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，在3个月后，该 股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要求出一份3个月期 协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
计算过程可分为三步：
第一步，先算出 d1和 d2 ，
d1
ln(50
/
50)
(0.12 0.1 1
0.01/
2)
1
1.25
d2 d1 0.1 1 1.15
第二步，计算 N d1 和 N d2 ，
N d1 N 1.25 0.8944 N d2 N 1.15 0.8749
第三步，上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看 涨期权和看跌期权价格分别为：
（三）看跌期权的定价公式 Black-Scholes期权定价模型给出的是无收益资产欧式
看涨期权的定价公式，根据欧式看涨期权和看跌期权之间的 平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：
p c Xer(T t) S Xer(T t) N (d2 ) SN (d1)
两个组合的现金流情况
5. 在期权有效期内，无风险利率为常数，投资者可以此利率无 限制地进行借贷。
Black–Scholes 公式的推导
由此可解得
（3）我们只假定“未来”可能有两种情况，但并未 规定对这两种情况的可能性（概率）各有多大。每 个投资者都可根据自己所掌握的信息对这两种可能 作出自己的估计（即所谓主观概率）。但是在进一 步的无套利假设下，就要导得a与b中必然有一个 大于1，另一个小于1，即股市的两种情况只能是 一涨一跌。否则在都上涨时，投资者可通过“当前” 买进，“未来”卖出，稳能得利。当然，我们这里 同样还要假定投资者总有一定的资金可支配，并且 股市允许“卖空”，即允许卖出你并不拥有的股票， 只要你能在“未来”交割时，有资金到市场去把股 票买回。这里的进一步的无套利假设是指：“当前” 与“未来”的货币价值一样时，不存在未来价值总 高于当前价值的证券组合。
Black–Scholes 公式的推导 一、基本概念
无套利假设：无套利假设类似于普通商品定价问题 中的“无投入就无产出”假设。由于在 金融市场中最后都会以钱来结算所以 投入和产出都将是钱。所谓无套利假 设就是“在一个完善的金融市场中,不 存在套利机会” 。 （这就是现代理论金融经济学中的一 条“公理”。这条“公理”显然只在非 常理想的市场条件。）
期
权：以某一固定的执行价格在一定的期限 内买入某种股票的权利。行期可以是到期前的任何时候 的期权。
无套利假设怎样用来 给金融资产定价
二、数学模型
期权在它被执行时的价格很清楚，即:如果股 票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的 价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价 低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的， 其价格为零。不过，如果股票在未来到期时的价 格从当前来看时是不确定的时，期权到期执行时 的价格也是不确定的。现在要问期权在其被执行 前应该怎样定价？为此，我们来考虑一个最简单 的股市数学模型。这个模型中一共只有“当前” 与“未来”两个时刻，并且“未来”时刻就是期 权的执行时刻。
债券的定价分析
固定收益证券分析
➢
对利率可能随时间而变化的情况加以分析和说明
的模型，被称为利率模型(Interest Rate Model)。
➢
通过假定短期利率与利率波动性之间的关系，如
假定利率和利率的波动符合正态分布，从而构造出某
一时间段后，利率的变化分布，如利率树(Interest
40
4、远期利率对二叉树的修正：无套利分析 对理论推测进行修正的基本思路，是引入无套利分析法
39
这种估计远期利率分布的方法使用很少，主要原因是这 一方法所假定的未来利率分布呈上涨和下跌概率不变的二项 分布，缺乏根据市场变化对所推导利率进行修正或调整，从 而可能使理论与实际的市场情况存在较大误差的可能。
对于大多数较为成熟的金融市场，都有利率期限结构等 市场对远期市场的预期，完全可以作为推算远期利率的修正 基础。
11
Vasicek模型在利率期限结构模型中，形式相对较为简 单，也比较容易使用。
但这一模型无法避免负利率问题，因为Vasicek模型假 定利率变化呈正态分布；而且假定了所有的债券之间都是完 全正相关的。
这一模型另一个不足之处是，无法用该模型直接推导出 实际的期限结构曲线。在对以债券为基础的欧式期权定价时 ，这一模型还是有用的。
d ln rt ( a ln rt )dt tdzt
其中：
当a 0， t不变时，为Salomom模型； 当a 0， t可变时，为Black Derman Toy模型
6
2、Rendleman和Bartter模型 Rendleman和Bartter模型中，利率被假定为服
从几何布朗运动，具有常数期望增长率μ和常数波 动率σ，其风险中性过程可以表示为：
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
基于二叉树模型的期权定价
精品文档目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (3)1.1 背景介绍 (3)1.2 本文的主题 (4)第二章预备知识 (5)2.1 期权 (5)2.2二叉树方法 (6)2.2.1 方法概述 (6)2.2.2 二叉树方法的优点和缺点 (8)2.2.3 风险中性定价 (9)2.3 Black-Scholes 期权定价模型 (10)2.3.1模型来源 (10)2.3.2风险中性定价 (11)2.3.3模型假设 (11)可编辑精品文档2.3.4Black-Scholes期权定价公式 (12)第三章本论 (14)3.1期权定价的二叉树模型 (14)3.1.1参数确定 (14)3.1.2资产价格树形 (16)3.1.3通过树形倒推 (17)3.1.4代数表达式 (18)3.2 例子模拟计算和结果分析 (18)3.3 模型改进——三叉树 (22)第四章结论 (25)谢辞及参考文献 (28)谢辞 (28)参考文献 (29)附录 (32)计算过程中涉及算法 (32)可编辑精品文档摘要Black-Scholes 期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果，而Black-Scholes 公式是此模型的核心，但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。
