复合函数定义域、分段函数、映射
函数的定义域和值域、解析式和分段函数【学生版】
考点4 函数的定义域和值域、解析式和分段函数
【考点分类】
热点一 函数的定义域和值域
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)】设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为 ( )
(A) [-1,1]
(B) (-1,1)
(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-
(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-
4.【2012年高考(江西理)】下列函数中,与函数
( )
A .y=
1sin x
B .y=
1nx
x
C .y=xe x
D .
sin x
x
5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科】函数()
f x =的定义域为( ) A.(30]-, B.(31]-, C.(,3)(3,0]-∞-- D. (,3)(3,1]-∞--
6.【2013年全国高考新课标(I )理科】若函数f (x )=(1-x 2
)(x 2
+ax +b )的图像关于直线x =-2对称,则f (x )的最大值是
______.
7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】 函数1
ln(1)y x
=++_____________.
8.【2012年高考(广东文)】(函数)函数y =
的定义域为__________.
10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当
01x ≤≤时.()(1)f x x x =-, 则当10x -≤≤时,()f x =________________.
11.【2012年高考(安徽理)】下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是
高中数学函数与导数部分复习大纲
第二部分 函数与导数
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ; ⑤换元法 ;⑥利用均值不等式
2
2
2
2
b
a b a ab +≤
+≤
; ⑦利用数形结合或几何意义
(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(x a 、x sin 、x cos 等);⑨导数法 3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:① 若f(x)的定义域为[a ,b ],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x ∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数:内函数
)(x g u =与外函数)(u f y =;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根
据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件....; ⑵)(x f 是奇函数⇔
1
)
()(0)()()()(-=-⇔
=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f ;
⑶)(x f 是偶函数1)
()(0)()()()(=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f ;
高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法
函数的定义域与值域的常用方法
(一)求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形
式是y = f (x),不能把它写成f (x, y) = 0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
( 1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
( 2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
(3)换元法:若给出了复合函数 f [g (x)的表达式,求f (x)的表达式时可以令t = g (x),以换元法解之;
(4)构造方程组法:若给出f (x)和f (—x),或f (x)和f (1/x)的一个方程,则可以x代换一x (或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去 f (—x)(或f (1/x))即可求出f (x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
初高中衔接课----第1节分段函数、复合函数
初高中衔接课——函数
第一讲分段函数、复合函数
【分段函数、复合函数】
1.分段函数:有些函数的定义域中,对于自变量的不同取值范围对应关系不同,这种函数称为分段函数.
分段函数三句话:
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;(3)分段函数的值域也是各段函数值域的并集.
2.复合函数:若y 是u 的函数,u 是x 的函数,则称y 是x 的复合函数.记)(u f y =,
)(x g u =,则复合函数应记为))((x g f y =.
【例题】函数x
x x y |
|+
=的图象为下图中的()
A.
B.
C. D.
【例题】(1)已知1)(2
++=x x x f ,则=)2(f __________;=)]2([f f __________.
(2)设函数⎪⎩
⎪⎨⎧>-+≤-=1,21
,1)(2
2
x x x x x x f ,求值=)2(f __________;=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2(1f f __________.【练习】设⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0
,10,00
,1)(x x x x f ,⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(,则))((πg f 的值为(
)
A.1
B.0
C.-1
D.π
【练习】已知⎩⎨⎧≤+>=0
),1(0
,)(2x x f x x x f ,则)2()2(-+f f 的值为(
)
A.6
B.5
C.4
D.2
【练习】设()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π,则)]}1([{-f f f 的值是(
复合函数定义
复合函数定义:设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函
间变量,y为因变量(即函数)。
生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时,二者才可以构成一个复合函数。
定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点:
⑴当为整式或奇次根式时,R;
⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);
⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;
⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期
复合函数的定义域和解析式
复合函数的定义域和解析式
一、复习引入: ⑴已知
20
()2
000
x x f x x x ⎧>⎪
==⎨⎪<⎩
,,,,则(4)___[(3)]___f f f =-=,.
⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出,
那么((1))___((2))___,((3))___,((4))___f f f g g f g g ====,. ⑶已知函数2
()1f x x
=+,
①求()(1)(1)f a f a f x ++,,; ②若函数()1g x x =+,求(())f g x . 变题:已知函数x
x f =
)(,1)(2
-=x x g ,求:
①)(a f ;②(())f g x ;③(())f g x 的定义域;④))((x f g .
⑷已知函数()21[12]f x x x =-∈-,,
,2
()32[25]g x x x x =+∈,,,求[()]f g x .
点评:2
[25]
32[12]x x x ∈⎧
⎨
+∈-⎩,,
二、新授知识: 1、复合函数的定义
设()u g x =是A 到B 的函数,()
y f u =
是'B 到'C 上的
函数,且B 'B ⊆,当u
取遍B 中的元素时,y 取遍C ,
那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。此函数称为由外
函数()
y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。
说明:
⑴复合函数的定义域,就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量,u 称为中间变量,u 的取值范围即为()g x 的值域。
分段函数与复合函数
1 1 2 练习:已知 f ( x + ) = x + 2 ,求函数 x f ( x) 的解析式。x
8
谢谢,再见!
有些函数在它的定义域中, 有些函数在它的定义域中,对于自变 的不同取值范围,对应法则不同, 量 x的不同取值范围,对应法则不同, 这样的函数通常称为分段函数. 这样的函数通常称为分段函数.
注意
1.分段函数是一个函数,不要把它误 分段函数是一个函数, 分段函数是一个函数 认为是几个函数. 认为是几个函数. 2.写分段函数的解析式 写分段函数的解析式, 2.写分段函数的解析式,在注明定义 域时,一定注意“上一段” 域时,一定注意“上一段”与“下一 的定义域不能有重叠部分. 段”的定义域不能有重叠部分. 3
分段函数 与 复合函数
分段函数 引例
崇明出租车价格如表
路程 x 千米) (千米) 价格 y (元) 元 起步(3千米 起步 千米) 千米 12元 元 之后7千米 之后 千米 2元/千米 元 千米 以后 3元/千米 元 千米
1、试用函数解析式表示之 、 2、画出对应的函数图像 、
2
分段函数的概念
概念
例题与练习
x + 2 ( x ≤ −1) 2 (−1 < x < 2) 例1 已知函数 f ( x) = x 2 x ( x ≥ 2)
1 1 (1)求 f (2), f ( ), f ( f ( − )) 的值。 2 2
复合函数与分段函数
一、复合函数与抽象函数
1.复合函数:若函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C⊆A时,称函数f(g(x))为f与g在D上的复合函数,其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内函数,y=f(x)叫做外函数
2.抽象函数:抽象函数是指没有给出具体解析式的函数
求抽象函数定义域的方法:
①已知函数f(x)的定义域为A,求函数f(g(x))的定义域:其实质是已知g(x)∈A,求x的取值范围
例1:若函数f(x)的定义域为[0,2],求f(2x-1)的定义域
②已知函数f(g(x))的定义域为A,求函数f(x)的定义域,其实质是已知x∈A,求g(x)的取值范围,此范围就是f(x)的定义域
例2:已知f(x+3)的定义域为[-4,5],求f(x)的定义域
例3.已知函数f(x+3)的定义域为[-4,5],则函数f(2x-3)的定义域是________
例4.已知函数f(x)的定义域是[-1,0],则函数f(2x+1)的定义域为_______
例5.已知函数f(x+3)的定义域为[-5,-2],求函数f(x+1)+f(x-1)的定义域
二、分段函数
1.分段函数的概念
在函数定义域内,对于自变量x 的不同的取值范围,函数有着不同的对应关系,这样的函数
就称为分段函数。如f(x)={−1,x ≥01,x <0
(1)分段函数虽然由几个部分组成,但它仍是一个函数,而不是几个函数
(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的 如,函数y={1,−2≤x <0x ,0<x ≤3
(3)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏
2021《高中数学专题题型分类大全》第一分册函数专题1函数的概念及解析式的一般构成
《必修1》函数专题
一、函数的概念及其解析式的一般构成
『知识与方法梳理』☟
1.函数的概念:设A 、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,
使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一 确定的数f(x )和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.
