2020年高考数学试题分类汇编13数学文化
数学文化融入数学高考试题的现状分析--以2020年全国卷为例
数学文化融入数学高考试题的现状分析
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—以2020年全国卷为例
陈国益孟彩彩米鹏莉马登堂（西北师范大学教育学院730070）
摘要:数学文化融入高考试题是数学课程标准的基本要求，也是提升学生数学素养的重要手段.高考试题中数学文化的数量、主题、类型及运用水平等特征是检测学生数学文化素养的重要工具.本研究统计了2020年高考数学全国卷中的数学文化试题，经过梳理分析发现:数学文化类试题数量较少，且主题领域分布不均衡，'“概率与统计"最多；数学文化类型分布各有侧重，但均偏重于“数学与人文社会％数学史的运用水平较低，其他数学文化类型水平相对较高.据此得出关于数学文化的试题命制及教师教学方面的几点启示，'期为试题的命制和教学资源的开发提供借鉴参考.
关键词：数学文化;数学史;2020高考；新课标全国卷
1问题提出
作为人类文化和人类文明的重要组成部分,数学文化具有多元表征，广义上的数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动近年来，随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下称《标准2017》）的颁布，数学文化引起了数学课程、教学以及评价领域的高度重视2,特别是高考试题中融入数学文化成为我国学者研究的一个重要关注点.
经梳理相关研究成果发现，我国学者或以个别试题为例分析数学文化的价值,或以数学学科核心素养水平为框架，分析数学文化在高考试题
究”栏目的分析、实施、研究要更上一层楼，以高度的历史责任感和使命感剖析该栏目的价值，深入地了解栏目设置的意图，精确定位教学目标，引领学生学习，充分发挥“思考•探究”栏目作用，实现其育人价值;同时，在教材编写方面,要能设计出更加有助于教学的“思考•探究”栏目，每一个问题的设置，不管是从呈现形式、作用类型，还是情境设置等方面，都应该凸显“思考•探究”的作用与价值，展开栏目建构的深度研究，挖掘其内涵与意蕴，以更好地帮助教师教学、学生学习.
2022年高考数学(文科)二轮复习闯关练习--热点(十三) 数学文化
热点(十三) 数学文化
1．[2020·山东菏泽期中](数列中的文化)南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》中有如下一道题：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．”问：每一等人比下一等人多得几斤金？( ) A.439斤 B.778
斤 C.776斤 D.581
斤
2．[2020·福建莆田模拟](程序框图中的文化)将元代著名数学家朱世杰的《四元玉鉴》中的一首诗改编如下：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表示如图，用x 表示壶中原有酒的量，可知最终输出的x ＝0，则一开始输入的x 的值为( )
A.34
B.1516
C ．4 D.78
3．[2020·河南商丘月考](生活中的文化)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问三女几何日相会？”大致意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为( )
A ．58
B ．59
C ．60
D ．61
4．[2020·重庆七校联考](推理与证明中的文化)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )
教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析
教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析
2020年高考数学全国卷试题评析（考试中心权威解析）
2020年高考数学试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。
1
发挥学科特色，“战疫”科学入题
一是揭示病毒传播规律，体现科学防控。用数学模型揭示病毒传播规律，如新高考Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用；全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。
二是展现中国抗疫成果。全国疫情防控进入常态化后，各地有序推进复工复产复学。新高考Ⅱ卷（供海南省使用）第9题以各地有序推动复工复产为背景，取材于某地的复工复产指数数据，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。
三是体现志愿精神。如全国Ⅱ卷理科第3题（文科第4题）是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。
2020高考数学模拟试题(理)《排列组合 二项式定理》分类汇编(含答案)
2020高考数学模拟试题（理）《排列组合 二项式定理》分类汇编
一．选择题（共32小题）
1．（5分）（2020•广州一模）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为( ) A ．19
B ．
29 C ．13
D ．
49
2．（5分）（2020•绿园区校级模拟）有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( ) A ．540
B ．729
C ．216
D ．420
3．（5分）（2020•道里区校级一模）现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A ．36
B ．24
C ．22
D ．20
4．（5分）（2020•金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有( ) A ．6种
B ．24种
C ．36种
D ．42种
5．（5分）（2020•九龙坡区模拟）某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有一个1元，1个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲、乙两人都抢到红包且金额不同的情况有( ) A ．36种
压轴题13 数学文化与新情景问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题13数学文化与新情景问题
数学文化与新情景问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，难度较难．
考向一：融合传统文化和数学史的数学阅读题
考向二：融合其他学科知识的数学阅读题
考向三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题
考向四：融合生活实际的数学阅读题
数学文化与新情景问题试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．
一、单选题
1．（2023·北京·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是
一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1
2；②当3
2
a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；
2021届新高考数学二轮专题练习：热点(十三) 数学文化 (含解析)
热点(十三) 数学文化
1．[2020·石家庄模拟](古典概率中的数学文化)古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )
A. 15
B. 25
C.35
D. 110 2．[2020·山东六地市部分学校线上考试]《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )
A.415
B. 158
C.15
4 D ．120 3．(函数图象中的数学文化)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来
研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f (x )＝x 4
|4x －1|
的图象
大致是( )
4．(概率中的数学文化)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )
2020年高考数学试题分类汇编13数学文化
数学文化
1.（2020·全国卷Ⅱ文 3）如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a1
2.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）
A. 5
B. 8
C. 10
D. 15
2.（2020·山东 4、海南 4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 90°
3.（2020·全国卷Ⅱ理 4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）
⎪
⎪ ⎪ ⎪ A. 3699 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块
4.（2020·北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ π Day ）．历史上，求圆周率π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达式是（ ）．
2020年高考“立体几何”专题命题分析
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.高考立体几何试题注重考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等素养，体现在直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法上，着重考查点、线、面位置关系的判断与证明，以及空间角、体积的计算问题.
