弹性力学圣维南边界条件

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弹性力学问答题

弹性力学问答题1 1、简述弹性力学中应力分量和应变分量的符号规定。

（6分）正面上，应力分量沿着坐标轴正向为正，负面上应力分量沿着坐标轴负方向为正；应变分量，拉应变为正，剪应变以使直角减少为正。

2、弹性力学中包含哪几类边界条件。

（5分）答案要点：（1）位移边界条件，（2）应力边界条件（3）混合边界条件。

3、简述圣维南原理及其作用。

（5分）圣维南原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。

可以推广为：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计 .圣维南原理的用途：具有广泛用途。

例如：（1）对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。

（2）有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。

4、简述什么是弹性力学的位移解法和应力解法。

（5分）答案要点：（1）位移解法：位移解法即按位移求解，它以位移（分量）为基本未知函数，将控制方程和边界条件用位移表出，求出位移后，再利用几何方程、物理方程求出力与应变分量。

（2）应力解法即按应力求解，以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。

1、简述半逆解法的适用条件及其实施的主要过程。

（6分）主要使用条件是常体力平面问题，这时候可以使用基于应力函数的解法。

半逆解法的主要实施过程（a ）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分或者全部应力分量的某种函数形式；（b ）根据应力分量与应力函数的关系以及用应力函数给出的变形协调关系，确定应力函数的形式；（c ）再次利用应力分量与应力函数的关系求出应力分量，并让其满足边界条件，对于多联通域，还要满足位移单值条件。

3、在主轴坐标系下，线弹性体应变能密度是()11223312U σεσεσε=++，请将其写成约定求和的指标记法。

圣维南原理的有限元模拟

圣维南原理的有限元模拟1.离散化：将要模拟的结构体分割成若干个小单元，这些小单元可以是点、线或面等。

每个小单元的选取要尽可能地满足结构的复杂程度，并且能反映结构的特征。

2.建立网络：将离散化的小单元按照一定的几何排列方式组成网络结构。

这个网络结构可以是三角形、四边形等形状，也可以是无规则形状的网格。

建立网络结构的目的是为了进行计算，使得力学问题能够用数学方法进行描述。

3.引入边界条件：在模拟的结构体上设置边界条件，这些边界条件可以是结构体受到外力的作用或者结构体的位移限制等。

引入边界条件是为了使得结构体的变形状态和应力分布能够满足实际工程的要求。

4.求解线性方程组：将离散化后的结构体的变形状态表示为线性方程组，利用线性代数的方法求解这个方程组，得到结构体的变形和应力分布。

求解过程中，需要根据边界条件和外力的作用，对未知量进行消元和赋值计算。

5.结果分析：根据求解得到的结构体的变形和应力分布，对结果进行分析和评估。

通过分析结果，可以判断结构体的安全性，确定结构体的设计参数，并对结构体进行优化设计。

例如，在建筑工程中，利用圣维南原理的有限元模拟可以计算和评估房屋在地震等自然灾害下的承载能力和变形情况，为房屋设计提供重要的参考依据。

在船舶和飞机设计中，可以使用有限元模拟来分析结构体在不同载荷下的应力分布，以及结构体的刚度和强度等性能。

这对于船舶和飞机的安全性和性能是非常重要的。

综上所述，圣维南原理的有限元模拟是一种重要的工程计算方法，可以模拟结构体在受力情况下的变形和应力分布。

通过该方法，工程师可以预测和分析结构体的性能和安全性，为结构体的设计和优化提供有力的支持。

圣维南原理的基本概念

.
'. 圣维南原理的基本概念
圣维南原理是针对弹性力学边值问题提出的一个简化原理。

它把弹性力学边界分成主次两个边界（以边界尺寸大小为标准，尺寸大可看成是主要边界），主要边界必须精准满足边界条件，次要边界静力等效满足即可，这样得到的简化解答在次要边界的附近和精准解答有较大差异，但在离开次要边界足够远的地方和精准解答没有太大差异。

