弹性力学圣维南边界条件
弹性力学简答题
1、弹性力学的概念，任务。
答：弹性体力学通常简称为弹性力学，是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
2、弹性力学中的基本假定。
答：①连续性—假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。②完全弹性—假定物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。③均匀性—假定整个物体是由同一材料组成的。④各向同性—假定物体的弹性在所有各个方向都相同。⑤小变形假定—假定位移和形变是微小的。
3、什么是理想弹性体。
答：凡是符合连续性、完全弹性、均匀性和各向同性这四个假定的物体就称为理想弹性体。
弹性力学依据的三大规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律。
4、边界条件。
答：边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
5、简述圣维南原理。
答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主距也相同），那么，近处的应力分布将
有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
6、简述平面应力问题。
答：设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
7、弹性力学的问题解法有几种，并简述。
答：弹性力学问题解法有两种。一是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求出形变分量和应力分量，这种解法称为位移法；二是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量，这种解法称为应力法。
弹性力学第二章平面问题的基本理论
F
F
F/A
F/A
Biblioteka Baidu
F
F/2 F
F/2
F
F/A F
F
圣维南原理推广
如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢 量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处发 生显著的应力，而远处可以不计。
圣维南原理应用
h/2
h/2 l 严格边界条件
x
y l
运用圣维南原理的边界条件
用位移法与应力法求解平面问题
平面问题中一点的应力状态
o
x x方向力平衡：
P
A
y方向力平衡：
B
求得 ：
y
同理：
主应力及其方向
o P
x A
在应力主面上，全应力等于主应力， 因此：
B y
最大正应力与最大剪应力
莫尔圆推导应力状态公式
O. Mohr, 德国人，1835-1918。 τ
2α
σ
边界条件
位移边界条件：
在位移约束 面上：
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
吴家龙弹性力学课后习题答案
6.
5
2225
5
112010Pa
22226510Pa
109010Pa
vx xl xym xzn
vy xy y yzn
vz zx zy zn
v
v x y z yz xz xy
v
f
f l m
f l m
f
l m n mn ln lm
σττ
τστ
ττσ
σσσστττ
τ
=++
=++
=++
=⨯
=+++++=⨯
=⨯
10.
(
)
222
,,
1
3
vx x vy y vz z
v
v x y z x y z
v
f l f m f n
f
l m n
σσσ
σσσσσσσ
τ
===
=
=++=++
=
12. 边界条件①底面0
y y
xy
q AB q
σ
τ
=
⎧=-=-
⎪
⎨
⎪=
⎩满足
②斜面
0,0
0,0
v vx
v vy
f
f
σ
τ
==
⎧⎪
⎨
==
⎪⎩
设v沿坐标轴的方向余弦为(l，m，n)
cos(90)sin,cos(180)0
tan
vx x xy
vy xy y
l m n
f l m
f l m
y
x
βββ
στ
τσ
β
=︒+=-=︒-=
=+=
=+=
=-
将,,
x y xy
σστ代入边界条件的表达式，可解得：
tan
tan
q
A B C
βββ
ββ
=-=-=-
-
2-13 边界条件①铅垂面
011
00
x x
xy x
gy B g
A
σρρ
τ
=
=
⎧=-=-
⎪
⎨
==
⎪⎩
②斜面
vx
vy
f
f
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
设v 的方向余弦为( l ，m ，n )
cos sin 0
tan vx x xy vy xy y x
I m n y
f I m f l m
β
β
βσττσ==-===+=+
由上面两式可解得
()21212C Ctg g gtg D gctg g
βρρβρβρ=-=-
r 方向( l ，m ，n )的伸长率公式： 3-5
弹性力学简明教程习题答案
《弹性力学简明教程》
习题提示和参考答案
第二章习题的提示与答案
2－1是
2－2是
2－3按习题2－1分析。
2－4按习题2－2分析。
2－5在的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全
相同。
2－6同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10参见本章小结。
2－11参见本章小结。
2－12参见本章小结。
2－13注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足
（1）平衡微分方程，
（2）相容方程，
（3）应力边界条件（假设)。
2－14见教科书。
2－15见教科书。
2－16见教科书。
2－17取
它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18见教科书。
2－19提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。
第三章习题的提示与答案
3－1本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：
（1）校核相容条件是否满足，
（2）求应力，
（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2用逆解法求解。由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
弹性力学-边界条件
x l
ydy
h 2 h 2
f x ydy
平面问题小结
一. 平面问题基本未知量
平面应力问题 平面应变问题
1、应力分量
x, y ,
x
y
( x, y ), xy x, y
x, y , x, y , x, y ,
x y xy
z
（3个） 2、应变分量
§2－6.边界条件
对于上述所谈及的两种平面问题： 平衡方程（2~2） ——2个 八个方程 几何方程（2~8） ——3个 物理方程（2~12）——3个
含 、 、
x y
xy
、 x、 y、
xy
、u、v
共计八个未知函数