二叉树方法作为一种数值方法，同时也是图论中一种重要方法，应用于期权定价问题中，它有了更特别的演变。
本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解，用二叉树方法迭代多次，求出较为准确的期权价格。
通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比，分析二叉树方法模拟的优点和缺点。
同时，我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系，从而更加深入了解二叉树方法。
然而，我们在模型中设立了许多条件，这些都使模型离真实情况越来越远，我们必须不断发展模型，完善模型。
三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。
关键词：二叉树方法，Black-Scholes 模型，风险中性定价可编辑精品文档ABSTRACTBlack-Scholes Formula is the core of Black-Scholes Option Pricing Model which provides a practical method for option pricing. It has analytical solutions with good properties in some special situations, for instance, European options. However, the analytical solution is difficult to find in many derivative models like Asian options and American option. As a sort of typical statistical simulation method,Binomial tree plays very important roles in Graph Theory and other significant academic fields. W h e n i t a p p l i e s t o t h e o p t i o n p r i c e,b i n o m i a l t r e e m e t h o d h a s m u c h m o r e s p e c i a l u s e.The main idea is that we put the binomial tree into effect,reapply this method and get numerical results of option price.By comparing the results of Black-Scholes formula with the results of binomial tree method,we come to the advantages and disadvantages of both method. Meanwhile,the study of the steps of binomial tree method is also included to get its relationship with the method’s results and accuracy,which leads us to understand this method deeply and rightly.However,we set many extra conditions,which pushes the situation further away from the real situation.The simple binomial tree method is supposed to be improved constantly in case the可编辑精品文档finance market changes ceaselessly. Ternary tree is a good supplement for the binomial tree.Key words: B i n o m i a l t r e e method, Black-Scholes option pricing model,Risk-neutral valuation第一章绪论1.1 背景介绍金融数学这门学科是随着金融市场崛起后产生的一门衍生学科，作为为金融学和数学的交叉学科，它的主要想法就是收集大量金融市场中的实际数据，建立适当的数学模型并不断进行优化，利用一系列的现代数学工具（例如概率论、随机分析以及程序辅助）研究风险资产如金融衍生产品的定价，同时尽可能规避投资风险以及选择最优的消费投资策略。
BlackScholes期权定价模型
12
几何布朗运动的深入分析（2）
S 但是，在一个较长的时间T后，S 不再具有正
态分布的性质：
多期收益率的乘积问题 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的标 准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标 准差却不再是 T 。股票价格的年波动率并不是 一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。
其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤 过程。
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
G G 1 2G 2 G dG ( a b )dt bdz x t 2 x 2 x 其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a
2013-7-20
2
为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程?
