一中高三月考数学试卷理科

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2024届西安市铁一中高三数学(理)上学期第一次月考卷附答案解析

2024届西安市铁一中高三数学(理)上学期第一次月考卷附答案解析

2024届西安市铁一中高三数学(理)上学期第一次月考卷(试卷满分:120分,考试时间:150分钟)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数()i z a a =+∈R 的共轭复数为z ,满足1z =,则复数z =A .2i +B .2i -C .1i +D .i2.集合()1sin 1,0,π2A θθθ⎧⎫=<≤∈⎨⎬⎩⎭,π14B θθ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,则集合A B ⋂为()A .π14θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B .ππ42θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C .ππ62θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D .π16θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3.“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的()条件.A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数sin 22y x x =+的图象,则φ的可能值为()A .0B .π6C .π3D .π125.在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱.汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”,后来演变为计量铜钱的单位,1000枚铜钱用缗串起来,就叫一缗.假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆,摆放规则如下:底部并排码放70缗,然后一层一层往上码,每层递减一缗,最上面一层为31缗,则这一堆铜钱的数量为()A .6210⨯枚B .62.0210⨯枚C .62.02510⨯枚D .62.0510⨯枚6.过点(2,1)P 的直线l 与函数1()2x f x x -=-的图象交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则()OA OB OP +⋅=()AB.C .5D .107.设双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为A .2BC.D .48.已知函数()f x 的部分图象如下图所示,则()f x 的解析式可能为()A .()()cos 4cos cos 4sin x x +B .11cos 4cos cos 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .11sin 4cos sin 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .13cos 4cos 24x ⎫ ⎪⎭+⎛⎝9.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响,则p 值为()A .35B .45C .34D .1410.已知函数()2g x a x =-(1x e e ≤≤,e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围是()A .211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B .21,2e ⎡⎤-⎣⎦C .2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D .)22,e ⎡-+∞⎣11.如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,BCD △是边长为的等边三角形,2AB AD ==,则该几何体外接球表面积为()A .20πB .8πC .28πD .48π12.设方程e e 0x x ++=和ln e 0x x ++=的根分别为p 和q ,函数()()e x f x p q x =++,则()A .()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13.等比数列x,3x +3,6x +6,…的第四项等于.14.已知1tan 3α=,1tan 7β=-,且(),0,παβ∈,则2αβ-=.15.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 是平面ABC 内一点,则()2PA PB PC⋅+ 的最小值为.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ,2F ,它们的离心率分别为1e ,2e ,点P 为它们的一个交点,且1223F PF π∠=,则2212e e +的取值范围是.三、解答题17.在ABC 中,D BC ∈,sin sin ACD ABD S BS C λ∠==∠ .(1)求证:AD 平分BAC ∠;(2)当12λ=时,若1AD =,22DC =,求BD 和AC 的长.18.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+.(1)当a e =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若不等式()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.19.如图,已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====.(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面111A B C ;(Ⅱ)求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值.20.设向量1ln ,2m a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,()21,n x = ,()(1)f x m n a x =⋅-+ ,(a ∈R ).(1)当3a =-时,求()f x 的极值;(2)当0a >时,求函数()f x 零点的个数.21.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ,右顶点为A,渐近线方程为y =,F 到渐(1)求C 的方程;(2)若直线l 过F ,且与C 交于P ,Q 两点(异于C 的两个顶点),直线x t =与直线AP ,AQ 的交点分别为M ,N .是否存在实数t ,使得FM FN FM FN+=- ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.22.如图,设ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,AD 为BC 边上的中线,已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C=-+,cos BAD ∠=.(1)求b 边的长度;(2)求ABC 的面积;(3)设点E ,F 分别为边AB ,AC 上的动点(含端点),线段EF 交AD 于G ,且AEF △的面积为ABC 面积的16,求AG EF的取值范围.1.D【分析】由题意求得z a i =-,然后根据1z =求得0a =,进而可得z i =.【详解】根据题意可得z a i =-,所以1z =,解得0a =,所以复数z i =.故选D .【点睛】本题考查共轭复数的概念和复数模的运算,考查运算能力,属于基础题.2.A【分析】利用正弦函数的单调性化简集合A ,根据交集的定义写出A B ⋂.【详解】因为()1π5πsin 1,0,π266A θθθθθ⎧⎫⎧⎫=<≤∈=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,π14B θθ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,所以A B = π14θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,故选:A .3.B【分析】根据题意,由复合命题真假的判断方法分析“p q ∧为假”和“p q ∨为假”的关系,根据充分必要条件的定义即可判断.【详解】根据题意,若p q ∧为假,则p ,q 至少有一个为假,则p q ∨为真或假都有可能,充分性不成立;反之,若p q ∨为假,则p ,q 均为假,故p q ∧一定为假,必要性成立;故“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的必要不充分条件.故选:B.4.A【分析】根据辅助角公式,结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.【详解】πsin 222sin 23y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数的图象解析式为:ππ2sin 66f x x ωωϕ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以有()()22πZ ππ2πZ 63k k k k ωϕωϕ=⎧⎪⇒=∈⎨+=+∈⎪⎩,显然只有选项A 符合,故选:A 5.B【分析】构造等差数列模型,求出等差数列前40项的和计算总缗数,再乘以1000,即可得答案;【详解】由题意得,摆放规则的各层缗数,构成首项14070,31,a a ==的等差数列,∴4040(7031)20202S ⨯+==,∴这一堆铜钱的数量为620201000 2.0210⨯=⨯枚.