复合函数定义域、分段函数、映射
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
y ar cosh x
在 [1,) 内单调增加.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
当( x ) 1时,
x 1;
或 x 0, ( x ) x 2 1,
数学分析
2 或 x 0, ( x ) x 1 1,
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
y
y tan x
y tan x的性质：
•周期为的周期函数 •无界函数：
lim tan x
x 0 2
y tan x
lim
x 0 2
tan x
2
O
2
x
•渐进线：x •特殊值：
tan(k ) 0 k 0,1,2,.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
（3）.对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
数学分析
y
1-4复合函数,反函数,初等函数
1
2
y sin x
3 2
复合函数的性质与图象
复合函数的性质与图象深圳中学 许苏华中学数学教材中会系统介绍一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象与性质，但不会系统讲述形如的图象与性质，其中和是基本初等函数，我们称或为复合函数.对于复合函数，我们称对应的为外函数，为内函数.此文中的外函数和内函数也有非基本初等函数的，即不是中学数学教材中系统介绍的基本初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数，与基本初等函数一起，统称为初等函数.与复合函数有关的数学题会经常出现在我们面前，而且难度较大，为了使得我们不再畏惧，也使得我们解题能力、数学核心素养都得以提升，因此把复合函数及其相关难点加以研究，是非常必要的，也是非常有价值的.类比于教材研究基本初等函数的过程，我们尝试理清复合函数的图象与性质.当一个函数图象是我们见过的或者容易用描点法画出来的时候，我们可以先研究函数图象，再研究函数性质.当一个函数图象没有见过时，或者很难通过几个点完整画出来时，其实我们可以先研究函数性质，通过其性质还原其图象，再根据图象，猜想并证明新的性质.研究复合函数的图象与性质，我们可采取第二种路径.选择几个最简的最美的基本初等函数，如、、，用于复合，以期以点带面.，两个基本初等函数复合竟然是一个更简单的基本初等函数，因此后面我们只研究、、和这四个及其类似的复合函数.一、函数的性质与图象1. 定义域和值域(())y f g x =()y f x =()y g x =(())y f g x =(())y g f x =(())y f g x =()y f x =()y g x =ln y x =x y e =22y x x =+ln ln x x y e e x ===2ln(2)y x x =+()2ln 2ln y x x =+22x x y e +=22x x y e e =+2ln(2)y x x =+内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.要使复合函数的解析式有意义，则，从而求得复合函数的定义域为，值域为.如果内函数为，定义域是，值域则为，可见此时值域是外函数定义域的真子集，因此复合函数始终有意义，则复合函数的定义域依然是，值域为.如果内函数为，定义域为，值域与外函数定义域是相等集合，因此复合函数的定义域为，值域为. 通过上述三个例子，可以发现内函数的定义域决定了内函数的值域，内函数的值域与外函数的定义域决定了复合函数的定义域，再由复合函数的定义域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为，定义域没有关于原点对称，因此该复合函数为非奇非偶函数.复合函数的定义域为，也是非奇非偶函数.虽然复合函数的定义域是，记，则，则不是奇函数，，举特殊值可以发现并不恒成立，所以也不是偶函数，因此复合函数亦是非奇非偶函数.难道就没有外函数是的复合函数是奇函数或者偶函数吗？形如22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+220x x +>(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞[ln 2,)+∞y =(0,)+∞(0,)+∞ln y x=lny =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U lny =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞2()ln(23)h x x x =++(0)0h ≠2()ln(23)h x x x -=-+()()h x h x -=2ln(23)y x x =++ln y x =的复合函数，其中，或者，易证此复合函数为偶函数.形如的复合函数，利用对数的运算性质化简，并记为，易证，因此复合函数为奇函数.证明一个函数是奇函数或偶函数，首先要说明定义域是关于原点对称，再证明在定义域内，对于任意，都有或，则是偶函数或奇函数.如果证明一个函数是非奇非偶函数，则首先判断定义域是否关于原点对称，如果不是，则为非奇非偶函数.如果定义域关于原点对称，则可以举反例，说明并不恒成立，或者直接证明.3. 单调性我们再来研究复合函数的单调性，它的定义域为，内函数在上单调递减，在上单调递增，而外函数在整个定义域内单调递增，根据众所周知的“同增异减”，因此在上单调递减，在上单调递增. 为什么“异减”？令，由在上单调递减可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递减.内函数递减时，外函数递增，复合函数递减，因此“异减”.为什么“同增”？令，由在上单调递增可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递增.内函数递增时，外函数递增，复合函数递增，因此“同增”.判断复合函数单调性的“同增异减”法，其实都可以用定义法解释.