期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相 对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化， 在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了 解其所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
多期收益率问题：
交叉汇率问题：
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
和b都是x和t的函 数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为 方差率为 2
bs期权定价与二叉树期权定价
第三节Black-Scholes期权定价模型一与期权定价有关的基本假设:（一）.关于金融市场的基本假设假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的.假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能.假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模越大,竞争性市场假设就越接近于现实.假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好.假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失.（二）.关于股利的假设股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利对于标的资产为股票的合同其大小一般用D 表示.一般来说,离散股利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,其大小通常用股利支付率二 模型假设与概述（一）模型假设Black 和Scholes 在推导B-S 模型时做了以下假设:(1)无风险利率r 已知,且为一个常数,不随时间变化.(2)标的资产为股票,其价格t s 的变化为一几何布朗运动,即t t t t ds s dt s dz μσ=+或者说, t s 服从正态分布21/20exp{(0.5)},0t t s s t t e t T μσσ=-+<<……… 由(18)式容易得到其中t e 为标准正态分布N(0,1),且不同时刻的t e 相互独立.(3)标的股票不支付股利.(4)期权为欧式期权(5)对于股票市场,期权市场和资金借贷市场来说,不存在交易费用,且没有印花税.(6)投资者可以自由借入或贷出资金,借入利率与贷出的利率相等,均为无风险利率.而且,所有证券交易可以无限制细分,即投资者可以购买任意数量的标的股票.(7)对卖空没有任何限制(如不设保证金),卖空所得资金可由投资者自由使用.（二）模型的概述在上述假设下,若记t s 为定价日标的股票的价格,X 为看涨期权合同的执行价格,r 是按连续复利计算的无风险利率,T 为到期日,t 为当前定价日,T t -是定价日距到期日的时间(单位为年),σ是标的股票价格的波动率,则可得到B-S 模型如下:(1) 在定价日t (t T <),欧式看涨期权的价值t c 为()12()()r T t t t c s N d Xe N d --=- (22)式中:21/21[ln(/)(/2)()]/[()]t d s X r T t T t σσ=++-- (23)1/221()d d T t σ=-- (24)而()N x 是标准正态变量的累积分布函数,即()N x {}p X x =<其中X 服从(0,1)N .(2) 由看涨期权-看跌期权平价公式:()r T t t t t p c s Xe --=-+,且注意到()N x 的性质()N x +()N x -1=,欧式看跌期权在定价日t 的价值t p 为t p ()12()()r T t t s N d Xe N d --=--+- (25)三 模型的推导与推广（一） Black 和Scholes 的推导假设期权当前时刻的价值为t F ,显然t F 是标的股票当前市场价格t s 的函数. Black 和Scholes 首先构造了如下套期组合:即在当前t 时刻,以t s 买入标的股票/t t F s ∂∂股,同时以t F 卖空一份期权.显然,该组合的构造成本(/)t t t t t A F s s F =∂∂-.