2020年高考数学共13份试卷，北京卷、上海卷、
天津卷、江苏卷、浙江卷均是自主命题，全国卷除了传统的文、理分科的全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷外，还增加了两份文、理不分科的新高考试卷，分别由山东、海南使用.每份试卷都对立体几何内容进行了考查，以学生所熟知的空间几何体为载体，考查学生用文字语言、图形语言和符号语言表达立体几何问题，用严密的逻辑思维思考问题，用严谨的逻辑推理证明问题，用准确的计算解决问题.
一、考查内容分析
2020年高考数学立体几何命题严格依据《普通高
中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》），认真贯彻“五育并举”教育方针，依托基本空间几何体，着重考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算
等数学学科核心素养，以及综合运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.
1.布局合理，涵盖全面
2020年高考立体几何试题都围绕着空间几何体
点、线、面之间的位置关系，空间向量及其应用等考点展开，其中全国卷具体考查情况如表1所示.
卷別
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
科别理
文
理
文
题号
3
101618312197101620111620题型选择题选择题填空题解答题选择题选择题解答题选择题选择题填空题解答题选择题填空题解答题
分值555
125512
555125512
考点四棱锥的高与斜高与截面有关的球的表面积
高考数学试题分类汇编 数列 试题
十、数列
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、选择题 1．〔理4〕
{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为
{}n a 的前n 项和，*n N ∈，那么10S 的值是
A ．-110
B ．-90
C ．90
D ．110
【答案】D 2．〔理8〕数列
{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．假设那么
32b =-，1012b =，那么8a =
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
【答案】B 【解析】由知
128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法
21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-+
+-=-+-+-++++=⇒==
3．〔理11〕定义在
[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，
2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和
为
n
S ，那么lim n n S →∞
=
A ．3
B ．5
2
C ．2
D ．32
【答案】D
【解析】由题意
1
(2)()3f x f x +=
,在[22,2]n n -上，
2
11
1()11
1331,()1,2,(),3,()()()lim 133
3213n
n n n n
n f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-
4．〔理18〕设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积〔1,2,
解三角形、数列2020年全国数学高考分类真题(含答案)
解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）
A．4 B． C． D．2
3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）
A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
二．填空题（共4小题）
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．
7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．
三．解答题（共9小题）
9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
2020新课标高考数学讲义：数学文化含解析
函数中的数学文化题
[典型例题]
在《九章算术》中，将四个面都是直角
三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )
【解析】 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .
因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．
设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x
3
，
C.15750
D.355113
解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7
264(2πr )2h ，化简得
π≈22
7
.故选A.