如果能够2ln()y ax c =+0ac <00a c >>且2ln(1)x y x =+2()ln(1)h x x x =+()()h x h x -=-2()ln(1)h x x x =+()f x x ()()f x f x -=()()f x f x -=-()f x ()()f x f x -=±()()0f x f x -±≠2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U 22y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(2)y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞122x x <<-22y x x =+(,2)-∞-221122220x x x x +>+>ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +>+2ln(2)y x x =+(,2)-∞-120x x <<22y x x =+(0,)+∞221122022x x x x <+<+ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +<+2ln(2)y x x =+(0,)+∞用定义法证明复合函数单调性，并能用“同增异减”法直接说明复合函数单调性，这样才是知其然知其所以然.4. 图象通过上述研究发现，复合函数的定义域为，值域为，非奇非偶函数，在上单调递减，在上单调递增.再根据几个特殊值、1的正负性，以及当自变量由大到小靠近于0时，或者当由小到大靠近于时，函数值都趋于，由此可以判断出函数图象大致如下图图1所示：图1至此，复合函数的性质与图象，我们基本理清楚.而且我们还发现，该函数图象关于直线自对称.二、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.因此复合函数的定义域为，值域也是. 如果内函数为，相当于的图象在平面直角坐标系中向下2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞(,2)-∞-(0,)+∞3-x x 2-y -∞2ln(2)y x x =+1x =-()2ln 2ln y x x =+ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞ln 100y x =-ln y x =平移了100个单位得到的图象对应的函数，可见的定义域依然为，值域依然为.那么复合的定义域依然为，值域依然是.如果内函数为，相当于的图象在平面直角坐标系中向左平移了2个单位得到的图象对应的函数，易得的定义域为，值域则依然为.那么复合的定义域为，值域则依然是.综上，可以发现，只要内函数的值域为，那么该类复合函数的值域就是，定义域则与内函数的定义域相同.2. 奇偶性因为复合函数的定义域为，所以为非奇非偶函数.对于任何一个非奇非偶函数，其实我们都很容易把它改造成偶函数，比如对解析式中的所有加绝对值符号，即此时函数为.其实，我们也很容易把它改造成奇函数，比如这个分段函数 3. 单调性内函数整个定义域内单调递增，外函数在上单调递减，在上单调递增，此时根据“同增异减”，你或许一头雾水.令（内函数因变量等于外函数的单调区间分界值），解得，其实我们可以考虑和这两个区间.当时，则ln 100y x =-(0,)+∞(,)-∞+∞2(ln 100)2(ln 100)y x x =-+-(0,)+∞[1,)-+∞ln(2)y x =+ln y x =ln(2)y x =+(2,)-+∞(,)-∞+∞2(ln(2))2ln(2)y x x =+++(2,)-+∞[1,)-+∞(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞x 2(ln )2ln y x x =+22(ln )2ln ,0,0,0,(ln())2ln(),0.x x x y x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪----<⎩ln y x =(0,)+∞22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞ln 1x =-1x e =1(0,)e 1(,)e +∞1210x x e<<<，则，因此复合函数在上单调递减.此时内函数为增函数，外函数为减函数，则“异减”.当时，则，则，复合函数在上单调递减.内函数为增函数，外函数为增函数时，则“同增”.用“同增异减”法判断此类复合函数的单调性时，需要注意复合函数的定义域，以及内函数的值域与外函数的单调区间的对应.4. 图象复合函数的定义域为，值域是，在上单调递减，在上单调递减.并根据几个特殊值，1对应的函数值，以及当自变量由大到小靠近于0时，函数值趋于，由此确定复合函数的图象如下图图2所示：图2可以发现复合函数的图象是个非常漂亮的“V ”字.12ln ln 1x x <<-221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +>+()2ln 2ln y x x =+1(0,)e121x x e<<121ln ln x x -<<221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +<+()2ln 2ln y x x =+1(,)e +∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞1(0,)e1(,)e +∞1ex y +∞()2ln 2ln y x x =+()2ln 2ln y x x =+三、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.复合函数的定义域为，值域为. 如果内函数改为，定义域依然为，值域为.复合函数的定义域仍为，值域为.如果内函数为，定义域为，值域为.复合函数定义域为，值域则为.综上，外函数为的复合函数的定义域，和内函数的定义域相同，并由内函数的值域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为，现在还不能确定是否为非奇非偶函数.但是根据上述值域的确定过程中发现，当时，复合函数取得最小值，可见复合函数的图象不可能关于轴对称，也易发现没有关于原点中心对称，因此它为非奇非偶函数.