有时问题的主次边界尺寸差不多，圣维南原理就不能用。

这个原理不是用来确定应力分布形式的。

其是一个宏观上的原理不能把材料无线分成小块。

圣维南原理在薄壁材料结构的应用上存在例外的情况。

弹性力学-边界条件

xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
x
y
xy
独立的（3个）
（3个）
3、位移分量f
ux, y, vx, y, w 独立的（2个） ux, y, vx, y（2个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题 1、平衡微分方程（2个）
x x
悬臂梁的例子：
边界的积分式
h
2 h
x
xldy 0
2
h
2 h
x
xl ydy M
2
h
2 h
xy
dy 0
xl
2
设中性轴为z
y xdA z 1
自由端边界条件：
y
h
2 h
x
xl dy 0
2h 2 hFra bibliotekh x
2 h
x
xldy
2 h
f x dy
2
2
h
h
y xl f y
2 h
y
dy
xl
2 h
f ydy
2
2
根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩：
h
h
2 h
x
xl ydy
2 h
f x ydy
2
2
平面问题小结

0
左 : (
)
x
s

q, (
)
xy
s

0
上 : (
y)s q, (
y
)
x
s

0
下: (

弹性力学论文：关于圣维南原理的数值计算

关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法摘要本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。

关键词弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法0引言圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。

作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。

本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。

1问题的描述考虑长方形平板的拉伸问题。

如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。

2方程的建立2.1解法的选择应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。

在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。

但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。

但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。

若将应力函数记为，那么双调和方程可以写成。

2.2有限差分法在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。

利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。

6-圣维南原理解析

例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。
左侧面：
l 1, m 0
X Y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
x xh 0
xy
xh
0
右侧面：
l 1, m 0
X y,Y 0
静力等效两个力系，若它们的主矢量、主矩
相等，则两个力系为静力等效力系。
R Fi MO mO (F i )
这种等效有效的条件？
静力等效
在端面上合力为零，合力矩为M，即静力等效力系，但它们的外力分布不一样。外力作用区域状态肯定不一致，问题时该区域有多大，是否对其他区域有影响？
影响区域约为作用面尺寸的2-3 倍。
§1-6 圣维南(Saint-Venant)原理
问题的提出
弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。
？
？
？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
N
pXx l x m yx n zx
Z
Y X
Z Y
X
pYy l xy m y n zy
pZz l xz m yz n z
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
P
P
P P/2
P
A

圣维南原理的理解和在工程问题中的应用

一、题目圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用二、涉及到的弹性力学相关概念介绍1855年,圣维南在梁理论研究中提出：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。

这就是著名的圣维南原理。

圣维南原理的一种较为实用的提法是：若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系〔具有相同的主矢和主距代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计[1]。

三、正文部分1圣维南原理的理解1.1 圣维南原理的提出背景求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。

边界条件不同,问题的解答也不一样。

但是要求出严格满足边界条件的精确解,有时是非常困难的,另外,对于一些实际问题,不能确切的给出面力的分布,只是知道它在某边界上的合理与合力偶的大小。

于是我们会提出一个问题,能不能用一个可解的等效力系来代替它；满足合力、合力偶条件的解是否可以替换它。

这个问题可由圣维南发原理来回答。

1.2 凭借生活经验的理解对于圣维南原理的第一种提法：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形,可以用一个实例先简单理解。

例如用钳子剪钢丝即使外力大道把钢丝剪断的程度,根据生活经验,钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。

经验表明,这一平衡力系越小,对钢丝其它部分的影响越小[3]。

对于圣维南原理的另一种提法是：若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系〔具有相同的主矢和主距代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。

可以这样理解:悬臂梁在端部不沿受集中力作用,基础上增加一对自相平衡的力系。

再减少一对相平衡的力系,根据圣维南原理,仅在小区域那有明显差异,而在该区域之外应力几乎是相同的[1]。

1.3简单应用的理解书上的例子是这样的：如图1.1所示,设有柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F,如图1.1〔a,如果把一端或两端的拉力变化为静力等效的力,图1.1〔b或图1.1〔c,则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变,而其余部分所受的影响是可以不计的。