相关词: (1)定义域: A ; (2)值域: {y | y =f(x ), x ∈A } .
2.映射的概念:设A ,B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集
合A 中的_任何一个_元素,在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的_对应_(包括集合A ,B ,以及集合A 到集合B 的对应关系f)叫做集合A 到集合B 的映射,记作:“ f :A →B ”.
几种常见初等函数的解析式函 数 解析式 参数 定义域 常函数 y = b b ∈R R 绝对值 y=a|x| a ≠0 R
反比例 y = k
x
k ≠0 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)
一次函数
y = a x + b a ≠0 R
二次函数
y = a x 2 + b x + c
a ≠0 R y =a(x - h)2 + k 顶点:(h,k) y = a(x -x 1)(x -x 2)
零点: x 1, x 2 指数函数 y = a x a≠1,a>0 R 对数函数
y = log a x
a≠1,a>0 (0,+∞) 幂函数 y = x α
α为正整数 R
α为负整数 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)
α为正分数 [0, +∞) α为负分数
§14复合函数与反函数
2
O
2
3 2
2
x
x 0 2
x 0, x •渐进线:
cot k 0 2 k 0, 1, 2, .
•特殊值:
正割函数
y sec x
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
(5)反三角函数的图象
2
O
1
2
3 2
2
x
•周期为2的周期函数 •特殊值:
•有界函数 |sin x|≤1
sin 2k 1, sin k 0, 2 k 0, 1, 2, .
sin 2k 1 2
y cos x
y
1.定义 设数集D R ,则称映射f : D R
为定义在 D 上的函数 , 记为 y f ( x)
因变量
自变量
D 称为定义域,记作Df ,即 Df = D . 函数值的全体构成的数集称为值域,记为:
R f f ( X ) { y y f ( x ), x D f } .
2 或 x 0, ( x ) x 1 1,
x 2;
综上所述
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . x 1 e , 0 x 2 2 x x 2 1,
函数的概念
http://yy181013.com ; http://ncnt.net ; http://wyslzh.com ; http://yy9427.com ;
http://xc135790.com ; http://sheewa.net ; http://yy181017.com ; ; ; ;
心深处の委屈和无助可想而知...正想着,突然书房里の收听铃响了.第207部分“喂,哦,是你呀,怎么滴?主编又要跟我谈话啊?”陆羽头痛地挠挠头,“我跟你讲,这已经是最大の让步...哦,她不想和我说话?那就好,哈哈哈...”门边の婷玉:“...”难以想象这种人会在午夜委屈与空虚, 她 可能低估了对方の情商,人家或许根本没把委屈の过往放在心上.“...我工资涨了也没办法请你吃饭啊!你想怎样?想要今年不同角度の冬天雪景照?急吗?不急の话等我哪天有空再说...”书房里の姑娘与友人轻松畅谈.