对于复合函数，因为定义域为，且，所以为偶函数.对于复合函数，由可知，为非奇非偶函数. 综上，外函数为的复合函数的奇偶性，和内函数的奇22x x y e +=22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞223x x y e ++=(,)-∞+∞2[,)e +∞y =(0,)+∞(0,)+∞y =(0,)+∞(1,)+∞x y e =()g x y e =()y g x =()g x y e =22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞1x =-22x xy e +=22x x y e +=y 2x y e =(,)-∞+∞22()x x e e -=2x y e =3x y e =33()1x x e e -=3x y e =x y e =()g x y e =()y g x =偶性存在关联，如果内函数是偶函数，那么复合函数是偶函数，如果内函数不是偶函数，则复合函数则为非奇非偶函数.3. 单调性外函数是增函数，而内函数在上单调递减，在上递增.对于复合函数，我们讨论和两个区间上的单调性.令，则，则，因此在上单调递减.这里外函数是增函数，内函数是减函数，根据“异减”，则复合函数为减函数.令，则，则，因此在上单调递增.这里外函数是增函数，内函数是增函数，根据“同增”，则复合函数为增函数.4. 图象由上述分析知复合函数的定义域为，值域为，可以发现图象与轴没有交点.在上单调递减，在上单调递增.同时当时，.可以确定图象如下图图3所示.()y g x =()g x y e =()y g x =()g x y e =x y e =22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞121x x <<-221122221x x x x +>+>-221122221x x x x e e e ++->>22x x y e +=(,1)-∞-121x x -<<221122122x x x x -<+<+221122221x x x x e e e ++-<<22x x y e +=(1,)-+∞22xx y e +=(,)-∞+∞1[,)e +∞x 22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞0x =1y=图3根据复合函数的图象，我们还能猜想并证明直线是其图象的对称轴.该图象而且很像一个“U ”字.四、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.复合函数的定义域为，值域为.2. 奇偶性，因此复合函数为非奇非偶函数. 3. 单调性内函数是增函数，外函数在上单调递增，那么在当然也单调递增，根据“同增”，从而复合函数为增函数.4. 图象根据前面的性质分析，可以得到如下图图4所示的图象：22x x y e +=1x =-22x x y e e =+x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞22x x y e e =+(,)-∞+∞(0,)+∞22122x x x x e e e e--+=+22x x y e e =+x y e =22y x x =+(1,)-+∞(0,)+∞22x x y e e =+图4研究复合函数的值域，也就是研究它的最大值和最小值，如果最大值不存在，或最小值不存在，那么值域对应着开区间或者无穷大.求得复合函数的定义域和值域，要考虑内外函数的定义域和值域.确定奇偶性要根据函数的定义域是否关于原点对称，以及在定义域关于原点对称的情况下，对于定义域中任意都有或者，来判断是否偶函数、奇函数还是非奇非偶函数.对于单调性，首先要确定所有的单调区间，这里依据内函数单调区间的边界值，以及内函数函数值与外函数单调区间边界值相等，求得新边界值，根据所有边界值，对复合函数的定义域进行划分，然后依据“同增异减”法或者定义法，判断或证明单调性.根据定义域和值域，奇偶性，单调性，以及特殊点的坐标，从而较为准确地确定复合函数的图象，再根据图象，猜想并证明一些新的结论性质.x (())(())f g x f g x -=(())(())f g x f g x -=-11。
基本初等函数 复合函数 双曲函数 反双曲函数的定义
（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 隐函数
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
Байду номын сангаас
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数 x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
1
o
1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
1
y x [ x]
y
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数; y
y x
y x
3
o
o
x
偶函数
x
奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 x2，当 x1 x2时，恒有： 及 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y
cosh x sinh x 1 ; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
已知分段函数如何求复合函数
已知分段函数如何求复合函数分段函数是指定义域被分成若干个区间，每个区间内的函数表达式不同的函数。
而复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
那么如何求解分段函数的复合函数呢？首先，我们需要明确复合函数的定义。
设函数f的定义域为A，值域为B，函数g的定义域为C，值域为D，且满足B⊆C，那么f和g的复合函数g(f(x))的定义域为{x∈A|f(x)∈B}，值域为{y∈D|y=g(x),x∈A,f(x)∈B}。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何求解分段函数的复合函数。
