高一数学 2.2.1《指数》教案(1)(新人教A版必修1)

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高中数学2.2.1对数的运算_换底公式素材新人教A版必修1-经典通用宝藏文档

《对数与对数运算------换底公式》

一、内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第二章《基本初等函数（I）》中2.2.1节《对数与对数运算》的第三课时，次要内容是探求换底公式并会用其进行简单的证明和计算.

在此之前，先生曾经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探求讨论对数的换底公式.从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让先生去探求，对先生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导先生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的成绩.

教学的重点：对数的换底公式的运用.

本节内容具有很强的灵活性，换底公式在以后的学习中有着非常重要的运用，对数的运算法则是在同底的基础上，就使得其有很强的局限性，因而利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要.特别是在解决理论成绩，计算具体的对数数值时，换底公式更是不可或缺.因而要反复训练，强化记忆.

本节内容由两部分构成，其一探求对数的换底公式并对其进行证明，并在探求过程中学会研讨某些数学成绩的过程与方法；其二利用换底公式去进行具体的求值和运算.本节课内容是表现新课程让先生积极自主探求、合作交流学习方式的良好素材.

本节课包含了丰富的数学思想及方法，特别是在探求换底公式的过程中，以特殊例子为引入，然后逐渐的普通化，表现了从特殊到普通和转化的数学思想.

本节的实例，可以让先生领会数学知识在理论生活中的运用，从而向先生浸透学好数学、用好数学的思想，能让先生对数学知识的学习产生浓厚的兴味.也能给先生一些科普方面的教育.同时，本节课又教给先生如何利用计算器去算对数的方法，加强了本节课的适用性,也给了先生动手操作的机会.

高一数学人教A版必修1教案：第二章第一节指数函数第一课时 Word版含解析

第二章第一节指数函数第一课时

教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和

图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题．

本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f (x )＝a x 的符号及意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f (x )＝log a x 的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；知道指数

函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)，初步了解反函数的概念和f －1(x )

的意义；通过实例了解幂函数的概念，结合五种具体函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝

x 12

的图象，了解它们的变化情况．本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察，归纳得出一般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点．教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想．建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用．教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展．教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担．通过运用计算机绘制指数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能．教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．

人教A版高中数学必修一《指数函数》指数函数与对数函数PPT(第1课时指数函数的概念、图象及性质)

[提醒] 解决指数函数问题时，要特别注意底数大于零且不等于 1 这一条件．
1．若 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( )
A．a＝1 或 2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0 且 a≠1
解析：选 C.由指数函数的定义得
a2－3a＋3＝1， a＞0， a≠1，
解得 a＝2.
2．如果指数函数 y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么 f(4)·f(2)等于________．解析：设 y＝f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，所以 a－2＝14，所以 a＝2，所以 f(4)·f(2)＝24×22＝64. 答案：64
求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
1．函数 y＝ax－2＋1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( )
A．(0，1)
B．(1，1)
C．(2，0)
D．(2，2)
答案：(3，＋∞)
指数函数的概念
下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax； ④y＝(2a－1)xa>12，且a≠1；⑤y＝2×3x.
【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量 x，而是关于 x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数 a，只有规定 a>0 且 a≠1 时，才是指数函数； ④因为 a＞12且 a≠1，所以 2a－1＞0 且 2a－1≠1，所以 y＝(2a－1)xa＞12，且a≠1为指数函数． ⑤中 3x 前的系数是 2，而不是 1，所以不是指数函数．

-高一数学2.2.1-3对数的运算性质的应用教案新人教A版必修1

2. 2.1第三课时对数的运算性质的应用

【教学目标】

1．知识目标：掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；

2．能力目标：能较熟练地运用法则解决问题；

【教学重难点】

重点：对数运算性质

难点：对数运算性质的应用.