8．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )
A.392
B.752 C ．39
D.6018
解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x<9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝1
吉林省四平市高考数学真题分类汇编专题13：排列组合与概率统计
吉林省四平市高考数学真题分类汇编专题13：排列组合与概率统计
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共11题；共22分)
1. （2分） (2018高一下·江津期末) 一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（）
A . 9
B . 4
C . 3
D . 2
2. （2分）在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，模型1、2、3、4的R2分别为
0.99、0.89、0.52、0.16，则其中拟合得最好得模型是（）
A . 模型1
B . 模型2
C . 模型3
D . 模型4
3. （2分）某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（）
年龄3839404142
人数532
A . 年龄数据的中位数是40，众数是38
B . 年龄数据的中位数和众数一定相等
C . 年龄数据的平均数∈（39，40）
D . 年龄数据的平均数一定大于中位数
4. （2分）从三个红球、两个白球中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高三上·湖南月考) 若，则函数在区间内单调递增的概率是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2015高二下·营口期中) （3x+ ）8（n∈N+）的展开式中含有常数项为第（）项．
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
7. （2分） (2017高一下·和平期末) 已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示：
高考数学试卷分析
2020年高考数学试题特点分析（全国I卷）
2020年高考数学全国Ⅰ卷以立德树人为根本任务，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，重视数学的本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查，坚持学科素养与关键能力的辩证统一，坚持必备知识与思想方法、核心素养的辩证统一。试题紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，突出理性思维，考查关键能力，科学实现高考的选拔功能，对推进高考综合改革和引导中学数学教学有积极的作用。
理性思维在数学素养中起着本质和核心的作用。2020年高考数学全国Ⅰ卷突出理性思维，将数学关键能力与理性思维、数学应用、数学探究、数学文化统一于理性思维的主线。理科第12题通过新的设计，考查学生对指数函数与对数函数的单调性、指数幂的运算、对数运算与换底公式等知识的灵活运用。考生既可以引入辅助函数将问题转化为函数的零点问题，也可以用不同的方法将等式两边表示为同一形式，然后利用指数函数与对数函数的单调性得到答案，或者通过具体的数值计算并利用排除法解答问题。试题全面考查考生的观察能力、运算能力、推理判断能力，以及分析问题和解决问题的综合能力，体现了对理性思维能力的综合考查。
基于理性思维的数学语言表达能力，不仅是一般意义下的能够运用口头语言和书面语言进行沟通交流，准确表达自己的看法，通过合作解决问题的能力，更是在表达数学的严谨性、数学的应用性和数学的一般性等方面的重要的综合能力。2020年高考数学全国Ⅰ卷加强了对数学语言表达能力的考查。理科第21题考查利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导数运算法则，综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、数学表达能力以及分类讨论的思想。题目将函数与不等式有机结合，需要考生打破常规思路，利用化归与转化的思想，将目标函数化为易于处理的形式，再利用导数进行研究。题目的解答需要考生进行分类讨论，不但要求学生具备缜密的逻辑思维，而且对数学语言表达的逻辑性和条理性，分类与整合的能力以及推理论证能力都提出了较高的要求。试题层次分明，区分度较高，较好地考查了逻辑思维能力和数学表达能力，使考生理性思维的广度和深度得到了充分展示，也使考生进一步学习与探究的潜能得以展现。
2020年新高考(全国卷)数学试卷结构与评析
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题
型变化
新高考数学考试试卷及试卷结构说明:
新高考数学试卷结构:
第一大题, 单项选择题, 共8小题, 每小题5分, 共40分；
第二大题, 多项选择题, 共4小题, 每小题5分, 部分选对得3分, 有选错得
新高考选择题部分分析:
①新高考与之前相比, 最大的不同就是增加了多项选择题部分, 选择题部分由原来的12道单选题, 变成了8道单选题与4道多选题。这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距, 过去学生错一道单选题, 可能就会丢掉5分, 在新高考中, 考生部分选对就可以得3分, 在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力, 总体上难度不大, 只要认真复习, 一般都可以取得一个较好的成绩。在多项选择题上, 前两道较为基础, 后两道难度较大, 能够突出高考的选拔性功能, 总体上来看, 学生比以往来讲, 更容易取得一个不错的成绩, 但对于一些数学基础比较的好的同学来说, 这些题比以往应该更有挑战性。过去, 只需要在四个选项中选一个正确答案, 现在要在四个选项中, 选出多个答案, 比以往来说, 要想准确的把正确答案全部选出来, 确实有一定的难度、
③新高考数学试卷的第4题, 第6题和第12题都体现了创新性。第4题, 以古代知识为背景, 考察同学们的立体几何知识, 这体现了数学考试的价值观导向。弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。近年来, 对于这类题目也是屡见不鲜, 平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作, 如《九章算术》, 《孙子算经》等等, 通过对这些著作的了解, 再遇到这类题目时, 在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。第6题则体现了聚焦民生, 关注社会热点。以新冠疫情为背景, 考察了指数与对数函数, 这也启示我们, 在未来, 数学试卷将会越来越贴近我们的现实生活, 平时我们对这些内容有所关注, 可以减少我们的焦虑感, 增强我们做题的自信心。第12题则体现了数学试卷的应用性, 以信息熵为背景考察了对数运算及不等式的基本性质。通过这三道题目, 传递的信息分别是: 重视传统文化, 关注社会民生, 体现数学的应用性。
2020年技能高考文化综合数学部分1-20套参考答案
2020年湖北省普通高等学校招生中职毕业生技能高考模拟试题
数学部分（第一套）参考答案
四、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19.C 20.D 21.B 22.C 23.B 24.D 五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