假设有以下分段函数：f(x) = {x+1, x<0; 2x, x≥0}g(x) = {x^2, x<1; x, x≥1}我们需要求解g(f(x))。
首先，我们需要确定g的定义域。
由于g(x)在x<1时定义域为(-∞,1)，在x≥1时定义域为[1,+∞)，而f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的定义域为(-∞,1)。
接下来，我们需要确定g(f(x))的表达式。
由于f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的表达式为：g(f(x)) = {f(x)^2, f(x)<1; f(x), f(x)≥1}将f(x)代入上式，得到：g(f(x)) = {(x+1)^2, x<0; 2x, x≥0且2x<1; x+1, x≥0且2x≥1}至此，我们已经求解出了分段函数的复合函数。
需要注意的是，在求解复合函数时，我们需要先确定复合函数的定义域，然后根据定义域确定复合函数的表达式。
同时，我们需要注意分段函数在不同区间内的函数表达式，以便正确地求解复合函数。
第1讲 函数的定义域、解析式及分段函数 - 学生版
D．[－1,1)∪(1,2 015] )
5.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4]
角度 3：已知定义域求参数问题 【例】 （1）若函数 f(x)＝
x 2 2ax a 的定义域为 R，则 a 的取值范围为________．
3．若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b 的值为________． 题型 2 函数解析式的求法
求函数解析式的常见方法 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根 据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可 已知 f(h(x))＝g(x)， 求 f(x)时， 往往可设 h(x)＝t， 从中解出 x， 代入 g(x)进行换元， 求出 f(t)的解析式，再将 t 替换为 x 即可 已知 f(h(x))＝g(x)， 求 f(x)的问题， 往往把右边的 g(x)整理构造成只含 h(x)的式子， 用 x 将 h(x)替换 已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f(－ 函数方程法 1 x )， f x ， 则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组， 通过解方程组求出 f(x)
)
fx2－1 （2）已知函数 y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数 g(x)＝ 的定义域为________． 2－log2x＋1
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【对应训练】 1．(2017·唐山模拟)已知函数 f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝f 是________． 2.已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数 f(x＋2)的定义域为________，值域为 ________． 1 ，2 3.若函数 y＝f(2x)的定义域为 2 ，则 y＝f(log2x)的定义域为________． fx＋1 4.若函数 y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数 g(x)＝ 的定义域是( x－1 A．[0,2 015] B．[0,1)∪(1,2 015] C．(1,2 016] f2x 的定义域是( ln x D．(0,1) ) x＋ 1 1 x－ ＋ f 2 2 的定义域
复合函数定义
复合函数定义：设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函间变量,y为因变量（即函数）。
生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。
即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。
初高中衔接课(第二期)----第1节分段函数、复合函数
初高中衔接课——函数第一讲 分段函数、复合函数【分段函数、复合函数】1.分段函数：有些函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围对应关系不同，这种函数称为分段函数．分段函数三句话：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；（3）分段函数的值域也是各段函数值域的并集．2.复合函数：若y 是u 的函数，u 是x 的函数，则称y 是x 的复合函数. 记)(u f y =，)(x g u =，则复合函数应记为))((x g f y =. 【例题】函数xx x y ||+=的图象为下图中的（ ） A.B. C. D.【例题】（1）已知1)(2++=x x x f ，则=)2(f __________；=)]2([f f __________.（2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=1,21,1)(22x x x x x x f ，求值=)2(f __________；=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2(1f f __________.【练习】设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 的值为（ ） A.1B.0C.-1D.π【练习】已知⎩⎨⎧≤+>=0),1(0,)(2x x f x x x f ，则)2()2(-+f f 的值为（ ）A.6B.5C.4D.2【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值是（ ） A.1+πB.0C.