当时间变化一个微小区间t (即从t 到t t + ),/t t F s ∂∂可近似看成是一个常数,则该组合价值t A 的变动t dA 为:t t t tF dA ds dF s ∂=-∂…………………………(26) 注意到,由B-S 模型的假设t t t t ds s dt s dz μσ=+又由伊藤引理(11)式,期权价值t F 作为t s 的函数,应满足以下公式2222(0.5)t t t t t t t t t t t tF F F F dF s s dt s dz t s s s μσσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 将上述两式代入(26)式得2222[0.5]t t t t tF F dA s dt t s σ∂∂=-+∂∂ (27)在(27)式中随机项t dz 已经不存在,这说明在[,]t t t + 这段时间上,该套期组合价值的变动是确定的,不存在风险.因此,根据无套利定价原则,不考虑交易成本等因素,在该时间段组合的收益应当是无风险利率r ,即()t t t t t tF dA rA dt r s F dt s ∂==-∂…………………(28) 将(27),(28)结合化简得:22220.5t t t t t t t tF F F rs s rF t s s σ∂∂∂++=∂∂∂………………(29) 此式就是著名的B-S 微分方程,它构成的包括期权在内的任何一种衍生工定价模型的基础.这就是说,B-S 方程可以用于任何一种衍生工具的定价,只要该衍生工具的标的资产价格变化服从几何布朗运动.对于不同类型的衍生工具来说,其价值t F 有不同的边界条件.给定这些特定的边界条件,就可以通过求解上述偏微分方程,得到该衍生工具的定价模型.对于欧式看涨期权来说,其价值t F t c =在到期日T 的边界条件为: max(0,)T T T F c s X ==-而对于欧式看跌期权来说,其价值max(0,)T T T F p X s ==-根据上述边界条件,Black 和Scholes 得到了B-S 方程的解,它们就是B-S 期权定价模型。
期权定价方法综述
目录
01 一、期权定价方法
03 结论
02
二、应用前景与未来 发展
04 参考内容
期权定价是金融衍生品市场的重要部分，对于期权交易、投资组合构建以及 风险管理都有着至关重要的作用。本次演示将对期权定价的主要方法进行综述， 包括欧式期权、美式期权和日式期权，并分析比较它们的优缺点。此外，还将探 讨期权定价方法的应用前景和未来发展方向。
（2）蒙特卡洛模拟：该方法通过模拟大量股票价格路径，计算美式期权的 预期收益，从而得到期权价格。蒙特卡洛模拟的优点在于它可以处理复杂的期权， 如多资产、多期权等。然而，它需要大量的计算资源，且可能受到模拟误差的影 响。
3、日式期权定价方法
日式期权是指只有在到期日行权的期权，其定价方法主要有以下两种：
（1）Black-Scholes-Merton模型：该模型基于Black-Scholes模型，但允 许美式期权在到期日之前行权。这需要对Black-Scholes模型的公式进行修改， 并加入提前行权的条件。该模型的优点在于它可以处理美式期权，并考虑到提前 行权的风险。然而，它仍然受到Black-Scholes模型的一些限制。
（1）三叉树模型：该模型通过构造股票价格的三叉树图形，模拟期权在多 个时间段内的价格变化。三叉树模型考虑了分红的影响，适用于日式期权的定价。 然而，它需要主观设定一些参数，且对于大规模计算的要求较高。
（2）静态复制方法：该方法通过构建一个投资组合，使其在到期日的收益 与期权收益相同，从而得到期权的定价。静态复制方法的优点在于它简单易懂， 可以用于不同类型和执行价格的期权。然而，它可能受到市场流动性的限制。
影响因素
实物期权定价的影响因素十分复杂，主要包括以下几类：标的资产价格波动 率、无风险利率、行权价格、到期时间、标的资产潜在增长机会等。这些因素对 实物期权价格的影响程度并不相同，需要通过实证研究进行检验。
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
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背景知识
衍生证券 — 期权 ()
无风险利率
约定价格
看涨期权( )；购进标的物
看跌期权( )：卖出标的物
欧式()期权；美式()期权
期权价格：一种未定权益的价格 — 方程
乐经良
简单分析
股票的现价为,由于股票价格的波动率,到 期时价格可能上扬为,也可能下跌为. 为简 单计,暂且假定涨跌幅均为％ ,则有 ％
故有
Sert pSu (1 p)Sd
乐经良
确定有关常数
利用概率论的知识，可以导出
ud 1 u e t d e t
p ad ud
(其中a ert )
乐经良
股票价格二叉树图
这是一个
的二叉树图
乐经良
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率,
故
Vert pVu (1 p)Vd
乐经良
有关数据
若将 分成五段,每段长度个月, 则 ＝(年),利用已知数据可以求出
u e0.4 t 1.1224, a e0.1t 1.0084,
d 1 0.8909 u
p a d 0.5076 ud
乐经良
用二叉树计算
注意第二 行的数字
乐经良
用前列相应两个数字和公式
V ert[ pVu (1 p)Vd ]
期权的计算将从树图