25. 101 -5 26.]2,003
1-（），
（ 27.100 28.cm 2
六、解答题（本大题共3小题，共40分） 29.(1)解析：由任意角的直角函数的定义得m=-1,
2
1cos ,23sin -=-
=αα， 原式=
=
---α
αα
αcos sin 3sin cos
(2)原式=
==+--+-++6
sin
3cos 4tan
6cos 6sin )66sin()32cos()42tan()63cos(62-sin π
ππ
π
π
πππππ
ππ
ππ
π）（
30. （1）设点A （x, y ）则AB =(1-x, 1-y) 又AB (-7,10)b 2-a 3==
所以⎩⎨
⎧=--=-10171y x 解得⎩⎨
⎧-==9
8y x 点A （8，-9）
（2）)4,3(+--=+
λλλb a
又)(b a
λ+∥AB
所以2871030--=--λλ解得3
2-=λ （3）)4,3(μμμ--=-
b a
因为⊥-)(b a
μAB
所以⋅-)(b a
μAB 01040721=-+-=μμ 解得17
61
=μ
31.（1）直线1l 的方程可化为0224=+-a y x ，则直线21与l l 的距离 10
5
724)1(22
2=
+--=
a d 解得4或3-==a a
(2)解析：设过点P 的直线方程为Y-3=k(x-2)即kx-y-2k+3=0,圆心到该直线的距离等于半径即
2020年高考数学试卷分析(全国卷)
2020年高考数学试卷分析(全国卷)
2020年高考数学试题贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。试卷体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握稳定与创新、稳定与改革关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。
1
发挥学科特色，“战疫”科学入题
一是揭示病毒传播规律，体现科学防控。用数学模型揭示病毒传播规律，如新高考Ⅰ卷(供山东省使用)第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用;全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。
二是展现中国抗疫成果。全国疫情防控进入常态化后，各地有序推进复工复产复学。新高考Ⅱ卷(供海南省使用)第9题以各地有序推动复
工复产为背景，取材于某地的复工复产指数数据，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。
三是体现志愿精神。如全国Ⅱ卷理科第3题(文科第4题)是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。
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数学文化
1.（2020·全国卷Ⅱ文 3）如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a1
2.设1≤i A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 2.（2020·山东 4、海南 4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 3.（2020·全国卷Ⅱ理 4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A. 3699 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块 4.（2020·北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ π Day ）．历史上，求圆周率π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达式是（ ）． ⎛ 30︒ 30︒ ⎫ ⎛ 30︒ 30︒ ⎫ A. 3n sin n + tan n B. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 60︒ 60︒ ⎫ ⎛ 60︒ 60︒ ⎫ C. 3n sin n + tan n D. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 数学文化参考答案 1.【答案】C 【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：k -j = 3, j -i = 4 ． ∴i =1, j = 5, k = 8 ；i = 2, j = 6, k = 9 ；i = 3, j = 7, k =10 ；i = 4, j = 8, k =11；i = 5, j = 9, k = 12 ．原位小三和弦满足：k -j = 4, j -i = 3 ． ∴i =1, j = 4, k = 8 ；i = 2, j = 5, k = 9 ；i = 3, j = 6, k =10 ；i = 4, j = 7, k =11；i = 5, j = 8, k = 12 ．故个数之和为10． 故选：C． 2.【答案】B 【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ；AB 是晷针所在直线. m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD 、根据线面垂直的定义可得AB ⊥m .. 由于∠AOC = 40︒, m//CD ，所以∠OAG =∠AOC = 40︒， 由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE = 90︒， 所以∠BAE =∠OAG = 40︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE = 40︒. 故选：B 3.【答案】C 【解析】设第n 环天石心块数为a n，第一层共有n 环， 则{a n}是以9 为首项，9 为公差的等差数列，a n= 9 + (n -1) ⨯ 9 = 9n ， 设 S n 为{a n }的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 S n , S 2n - S n , S 3n - S 2n ，因为下层比中层多 729 块， 所以 S 3n - S 2n = S 2n - S n + 729 ， 3n (9 + 27n ) 2n (9 +18n ) 2n (9 +18n ) n (9 + 9n ) 即 - = - + 729 2 2 2 2 即9n 2 = 729 ，解得n = 9 ， 27(9 + 9 ⨯ 27) 所以 S 3n = S 27 =2 故选：C = 3402 . 4. 【答案】A 【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为 30︒ 360︒ = n ⨯ 6 60︒ n ，每条边长为2 sin 30︒ ， n 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin n ， 30︒ 30︒ 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan n 12n sin 30︒ +12n tan 30︒ ，其周长为12n tan ， n ∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪ ⎝ ⎭ 则π = 3n ⎛ sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝ ⎭ 故选：A.