线性规划在企业管理中的运用

线性规划在企业管理中的运用摘要: 企业内部的生产计划有各种不同的情况.从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原材料等条件，以最大利润为目标制定产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产作业计划.从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可指定单阶段生产计划，否则就要制定多阶段生产计划.所以如何正确的建立这类问题的数学模型成为关键.运筹学是本世纪新兴的学科之一，它能帮助决策者解决那些可以用定量方法和有关理论来处理的问题.本文通过对一企业实例（即自动装配案件）的分析，运用运筹学中线性规划理论，通过对偶单纯形法和LINDO软件来求解和做进一步的理论分析，来讲明运筹学具体在企业中的实际操作.关键词：企业管理；决策；数学模型；线性规划ABSTRACTConditions are changing all the time, so there are mang different production plans in an enterprise. With the consideration of space, the factory need to take the requirement of costomers, manpower, equipments and raw materials into consideration so as to draw up production plans with the maximum profit; the workshop must make operative plans with the least cost according to production plans, process flow, the limited resource and the cost controled by parameter. Considering the effect of time，if the requirement from costomers and the resource in company don't change in a short time, the production plans are designated as a single stage one , or as a multistage one. Therefore, how to construct mathematical model in accord with the company's circumstances is vital. Operations reaserch is the one of the latest subjects in this century, and it can help people making decisions on the problems which could be handled with quantitative analysis method and correlation theory. In my articles, I used the theory of linear programming to solve the problems through analyzing the situation of an enterprise. In this process, dual simplex method and the software of LONDO are used most.Key Words: business management; decision-making;mathematical model; linear programming前言运筹学的主要内容：运筹学内容丰富，涉及面广，应用范围大，已形成一个相当大的学科.它的内容包括：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划、网络分析、网络计划、排队论、存储论、博弈论、决策论模型论等等.它们中的每一个部分都可以独立成册，都有丰富的内容.上述前五个部分统称为规划论，他们明显表现为解决资源的最优配置问题，即：一个方面的问题是对于给定的人力、物力和财力，怎样才能发挥他们最大的效益；另一个方面的问题是给定任务，怎样才能用最少的人力，物力和财力去完成它.这也是运筹学其他分支的意义所在.网络分析主要是研究解决生产组织、计划管理中诸如最短路径问题、最小连接问题、最小费用流问题等；网络计划则主要解决工程项目计划管理问题.排队现象在日常生活中屡见不鲜，如机器等待修理、船舶等待装卸、顾客等待服务等等.它们有一个共同的问题，就是等待时间长，会影响生产任务的完成，或者顾客会自动离去二影响生产效益；如果增加修理工、装卸码头和服务台，固然能解决等待时间过长的问题，但又会蒙受修理工、码头和服务台空闲的损失.这类问题的妥善解决是排队论的任务.人们在生产和消费过程中，都必须储备一定数量的原材料，、半成品或商品.存储少了会因停工待料或失去销售机会而遭受损失，存储多了又会造成资金积压、原材料及商品的损耗.因此，如何确定合理的存储量、购货批次和购货周期至关重要，这是存储论要解决的问题.博弈论就是研究博弈行文中的竞争各方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到这一个合理方案的数学理论和方法.市场经济与竞争机制是博弈论与经济学即企业经营管理建立起了密切关系，在这一领域发挥着越来越重要的作用.