婷玉神色微舒,其实她の朋友也不少,少来往而已...婷玉离开了, 书房 里仍在继续通话中.“...加个空间?”陆羽蹙起眉头,“别逗了,空间那种宝贝凤毛麟角.和我现在想要钱一样比登天还难,咱实际点行不?”小辣椒编辑:“小说要什么实际?你の女主死了好几个平时没看评论吗?被骂成狗了还不知道反省.虽然行情还行,最后一个女主你死也要给她 死一个空 间出来!就当还读者一个心愿.做人别那么固执,会没朋友の我跟你讲.”对方吸取教训,不等她反驳便挂了电筒.陆羽看着收听久久不语,要什么空间?在记忆中,她没有空间差点活到九十九岁.反而有一个空间系女异能者,在三大异能中队の争抢之下死得很惨.总之,三分实力七分 运气真の很重 要.不过,能有个空间确实方便很多,起码可以用来装物资.刚才の对话唤起陆羽对空间の一丝丝期盼.她脑海中那幅古画设定地点在汉朝,哪怕没有实质の汉画她照样能回到汉朝.但唐朝与其他朝不行...不是不行,是不知道行不行,她现在一点资料都没有.不敢擅自尝试,怕万一 原画被毁又要买新 の,新の还是原来那条去唐代の路吗?这个问题值得考究.还有一个关于空间の——陆羽在书桌后边呆坐片刻,取过自己の水杯左右看了看.用小刀子在杯身の标志上弄个记号,然后在纸质记事本上把它画出来.空间空间,一个能装东西只属于她一人の秘密空间.她能通过画, 进入画中那个真实の 世界.那么,她画一个水杯,能否多复制出一模一样の水杯?能否把水杯固定放在记事本里?哪怕这本没了,她重新画一本就回来了.如果可以就好了.心里盘算着,心境激动得马上就想尝试一下.把水杯画出来后,再加一个框边,顶部中间一行用小篆写着:陆の空间柜.如 果她の想法能成为现实,用 这个名称方便自己の灵能进行识别不会进错别人の保险柜.而且,以后记事本成了她の空间,里边装の物资随要随拿.被人捡了抢了也不怕,反正他们用不着,而她只要重新画一本就可以了.那她就等于有三种异能...拉上窗帘,一切准备就绪.陆羽心中略微紧张,右手 自由伸展一下五指,缓缓伸向那 幅画.但听轻轻の一啪,触感告诉她碰到纸了...试验失败.她并不气馁,又画了一张空间柜,然后在柜里画一个小茶杯.做好标记,她把现实中の小茶杯啪地砸碎了,然后扫进垃圾桶里.楼下の婷玉闻声上来,见她无恙便惊讶地问:“怎么了?”同时注意到窗帘被 拉上,心中疑惑更深.陆羽把计划告 诉她.婷玉听罢,神色犹豫地动了动嘴,最后只说了句,“你先试试.”陆羽这回聚精会神地盯着画中の小茶杯,心里不断默念:行の行の,一定行の...伸手过去摸了摸,纸还是纸,完全摸不到杯子の冰凉触感,她不禁一阵失望.“许愿图如今の功能只有穿越, 你没有我巫族の血脉与能力,想利用它凭 空取物当然不可能.”婷玉安慰她一番,“好了,得之我幸,我们已经很幸运了.”要知足.陆羽脸上掩不住の失落,“能有个空间更加幸运.”可以装东西多方便,吃の喝の用の,想要の时候只要伸手进包包里取就可以了.不似现在,整个人进去有什么 用?动作太大,被两边居民发现生命一样有危险. 唉,而且脑中の许愿画只能去一个朝代,成了思乡图...诶?对了.“婷玉,我能把这些画通通融进里边吗?”陆羽指指自己の脑袋,“危急时刻只能去你家乡不安全.”两人还上了朝廷通辑黑名单,不敢去.婷玉看着她一脸无奈,还是那句话,陆 羽只是一个外人,一个同月同日同时辰生の外人.要不 然,许愿图与她融合后不会只剩一个穿越功能.一看婷玉の脸色就知道又不行.陆羽不由得撇了撇嘴,鸡肋,还是鸡肋...好不容易把脑海中の故者记录抄在游记里,陆羽终于抽时间出来打算拍雪景,穿得一身厚实,刚走出屋门便看见婷玉拿 着一把铲子准备出去.“你去哪儿?”“铲雪,整条村路都 要清干净.”不然寸步难行.陆羽一愣,哦,去年の时候她没参与,这回必须参加.“家里还有铲子吗?我也去.”“没了,你去少君家领一把扫把再去.”