πD.-1【练习】设()()⎩⎨⎧<+≥-=10)],6([10,2)(x x f f x x x f ，则)5(f 的值为（ ） A.10B.11C.12D.13【例题】设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A.4-或2-B.4-或2C.2-或4D.2-或2【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,222,2,2)(2x x x x x x x f ，若8)(=a f ，则=a __________.【练习】设()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(=m f 成立的m 的值是（ ） A.10B.0，10C.0，-2，10D.1，-1，11【例题】设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.()()∞+-，31,3B.()()∞+-，21,3C.()()∞+-，31,1D.()()313,， -∞-【练习】已知⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是__________.【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=1,31,1)(x x x x x f ，且不等式1)(≥x f 的解集是__________.【练习】已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式()()113≤+-+x f x x 的解集是__________.【刷题训练】【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,2)(2x x x x x x x f ，若3)(=x f ，则x 的值为（ ）A.1或23B.3±C.23或3±D.3【练习】已知函数⎩⎨⎧≥+<+=1,1,23)(2x ax x x x x f ，若a f f 4)]0([=，则实数a 等于（ ） A.21B.54C.2D.9【练习】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的x 的取值范围为（ ）A.(][]10,02 -∞-，B.(][]1,02 -∞-，C.(][]10,12 -∞-，D.[][]10,10,2 -【练习】已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,1)(x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（） A.[]121--，B.(]1，∞-C.(]12-∞-，D.[]1212---，；|)(|x f y =【练习】已知⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=3,393,)(22x x x x x a x f 在点3=x 处连续，则常数a 的值为__________.【练习】已知函数[][]⎩⎨⎧-∉-∈=1,1,1,1,2)(x x x x f ，若2))((=x f f ，则x 的取值范围是（ ） A.∅B.[]1,1-C.()()∞+-∞-，，11D.[]1,1}2{-【数形结合解决函数问题】一、图象的画法（1）描点法为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的草图或较为精确的图象.作图通常有列表、 描点、连线三个步骤：①列表.先找出一些有代表性的自变量值x ，并计算出与这些自变量相对应的函数值)(x f ，用表格的形式表示出来；②描点.从列表中得到一系列的点())(x f x ，，在坐标平面上描出这些点；③连线.用平滑曲线把这些点按照自变量由小到大的顺序连接起来；作出更精确的图象，常常需要描出更多的点.（2）变换作图法（利用基本函数的图象）①平移：)(x f y = 个单位长度向右平移a )(a x f y -=；)(x f y = 个单位长度向上平移b b x f y +=)(；②对称：)(x f y = 轴对称关于x )(x f y -=；)(x f y = 轴对称关于y )(x f y -=；)(x f y = 关于原点对称 )(x f y --=；③其他：)(x f y =轴对称到上方轴下方图象关于轴上方图象，再把保留x x x。
1-2复合函数-反函数
y ln x
2
y1 ln x x 1 , x [1, ).
2 2
x 1 , x [1, ).
定理1 设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必有反
函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格增函数.
类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f 1 , 且 f 1 在其
定义域上也是严格减函数.
证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f ( D). 只有一个 x D,
s.t. f ( x ) y .
事实上,若 x1 x2 , 使 f ( x1 ) y f ( x2 ), 则与 f
排除了前两种可能性，因此 f
1
也是严格增函数.
三、分段函数
在定义域的不同范围内用不同的解析式表达的函数
称为分段函数. 如前面学过的符号函数、取整函数等.
符号函数 1 , x 0
sgn x 0 , x 0 1 , x 0
y
1
取整函数 y
3
2
1
y [ x]
由于 sh x 在 R 上严格增,因此 sh x 有反函数. 1 x x x 由 y (e e ), 得到 e 的一元二次方程 2 x 2 x (e ) 2 ye 1 0.
解得
x ln y y 2 1 (负舍),
因此 y sh x 的反函数为
y ln x x 2 1 , x R .
——分解到基本初等函数或其四则运算为止. 是由于微分和积分对于基本初等函数或其四则 运算均有确定的计算公式.