人们在着手实现某个预期目标时，出现了多种情况，有多种行动方案可供选择.决策者如何选择一个最优方案，才能达到他的预期目标，这是决策论的研究任务.模拟方法则重点分析研究具有复杂性和随机性的系统，已解决其他模型无法有效解决之问题.运筹学在企业管理中的应用运筹学的应用范围很广，以下主要对运筹学在某些重要的经济管理方面给以简述，而非对应用全貌的概述.(1)市场营销：广告预算和媒体的选择，竞争性定价、新产品开发、销售制定等;(2)生产计划：从总体确定生产、存储和劳动力的配合等计划，以适应波动的需求计划，还可以生产作业计划、日程表编排以及合理下料、配料、物料管理等方面;(3)库存管理:主要应用多种物资库存量的管理，确定某些设备的能力和容量，比如停车场大小、新增发电设备的容量大小、电子计算机的内存量、合理的水库容量等.目前新的动向是：将库存理论与计算机化的物资管理信息系统相结合;(4)运输问题：空运飞机航班和飞行机组人员服务时间分配、水运中的船舶航运计划、港口装卸设备的配置和船到港后的行运安排，公路运输中除了汽车调度外，还有公路网的设计和分析、室内公共汽车路线的选择级行车时刻表的安排、出租汽车的救助和停车场的设立及铁路运输等;(5)财政和会计：预算、贷款、成本分析、定价、投资、证券管理等；(6)人事管理：人员的获得和需求估计、人才的开发（教育和训练）、人员的分配（指派问题）、各类人员的合理利用、人才的评价（如何测定一个人对组织、社会的贡献）、工资和津贴的确定等.(7)设备维修更新和可靠性分析以及项目选择和评价等；(8)工程的优化设计；(9)计算机和信息系统：计算机的内存分配，不同排队规则对磁盘和磁鼓工作性能的影响，计算机信息系统自动设计等；(10)城市管理：各种紧急服务系统的设计和运用，如救护站、救护车、警车等分布点的设立，城市工会和污水处理系统的规划等等.近年来，运筹学作为系统工程的重要方法，与系统分析及其他系统工程方法相结合，用以研究规模庞大和复杂的问题，如部门计划、区域经济规划等.本论◆运筹学的数学模型模型就是用一个简化的方式表现一个复杂过程或系统，用以帮助人们进行思考和解决问题.运筹学所研究的模型一般来说都是数学模型，也就是用字母、数字和运算符号将系统或过程的某些特征及相互关系表达出来.它试图精确地和定量地表示系统的各种关系.它是现实系统过过程的一种抽象，近似实际系统或过程而又非市级系统或过程的复制品.它应能反映实际系统或过程的某些特征而又比实际系统或国过程本身简单.下面介绍几种常见的数学模型.一，线性规划模型设要从甲地调配物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C地200吨、D地100吨.已知每吨运费如表：设X11,X12,X13,X14分别表示从甲地运往A,B,C,D四地的物资数量，用X21,X22,X23,X24分别表示从乙地运往A,B,C,D四地的物资数量，总的运费为F.满足题目条件的数学形式就是：min F=21X11+25X12+7X13+15X14+51X21+51X22+37X23+15X24s.t. X11+X12+X13+X14=2000X21+X22+X23+X24=1100X11+X21=1700X12+X22=1100X13+X23=200X14+X24=100xi j≥=; i=1,2;j=1,2,3,4有以上分析可以看出，抽象成数学形式的核心就是求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，使某个目标达到最小或最大，而这些约束日条件又都可以用另一组线性不等式或线性方程来表示.二，随机规划模型设决策者要设计一个水库，使水库的容量C在满足给定的限定条件下达到最小，以使其造价最省.首先，为防止洪水灾害，在一年中第i个季节水库应空出一定的容量vi，以保证洪水的注入.由于洪水不一定年年有，洪水量的大小也会变化，因此比较合理的约束条件应为以较大的概率α1保证水库容纳洪水，即P（C-Si≥Vi）≥α1, i=1,2,3,4其中Si为第i个季节初水库的出水量.其中，为保证灌溉、发电、航运等用水供应，水库在每一季节应能保证一定的放水量qi由于考虑到随机因素，要求满足这一条件的概率不小于某一数α2，即 P（xi≥qi）≥α2, i=1,2,3,4其中xi为第i季的可放水量 .同样，为保护水库的安全和水生放养，一般地还要求水库保持最小储水量sm,即P(si≥sm) ≥α3， i=1,2,3,4另外，表示放水量和储水量的xi，si不能是负数，即xi≥0；si≥0， i=1,2,3,4于是，写成数学形式就是：min Cs.t. P（C-Si≥Vi）≥α1P（xi≥qi）≥α2P (si≥sm) ≥α3xi≥0；si≥0， i=1,2,3,4其中约束条件采用了概率约束形式，具有这种特征的数学形式我们就叫做随机规划模型.◆企业实例分析企业背景情况：Automobile Alliance是一家大型的汽车制造公司.它所生产的产品可分为三类：家用卡车，家用小型轿车以及家用中型和豪华轿车.并且，位于底特律和密执安交界处的一家工厂负责装配两种中型和豪华轿车.第一种车型，Famil Thrillseeker，是一种四门轿车，装有乙烯树脂座椅、塑料内饰、标准配置，省油性能出色.购买这种车对于生活不是十分富裕的中产家庭来说是一个明智的选择.每一辆Family Trillseeker为公司带来中等水平的3600美元的利润.第二种车型，Classy Cruiser，是一种双门豪华车，配有真皮座椅、选装配置、木制内饰以及导航能力.它定位于较高层次的中产阶级，每一辆Classy Cruiser能够为公司带来5400美无的可观利润.装配厂经理Eachel Rosencrantz目前正在为下一个月制定生产计划.