的末端( 时刻)开始向后 倒推进行.时刻 的期权价
值是已知的,可倒推出前
一个时刻的期权价格
乐经良
计算的实例
乐经良
算得期权价格
当 当然
ห้องสมุดไป่ตู้
, 得到 $ 越小，可得越精确的结果
利用
编制 文件后可以取 充分小，例如取 , 求得期权价格＝ $
()
V
1
[ pVu
(1
p)Vd ]
()
4.454
乐经良
– 方程
利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以
导出
V t
1 2S2
2
2V 2S 2
rS
V S
rV
0
对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式
方程虽然影响巨大,但是它的
数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和 掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方
乐经良
另一方面，如前面分析，这组合在期权满日
时价格
T
ST
VT
Su Sd
Vu Vd
股价上涨时 股价下落时
由于组合无风险，故
Su Vu Sd Vd
Vu Vd
S(u d )
T
u
d
d
Vu
u
u
d
Vd
V
1
[ d
ud
Vu
乐经良
程序
() *; ; (*()); ; (*); ()();
()*^*^(); ()(());
() ()(*)*(()*()*());
; [ ];
;
乐经良
美式期权的例子
股票现价＝(美元),该股票的年波动率 为 ,市场的无风险年利率 ;敲定价 格 (美元),美式看跌期权的有效期为五个 月,即 (年)意味着期权持有者有权在 五月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价 格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃 这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
V ert[ pVu (1 p)Vd ]
（不提前执行时的期权价 格）股票约定价格与当时价 格的差
（提前执行时的期权价格）
比较之：应取较大的数字
由 和 算出 , 差价为，故取 由和算出, 差价为,故取
乐经良
实验任务 选择本实验必须至少完成 任务、
乐经良
谢谢各位！
乐经良
个人整理，仅供交流学习！
， ％＝ ($)
($)
($)
显然前一情况客户会执行期权，后一情
况会放弃期权
乐经良
期权价格
在股票价格为$时,客户必定以敲定价格
$ 购进股票.这时期权的价格应为 (美元)
在股票价格为$ 时,客户必定放弃这约
定的股票购买权,这时期权的价格应为
(美元)
在期满日 时,期权价格为
(–, )
()
反问题：由 求
? ()
数学实验
期权定价问题的方程和 二叉树法
上海交通大学数学科学学院
实际问题
在世界大多数证券市场上,有一种期权 ()的交易.例如,某种股票的现价为
美元,该股票的年波动率 ,市场的无 风险年利率 ;若客户希望拥有在六个月即 年后以约定价格(美元)购进这种股票 的权利,而届时他也可以放弃这种权利.试问:为 拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言 之,这种期权的价格为多少?
u
ud
Vd ]
将数据代入 ρ ×, , , 得到
乐经良
再作分析
公式
V
1
[ d
ud
Vu
u u
d
Vd
]
记
那么
p d
ud
1 p u
ud
注意 正是股票价格上扬的概率
是股票价格下跌的概率，于是
V
1
[ pVu
(1
p)Vd ]
乐经良
这意味着可以由 和 来导出
程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.
乐经良
二叉树
在简单分析中.有一个显然的问题,例子中
到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅％的 假定都是很粗略的
事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们
将 分为很多小的时间间隔,而在每一个,
股票价格变化由 到或.若价格上扬的概率
为,那么下跌的概率为
如前所述,股票预期收益率等于无风险利率
乐经良
如何定价的思路
基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而 采取的投资组合()的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为 ,再以价格 买进
份这种股票,那么该组合的价格为
S V
组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无 风险利率，那么在期权期满日,组合增值后价值为
T (S V ) 其中 erT