故选:B.【点睛】本题考查构建等差数列模型进行求和,考查建模能力、运算求解能力.6.D 【分析】对()f x 变形后可得()f x 的图象关于点P 对称,从而可得A ,B 两点关于点P 对称,则有2OA OB OP +=,进而可求出()OA OB OP +⋅ 的值【详解】11()122x f x x x -==+--,函数()f x 的图象关于点P 对称,直线l 与函数()f x 的图象交于A ,B 两点时,得出A ,B 两点关于点P 对称,则有2OA OB OP +=,于是()222()222110OA OB OP OP +⋅==⨯+= .故选:D .【点睛】关键点点睛:本小题以平面向量为载体,考查函数图像的对称性,平面向量的数量积的运算等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合、化归与转化思想,考查数学运算、数学抽象核心素养,体现基础性和综合性,解题的关键是对()f x 变形后可得()f x 的图象关于点P 对称,从而可得2OA OB OP +=,属于中档题.7.B【分析】由双曲线的渐近线互相垂直可得渐近线为y x =±,故a b =;根据定点到渐近线的距离为1可得a b ==【详解】∵双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直,∴渐近线方程为y x =±,∴a b =.∵顶点到一条渐近线的距离为1,∴1=,∴a b ==∴双曲线C 的方程为22122x y -=,焦点坐标为()()2,0,2,0-,∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d =.【点睛】本题考查有关双曲线的基本运算问题,解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系,然后再根据题目的要求求解.8.B【分析】根据图象可得出()f x 为偶函数,且()00f >,π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭,然后逐项求解判断,即可得出答案.【详解】由图象可得,()f x 为偶函数,且()00f >,且π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.A项,若()()()cos 4cos cos 4sin x x f x +=,则()()()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +-=--()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +==,所以()f x 为偶函数.而ππcos 4cosc 0os 4sin22π1cos 42f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,不满足题意,故A 项错误;B 项,若()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 为偶函数.()()()cos 4cos0cos 04sin 00cos 4f ==+>+,ππcos 4cos c os 4sin 44π2cos 2f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+,因为2ππ3<<,所以2π1cos cos 32<=-,所以π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭满足题意,故B 项正确;C 项,若()11sin 4cos sin 4sin22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 不是偶函数,故C 项错误;D 项,若()13cos 4cos 24f x x ⎛⎫ ⎪⎭+=⎝,则()()()1313cos 4cos cos 4cos 2424x x f x f x f x ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭,所以()f x 为偶函数.π33cos 4cos cos 24π144f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭+=⎭>-⎝,故D 项错误.故选:B.9.C【分析】根据独立事件概率乘法公式,结合各射击一次得分之和为2的概率构造方程求解即可.【详解】记甲、乙两人各射击一次的得分之和为X ,则()()33319211555520P X p p p ⎛⎫==⨯-+-=-= ⎪⎝⎭,解得:34p =.故选:C.10.B 【分析】设()h x 上一点M 关于x 轴对称点坐标为M ',则M '在()g x 上,得到方程20012ln x a x x e e ⎛⎫-=-≤≤ ⎪⎝⎭有解,即函数()22ln f x x x =-与y a =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有交点,利用导数判断出函数的单调性和最值,可得实数a 的取值范围.【详解】设()h x 上一点()00,2ln M x x ,01x e e ≤≤,且M 关于x 轴对称点坐标为()00,2ln M x x '-,01x e e ≤≤在()g x 上,20012ln x a x x e e ⎛⎫∴-=-≤≤ ⎪⎝⎭有解,即20012ln x x a x e e ⎛⎫-=≤≤ ⎪⎝⎭有解.令()212ln f x x x x e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭,则()()()21122x x f x x x x +-'=-=,1x e e ≤≤,∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0f x '<;当(]1,x e ∈时,()0f x ¢>,()f x \在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减;在(]1,e 上单调递增()()min11f x f ∴==,2112f e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()22f e e =-,20012ln x x a x e e ⎛⎫-=≤≤ ⎪⎝⎭有解等价于y a =与()y f x =图象有交点,()()1f a f e ∴≤≤21,2a e ⎡⎤∴∈-⎣⎦.故选:B【点睛】本题考查导数在最值中的应用,考查函数与方程思想,考查学生逻辑推理能力与计算能力,属于中档题.11.A【分析】设ABD △外心为2O ,BCD △外心为1O ,DB 中点为E ,过外心分别作平面ABD ,平面BCD 垂线,则垂线交点O 为外接球球心.后利用正弦定理可得BCD △,ABD △外接圆半径12r r ,,又注意到四边形21O EO O为矩形,则外接球半径R =【详解】设ABD △外心为2O ,BCD △外心为1O ,DB 中点为E.因1O E DB⊥,1O E ⊂平面BCD ,平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ⋂平面BCD BD =,则1O E ⊥平面ABD ,又2O E ⊂平面ABD ,则1O E ⊥2O E .过2O ,1O 分别作平面ABD ,平面BCD 垂线,则垂线交点O 为外接球球心,则四边形21O EO O 为矩形.BCD △外接圆半径112260o sin BDr O B ===.又因2AB AD ==,BD =o120BAD ∠=.故ABD △外接圆半径2222120o sin BDr O B ===.又121OO O E ====.又1OO ⊥平面BCD ,1BO ⊂平面BCD ,则11OO BO ⊥.故外接球半径R OB ====故外接球表面积为24π20πR =.故选:A【点睛】结论点睛:本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球.设底面与侧面外接圆半径为12r r ,,底面与侧面公共棱长度为l,则外接球半径R =12.B【分析】方法一:先利用方程的根与图象的交点的关系,及互为反函数的两个函数图象关系推得e p q +=-,由此得到()e e xf x x =-,再由函数的单调性易得()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,构造函数()()4341e 3g x x x x =--≥与()()4233213h x x x x x =--≥,利用导数证得()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭与4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭,从而解出.