具体地说，就是她要在考虑各种可能的和现实的影响因素后决定Family Thrillseeder和Classy Cruiser各需要生产多少能够使得公司的利润最大.她知道工厂每个月有48000工时的生产能力，装配一辆Family Thrillseeker需要6个工时，一辆Classy Cruiser需要10.5工时.由于工厂只是一个装配厂，装配这两种车所需的所有零件都不在厂里制造，而从密执安附近区域的其他工厂运来.例如轮胎、转向轮、车窗、座椅以及车门都来自于不同的供应厂.Rachel知道下一个月她只能从车门供应厂得到20000扇车门.最近的一场罢工迫使这家供应厂停产了几在，下个月将无法完成生产计划.Family Trillseeker和Classy Cruiser都使用相同的车门.另外根据公司新近的对各种车型的月需求预测，Classy Cruiser的产量限制在3500辆.在装配厂生产能力范围内，Family Thrllseeder的生产没有限制.对于这个问题，我们需要建立一个线性规划模型并求解，先确定Family Trill-seeker 和Classy Cruiser在以上得知的条件限制下各应当装配多少？建立基本模型问题假设：1）F与C两种车型每辆的获利是与各自装配量无关的常数，两种车型的装配时间是与它们装配量无关的常数.2）C，F每辆的获利是与它们相互间装配量无关的常数，每辆车型的数量和时间是与它们相互间装配量无关的常数.决策变量：设下月装配F，C分别为X1,X2.目标函数：设下个月获利Z美元，X1辆F获利3600X1，X2辆C获利5400X2，故Z=3600X1+5400X2.约束条件：1）装配一辆F需6小时，一辆C需10.5小时，下个月总装配工时6X1+10.5X2≤48000.2）装配F需4个车门，装配C需2个车门，下个月装配车辆总的车门数4X1+2X2≤20000.3）由于需求限制，避免供过于求，C的装配辆X2≤3500.4）X1,X2不能为负值.综上可得（模型一）MAX Z=3600X1+5400X2s.t. 6X1+10.5X2≤480004X1+ 2X2≤20000X2≤3500X1≥0, X2≥0此模型我们可以用LINDO软件或线性规划中的对偶单纯形法进行求解.在此,由于二维变量相对简单,因此先用单纯形法进行求解.首先,列出原始问题的对偶问题:Min z=48000X1+20000X2+3500X3s.t. 6X1+4X2≥360010.5X1+2X2+X3≥5400X1,X2,X3≥0增加人工变量X4,X5得辅助问题:min g=X4+X5s.t. -6X1-4X2+X4=-3600-10.5X1-2X2-X3+X5=-5400X1,X2,X3，X4,X5>0形成如下形式的表:下得第一张单纯形表:按对偶单纯形法迭代由最后一张单纯形表可得结果,模型一的最优解为X1=3800，X2=2400，最优值Z=26640000,即下个月F与C分别装配3600辆和2400辆，可使公司获取最大利润为2664万美元.案例分析：我们清楚实际情况并非如此简单，在最终决策之前，我们要考虑和解决下面的问题.a,营销部得知他们可以花费500000美元进行一个广告活动，使得下个月对Classy Cruiser的需求增加20%.这个活动是否应当进行？即C的需求辆由3500变为4200，由最后一张表第三列对应的为非基变量,新的检验数变为-1100+(3500-4200)<0,因此最优解不变,仍为(3800,2400).决策是不进行广告.b、我们知道通过让工人加班，可以增加下个月工厂的生产能力.若它可以使工厂的工时能力增加25%.在装配厂新的工时能力的情况下，Fam-ily Trillseeker 和Classy Cruiser各应当装配多少？即下个月的工时由48000小时改为600000小时，由最后一张表第一列对应变量为基变量,将X1对应的第三行乘以(60000-48000)加到第一行,再令第一列检验数为0,得到新的单纯形表:继续迭代得最优单纯形表可知最优解为X1=3250，X2=3500，Z=30600000即F，C分别装配32500辆和3500辆，公司获取最大利润3060万美元.c、很明显，没有额外的成本，加班劳动是不可能出现的.除了正常工作时间外，为加班工作支付的最大费用又是是多少？通过模型一的最后一张单纯形表X1对应的第三行最后一个值可知，工时每增加一小时可获取的利润为480美元,所以她愿意为加班支付的最大费用为每小时480美元.在考虑以上三条之后，我们得知公司可以通过加班使利润比原来增加396万美元.继续考虑：d、若同时使用广告活动和加班劳动.广告活动使得对Classy Cruiser的需求增加20%，加班工作使得工厂工时能力增长25%.如果Classy Cruiser的利润继续保持比Family Thrill-seeker高50%以上的水平，在同时使用广告活动和加班劳动的情况下，Family Trillseeker和Classy Cruiser各应当装配多少？这时可以重新建立模型二：MAX Z=3600X1+5400X2s.t. 6X1+10.5X2≤600004X1+ 2X2≤20000X2≤4200X1>0, X2>0模型二同样可以用单纯形表做,这里为了简便期间,下面求解问题改用LINDO软件求解,输入模型二可得如下输出:LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 0.3240000E+08VARIABLE VALUE REDUCED COSTX13000.000000 0.000000X24000.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 540.0000003) 0.000000 0.0000004) 200.000000 0.0000005) 0.000000 -0.100000NO. ITERATIONS= 3上面结果明确告诉我们,最优解为X1=3000,X2=4000,Z=32400000.