注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求解时会 产生待定函数(常数);所以要想得出具体的解答还 必需利用边界条件来确定待定函数。 边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件
一.位移边界条件
弹性力学的一般原理-圣维南原理
圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力和合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎等于零。不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分别形式。因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先提出的。
其要点有两处：
一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；
二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。
一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。
圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。
弹性力学中小边界的应力边界条件
’ ——
２
＝Ｐ 一
ｆ Ｔｙ ： ｄ ｒ （ ｘ） ｏ ｙ ＝ Ｐ（ ） 皇 ５．
图 ｌ
２
・
１ ・ ７
２１ ０ ０年 第 ３期
２ ２ 右 边界 的应 力边界 条件 ．
河北理科教 学研 究
问题 讨论
在右边 界 ， ＝１ ｍ ＝０ 式 （ ） 为 （ ） ｚ ， ， １变
直
方向面力的合力为零 ｌ ｄ 。 ｙ＝ ｒ
２
设有 单位 宽 度矩 形 截 面 的悬 臂 梁 ， 自 在
鱼
由端 受有 荷载 尸， 荷载 及尺 寸如 图 １ ， 力 示 体
） －
０ （ 。ｙ＝０３，力 面形心 Ｉ ） ｄ ２ ： ｈ （） 对截 面
— —
２
远 处 的影响 可 以 不 计 ， 就是 圣 维 南 原 理 的 这 内容 ． 多年 的教 学实 践 中 ， 现大 多数 同学 在 发
中， ， 为边 界 的外法 线方 向与 ， Ｚｍ Ｙ轴正 向
夹角 的余 弦 ， ），ｒ 和 （ 分别 是 边 （ （ ） 盯）
界上 的应 力 ， ， 和 ， 分别是 边 界上 的面力 ． ２ １ 左边界 的应 力边界 条件 ．
血
直
／
户
／ 尸
的为 矩 零ｆ ２ ｈ
— —
弹性力学-边界条件
右 : (
)
x
s
q, (
)
xy
s
0
左 : (
)
x
s
q, (
)
xy
s
0
上 : (
y)s q, (
y
)
x
s
0
下: (
)
y
s
q, (
)
yx
s
0
三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一
部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个
O
y
y
l cos m sin
x yx
xy y
s
l m
f f
x y
x s cos
xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
弹性力学-边界条件
x
E 2(
x
)
y
1
y
E 2(
y
) （2 ~ 12a）
x
1
E
xy 2(1 )
xy
用下式代换：
E
1
E
2
,
1
１、在边界上取楔形研究（单位厚度）
如图所示：
y yx
D
B
由 Fx 0 :
X 1 ds x 1l ds yx 1 m ds
含 、 、 、 、 、 、u、v
x
y
xy
x
y
xy
共计八个未知函数
注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求解时会 产生待定函数(常数);所以要想得出具体的解答还 必需利用边界条件来确定待定函数。
边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法:
每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
弹性力学4-物理方程、边界条件
(u)s u (s), ()s (s)
其中等式左边是位移的边界值，而等式右边则是边界上 的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。对于完全 固定的边界，其约束位移分量均为0。
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
左侧面： x cos xy sin y cos xy cos y sin y sin
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
例2.3：如图，为上、下边分别受均布力作用的三
角形悬臂梁，试写出其应力边界条件（固定边不
写）。
上边界：
( y ) y0 0 ( )xy y0 q
若x=a为正x面， ( x )xa fx , ( xy )xa f y 若x=b为负x面， ( x )xb fx , ( xy )xb f y
由于面力和应力具有不同的正负号规定，带入式（2-15） 左右两边应力与面力分量的正负号确定方法不同。因此， 在正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的，可以看出 ：在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面 上，应力分量与面力分量异号。
由虎克定律第三式，得 z x y ，代入虎克定律，得
平面应变问题的物理方程
x
1 2
E
x
1
y
y
1 2
弹性力学-第二章
t xy
q
t xy
σx
y
(h b,d 1)
取板厚d 1
(b)次要边界应用圣维南 原理（y=0） 标示出正值的应力和力臂
3F 0 ( y ) y0 dx Fcos30 2
b
F O
300
σy
t yx
x
b/2 b/2
gy
h
b 3F 0 ( y ) y0 xdx Fcos30 2 4 b b F 0 (t yx ) y0 dx F sin 30 2
2
应力以正面正向，负 面负向为正。
σy
t yx
例5
列出应力边界条件
标示出正值的应力
(1) 上侧 y 0
n
(σ y ) y 0 0 ( τ yx ) y 0 q
(l x mt xy ) s f x ( s) (m y lt xy ) s f y ( s)
例6 ：小锥度杆承受轴向拉力。试利用边界条件导 出图示边界上 x , y ,t xy 的关系。 解： y P
o
y
y
t yx
A( y ) l cosn, x cos
x
P y
fx
n
m cosn, y sin
t xy
河南理工弹性力学-圣维南原理
第8讲圣维南原理
上一讲回顾
弹性力学平面问题的基本方程共有8个，需要在相应的边界条件才能求解，弹性力学的边界条件有：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
()
()()()s s u u s v s v
在S u 上：()()()()x yx s x xy y s y f f l m s l s m
在S 上：
求解弹性力学问题时，使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程并不困难，但要使边界条件完全满足，往往很困难。