【详解】方法一:由e e 0xx ++=得e e x x =--,由ln e 0x x ++=得ln e x x =--,因为方程e e 0xx ++=的根为p ,所以函数e xy =与e y x =--的图象交点P 的横坐标为p ,同理:函数ln y x =与e y x =--的图象交点Q 的横坐标为q,因为e xy =与ln y x =互为反函数,所以两函数图象关于y x =对称,易知直线y x =与直线e y x =--互相垂直,所以,P Q 两点关于直线y x =对称,即,P Q 的中点M 一定落在y x =,亦即点M 为y x =与e y x =--的交点,联立e y x y x =⎧⎨=--⎩,解得e 2e 2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即e e ,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以e p q +=-,故()()e e e x x f x p q x x =++=-,则()e ex f x '=-,令()0f x ¢>,得1x >;令()0f x '<,得1x <;所以()f x 在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增,所以()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,而()01f =,2322e e33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,4344e e33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()43440e e 133f f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,4242333342422e e e e e e e33333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()()4341e 3g x x x x =--≥,则()11133344444e e 1033333g x x ⎛⎫'=-≥-=-> ⎪⎝⎭,所以()g x 在[)e,+∞上单调递增,所以()()()4433e 33503811255g g <=-<=<=,即434e e 1<03--,故()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,令()()4233213h x x x x x =--≥,则()1133422333h x x x -'=--,令()0h x '>,得1x >,所以()h x 在[)1,+∞上单调递增,所以()4233423327272722781918e 101010310101010h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=--⨯=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113333811090101809109101020100100⎡⎤⎛⎫⨯-⨯-==⨯--⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()3992.159 2.1510200.1025010 2.15100100⎡⎤>⨯--=⨯>>⎣⎦,则42332e e e 03-->,故4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,综上:()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:B.方法二:前面部分同方法一得,()()e e e x x f x p q x x=++=-,则()e ex f x '=-,令()0f x ¢>,得1x >;令()0f x '<,得1x <;所以()f x 在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增,所以()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,而()01f =,2322e e33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,4344e e33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为e 1xx ≥+,当且仅当0x =时取等号,所以e 1x x -≥-+,当()0,1x ∈时,1e 1x x <-,所以413344414e 1e e=e e e 133336213f ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=--<-=<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭,即()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭,下面比较42,33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系,设()()()2g x f x f x =--,()0,1x ∈,所以()()()222e e e e e e 2e>22e 0x x x x g x f x f x --'''=+-=-+-=+-=,故()g x 在()0,1x ∈上递增,()()10g x g <=,即有222033f f ⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,亦即4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,综上:()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:B.【点睛】方法点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.13.-24【分析】由题意可得(3x+3)2=x (6x+6),解x 的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比数列的公比,从而求得第四项.【详解】由于x ,3x+3,6x+6是等比数列的前三项,故有(3x+3)2=x (6x+6),解x=-3,故此等比数列的前三项分别为-3,-6,-12,故此等比数列的公比为2,故第四项为-24,故答案为-24.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,属于基础题.14.3π4-【分析】利用正切的二倍角公式和两角差的公式进行求解即呆.【详解】因为1tan 03α=>,1tan 07β=-<,(),0,παβ∈,所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因为22122tan 33tan 201tan 4113ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此π20αβ-<-<,因为()31tan 2tan 47tan 21311tan 2tan 147αβαβαβ+--===+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭,所以3π24αβ-=-,故答案为:3π4-15.73-【分析】建立直角坐标系,把向量()2PA PB PC⋅+ 的最小值转化成代数式的最小值.【详解】以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y轴,建立直角坐标系,则(1,0),(1,0)A B C -,设(,)P x y,所以()PA x y =--,(1,),(1,)PB x y PC x y =---=--,所以2(13,3)PB PC x y +=---,2·(2)33)PA PB PC x x y y +=+--2217733633x y ⎛⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭⎝⎭ .【点睛】本题以正三角形为图形背景,考查向量数量积的最小值,由于正三角形图形具有轴对称性,所以可通过建立适当的直角坐标系,把几何问题代数化,使问题求解的抽象程度更低.16.()2,+∞【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出12,PF PF 用12,a a 表示,在12F PF △中,根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅找到12,,a a c 的关系,然后整理成离心率解决.【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,焦距2c ,点P 为椭圆与双曲线在第一象限的交点,则1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a ,解得112=+PF a a ,212=-PF a a,如图:在12F PF △中,根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅,整理得2221243c a a =+,即2212314e e +=,设211t e =,222t e =,则有1201t t <<<,12314t t +=,所以121143134t t t t -=-=,即有121143t t t =>-,所以1314t <<,所以2221111212111424343t t t e e t t t t t -+=+=+=--,设143u t =-,则134u t +=,且01u <<,所以222124313144u u e e u u u ++⎛⎫+==++ ⎪⎝⎭,因为3y x x =+在()0,1上单调递减,所以34u u +>,所以22122e e >+.故答案为:()2,+∞17.(1)见解析;(2)BD ,1AC =.【分析】(1)在ABC 中由正弦定理和三角形的面积公式及条件可得sin sin CAD BAD ∠=∠,由于CAD BAD π∠+∠<,所以CAD BAD ∠=∠,即证得结论成立.(2)由12ACD ABD S CD DC S BD===可得,所以BD =.在ABD 和ADC 中,分别利用余弦定理及cos ADB ∠cos 0ADC +∠=,可得22222232AB AC AD BD DC +=++,又1AD =,故2226AB AC +=.又2AB AC =,所以可得1AC =.【详解】(1)在ABC 中,由正弦定理得sin sin B ACC AB ∠=∠,因为sin sin ACD ABD S B S C ∠=∠ ,所以1sin 21sin 2AC AD CADAC AB AB AD BAD ⋅∠=⋅∠,所以sin sin CAD BAD ∠=∠,因为CAD BAD π∠+∠<,所以CAD BAD ∠=∠,即AD 平分BAC ∠.