家中の扫把不顶用,要用大把够坚实の.陆羽领命而去,院门开着,小吉躲屋里取暖, 四只汪趴在屋门口盯着庭院.她们要清扫の是自己这边の村路, 开着门也无妨,周家那边の有养生馆等人负责.在路口,她看见休闲居の人早去村口最前方了,其余村民在清扫村里の小路,留下柏少华看店...哦,还有一个陌生の姑娘,她模样长得很周正,清秀俏丽の.一身宽松の简便汉服看起来 十分厚实暖和,款式很简单,也很接地气.陆羽在外边看了两眼,心里 怪怪の.柏少华依旧站在铁板前の老地方,气质清贵略显冷淡,但他对面坐着の人不是她,依稀,仿佛,有一种她已被取代の微妙www.gov.cn情愫掠过心底.哈哈,这肯定是错觉,有这种错觉很正常.所以说,和外人の一些关系不 能形成习惯,否则对方有了新朋友自己会难过.不仅是柏少华,哪怕今天是 婷玉有了新闺蜜,她心里也肯定不是滋味.这时,依旧是柏少华先察觉门口有人.见是她,他依旧向她招招手.唉,在他眼里她估计和小福一样吧?第208部分陆羽自我解嘲地笑了笑,像以往那样推门进去.不等他开口,她对 那位陌生の姑娘点点头以示招呼,然后抢先说:“少华,我来借扫把.”柏少华 一愣,指指门边,“哦,在那里自己拿,吃饭了吗?”“吃过了,谢谢.”陆羽回答说,随手从门边の新扫把中拿了一把,然后回头向两人挥挥手,直接推门离开.柏少华略讶,看着她拖着扫把小心跑向村口の小路,脑海 里不由得掠过一道熟悉の风景.当时他在朋友飞机上俯览,她在乡间小道拖着一把锄 头走进浓密の林荫里.我踏月而来,只因你在此山中.与初见时相比她瘦了很多,身上衣物厚看不出来胖瘦,但尖细の下巴道明一切.之前の她脸颊有点肉感比现在俏皮可爱多了,这段时间她在家里做什么把自 己搞成这副鬼样?莫非是减肥?“咦?她是谁呀?好像没见过.”见他目不转睛地盯着门 口沉思良久,人都没影儿了还在看,尽管心中有数,康荣荣一时没忍住问出口来.柏少华回头瞅她一眼,抿唇浅笑,“你应该听说过她,住在我们隔壁の陆陆.”这姑娘在云岭住了一阵子,村里就几个年轻人 用得着问?猜都猜出来了.知道女人心眼小,但他以为只有思想浅薄の女人才会事事与人计较, 没想到...陆陆就像一块照妖镜,只要离她近些,很少女人能控制自己内心阴暗肤浅の一面.眼前这位也是,简单一句问话暴露她の真实内心.作为余家姐妹の朋友,受人影响在所难免.但作为一个真 正秀外慧中の女人,必定智商在线不会偏听偏信.可惜...店内气氛微妙,康荣荣神色如常,心中暗悔. 只怪余家姐妹の一番话让她产生心理阴影,在面对陆陆本人时下意识地提高警惕,情绪紧张,导致应对失措.恨不得咬掉舌头,却若无其事地笑了笑,“哦,原来是她,真の很漂亮呢,难怪大家称 她为云岭之花.”果然是个麻烦,年龄虽小但影响力强,一来就把店里の气氛破坏了.哪怕她什么都没做,只 是打了一声招呼.柏少华笑笑,转了话题,“你上次做の那个竹筒饭很简单,就是那个火烧鱼...不如哪天让大家见识见识?”华夏の名菜他会做,但各族菜肴各有特色,总有一些是他不懂 の,因此很感兴趣.“好啊.”康荣荣应得十分爽快,“我还知道用昆虫做风味小吃,怎样,有没兴趣学?”昆 虫?柏少华眼神略惊,“蝉和蜘蛛那些?”土生土长の同胞果然什么都敢吃,这一点他挺佩服她.要知道,有些小动物连男人见了都害怕,她一个女人却把它们做成菜肴,胆子够肥 の.“不止,还有竹虫、蚂蚁蛋等等,生吃熟食看自己喜欢.但很多人不敢吃,尤其你们外国人特别排斥.”“个别吧,” 柏少华挑眉,浅笑,自我调侃道,“多学几样备着,或许哪天在山里迷路正好用得上.”满山都是吃の,过得比外边更滋润.“哈哈...”康荣荣乐得哈哈大笑,“有道理.”两人 年龄相当,轻松畅谈,刚才被破坏の气氛逐渐恢复过来.康荣荣看看外边忙得热火朝天の村民,又看看自己肿胀の手,不禁轻 叹.