【教学过程】

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

1.对数的运算性质：如果a > 0 ，a 1，M > 0 ，N > 0，那么

（1）

（2）；

（3）．

2.换底公式

其中

两个重要公式：，

（三）合作探究、精讲点拨

例1．（1）.把下列各题的指数式写成对数式

(1)＝16 （２）＝１

解：(1) 2＝16 (2)0＝1

（2）.把下列各题的对数式写成指数式

(1)ｘ＝27 (2)ｘ＝7

解：(1) ＝27 (2) ＝７

点评：本题主要考察的是指数式与对数式的互化．

例2计算：⑴，⑵，⑶，⑷

解析：利用对数的性质解．

解法一：⑴设则 , ∴

⑵设则, , ∴

⑶令 =,

∴, ∴

⑷令 , ∴, , ∴

解法二：

⑴；

⑵

⑶=

⑷

点评：让学生熟练掌握对数的运算性质及计算方法．

例３.利用换底公式计算

（1）log25•log53•log32 （2）

解析：利用换底公式计算

点评：熟悉换底公式．

（四）反思总结、当堂检测

1．指数式化成对数式或对数式化成指数式

（1）＝２（2）＝０.５ (3)ｘ＝3

解 (1)ｘ＝２ (2)ｘ＝0.5 (3) ＝3

2．试求：的值

3．设、、为正数，且，求证：．

(四)小结：

本节主要复习了对数的概念、运算性质，要熟练的进行指对互化并进行化简．【作业布置】学案的练习提高

人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》教案

指数函数及其性质教案

一、教学目的

1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。

2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类

比、猜测、归纳的能力。

3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相

互转化，培养学生用联系的观点看问题。

4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、

概括、分析、综合的能力。

二、教学重点、难点

教学重点：指数函数的定义、图象、性质.

教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。

三、教具、学具准备：

多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。

四、教学方法

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

五、学法指导

1.再现原有认知结构。在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概

念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。

2.领会常见数学思想方法。在借助图象研究指数函数的性质时会遇到

分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。

3.在互相交流和自主探究中获得发展。在实例的课堂导入、指数函数

的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。

指数(含2课时)-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)

5 2
11 2
(5) a3 a
a
3
a
1 2
7
71
7
a2 (a2 )2 a4
a3
a
1 2
a3
1 2
5
a2
216
343
5
a8
1 4 x
(2)原式
2
1
32
3
(
31 )3
(22
1
3) 6
2
(2
2
1 3
1
23
)
1
(32
1
3 33
1
36
)
2 3 1
1 3
1 3
1 2
1
1 3
1 6
2 32 18
3
a12
12
a3
5
a10
10
a5
②规定正数的负分数指数幂：
p
aq
1
p
aq
q
1 ap
根式 q
ap
p
aq
分数指数幂
3
a2
2
a3
③0的正分数指数幂为0; 0的负分数指数幂无意义.
x
1
x2
4
c5
5
c4
三、分数指数幂
若a 0, p, q N且q 1,则:

《指数与指数幂的运算》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】

《指数与指数幂的运算》教学设计

从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．

1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；

2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；

3．理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质．

【教学重点】

根式与分数指数幂之间的互相转化．

【教学难点】

根式运算与有理数指数幂的运算．

引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．

（一）创设情景，揭示课题

1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．

2．由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；

（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7．3%．那么在2010年，我国的GDP可望为2000年的多少倍?

（2）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量

P与死亡年数t之间的系

5730

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含

量为多少？

（3）对1.07310，

10000

5730

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

这两个数的意义如何？怎样运算？

3．初中根式的概念

思考1：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1

2．在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．在同一平面直角坐标系中函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与 y ＝1ax(a＞0，a≠1)的图象关于 y 轴对称．
2．函数 y＝12|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
解：(1)④为指数函数． ①中底数－8＜0， ∴不是指数函数． ②中指数不是自变量x，而是x的函数， ∴不是指数函数． ③中底数a，只有规定a＞0且a≠1时，才是指数函数． ⑤中3x前的系数是2，而不是1， ∴不是指数函数．
(2)设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，∵f(2)＝9， ∴a2＝9，解得 a＝3. ∴f(x)＝3x. ∴f(1)＝3，f(－2)＝3－2＝91.
【互动探究】将本例(1)中 y＝
1
改为 y＝10x-1 呢？
解：要使函数有意义，则 x－1≠0，即 x≠1.所以函数 y＝
1
10x-1 的定义域为{x|x≠1}．
因为
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1，解得aa＝＞10或且2a，≠1. ∴a＝2.