(2)因为12ACD ABD S CDS BD ==,所以22DC =,所以BD =,在ABD 和ADC 中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠,因为cos ADB ∠cos 0ADC +∠=,所以22222232AB AC AD BD DC +=++,因为1AD =,所以2226AB AC +=,因为sin 1sin 2B C ∠=∠,所以2AB AC =,所以1AC =.【点睛】三角形中几何计算问题的解题要点及关键(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般问题便能很快解决.(2)此类问题突破的关键是仔细观察,发现图形中较隐蔽的几何条件.18.(1)21e -(2)[1,)+∞【分析】(1)利用导数的几何意义求出在点()()1,1f 切线方程,即可得到坐标轴交点坐标,最后根据三角形面积公式得结果;(2)方法一:利用导数研究函数()f x 的单调性,当a=1时,由()10f '=得()()11min f x f ==,符合题意;当a>1时,可证1()(1)0f f a ''<,从而()f x '存在零点00x >,使得01001()0x f x ae x -'=-=,得到m in()f x ,利用零点的条件,结合指数对数的运算化简后,利用基本不等式可以证得()1f x ≥恒成立;当01a <<时,研究()1f .即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.【详解】(1)()ln 1xf x e x =-+Q ,1()x f x e x '∴=-,(1)1k f e '∴==-.(1)1f e =+Q ,∴切点坐标为(1,1+e),∴函数()f x 在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--.(2)[方法一]:通性通法1()ln ln x f x aex a -=-+Q ,11()x f x ae x -'∴=-,且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x -'=+>∴g(x)在(0,)+∞上单调递增,即()f x '在(0,)+∞上单调递增,当1a =时,()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时,11a <,111ae -<∴,111()(1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--<,∴存在唯一00x >,使得01001()0x f x ae x -'=-=,且当0(0,)x x ∈时()0f x '<,当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>,0101x ae x -∴=,00ln 1ln a x x ∴+-=-,因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a-==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1,∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立;当01a <<时,(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述,实数a 的取值范围是[1,+∞).[方法二]【最优解】:同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a --+≥,即ln 1ln 1ln a x ea x x x +-++-≥+,而ln ln ln x x x e x +=+,所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+.令()m h m e m =+,则()10mh m e +'=>,所以()h m 在R 上单调递增.由ln 1ln ln 1ln a x x ea x e x +-++-≥+,可知(ln 1)(ln )h a x h x +-≥,所以ln 1ln a x x +-≥,所以max ln (ln 1)a x x ≥-+.令()ln 1F x x x =-+,则11()1xF x x x -'=-=.所以当(0,1)x ∈时,()0,()F x F x '>单调递增;当(1,)x ∈+∞时,()0,()F x F x '<单调递减.所以max [()](1)0F x F ==,则ln 0a ≥,即1a ≥.所以a 的取值范围为1a ≥.[方法三]:换元同构由题意知0,0a x >>,令1x aet -=,所以ln 1ln a x t +-=,所以ln ln 1a t x =-+.于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x -=-+=-+-+.由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥-+-+≥⇔+≥+,而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数,故t x ≥,即1x aex -≥,分离参数后有1x x a e -≥.令1()x x g x e -=,所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e -------=='.当01x <<时,()0,()g x g x >'单调递增;当1x >时,()0,()g x g x <'单调递减.所以当1x =时,1()x xg x e -=取得最大值为(1)1g =.所以1a ≥.[方法四]:因为定义域为(0,)+∞,且()1f x ≥,所以(1)1f ≥,即ln 1a a +≥.令()ln S a a a =+,则1()10S a a ='+>,所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增.因为(1)1S =,所以1a ≥时,有()(1)S a S ≥,即ln 1a a +≥.下面证明当1a ≥时,()1f x ≥恒成立.令1()ln ln x T a ae x a -=-+,只需证当1a ≥时,()1T a ≥恒成立.因为11()0x T a e a -=+>',所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增,则1min [()](1)ln x T a T e x -==-.因此要证明1a ≥时,()1T a ≥恒成立,只需证明1min [()]ln 1x T a e x -=-≥即可.由1,ln 1x e x x x ≥+≤-,得1,ln 1x e x x x -≥-≥-.上面两个不等式两边相加可得1ln 1x ex --≥,故1a ≥时,()1f x ≥恒成立.当01a <<时,因为(1)ln 1f a a =+<,显然不满足()1f x ≥恒成立.所以a 的取值范围为1a ≥.【整体点评】(2)方法一:利用导数判断函数()f x 的单调性,求出其最小值,由min 0f ≥即可求出,解法虽稍麻烦,但是此类题,也是本题的通性通法;方法二:利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+,再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出,是本题的最优解;方法三:通过先换元,令1x aet -=,再同构,可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+,再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出;方法四:由特殊到一般,利用(1)1f ≥可得a 的取值范围,再进行充分性证明即可.19【分析】(Ⅰ)方法一:通过计算,根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论;(Ⅱ)方法一:找出直线AC1与平面ABB1所成的角,再在直角三角形中求解即可.【详解】(Ⅰ)[方法一]:几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB===⊥⊥得111AB A B ==,所以2221111A B AB AA +=,即有111AB A B ⊥.由2BC =,112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC⊥⊥得11B C =,由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC⊥,得1AC =,所以2221111AB B C AC +=,即有111AB B C ⊥,又11111A B B C B = ,因此1AB ⊥平面111A B C .[方法二]:向量法如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:()()()()()1110,,1,0,0,0,,1,0,2,0,,A B A B C因此111112),3)AB A B AC ==-=-,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥;由1110AB AC ⋅= 得111AB A C ⊥,所以1AB ⊥平面111A B C .(Ⅱ)[方法一]:定义法如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连结AD.由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ,由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ,所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111B C A B AC ==得111111cos C A B C A B ∠=∠=,所以1C D =111sin 13C D C AD AC ∠==.因此,直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.