如图所示，在力的作用点处边界条件无法列出。
P
P
P
P
不仅如此，实际工程中的约束条件通常也无法严格满足。
P
1.问题的提出
圣维南原理可以有效解决无法严格满足的边界条件问题。
圣维南原理是法国力学家圣维南于1855年关于柱体扭转的论文中提出的，并得到了工程的检验。但至今没有严格的证明。
2.圣维南原理（Saint-Venant Principle
）
圣维南（Adhemar Jean Claude Barre de Saint-Venant ，1797～1886），法国力学家。主要研究弹性力学，注重理论研究成果应用于工程实际。
如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计
。
F
F F /2
F /2F /2F
/2F /2F /2F F
F
/F A
/F A
2.圣维南原理（Saint-Venant Principle ）
O
x y
F
O
x
y
/F A
O
x
y
/2
F /2
F 2.圣维南原理（Saint-Venant Principle ）
弹性力学圣维南原理
弹性力学圣维南原理
弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变并在去除外力后能恢复原状的一门
学科。而圣维南原理则是弹性力学中的一个重要原理，它对于我们理解物体的形变和恢复过程有着重要的指导意义。本文将对弹性力学圣维南原理进行详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解这一原理。
首先，我们来了解一下圣维南原理的基本概念。圣维南原理是由意大利科学家
圣维南在17世纪提出的，它的核心观点是，在弹性体受到外力作用而发生形变时，这种形变是由于弹性体内部各点之间相对位移的相对大小不变而产生的。换句话说，当外力作用在弹性体上时，弹性体内部各点之间的相对位置发生了变化，但是这种相对位置的变化并不影响它们之间的相对大小关系。这就是圣维南原理的核心内容。
接下来，我们来看一下圣维南原理的应用。在工程实践中，圣维南原理被广泛
运用在材料的弹性设计和结构的稳定性分析中。通过对圣维南原理的应用，工程师们可以更准确地预测材料在外力作用下的形变情况，从而设计出更安全可靠的工程结构。此外，圣维南原理还在地震工程和岩土工程领域有着重要的应用，通过对地震波在地下介质中传播过程的分析，可以更好地预测地震对建筑物和地基的影响，为工程设计提供科学依据。
除此之外，圣维南原理还在材料科学和地质学等领域有着重要的应用。材料的
弹性性质是材料科学研究的重要内容之一，通过对圣维南原理的研究和应用，可以更深入地理解材料的弹性行为，为新材料的设计和开发提供理论支持。在地质学领域，圣维南原理也被用于分析地球内部的构造和地壳运动规律，为地质勘探和地震预测提供理论基础。
弹性力学授课-第06章Saint-Venant问题
第六章 圣维南问题
• 问题的提法 • 问题的求解
– 半逆解法 – 位移的确定
• 简单分解问题
– 拉压 – 弯曲 – 扭转
• 若干例子
弹性力学的基本方程
• 物理方程/本构关系/应力应变关系
tr 1 2
1 E
1
tr
U
S
U
ij
ij
2U
1 2
2U S 2
S 2
2U
Sij
Sij
1 2
2U
ij kl
ij kl
0
• Helmholtz自由能
• 平衡条件
H U S H
ij ,
,
ij
H
ij
F : S 0
有温度变化的胡克定律
考虑温度变化的应变能
H
H0
2
J12
J2
3K
0
J1
tr 3K 0 1 2
21
E
E
tr
0
1
弹性力学2-7圣维南原理2-8按位移求解平面问题
（3）混合求解
以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，并求 出这些未知量，再求出其余未知量。
3. 按位移求解平面问题的基本方程
（1）将平衡方程用位移表示
由应变表示的物理方程
x
E
1 2
( x
y )
y
E
1 2
( y
x )
（2-16）
xy
E 2(1
)
xy
将式(a)代入平衡方程，化简有
顶部受集中力作用。试写出水坝的应力 边界条件。
y
yx
左侧面：
x xy
xh xh
0 0
x xh y
右侧面：
τ xy
0
xh
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
y方向力等效：
h
h
(
y
)
dx
y0
P
sin
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y
0
x
dx
P
h 2
sin
x方向力等效：
h
( h
yx
)
s
l
1
2
1
2
u y
v x
v x
u y
s
s
X Y
（2-21）
弹性力学典型例题
q0 x 3 q0 x x M ( x) f1 ( y) q( x) f 2 ( y) f1 ( y ) f 2 ( y) 3l l y q ( x ) f 3 ( y ) q0 x f 3 ( y ) l q0 x 2 f 4 ( y) xy Q( x) f 4 ( y) 2l
q0 x A 5 B 4 E 3 2 y y y Fy Gy l 10 6 3
例2 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部 受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。
左侧面：
y
yx
X Y 0 代入应力边界条件公式
l 1, m 0
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
右侧面： l
x x h 0 0 xy x h
目录
15
图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为 h ，受 例5：
有三角形分布载荷作用，体力不计。百度文库求其 应力分布。
解：（1）确定应力函数形式
梁截面上弯矩和剪力为：
q0 x 3 M ( x) 3l
q0 x 2 Q( x) 2l
q0 x q ( x) l
由材料力学方法可确定应力分量的分离变量形式：
（2）由相容方程确定待定函数
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➢应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：
h/2
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 h / 2 f x ( y)dy 1
h/2
h/2
( ) h / 2
x xl
Hale Waihona Puke Baidu
ydy 1
h/ 2
f x ( y) ydy 1
h/2
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 h / 2 f y ( y)dy 1
固定边不写）。
上下边界：
y h: 2
( y ) yh 0, ( xy ) yh q1
2
2
左边界：
yh: 2
( y ) yh q, ( xy ) yh 0
2
2
h
h
2 h
2
(
x
)
x0
圣维南原理及应用
➢下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分 布的面力。试分析其边界条件。
圣维南原理及应用
➢按照严格的应力边界条件（2-15）式，应力分量在左