(新)人教高中数学A版必修一第四章第1节《指数》优质说课稿

（新）人教高中数学A版必修一第四章第1节《指数》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修一的第四章第1节《指数》。第四章主要讲指数函数和对数函数。指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用.例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法.在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较.在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律.本节主要讲指数.本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。

一、说课程标准

普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．函数概念与性质：本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

二、教材分析。

学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指

数幂，说明了扩张指数范围的必要性。本节内容包括n次方根的定义及其性质，分数指数幂的定义，有理数指数幂的定义与运算性质,无理数指数幂的概念与运算性质．

高中数学2.1.1《指数与指数运算》课件1(新人教A版必修1)

(4) (a b)2 a b a b (a b)
二.分数指数幂
10
(1) 5 a10 a 5
16
(2) 4 a16 a 4
10
解: (1) 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 16 (2)4 a16 4 (a4 )4 a4 a 4
当根式的被开方数的指数能被根指数整除
（2）1002
（3）（ 1 ）-3
（4）（16）34
2
2
4
81
解: （1）83 =（23）3 =22 =4
1
（2）1002 =
11 =
1 1=
1002 （10）22
1 10
（3）（1）3 =（2-2）-3 =2（-2）（-3）=26 4
（4）
（16
3
） 4
=（
2
）4（-
34）=（
2）-3
(1)ar as ars (a 0, r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加 (2)(ar )s=ar s (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘 (3)(a b)r=arbr (a 0,r, s Q) 积的乘方等于乘方的积
例2:求值：
2
（1）8 3
1
一般地:正数的偶次方根有两个且它们互为相反数,
正的偶次方根为n a ,负的偶次方根为 n a ;

最新高中数学人教A版必修1课件：指数运算及指数函数习题课

-11-
指数运算及指数函数习题课
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型一
题型二
题型三
题型一
3
指数幂 (根式 )的化简与计算
6
【例 1】 (1)化简( ��2 · a) ÷ (2)计算
1 -2 4
�� = -
;
6 2
1 6
+
1 6 6
2 �� 3
-
1 3
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1
2
3
4
1.根式的性质 (1)( �� )n=a. (2)当 n 为奇数时 , 当 n 为偶数时,
�� n
�� = ��; ��,�� ≥ 0, = |��| = . -��,�� < 0
【做一做 3】化简: 解析:
��-1 +��-1 (��)
-1

高一数学人教A版必修1教案：第二章第一节指数函数第二课时 Word版含解析

第二章第一节指数函数第二课时

导入新课

思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．

思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．推进新课

新知探究提出问题

(1)整数指数幂的运算性质是什么？

(2)观察以下式子，并总结出规律：a ＞0,

①5

102

525

)(a d a a

===；

②2

4)(===a a a ； ③4

123

443412

)(a a a a ===； ④2

105

5210

)(a a a a

===.

(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？

35，357，57a ，n m x (x >0，m ，n ∈N *，且n >1). (4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．

高一数学人教A版必修1学案：命题与探究 2-1指数函数

问题探究

问题1指数函数的走势是由什么来决定的？

探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结. 应该明确是底数来决定指数函数的走势:

(1)当a>1时,函数图象在第一象限的值随a 值的增大而增大,图象越靠近y 轴.如图2-1-1所示.

(2)当0<a<1时,函数图象在第二象限的值随a 值的增大而减小,图象越靠近y 轴.如图2-1-2所示.

图2-1-1 图2-1-2

问题2对于指数函数y=a x (a>0且a ≠1),有人总结出其底数a 越接近1,其图象就越接近直线y=1,你认为该结论成立吗？

探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x 、y=3x 和y=5x 的图象,根据图象能看出该结论是正确的.

典题精讲

例1:计算下列各式: (1)432

981⨯; (2)(253)0+2-2·(24121)--(0.01)0.5. 思路分析:

第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.

(1)解法一:4329

81⨯=421322)9(9⨯=.39)9(996712741374374312====⨯ 解法二: 432

981⨯=.3333818181818166724284646743===⨯==⨯

(2)解:(253)0+2-2·(24121)--(0.01)0.5 =1+41×(9421)-(100121) =1+41×32-15

数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)

(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
解： 1. 3 (8) 3 8; 2. 3. 4.
4
例1 求下列各式的值 1. 3 3
( 8) ;
2. (10) 2 ; 3. 4 (3 ) 4 ; 4.
( 10 ) 2 | 10 | 10;
(3 ) 4 | 3 | 3; (a b) 2 (a b).
学习目标
1. 在熟练掌握正整数指数幂运算的基础上，理解并掌握分数指数幂、有理数指数幂、无理数指数幂的运算性质； 2. 在学习中注意对于不同情况指数幂的运算采取不同的措施，注意偶次方根的两种不同情况.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即 an=a· a· · · ·· a n个正整数指数幂的运算法则有五条：
1 3
(1 23
b ) 3 a. a
解: a 8a b 4b 23 ab a
1 3 2 3 2 3 1 3 4 3 1 3
(1 23