[方法二]:向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z = .由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,可取(n = ,所以111sin cos ,||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此,直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是[方法三]:【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ,点1C 到平面1ABB 距离为d (下同).因为1C C ∥平面1ABB ,所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离.由条件易得,点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离,而点C 到直线ABd =139sin 13d AC θ===.[方法四]:定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ,由条件易得111111A B B C A C ===,所以2221111111111111cos 2A B B C AC A B C A B B C +-∠==⋅,因此11115sin 5A B C ∠=.于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△,易得114AA B S =△.由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△,解得d =故139sin 13d AC θ===.[方法五]:三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ,易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=,易得11sin C AA ∠,所以由三正弦定理得111sin sin sin 2C AA BAC θ=∠⋅∠==.[方法六]:三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ,如图2,过点C 作CG AB ⊥,垂足为G ,易得CG ⊥平面1ABB ,所以CG可看作平面1ABB的一个法向量.结合三余弦定理得11sin cos ,cos cos 13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉 .[方法七]:转化法+定义法如图3,延长线段1A A 至E ,使得1AE C C =.联结CE ,易得1EC AC ∥,所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角.过点C 作CG AB ⊥,垂足为G ,联结GE ,易得CG ⊥平面1ABB ,因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影,所以CEG∠为直线EC 与平面1ABB所成的角.易得CE =,CG =sin CG CEG CE ∠==.[方法八]:定义法+等积法如图4,延长11,A B AB 交于点E ,易知2BE =,又2AB BC ==,所以AC CE ⊥,故CE ⊥面11AA C C .设点1C 到平面1ABB 的距离为h ,由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅,解得h =又1AC =1AC 与平面1ABB 所成角为θ,所以sin θ==.【整体点评】(Ⅰ)方法一:通过线面垂直的判定定理证出,是该题的通性通法;方法二:通过建系,根据数量积为零,证出;(Ⅱ)方法一:根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤,“一作二证三计算”解出;方法二:根据线面角的向量公式求出;方法三:根据线面角的定义以及计算公式,由等积法求出点面距,即可求出,该法是本题的最优解;方法四:基本解题思想同方法三,只是求点面距的方式不同;方法五:直接利用三正弦定理求出;方法六:直接利用三余弦定理求出;方法七:通过直线平移,利用等价转化思想和线面角的定义解出;方法八:通过等价转化以及线面角的定义,计算公式,由等积法求出点面距,即求出.20.(1) ()f x 的极小值为52,无极大值(2)当0a >时,函数()f x 的零点个数为1【分析】(1)将a 的值代入()f x ,然后求导,分析单调区间求极值即可.(2)对a 分类讨论,分别求函数单调区间,结合极值即可判断零点个数.【详解】(1)根据已知得21()ln (1)2f x a x x a x =+-+,则当3a =-时,21()3ln 22f x x x x =-++,3(1)(3)()2x x f x x x x -+=-++=',0x >,由()0f x '=得1x =或3x =-(舍).当(0,1)x ∈时,()0f x '<;当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(0,1)单调递减,在(1,)+∞单调递增,所以()f x 的极小值为5(1)2f =,无极大值.(2)因为(1)()()(0)x x a f x x x --'=>,若01a <<,当()0,x a ∈时,()0f x ¢>;当(,1)x a ∈时,()0f x '<;当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在()0,a ,(1,)+∞上单调递增,在(,1)a 上单调递减,()f x 有极大值211()ln (1)ln 1022f a a a a a a a a a ⎛⎫=+-+=--< ⎪⎝⎭,极小值1(1)02f a =--<,又(22)ln(22)0f a a a +=+>,所以函数()f x 有1个零点.若1a =,()0f x '≥恒成立,函数()f x 单调递增,此时3(1)02f =-<,(4)ln 40f =>,所以函数()f x 有1个零点;若1a >,当()0,1x ∈时,()0f x ¢>;当(1,)x a ∈时,()0f x '<;当(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在()0,1,(,)a +∞上单调递增,在(1,)a 上单调递减,所以()f x 有极大值1(1)02f a =--<,显然极小值()0f a <,又(22)ln(22)0f a a a +=+>,所以函数()f x 有1个零点.综上所述,当0a >时,函数()f x 的零点个数为1.【点睛】方法点睛:确定单调区间的步骤:(1)确定函数()y f x =的定义域;(2)求导数()y f x ''=,令()0f x '=,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;(3)利用()f x 的定义域和实根把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间;(4)确定()f x '在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性21.(1)2213y x -=(2)存在,12t =-【分析】(1)根据Fb ,再根据渐近线方程可求得a,,即得双曲线方程;(2)假设存在,设直线的方程,并和双曲线方程联立,得到根与系数的关系式,然后表示出点M ,N的坐标,进而得到向量,FM FN的坐标,利用其数量积为零,将根与系数的关系式代入,看能否解出参数t 的值,即可得答案.【详解】(1)双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>一条渐近线方程为b y x a =,焦点(,0)Fc -,则焦点到渐近线的距离d b ==,由Fb =,由渐近线方程为y =知:b a =,故1a =,所以双曲线方程为:2213y x -=;(2)设直线l 的方程为2x my =-,联立22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩,整理得:2231)1290m y my --+=(,设1122(,),(,)P x y Q x y ,而(1,0),(2,0)A F -,则121222129,3131m y y y y m m +==--,所以121224()431x x m y y m +=+-=-,221212122342()431m x x m y y m y y m --=-++=-,假设存在实数t ,使得FM FN FM FN +=- ,则0FM FN ⋅= ,故由AP 方程:11(1)1y y x x =--,令x t =得11(,(1))1y M t t x --,同理AQ 方程:22(1)1y y x x =--,令x t =得22(,(1))1y N t t x --,所以()()12122,1·2,1011y y FM FN t t t t x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ,即221212(2)(1)0(1)(1)y y t t x x ++-=--,则222222931(2)(1)034413131m t t m m m -++-=---+--,即22(2)(1)0t t +--=,解得12t =-,故存在实数12t =-,使得FM FN FM FN +=- .【点睛】本题考查了直线和双曲线的相交问题,涉及到求双曲线方程性质以及和直线的交点等问题,还渗透了向量的应用,比较复杂,这类问题的一般解决思路,是设直线方程,然后联立圆锥曲线方程,得到根与系数的关系,然后利用所给条件得到一个关系式,将根与系数的关系代入整理化简,其中关于字母的运算量大,需要细心耐心对待.22.