线性代数与解析几何__东南大学(4)--07-08-3线性代数期末考试试卷A

1. 求向量组 b1, b2 , b3 的秩；
2. 求参数 a,b, c 的值；
3. 记 A = (a1,a2 ), B = (b1, b2 , b3) ，求矩阵 X ，使得 AX = B 。
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3． 得分： （10%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）：
1． 假设 A 是 n ﾴ n 矩阵， x 是 A 的属于特征值 a 的特征向量， y 是 AT 的属于特征值 b 的特征向量。若 a ﾹ b ，证明： x 与 y 正交。
2． 假 设 A, B 都 是 s ﾴ n 矩 阵 。 若 A + B 的 秩 r( A + B) = n ， 证 明 ： 矩 阵 M = AT A + BT B 的特征值均大于零。
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（C）
�-2 � �0
-01� � �；
（D）
�0 � �3
1� 2 � �
效
封
3．
假设
A,
B
分别是
s
ﾴ
s
和
n
ﾴ
n
矩阵，则分块矩阵
�O ��B
A O
��的行列式是（ �
）
（A） A B ； （B） - A B ； （C） (-1)s+n A B ； （D） (-1)sn A B 。
密
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3． 得分：
=
�2 � �0
0 1
� �，若 �
AB
是对称矩阵，则
x
=
2．
矩阵
A
=
�4 � �3
7 5
� �的逆矩阵 �
A-1
=
； ；
纪
3． 若 3ﾴ 3 矩阵 A 的特征值是1, 2, -1 ，则 A 的伴随矩阵 A* 的行列式 A* =
；
律
4． 齐次线性方程组 x + 2 y - 5z = 0 的一个基础解系是
1． 求二次型 f (x1, x2 , x3 ) 的矩阵 A ；
2． 求一可逆线性变换 x = Cy 将 f (x1, x2 , x3 ) 化成标准形；
3． 若 f 的秩等于 2，求参数 a, b 的值。
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2． 得分：
�1� �-1� �1 �
�1 � �0 �
（16%）设向量组 b1 = ����11����, b2 = ����12 ����, b3 = ����1a ����与a1 = ����b0 ����,a2 = ����1c ����等价。
；
5． 若二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x22 + x32 + tx1x3 是正定的，则参数 t 满足条件
；
如 考
6．
若矩阵
�1 ��2
a 2
��不与对角阵相似，则参数 �
a
=
。
试
2． 得分： （12%）选择题
1． 假设 A, B 来自百度文库是可逆矩阵，则矩阵方程 AXB = C 的解为（
1+ x 1 1 1
（8%）计算行列式 D =
1 1
1- x 1 1 1+ x
1 1 的值。
1 1 1 1- x
4． 得 分 ：
f ( A) 。
�1 1 1 1 �
（ 6% ） 假 设 多 项 式
f (x)
=
x8
- 255 ，矩阵
A
=
��1 �1
1 -1
-1 1
--11���。 求
��1 -1 -1
1
� �
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�2 0 0 �
5． （16%）已知 2 是对称矩阵 A = ����00
3 1
1 x
����的二重特征值。
1. 求参数 x 的值，并求 A 的另一个特征值
2. 求 A 的所有特征向量；
3. 求一个正交矩阵 Q 及对角阵 L ，使得 QT AQ = L 。
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1． 得分： （14%）假设 a, b 是实数，二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + x22 + 2ax1x3 + 2bx2 x3
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）
课程名称 适用专业
线性代数 非电类工科专业
考试学期 0 7 - 0 8 - 3 得分
考试形式
闭卷
考试时间长度 120 分钟
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
自
觉
得分
遵
1． 得分： (18%)填空题（ E 表示单位矩阵）
守 考 场
1．
设
A
=
�1 � �x
13� � �, B
）
作
（A） X = A-1B-1C ；
（B） X = CA-1B-1 ；
弊
（C） X = A-1CB-1 ；
（D） X = B-1CA-1 。
学号
线
此 答
2．
下列矩阵中，与矩阵
A
=
�1 ��0
0 -2
��合同的矩阵是（ �
）
卷 无
（A）
�1 � �0
0 2
� �； �
（B）
�2 ��0
-01���；