如：y lnsine
及t
复合函数与分段函数
一、复合函数与抽象函数1.复合函数：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内函数，y=f(x)叫做外函数2.抽象函数：抽象函数是指没有给出具体解析式的函数求抽象函数定义域的方法：①已知函数f(x)的定义域为A，求函数f(g(x))的定义域：其实质是已知g(x)∈A，求x的取值范围例1：若函数f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x-1)的定义域②已知函数f(g(x))的定义域为A，求函数f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g（x）的取值范围，此范围就是f(x)的定义域例2：已知f(x+3)的定义域为[-4,5],求f（x）的定义域例3.已知函数f(x+3)的定义域为[-4,5],则函数f(2x-3)的定义域是________例4.已知函数f(x)的定义域是[-1,0]，则函数f(2x+1)的定义域为_______例5.已知函数f(x+3)的定义域为[-5，-2]，求函数f(x+1)+f(x-1)的定义域二、分段函数1.分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量x 的不同的取值范围，函数有着不同的对应关系，这样的函数就称为分段函数。
如f(x)={−1，x ≥01，x ＜0（1）分段函数虽然由几个部分组成，但它仍是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的 如，函数y={1，−2≤x ＜0x ，0<x ≤3（3）写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏（4）处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值食欲那个区间，再取相应的对应关系（5）分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集，值域是各段函数值的并集例1若函数f(x)={2x +3,x ≤23x −5，x ＞2，则f(f(1))的值_____2.分段函数的图像做分段函数图像时，要特别注意分界点的虚实如：y={1，>00,x =0−1,x <0若函数f(x)={x +4,x ≤0x 2−2x ，0＜x ≤4−x +2，x ＞4，（1）求f(f(f(5)))的值（2）若f(x)=4，求x 的值（3）画出函数f(x)的图像。
46.分段函数、复合函数和抽象函数
46．分段函数、复合函数和抽象函数分段函数、复合函数和抽象函数是三类特殊的函数，它们的性质及其应用也是函数中的一个难点．如何攻克？只需回归函数及其性质（单调性、奇偶性）的定义，其中有解决上述问题的宝贝，就看你能不能淘出来．一、分段函数1．定义域、值域例1 已知函数⎩⎨⎧≤≤+<<--=.30,1,02,212x x x x y ，则它的定义域是 ；值域是 . 分析：把两段的x 的取值范围并起来，即为函数的定义域；分段求出函数值的取值范围，它们的并集就是函数的值域.解：函数的定义域是]3,2(]3,0[)0,2(-=- .因为函数x y 21-=在区间)0,2(-上是减函数，所以此时51<<y ；因为函数12+=x y 在区间]3,0[上是增函数，所以此时101≤≤y .所以函数的值域是]10,1[]10,1[)5,1(= .评注：函数的定义说得清楚：定义域是自变量的取值范围，何为自变量，就是函数中能自主变化的量.值域是函数值的取值集合，故求分段函数的定义域和值域时，要遵循先分后总的原则，把各段自变量和函数值的取值范围并起来.例2 求函数|1||3|+-+=x x y 的值域.分析：通过讨论x 的范围去绝对值符号后，可把此函数转化为分段函数.解：当3-<x 时，2)]1([)3(-=+--+-=x x y ；当13-≤≤-x 时，42)]1([3+=+--+=x x x y ；当1->x 时，2)1(3=+-+=x x y .所以⎪⎩⎪⎨⎧->-≤≤-+-<-=.1 ,2,13 ,42,3 ,2)(x x x x x f ，因为当13-≤≤-x 时，2422≤+≤-x .所以原函数的值域为}22|{}22|{}2{}2{≤≤-=≤≤--y y y y评注：含绝对值的函数一般都需先去掉绝对值符号再解决问题，而去掉绝对值的方法是讨论自变量的范围，这样就把函数转化成了分段函数.2．奇偶性例3 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=.0,,0,,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则=+b a .分析：根据奇函数的定义求出b 的值，根据奇函数的性质求出a 的值，即可求b a +.解：当0<x 时，0>-x ，所以2)(--=-x x f .因为函数)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以b x x x f +=+=2)(，所以2=b .又因为0)0(==a f ，所以2=+b a .评注：根据奇函数的定义，对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，这是本题求解的依据.若给定一个分段函数，判断其奇偶性，那就需依据函数奇偶性的定义，全定义域考证.3．单调性例4 设⎩⎨⎧≥<-+=.1,,1,4)13()(2x ax x a x a x f 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 . 分析：先求出每一段是增函数时a 的取值范围，再求出当1=x 时24)13(ax a x a ≤-+的a 的取值范围.两个范围的交集即为a 的最终取值范围.解：因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧⨯≤-⨯+>>+.141)13(,0,0132a a a a a 解得21≥a . 所以a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. 淘宝：根据函数单调性的定义，若使函数)(x f 在其定义域上是增函数，只保证答每段都增是不够的，还要保证函数在两端的衔接处也是增的，这一点往往容易被忽视.二、复合函数例5 已知函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是 .分析：函数)78lg(2-+-=x x y 是由函数u y lg =与782-+-=x x u 复合而成的，故它的单调性取决于这两个函数的单调性.