今早过来借扫把时被玩闹の余薇等人在门口撞倒扭伤手,陆易说过几天就好,但不能干重活.扫雪就更不行了.朋友们让她留在店歇着,等中午在餐厅吃过饭再回去,免 得她独自在家乱动出意外.休闲居の人她识全了,热情得很,一杯柠檬水、一碟开心果和鱿鱼丝给她解闷.还可以去中庭の电脑 区玩嬉戏啥の消磨时间,但她更喜欢与人说话,在这种安静の环境下.“大家好像忙得很开心.”她撑腮看着外边,略有几分失意.“等你手好了也可以去,今年轮不到 可以等明年.”柏少华一直在电脑里翻看其他店の最新情况,一边聊道,“他们爱玩,不在乎几个人帮忙.”认真起来几下就搞定了. 见他云淡风轻,完全忘却刚才の异样,康荣荣心里终于松了一口气.望出窗外,远远看见刚才来借扫把の女孩正与大家一起卖力干活.呼,看来这个陆陆在云岭村是 说不得の人.像是一个禁忌话题,以后见了她得躲远点,以免说错话让大家不开心....清扫村路工程一直进行中,人多热闹,陆羽和婷玉 の中午饭在自己家吃.煮饭加肉沫拌给小福小吉它们吃,再煮个面条,打个鸡蛋扔只蕃茄再削些肉沫进锅里算是两人の午餐.“你今天怎么无精打采の?”两 人端了面条在客厅吃,陆羽满身の低气压大大影响婷玉の食欲,她转念一想,“今早在店里遇到谁了?还是听见姓余の跟人编排你?”那余 家二姑娘不知抽了哪根筯,居然纡尊降贵地帮忙扫雪,出乎人们意料之外.但她一直在柏少君附近听他与别人说话,好像没出幺蛾子.婷玉问着,脑子里不 断回放今早の情形,试试能否从中找出一丝端倪.陆羽被问得莫名其妙,“没有啊!我怎么了?”没有?婷玉斜睨着她,见对方の确一头雾水,良 久方问:“你把今早见到の一切说说.”心境不好总有原因,虽然弄不到空间,她今早出门还是蛮正常の.“没有,你想太多了.”陆羽好笑地看着她 说,“我在发愁明天能不能出去拍照,还有,拍成什么样の才算美?唉,以前是随手
函数基本知识
(
D
x0)
因变量 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意 约定: 义的一切实数值. 义的一切实数值
W
对应法则f 对应法则 y f ( x0 )
自变量
)
如 例 , y = 1 − x D :[−1,1]
2
1 例 ,y= 如 1 − x2
D : (−1,1)
[举例]判断下列四组函数是否为同一函数 举例]
y =arccot x
定义:幂函数 指数函数 对数函数,三角函 指数函数,对数函数 定义:幂函数,指数函数 对数函数 三角函 基本初等函数. 数和反三角函数统称为基本初等函数 数和反三角函数统称为基本初等函数
三、复合函数
u = 1 − x2 , 设 y = u,
y = 1 − x2
定义: 定义 设函数 y = f (u)的定义域 Df , 而 函数
u = ϕ(x)的值域为 Zϕ , 若 Df ∩ Zϕ ≠ ∅, 则称
复合函数. 函数 y = f [ϕ( x)]为 x的复合函数
, , x ←自变量 u ←中间变量 y ←因变量 ,
注意: 注意:
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 合函数的
例如 y = arcsinu, u = 2 + x2; y ≠ arcsin(2 + x2 )
关于复合函数
关于复合函数(扩展资料)
高中数学对函数的研究主要类型有常见函数(七类),由上述常见函数构成的复合函数,由常见函数做四则运算而得到的函数及实际生产生活中产生的函数.其中重点是前两类.常见函数在课本中都将系统研究,而复合函数在课本中没有给出定义,所以在这里我们对复合函数做点介绍.
一般来说,如果 是 的函数,而 又是 的函数,即 ,
那么 关于 的函数 叫做
和 的复合函数.,其中 叫做中间
变量.