(1)4502⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【分析】(1)根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化,再运用余弦定理得出b 和c 的关系式,进而求出b 的长度即可;(2)根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出cos BAC ∠,进而求出sin BAC ∠,再根据三角形面积公式求出面积即可;(3)首先设k A A D G = ,AB AE λ= ,AC AF μ= ([)1λμ∈+∞,,),根据三点共线公式得到2k λμ+=,再根据面积的倍数关系求出6λμ=,因此求出AG EF 的表达式后,可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可.【详解】(1)由已知条件可知:12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C ⋅=⋅-⋅+⋅在ABC 中,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得2212cos 4ac B a b bc ⋅=-+在ABC 中,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=得2222214a c b a b bc+-=-+4b c ∴=,又14c b =∴= ,(2)设BAC θ∠= AD 为BC 边上中线1122AD AB AC ∴=+则()21111cos 2cos 2222AB AD AB AB AC AB AB AC θθ=+=+=+AD ==7co s AB AB AD BAD AD =∠== ①228cos 8cos 110θθ∴+-=()()12cos 114cos 110cos 2θθθ∴-+=∴=或1114-由①,得114cos 10cos cos sin 422θθθθ+>∴>-∴=∴=1sin 2ABC S AB AC θ∴=⋅⋅=uu u r u u u r△(3)设AD k AG = ,AB AE λ= ,AC AF μ=([)1λμ∈+∞,,)1AE λ∴= ,4AF μ=1122222AB AC k AG AE AF AG AE D AFk k A λμλμ=+⇒=+⇒=+根据三点共线公式,得2kλμ+=()1AG E AD AF AE k F =- ()1112AB AC AC AB k μλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2211111cos 2AC AB AB AC k θμλμλ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅+-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1cos 2θ=,θ为∠BAC )1161222k μλμλ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭36λμλμλμ-=⋅+1sin 2661sin 2ABC AEF AB AC AE AF S S θλμθ⋅⋅==∴=⋅ △△66162AG EF λλλλ-∴⋅=⋅+ 22136λλ-=⋅+27316λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭[][]2616166742μλλλλ=≥⇒≤⇒∈⇒+∈,,217510662AG EF λ⎡⎤⇒≤≤⇒∈⎢⎥+⎣⎦,【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理的应用,考查向量的运算性质以及求函数值域问题,需要一定的分析和解决问题的能力.。

2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析

2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析

六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数()i 12i z =-+,其中i 是虚数单位,则z =( )A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-,进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-,所以z ==.故选:D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ,若38304S a ==,,则9S =( )A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件,利用等差数列的性质求出2a ,再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中,由330S =,得2123330a a a a =++=,解得210a =,而84a =,所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选:B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ,(1,b = ,且()()23a b a b +⊥- .则向量a 与向量b的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积,再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =,所以3b == ,由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=,所以6a b ⋅=-,所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅,由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =,故选:C4. 在等比数列{}n a 中,已知13a =,48n a =,93n S =,则n 的值为( )A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=,列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中,13a =,48n a =,93n S =,所以1q ≠,由1(1)1-=-n n a q S q ,及通项公式11n n a a q -=,可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩,解得2,5q n ==.故选:B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-,且110a =,则n a 的最小值是( )A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ,利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-,∴当5n ≤时,10n n a a +-<,当5n >时,10n n a a +->,∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅,显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-,∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-,即n a 的最小值是15-.故选:A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形,1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+,则AP AB ⋅=( )A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+,由,,P B N 三点共线求得19m =,利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =,14AN AC ∴=u u u r u u u r ,且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,而,,P B N 三点共线,819m ∴+=,即19m =,1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ,所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选:A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1024n n S a +=,则数列{}n a 的前n 项积的最大值为( )A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ,进而求出数列{}n a 通项,借助单调性求解即得.