圣维南原理

x xyX0
x y
yxy Y0
x y
3x2y3x2y0
y3y30 —— 满足
（2-2）
将式（a）代入相容方程：
x22y22(xy)0
xy(2 3x2y21 4y4)
x22
y22
(y
y) 3 y2 3 x2 3 y2 0
∴ 式（a）不是一组可能的应力场。
（2）将式（b）代入应变表示的相容方程：
2x
利用平衡方程式消去上式的 xy
yxxxyyxyxyYX2x2xyy2x2x
2y2y
XY x y
移项，展开，化简后，最后可得：
x22 y22(xy)(1) X x Y y
(1)
平面应力情形 μ μ/1-μ 控制方程
平面应变情形控制方程
x22 y22(xy)1 1 X x Y y (2)
x A y,yx A x
(b)
由第二式
y (xy)
y
x
y B x,xyB y
引入函数B, 使 (c)
A B ,
x
y
再引入函数φ, 使
A,B
(d)
y
x
（d）代入（b)、（c）式，得到：
x y 2 2,y x 2 2,xy x2 y,
(e)
如果考察体积力，且体积力为常量时，满足平衡方程还必须加上一组特解，即
2x2y2y2x
2 v u ( )
xyx y
2 xy xy
•变形协调方程的数学意义
•使2个位移为未知函数的3个几何方程不相矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。

圣维南方程显示差分格式边界条件

圣维南方程显示差分格式边界条件圣维南方程是一种描述波动现象的偏微分方程，它在数学和物理学领域具有重要的应用。

差分格式是一种数值计算方法，用于近似求解偏微分方程。

本文将探讨如何在差分格式中处理圣维南方程的边界条件。

圣维南方程的差分格式通常基于有限差分法，将空间和时间离散化。

在处理边界条件时，常用的方法是通过引入虚拟节点，将边界条件转化为某一时间步或某一空间节点上的数值。

以下是一种常见的差分格式边界条件处理方法：1. 开放边界条件：对于边界处的开放边界条件，可以使用一阶精度的差分格式。

例如，对于一维圣维南方程中的左边界条件，可以使用中心差分格式表示为： u[0, n+1] = u[1, n] - c * (u[1, n] - u[0, n])其中，n表示时间步，c为波速，u[0, n+1]为左边界处的虚拟节点，u[0, n]为左边界实际节点，u[1, n]为左边界外的节点。

2. 封闭边界条件：对于边界处的封闭边界条件，可以使用二阶精度的差分格式。

例如，对于一维圣维南方程中的左边界条件，可以使用以下差分格式表示： u[0, n+1] = u[2, n] - 2 * c * (u[1, n] - u[0, n])这里，u[0, n+1]为左边界处的虚拟节点，u[2, n]为左边界外的节点，u[1, n]为左边界内的节点。

以上是对于一维圣维南方程差分格式边界条件处理的简单示例。

对于更高维度的方程和复杂的边界条件，可以使用不同的差分格式或其他方法进行处理。

值得注意的是，选择合适的差分格式和边界条件处理方法，以确保数值解的精度和稳定性。

总之，差分格式是一种常用的数值计算方法，用于近似求解圣维南方程。

在处理边界条件时，需要根据具体情况选择适当的差分格式，并将边界条件转化为相应的差分方程。

这样可以确保数值解在边界处的准确性和稳定性。

弹性力学的一般原理-圣维南原理

圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。

其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。

还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力和合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎等于零。