即F,C分别装配3000辆和4000辆.若使用了第二个模型,考虑广告和加班的花费,最终公司将获利32400000-2100000=30300000.即3030万美元.所以模型二优于模型一.因此考虑过后，得出做广告和加班是可行的.这时，Automobile Alliance发现实际上分销商正在大幅度降低Family Thillseeker 的售价，以削减库存.由于公司与公销商签订的利润分配协议，每一辆Family Thrillseeker 的利润将不再是3600美元，而是2800美元.在这种利润下降的情况下，考虑Family Thrillseeker和Classy Cruiser各应当装配多少？即将模型一的目标函数改为 MAX Z=2800X1+5400X2，利用软件，得以下输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 0.2415000E+08VARIABLE VALUE REDUCED COST X11875.000000 0.000000X23500.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 466.6666563) 5500.000000 0.0000004) 0.000000 500.000000 NO. ITERATIONS= 2由上面结果知最优解为X1=1875，X2=3500，Z=24150000.即F,C分别装配1875辆和3500辆.e,通过在装配线末端对Family Thrillseeker的随机测试，公司发现了质量问题.检查人员发现在超过60%的情况中，Thrillseeker四扇车门中的两扇不能完全密封.由于通过随机测试得到的缺陷率如此之高，公司决定在装配线的末端对每一辆Thrillseeker进行测试.由于增加了测试，装配一辆Family Thrillseeker的时间从6小时上升到了7.5小时.在Family Thrillseeker新的装配时间下，要确定Family Thrillseeker和Classy Cruiser各应当装配多少？重新建立模型三： MAX Z=3600X1+5400X2s.t. 7.5X1+10.5X2≤480004X1+ 2X2≤20000X2≤3500X1≥0, X2≥0通过软件得输出:LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 0.2310000E+08VARIABLE VALUE REDUCED COST X11500.000000 0.000000X23500.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 373.3333443) 7000.000000 0.0000004) 0.000000 1480.000000 NO. ITERATIONS= 0由上面结果可知最优解为X1=1500,X2=3500,Z=23100000.即F,C分别装配1500辆和3500辆.f、Automobile Aliance的董事会希望占据更大份额的豪华轿车市场，因此要求工厂满足所有对Classy Cruiser的需求.因此要确定与没有考虑各种情况之前的决策相比装配厂的利润将下降多少.然后他们要求在利润降低不超过2000000美元的情况下满足全部对Classy Cruiser的需求.要满足对C的需求，即X2=3500，模型一变为MAX Z=3600X1+5400*3500s.t. X1≤1875X1≤3250X1≥0所以解得X1=1875,X12=3500,Z=25650000.与模型一相比，利润下降99万美元.现要利润不超过200万美元，显然可以满足全部对C车型的需求,若还利用广告增加C车型的需求量,利润下降149万美元,也可以满足.现在通过综合考虑：①广告费用；②使用加班工作；③分销商正在大幅度降低Family Thillseeker的售价，以削减库存，使得每一辆Family Thrillseeker的利润将不再是3600美元，而是2800美元的现状；④公司发现了质量问题，增加了测试，装配一辆Family Thrillseeker的时间从6小时上升到了7.5小时.作出最终决策.对于是否进行广告活动、是否使用加班工作、Family Thrillseeker的生产数量、Classy Cruiser的生产数量做出决策.满足这些情况的模型为 MAX Z=2800X1+5400X2s.t. 7.5X1+10.5X2≤600004X1+ 2X2≤20000X2≤4200X1≥0, X2≥0软件解得输出:LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 0.2861600E+08 VARIABLE VALUE REDUCED COST X12120.000000 0.000000X24200.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES1) 0.000000 373.3333442) 3120.000000 0.0000003) 0.000000 1480.0000004) 3708000.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2如果不加班，则模型中的第一个约束条件改为7.5X1+10.5X2≤48000，用软件解得解为（520，4200），最优值为24136000；如果不做广告，则模型中的第三个约束改为X2≤3500，用软件解的最优解为（2625，3500），最优值为26250000.