【详解】依题意,N n *∈,1024n n S a +=,则1512a =,当2n ≥时,111024n n S a --+=,两式相减得12n n a a -=,即112n n a a -=,因此数列{}n a 是以512为首项,12为公比的等比数列,于是1101512()22n n n a --=⨯=,显然数列{}n a 单调递减,当10n ≤时,1n a ≥,当11n ≥,1n a <,所以当9n =或10n =时,数列{}n a 的前n 项积最大,最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选:B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点,且2AB = ,1OA AC ⋅=- ,1OC AC ⋅=,则ABC ∠的最大值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心,的圆,再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ,1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ,即可知C 点轨迹是以A的圆,如下图所示:由图可知,当BC 与圆相切时,ABC ∠取到最大,又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选:B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知z 为复数,设z ,z ,i z 在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,其中O 为坐标原点,则( )A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ,B ,C 三点的坐标,通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ,(),∴A a b ,()i ,z a b a b =-∈R ,(),B a b ∴-,()i i i i =+=-+z a b b a ,(),∴-C b a ,()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A,=∴=OA O B ,故选项A 正确;对于B , ()0-+= a b ba ,∴⊥OA OC ,故选项B 正确;对于C ,AC =,当0ab ≠时,AC BC ≠,故选项C 错误;对于D ,()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ,222a ab b --可以为零,也可以不为零,所以OB 不一定平行于AC,故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,前n 项和为n S ,若1089S S S <<,则下列说法正确的是( )A. 当9n =时,n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ;根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<,进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ;根据A 、C 项分析确定数列正负分界项,再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ;根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意:S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0,即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩,两式相加,解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0,当9n =时,n S 最大,故A 正确;由108S S <,可得91090a a a +<<,所以8110a a +<,故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<,所以891011a a a a +<+,故C 错误;由以上可得:1213910110a a a a a a >>>>>>>> ,()117179171702a a S a +==>,而()()1181891018902a a S a a +==+<,当17n ≤时,0n S >;当18n ≥时,0n S <;所以使得0nS <成立的最小自然数18n =,故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >;当918n <<时0n nS a <;由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ,所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ,故D 正确.故选:ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列,公比为q ,在12,a a 之间插入1个数,使这3个数成等差数列,记公差为1d ,在23,a a 之间插入2个数,使这4个数成等差数列,公差为2,d ,在1,n n a a +之间插入n 个数,使这2n +个数成等差数列,公差为n d ,则下列说法错误的是( )A. 当01q <<时,数列{}n d 单调递减B. 当1q >时,数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时,数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时,数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+,然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ,进行讨论判断各选项.再由12d d <或12d d >确定q 的范围,从而确定{}n d 的单调性判断CD .【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列,则公比为0q >,由题意1(1)n n n a a n d +=++,得()1111n n n n a q a a d n n +--==++,01q <<时,0n d <,有()1112n n q n d d n ++=<+,1n n d d +>,数列{}n d 单调递增,A 选项错误;1q >时,0n d >,()112n n q n d d n ++=+,若数列{}n d 单调递增,则()112q n n +>+, 即21n q n +>+,由*N n ∈,需要32q >,故B 选项错误;12d d >时,()()111123a q a q q -->,解得312q <<,1q >时,0n d >,由()112n n q n d d n ++=+,若数列{}n d 单调递减,则()112q n n +<+, 即21111n q n n +<=+++,而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立,C 选项错误;12d d <时,()()111123a q a q q --<,解得01q <<或32q >,由AB 选项的解析可知,数列{}n d 单调递增,D 选项正确.故选:ABC【点睛】方法点睛:本题数列的单调性,解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系,利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性,同样根据12,d d 的大小确定q 的范围,再得单调性.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4210S S =,则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一:利用等比数列前n 项和性质即可求解;方法二:利用等比数列前n 项和的公式,代入计算即可求解.【详解】方法一:等比数列{}n a 中,2S ,42S S -,64S S -成等比数列,则2S ,29S ,281S 成等比数列,∴64281S S S -=,∴6291S S =,∴6291S S =.方法二:设{}n a 公比为q ,由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--,∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---,故答案为:91.13. 已知数列{}n a 中,11a =,12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数,则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =,12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数,所以2123a a =+=,322321=-+=-+=-a a ,4321=+=a a ,542121=-+=-+=a a ,652123=+=+=a a ,L ,所以数列{}n a 是周期为4的周期数列,且123413114+++=+-+=a a a a ,所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为:2024.14. 在ABC V 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c (a b ≠).已知2cos c a A =,则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<,再应用和角正弦公式、倍角公式,将目标式化为34sin 2sin A A -+,应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =,则sin 2sin cos sin 2C A A A ==,,(0,π)A C ∈,所以2C A =或2πC A +=,而πA B C ++=,且a b ≠,即A B ≠,所以2C A =,且03πA C A <+=<,即π03A <<,sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+,令sin t A =∈,则3()42f t t t =-+,2()122f t t '=-+,当t ∈时()0f t '>,则()f t在上递增;当t ∈时()0f t '<,则()f t在上递减;故t =()f t 的极大值点,()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设等比数列{a n }满足124a a +=,318a a -=.