因为函数u y lg =是增函数，故若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，只需在0782>-+-=x x u 前提下求出782-+-=x x u 的递增区间，即为函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间，然后通过)1,(+m m 是这个递增区间的子集求m 的取值范围.解：由0782>-+-=x x u ，可得71<<x ，而函数782-+-=x x u 的递增区间为)4,(-∞，∴函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间为)4,1(.若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，须使)4,1()1,(⊆+m m ，只需⎩⎨⎧≤+≥.41,1m m 解得 31≤≤m ，所以m 的取值范围是]3,1[.评注：二重复合函数))((x g f y =的单调性遵循同增异减的规则，解释如下：函数的性质其实都是由对应关系决定的.函数))((x g f y =的自变量是x ，函数值是y ，根据函数单调性的定义，其单调性要看这两个量的变化关联（)(x g 作为中间变量，只起沟通与过渡的作用）.如：若f 和g 同增，则当x 增大时，)(x g 增大，则))((x g f y =也增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =单调递增；而当f 和g 同减时，则当x 增大时，)(x g 减，则))((x g f y =反而增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =也单调递增.所以得出“同增”的结论，“异减”同样分析，关键是看两端（即x 与y ）变化关联.本例的易错点是范围端点值的取舍不当.例6 （多选题）已知函数)(x f 的定义域为R ，且)1(+x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的个数为（ ）A ．0)7(=fB ．)(x f 的一个周期为8C ．)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(D ．)(x f 图象的一条对称轴为直线2022=x分析：根据的)1(+x f 和)1(-x f 奇偶性，得到两个等式，进而推出函数)(x f 的的对称性和周期性，即可进行判选.解：由)1(+x f 是偶函数，得)1()1(x f x f +=-①，即直线1=x 是)(x f 图象的对称轴；又由)1(-x f 是奇函数，得-=--)1(x f )1(-x f ②，即点)0,1(-是)(x f 图象的对称中心．在①式中，用1-x 代换x ，可得)()2(x f x f =-；在②式中，用1+x 代换x ，可得)()2(x f x f -=--（原则是把其中一边变成)(x f ）．所以)2()2(x f x f ---=-，用2-x 代换x ，可得)()4(x f x f --=-③，所以)()4()8(x f x f x f -=--=-，所以)(x f 的一个周期为8，B 正确．所以0)1()7(=-=f f ，所以A 正确；由③式得相邻两个对称中心之间的距离是4，所以)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(，所以C 正确；每隔一个周期对称轴出现一次，而5825212022+⨯=-，所以直线2022=x 不是)(x f 图象的一条对称轴，所以D 错误．综上，选ABC ．评注：函数))((x g f 的自变量是x ，对应关系是两个对应关系g f ,的复合，由函数奇偶性的定义，可知当))((x g f 是偶函数时，应有))(())((x g f x g f =-；当))((x g f 是奇函数时，应有))(())((x g f x g f -=-，即只改变其中自变量的符号.所以当)1(+x f 是偶函数时，应有)1()1(x f x f +=-，而不是)1()1(x f x f +=--，后者说明f 即外层函数是偶函数；当)1(-x f 是奇函数时，应有)1()1(--=--x f x f .三、抽象函数例7 若对于任意实数y x ,，都有)()(2)2(y f x f y x f +=+．（1）求)0(f 的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性．分析：)0(f 可通过赋予y x ,特殊值求解，函数)(x f 的奇偶性可依据函数奇偶性的定义判断，但需灵活地设置变量．解：（1）令0==y x ，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)0(3)0(f f =，所以0)0(=f ．（2）令x y -=，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)()(2)(x f x f x f -+=，即)()(x f x f -=-，所以函数)(x f 是奇函数．评注：抽象函数是指未给出函数解析式的函数，解答抽象函数问题时，因无具体的函数解析式可用，所以在研究它们的性质时，要以相关性质的定义为“指引”，有的放矢，灵活变换已知条件．例8 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)0)(()(><+a x f a x f ，则不等式)12()(+>x f x f 的解集为（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}1|{<x x分析：先由)0)(()(><+a x f a x f 确定函数)(x f y =的单调性，然后把待解不等式转化，即可求出其解集．解：设21x x <，则)0(12>+=a a x x ，所以)()()(112x f a x f x f <+=，所以0)()()()(1121>+-=-a x f x f x f x f ，所以函数)(x f y =在R 上是减函数，所以12+<x x ，解得1->x ．选A ．评注：待解不等式的两端是两个函数值，因而我们考虑先判断函数的单调性，进而运用单调性脱去不等式中抽象的对应关系“f ”，从而化抽象为具体，使不等式获解．。
复合函数
复合函数编辑[fù hé hán shù]不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。
设函数y=f(u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du 内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
目录1定义域2周期性3增减性▪决定因素▪基本步骤▪例题▪求参数范围4求导1定义域编辑若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