因此通过以上分析可以确定：要进行广告活动,也需要加班,F车型生产2120辆,C车型生产4200辆，可获得利润28616000美元.以上所有的分析都是假设在能自己独立做出决策，不需要合作的基础上得到的决策.但是，实际情况中可能还需要考虑同行业其他企业的生产情况，即竞争对手的情况，综合做出最终的生产决策.结论本文研究的是运筹学在企业中的具体应用，由于它有不同的分支组成，所以其在企业中应用的领域也有区别.在上述的生产企业实例中，大多用到的知识是运筹学中的线性规划问题的求解.本文具体介绍了线性规划的建模过程及求解方法，并结合实际问题分析、转化条件、求解，以找到最优方案.线性规划作为运筹学的一个分支，应用及其广泛，其作用已为越来越多的人所重视.随着计算机的逐渐普及，它越来越急速的渗透于工农业生产、商业活动、军事行动和科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估计.在各类经济问题中经常遇到这样的问题：在生产条件不变的条件下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好，即如上述实例.这类问题可以化为或近似化为线性规划问题.企业内部的生产计划有各种不同的情况.从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原材料等条件，以最大利润为目标制定产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产作业计划.从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可指定单阶段生产计划，否则就要制定多阶段生产计划.所以如何建立这类问题的数学模型成为关键，此后可以利用软件求解并对输出结果做一些分析.通过上述自动装配案件的分析求解过程，可以清楚的看到线性规划和数学建模在企业中的应用.运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法.虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题.参考文献:刁在筠等著运筹学（第二版）高等教育出版社姜启源等著数学模型（第三版）高等教育出版社徐向艺著管理学山东人民出版社张建华著生存繁荣时代的中国企业管理实践海南出版社邓超著企业管理建模数据流程图集电子工业出版设严建渊著现代企业管理理论、方法与技术中国建材工业出版社葛楠著企业管理变革和应对变化的策略朝华出版社李子奈著计量经济学高等教育出版社陶谦坎著（2000年）运筹学与系统分析（第一版）机械工业出版社张宝生等著（2000年）运筹学：经营管理决策数量方法（第二版）石油工业出版社束金龙著（2003年）线性规划理论与模型应用（第一版）科学出版社张雪松著（2005年）哈佛决策：哈佛商学院决策圣经人民出版社/独秀知识库http://202.194.11.36:8080超星数字图书馆http://202.194.11.48/iras50/rewriter/localwf/万方数据资源系统附录求解线性规划有不少现成的数学软件，LINDO就是一种比较方便实现的数学软件.例如直接输入模型：max 3600X1+5400X2st2)6X1+10.5X2<600003) 4X1+ 2X2<200004) X2<4200endLINDO中已规定所有决定变量均为非负；乘号省略，式中不能有括号，右端不能有数学符号；模型中的≤这类符号用<=形式输入，选择菜单“Slove”并对提示“DO RANGE （SENSITIVITY）ANALYSIS?”(灵敏读分析)回答“是”，即得到以下输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 0.3240000E+08V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX13000.000000 0.000000X24000.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 480.0000003) 0.000000 180.0000004) 200.000000 0.000000NO. ITERATIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 3600.000000 7199.999512 514.285706X25400.000000 900.000000 3599.999756RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 60000.000000 1499.999878 29999.9980473 20000.000000 20000.000000 1000.0000004 4200.000000 INFINITY 200.000000上面结果的第3，5，6行明确告诉我们,这个线性规划的最优解为X 1=3000,X2=4000,Z=32400000；上面输出的第7-10行“SLACK OR SURPLUS”给出了三个条件中的资源在最优解下是否有剩余；上面输出的第13-17行“CURRENT COEF”的“ALLOWABLE INCREASE”和ALLOWABLE DECREASE”给出了最优解不变条件下的目标函数系数的允许变化范围.上面输出的第18-23行给出了约束右端的限制范围.线性规划模型可以方便的用LINDO软件求解，得到内容丰富的输出，利用其中的影子价格和灵敏度分析，可对模型结果做进一步的研究，它们对实际问题常常是十分有益的.。