右边界上应满足条件：
( x )xl f x ( y), ( xy )xl f y ( y)
圣维南原理及应用
➢例2.7.2：以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析
圣维南原理及应用
➢通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界
条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力 学问题得到解答。
➢ 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力
是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个 面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不 计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状 态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
的方法有三种：
方法一：
1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等 于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。
2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和 主矩的方向。
例题
习题2－8第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（
2、式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定，外
法线方向余弦l 和 m 则按三角公式确定正负号。
3、对于边界面为坐标面的情形，上式可进行简化。
平面问题的应力边界条件
2、次要边界上的积分边界条件（静力等效变换）
➢对于次要边界，精确的边界条件较难满足。这时可应用
圣维南原理，用如下静力等效条件来代替精确的应力边界 条件：在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等 于对应的面力的主失量和主矩。
➢弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基
本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移 满足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位 移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将 受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽 这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
➢圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的 矩臂就是应力主矩的正方向。
圣维南原理及应用
➢如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的
主失量和主矩，则具体表达式为：
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 FN
h/2
h / 2 ( x ) xl ydy 1 M
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 Fs
圣维南原理及应用
➢将小边界上的精确边界条件(2-15)与近似的积分边
界条件进行比较，可以得出：
1、式（2-15）等号两边均是单位面积上的力，而积分 边界条件两边是力或力矩；
2、式（2-15）是精确的，而积分边界条件是近似的；
则边界上每一点的应力与面力的关系式：
( xl xym)s f x (s) ( xyl ym)s f y (s)
平面问题的应力边界条件
( xl xym)s fx (s) ( xyl ym)s f y (s)
➢对于上述应力边界条件，应注意以下几点：
1、表示主要边界上任一点的应力和面力之间的关系， 是函数方程，在边界上每一点都应满足（要将边界面 方程代入式中各项）；
3、式（2-15）有两个条件，一般为两个函数方程，而 积分边界条件有三个积分条件，均为代数方程。
4、在求解时，式（2-15）难以满足，而积分边界条件 易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分 积分边界条件来代替。
平面问题的应力边界条件 处理方法
平面问题的应力边界条件
1、主要边界上的精确应力边界条件 在主要边界上，若给定了部分边界上面力分量，
平面问题 主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
§2.7 圣维南原理及应用
3、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效 力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的 作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。
圣维南原理及应用
➢例2.7.1：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于
一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用 区域比较远处，几乎没有应力产生。
作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主 失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界 近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处， 其影响可以忽略不计。
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理时必须注意：
1、变换的外力必须与原外力是静力等效的：主失量相 同，对同一点的主矩也相同
2、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。
➢它要求在边界上不同点（所有y值处），应力分量必须处
处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。
➢但是当l≥h时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维
南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局 部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的 主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）
圣维南原理及应用