不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。

因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。

在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。

另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分别形式。

因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。

这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先提出的。

其要点有两处：一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。

一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。

圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。

在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。

圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。

弹性力学的一般原理：圣维南原理：对于作用于物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。

浅论圣维南原理的应用条件

浅论圣维南原理的应用条件简介圣维南原理（St. Venant’s Principle）是弹性力学中的一个重要定理，描述了一个结构体在受力后的应力分布情况。

它是理解和应用弹性力学的基础，对于工程领域中的设计和分析工作起到了重要的指导作用。

本文将探讨圣维南原理的应用条件。

1. 弹性体假设圣维南原理的应用条件首先要满足弹性体假设，即结构体材料的应力-应变关系是线弹性的。

线弹性是指材料在弹性变形范围内，应力和应变之间的关系是线性的。

•弹性体假设要求材料的应力-应变曲线是直线，即材料的应变与外部施加的应力成正比。

•材料的线弹性行为可以通过实验测试得到，例如拉伸试验、压缩试验等。

2. 结构体形状圣维南原理的应用条件还要求结构体具有合适的形状，即结构体应该是细长的，且在受力区域内的几何形状应相对均匀。

•圣维南原理适用于结构体在边界上施加荷载的情况，例如悬臂梁、梁和柱等。

•结构体的几何形状要求在受力区域内没有突变或者急剧变化的情况，以保证应变和应力的分布是均匀的。

3. 受力方式圣维南原理的应用条件要求结构体受力方式是通过边界施加载荷，且边界不能移动或者旋转。

•边界施加载荷可以是集中力、均布载荷、单向力矩等。

•边界的固定方式可以是夹持、支撑或者固定边界。

4. 边界条件圣维南原理的应用条件还要求结构体边界条件是已知的，并且在边界上施加的载荷是已知的。

•已知的边界条件可以包括位移、倾斜角、刚度等。

•已知的载荷可以包括集中力、均布载荷、单向力矩等。

5. 无孔、无裂纹圣维南原理的应用条件要求结构体是无孔且无裂纹的，即结构体的形态应该是完整的。

•孔洞和裂纹会导致应力集中，不满足线弹性的假设，因此圣维南原理不适用于带有孔洞或者裂纹的结构体。

6. 小变形圣维南原理的应用条件还要求结构体的变形是小的，即初始和受力后的结构体形态之间的相对变化很小。

•小变形假设要求结构体的刚度是常数，不随变形而变化。

•当结构体的变形较大时，需要考虑非线性弹性，此时圣维南原理不适用。

弹性力学-边界条件

1 (
y x) s

f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量符号规则
举例：
yxx
xy y

s
l m

f f
x y

fYyn
注意：以上在推导时，斜面上的应力px,py采用矢量符号规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
O yyຫໍສະໝຸດ l cos m sin
x yx
xy y

s
l m

f f
x y

x s cos

xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问题的解答是唯一的。
cos

yx
s in
s
0
xy
cos
s

y
s in
s
0

x
s
ytg 2

p

什么是圣维南原理及如何证明

什么是圣维南原理及如何证明弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。

其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。

还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。

不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。

因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。

有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。

==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。

使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。

但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。

这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。

为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。

圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。

有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。

不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。

值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。

对于主要边界，圣维南原理不再适用。

例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。

Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。

河南理工弹性力学-圣维南原理

第8讲圣维南原理上一讲回顾弹性力学平面问题的基本方程共有8个，需要在相应的边界条件才能求解，弹性力学的边界条件有：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

()()()()s s u u s v s v在S u 上：()()()()x yx s x xy y s y f f l m s l s m在S 上：求解弹性力学问题时，使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程并不困难，但要使边界条件完全满足，往往很困难。

如图所示，在力的作用点处边界条件无法列出。

PPPP不仅如此，实际工程中的约束条件通常也无法严格满足。

P1.问题的提出圣维南原理可以有效解决无法严格满足的边界条件问题。

圣维南原理是法国力学家圣维南于1855年关于柱体扭转的论文中提出的，并得到了工程的检验。

但至今没有严格的证明。

2.圣维南原理（Saint-Venant Principle）圣维南（Adhemar Jean Claude Barre de Saint-Venant ，1797～1886），法国力学家。

主要研究弹性力学，注重理论研究成果应用于工程实际。

如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

FF F /2F /2F /2F/2F /2F /2F FF/F A/F A2.圣维南原理（Saint-Venant Principle ）Ox yFOxy/F AOxy/2F /2F 2.圣维南原理（Saint-Venant Principle ）3.圣维南原理的几种推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。

FF3.圣维南原理的几种推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。

弹性力学圣维南原理

弹性力学圣维南原理弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变并在去除外力后能恢复原状的一门学科。

而圣维南原理则是弹性力学中的一个重要原理，它对于我们理解物体的形变和恢复过程有着重要的指导意义。

本文将对弹性力学圣维南原理进行详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解这一原理。

首先，我们来了解一下圣维南原理的基本概念。

圣维南原理是由意大利科学家圣维南在17世纪提出的，它的核心观点是，在弹性体受到外力作用而发生形变时，这种形变是由于弹性体内部各点之间相对位移的相对大小不变而产生的。

换句话说，当外力作用在弹性体上时，弹性体内部各点之间的相对位置发生了变化，但是这种相对位置的变化并不影响它们之间的相对大小关系。

这就是圣维南原理的核心内容。

接下来，我们来看一下圣维南原理的应用。

在工程实践中，圣维南原理被广泛运用在材料的弹性设计和结构的稳定性分析中。

通过对圣维南原理的应用，工程师们可以更准确地预测材料在外力作用下的形变情况，从而设计出更安全可靠的工程结构。

此外，圣维南原理还在地震工程和岩土工程领域有着重要的应用，通过对地震波在地下介质中传播过程的分析，可以更好地预测地震对建筑物和地基的影响，为工程设计提供科学依据。