说白了------复合函数y=f[g(x)]中---g(x）的值域是f(u）的定义域。
y=f(x)+g(x)不是复合函数。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
分段复合函数零点个数问题
分段复合函数零点个数问题是一个复杂的问题，需要考虑函数的定义域、分段函数的性质以及复合函数的性质等多个因素。
以下是一些可能有用的提示和步骤，帮助您解决这个问题：确定函数的定义域：首先，您需要确定函数的定义域，以确保您在正确的范围内求解零点。
分析分段函数的性质：分段函数可能在不同的区间内具有不同的性质。
您需要仔细分析这些性质，并找出可能影响零点个数的关键点。
分析复合函数的性质：复合函数可能具有更复杂的性质，例如连续性、可导性等。
您需要分析这些性质，以确定如何找到零点。
使用代数方法求解零点：一旦您确定了函数的定义域、分段函数的性质和复合函数的性质，您可以使用代数方法（例如因式分解、求解方程等）来求解零点。
考虑特殊情况：在某些情况下，函数可能在某些特定的x值处具有特定的性质（例如奇函数、偶函数等）。
您需要仔细考虑这些特殊情况，并确定它们是否会影响零点的个数。
需要注意的是，解决分段复合函数零点个数问题可能需要一定的数学技巧和经验。
如果您不确定如何解决这个问题，建议请教数学专家或查阅相关的数学教材和文献。
分段函数与简单复合函数
第三课时（2.1,2.2）
教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，定义域，值域.
2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.
重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.
教学过程：
一、 复习 函数的概念，函数的表示法
二、 例题
例1. 已知⎪⎩
⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x . 求f(f(f(-1))) （从里往外“拆”）
例2. 已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]
（介绍复合函数的概念）
例3. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4
1(-⋅x f 的定义域。
例3. 作出函数21++-=x x y 的图像
（先化为分段函数，再作图象）
例5．作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像.
（先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页）
例6.作出函数x
x y 1+=的图象 （用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象. 图象见课件第二页，进一步介绍函数b y ax x
=+的图象，见课件第三页） 三、 课堂练习 课本P56 习题2.1 3，6
四、 作业 课本P56 习题2.1 4，5 ，《精析精练》P65 智能达标训练。
函数的值域的7种题型
函数的值域的7种题型函数的值域是函数输出值的集合。
理解函数的值域对于理解函数的性质和行为非常重要。
以下是函数的值域的7种题型：1. 基础题型：给定一个简单的函数，例如 $f(x) = x^2$，求其值域。
这种题型主要考察对基本函数性质的理解。
2. 复合函数：给定一个复合函数，例如 $f(g(x))$，其中 $g(x) = x^2$，求其值域。
这种题型要求理解复合函数的性质，特别是内外函数的值域和定义域关系。
3. 分段函数：给定一个分段函数，例如 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$，求其值域。
这种题型要求理解分段函数的性质，特别是不同分段的值域。
4. 三角函数：给定一个三角函数，例如 $f(x) = \sin x$，求其值域。
这种题型要求理解三角函数的性质，特别是其周期性和振幅。
5. 指数和对数函数：给定一个指数或对数函数，例如 $f(x) = 2^x$ 或 $f(x) = \log_2 x$，求其值域。
这种题型要求理解指数和对数函数的性质，特别是其单调性和定义域。
6. 抽象函数：给定一个抽象函数，例如 $f(x) = x^2 + 1$，求其值域。
这种题型要求对函数性质有更深入的理解，特别是如何通过函数的性质判断其值域。
7. 实际应用题：给定一个实际问题，例如求一个物理过程的输出范围，或者求解一个经济模型的参数范围。
这种题型要求将实际问题转化为数学模型，并利用数学工具求解值域。
通过解决这些题型，可以加深对函数值域的理解，提高解决实际问题的能力。
分段函数与复合函数
分段函数1.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=22. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-14【答案】B【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.4.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或5.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
高中数学复合函数知识点总结
高中数学复合函数知识点总结高中数学复合函数知识点总结1.复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B，u=g(x)的定义域是A，则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A，且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0)；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求。
⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
注：设y=f(u)的最小正周期为T1，μ=φ(x)的最小正周期为T2，则y=f(μ)的'最小正周期为T1xT2，任一周期可表示为kxT1xT2(k属于R+)2.复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
⑴求复合函数的定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。
3.复合函数周期性设y=f(u)的最小正周期为T1，μ=φ(x)的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1xT2，任一周期可表示为kxT1xT2(k属于R+)。