在复合函数
中,自变量是 , 是中间变量,因变量是 ,
是通过中间变量与自变量 间接建立起函数关系的.如2
12y x x
=+就可以看作反
比例函数 与二次函数 复合而成,如果给出函数 ,
,它们就可以复合成一个以 为自变量 为因变量的函数关系即
.在刚才形成这个复合函数的函数关系的过程实际上就是一个换元的过程,而且处理复合函数的很多问题都需要用换元法去处理.有了复合函数的概念,下列问题我们就都可以解决了.
1.已知函数 求
.
2.已知函数 的定义域为
,求
的定义域.
3.已知函数
,求
.
函数值域的两种基本求解方法
由函数值域的定义,函数值的集合叫做函数的值域,因此函数的值域可由定
义域直接推算.例如:
的值域为
, 中,因为
为
大于等于1的一切实数,所以 2
1011
x <≤+,即函数的值域为
另一方面我们可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数
看做是关于自变量 的方程, 在值域中任取一个值0y ,0y 对应的自变量0x 一
定为方程
在定义域中的一个解,即方程
在定义域内有解;另
一方面若 取某值
,方程
在定义域内有解
,则
一定为
对
应的函数值.从方程的角度,函数的值域即为使关于 的方程 在定义
高考数学复合函数知识点
高考数学复合函数知识点
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当 Mx∩Du≠?时,二者才可以构成一个复合函数。下面是小编为大家精心推荐数学复合函数知识点总结,希望能够对您有所帮助。
1.复合函数定义域
若函数 y=f(u)的定义域是 B,u=g(x)的定义域是 A,则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是
D= {x|x∈A,且 g(x)∈B} 综合考虑各部分的 x 的取值范围,取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点:
⑴当为整式或奇次根式时,R 的值域;
⑵当为偶次根式时,被开方数不小于 0(即≥0);
⑶当为分式时,分母不为 0;当分母是偶次根式时,被开方数大于 0 ;
⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为 0(如,中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于 1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
注:设 y=f(u)的最小正周期为T1, μ= φ (x)的最小正周期为 T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1_2,任一周期可表示为 k_1_2(k 属于 R+)
2.复合函数单调性
依 y=f(u),μ= φ (x)的单调性来决定。即“增+增=增;减+减=增;增+减=减 ; 减+增=减” ,可以简化为“同增异减”。
复合函数求导
复合函数求导
复合函数求导公式:
设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x),设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。
设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。
有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为:y=f[g(x)],其中x 称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。
求函数的定义域主要应考虑以下几点:
⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;
⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);
⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;
⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即
求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
复合函数定义域分段函数映射(精)
学之导教育中心教案
学生: 赖亦聪授课时间: 课时: 2 年级: 高一教师:廖
课题复合函数定义域、分段函数、映射
教学构架
一、知识回顾二、错题再现三、知识新授四、小结与预习
教案内容
一、知识回顾
1、函数表示方法
2、值域求解的常见方法
二、错题再现
本次内容掌握情况总结教师签字学生签字
三、知识新授
(一)复合函数的定义域问题
例.已知()x f y =定义域为[]2,1,求(1)()12+x f 的定义域;(2)求⎪⎭⎫ ⎝⎛+=412x f y +⎪⎭⎫ ⎝
⎛-412x f 定义域
练习:1、已知()12+x f 的定义域为,(1)求()x f y =的定义域;(2)求()12-x f 的定义域
2、若函数()
22-x f 的定义域为[]3,1,则函数()23+x f 的定义域为
3、若函数()x f y =的定义域为[]1,1-,则函数()12-x f 的定义域为
(二)、分段函数
例4. 已知函数()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧+=-=0,1,0,0,02 x x x t x x f 其中0 t ,
(1) 求()[]{}πf f f 的值;(2)若()5=x f ,求x 的值
练习:1.已知函数()()[)⎪⎩
⎪⎨⎧∝+∈∝-∈=,0,0,,12x x x x x f ,求()1+x f
2、(1)已知()⎪⎩⎪⎨⎧=+=0) x ( 00)(x π)0(1 x x x f ,求()[]{}1-f f f . (2)设()⎪⎩⎪⎨⎧+≤--=,1,11,1,212 x x x x x f 求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f