除此之外，圣维南原理还在材料科学和地质学等领域有着重要的应用。

材料的弹性性质是材料科学研究的重要内容之一，通过对圣维南原理的研究和应用，可以更深入地理解材料的弹性行为，为新材料的设计和开发提供理论支持。

在地质学领域，圣维南原理也被用于分析地球内部的构造和地壳运动规律，为地质勘探和地震预测提供理论基础。

总之，弹性力学圣维南原理是一个在工程实践和科学研究中具有重要意义的理论。

通过对圣维南原理的深入理解和应用，我们可以更好地把握材料的弹性特性，预测结构的变形情况，为工程设计和科学研究提供更可靠的理论基础。

希望本文能够帮助读者更好地理解弹性力学圣维南原理，并在实际工作中加以应用。

材料力学边界条件

材料力学边界条件
《材料力学边界条件》
一、弹性力学边界条件
1、弹性力学归一化边界条件
（1）无应力边界条件：表示在边界处的应力等于零，表示分析
区域在边界上经不受外力作用，即施加一个恒定但边界处应力为零的外力，通常称为弹性边界条件。

（2）恒应力边界条件：表示在边界处的应力达到一定的恒定值，通常把恒应力边界情况视为施加一组恒定但边界处应力不为零的外力，通常我们称之为约束边界条件。

2、无限大边界条件
无限大边界条件是指在某些固体力学力学分析中，在边界处施加准无限大的应力或应变，将力学问题的边界简化成一个无限大的边界，以增加计算效率。

二、屈曲力学边界条件
1、屈曲力学归化边界条件
屈曲力学归化边界条件类似于弹性力学归一边界条件，一般来说，屈曲力学归一边界条件有两种，即恒应力边界条件和无应力边界条件，分别表示在边界处的应力达到一定的恒定值和应力等于零。

2、屈曲无限大边界条件
屈曲无限大边界条件是指在屈曲力学分析中，在一定的边界处施加准无限大的应力或应变，以此来简化力学问题的边界，让计算效率
得到提高。

圣维南原理的概念和应用

圣维南原理的概念和应用圣维南原理（Saint-Venant’s principle）是弹性力学中的一个重要原理，用来描述材料在外力作用下的应力分布。

该原理由法国工程师和数学家Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant于1855年提出，被广泛应用于结构力学、地震工程和流体力学等领域。

圣维南原理的概念可以简单地描述为：当一个杆件或构件受到外力作用时，杆件或构件上的应力分布在远离作用点的区域中变化很小。

换句话说，即使受到集中力的作用，杆件或构件的应力分布在相对较远处可以近似认为是均匀且恒定的。

这个原理在工程实践中具有重要的应用价值。

1.线性弹性假设：该假设指材料遵循胡克定律，在弹性范围内应力和应变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。

2.充分薄假设：该假设指构件的尺寸相对于应变的变化而言足够小，以至于可以忽略其内部的应力分布。

这样可以将构件看作一个连续体，并可以应用简化的微分方程来描述其应力分布。

通过以上两个假设，可以得出圣维南原理的数学表达式。

在弹性力学中，常使用圣维南原理来推导杆件或构件的位移和应力分布。

基于这一原理，可以进行各类结构的静力和动力分析、设计和优化。

1.结构力学：在建筑工程和土木工程中，圣维南原理可用于分析结构构件的应力分布和变形情况。

通过近似方法，可以简化复杂的结构力学问题，例如梁、桁架和板等的分析和设计。

2.地震工程：地震是一种动力载荷，会引起建筑物和桥梁等结构的振动。

圣维南原理可以应用于地震工程中的结构响应分析，用于评估结构的承载能力和耐震性能。

3.流体力学：在流体静力学和流体动力学中，圣维南原理可应用于近似描述流体内部的压力分布。

例如，通过该原理可以得出液体的压力在各个截面上几乎相等的结论，从而简化流体力学问题的求解。

总之，圣维南原理是弹性力学中的一个重要概念，通过近似处理结构力学问题，简化了工程实践中的求解过程。

该原理在结构力学、地震工程和流体力学等领域中得到广泛应用，为工程师和科学家提供了一种有效解决实际问题的方法。

弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答

【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。

这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。

将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。

如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。

【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。

【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。

研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。

【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。

【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.xylOh图3-8左右边界上；当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()0y x y x f τ===右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y x y x lf τ=== 应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩xyOxf xf主矢的中心在矩下边界位置。