的(1)求{a n }的通项公式;(2)记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和.若13m m m S S S +++=,求m .【答案】(1)13n n a -=;(2)6m =.【解析】【分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,根据题意,列出方程组,求得首项和公比,进而求得通项公式;(2)由(1)求出3{log }n a 的通项公式,利用等差数列求和公式求得n S ,根据已知列出关于m 的等量关系式,求得结果.【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,根据题意,有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩,所以13n na -=;(2)令313log log 31n n n b a n -===-,所以(01)(1)22n n n n n S +--==,根据13m m m S S S +++=,可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=,整理得2560m m --=,因为0m >,所以6m =,【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计算求解能力,属于基础题目.16. 在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()22a cb bc -=+.(1)求角A ;(2)若3,2a BA AC BD DC =⋅==,求AD 的长.【答案】(1)2π3(2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求;(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =,再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=,联立方程组解得,b c ,由此将向量AD 用,AB AC 表示,求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-,则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-,0πA << ,2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ,解得6bc =①,a = ,22219abc bc ∴=++=,则2213b c +=②,联立①②可得,2,3b c ==,或3,2b c ==.2BD DC = ,∴()2AD AB AC AD -=- ,则1233AD AB AC =+ ,且3AB AC ⋅=- , 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ,当2,3b c ==时,2113(91612)99AD =+-= ,则AD当3,2b c ==时,2128(43612)99AD =+-= ,则AD .综上所述,AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.(1)求证:数列{}n a 为等差数列;(2)在数列{}n b 中,1213,n n n n b a b a b ++==,若{}n b 的前n 项和为n T ,求证:92n T <.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用n a 与n S 的关系式,结合等差数列的定义即可得证;(2)利用(1)中结论求得n a ,进而利用累乘法求得n b ,再利用裂项相消法求得n T ,从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈,所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈,即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈,又21312a a -=-=,所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列.【小问2详解】由(1)知:()11221n a n n =+-⨯=-,则()222123n a n n +=+-=+,又21n n n n a b a b ++=,所以122123n n n n b a n b a n ++-==+,所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2132a a a =+,数列是公差为d 的等差数列.(1)求证:21a d =,并求出数列{}n a 的通项公式(用,n d 表示);(2)设c 为实数,对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ,不等式m n k S S cS +>都成立,求证:c 的最大值为92.【答案】(1)证明见解析,()221n a n d =-(2)证明见解析【解析】【分析】(1关于1,a d 的关系式,再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ,从而得解;(2)利用(1)中结论与完全平方公式求得92c ≤,再利用基本不等式检验92c =时的情况,从而得证.【小问1详解】由题意知:0d >(1)(1)n d n d =+-=+-,因为2132a a a =+,则233a S =,所以2133()S S S -=,则2212)]2)d a d +-=+,整理得210a d d -+=21,d a d ==,22(1),n d n d nd S n d =+-==,当2n ≥时,222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-,适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>,得222222m d n d c k d +>⋅,则222m n c k +>⋅,所以222m n c k+<恒成立,又3m n k +=且m n ≠,,,m n k 正整数,所以22222()()9m n m n k +>+=,则22292m n k +>,故92c ≤,当92c =时,()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-,22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由不等式可得3m n k +=≥,即294k mn ≤,当且仅当32m n k ==时,等号成立,而m n ≠,故294k mn <,为故092m n k S S S ->+,故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.(1)当0x ≥时,求证:()()2f x f x x --≥;(2)若0k >,且()f x kx b ≥+在R 上恒成立,求2k b +的最大值;(3)设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】(1)证明见解析(2)2e(3)证明见解析【解析】【分析】(1)不等式成立转换为函数最小值问题,利用导函数求得到点区间,从而得出最小值,不等式得证;(2)构建函数,利用导函数求得单调区间,从而找到最小值,由题意得到不等关系,再令所求代数式为函数,借助导函数求得最大值;(3)由(1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭,从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥,所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥,所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=,当且仅当1e e 1ex x x =⇒=,即0x =时,等号成立,所以当[)0,x ∈+∞时,()()0,g x g x '≥单调递增,则()()00g x g ≥=;小问2详解】令()e x F x kx b =--,e ()x F x k '=-;由()0F x '>得出ln x k >;由()0F x '<得出ln x k <;min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥;ln b k k k ∴≤-,23ln k b k k k ∴+≤-,令()3ln G k k k k =-,0k >;()2ln G k k '=-,【当20e k <<时,()0G k '>,()G k 单调递增,当2e k >时,()0G k '<,()G k 单调递减,所以2e 是的()G k 极大值点,22()(e )e G k G ∴≤=,2k b +的最大值为2e ;【小问3详解】由(1)知,()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+,令ln (1)x s s =>,则12ln 0s s s --->,即12ln (1)s s s s ->>,设*2,s n n =≥∈N ,则满足1s >,->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭,()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭,()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ,ln n ++> .【点睛】方法点睛:不等式成立问题:(1)通过令两项的差为函数关系,再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决;(2)多项求和的不等关系的证明,可以先找到某一项的不等关系,再求和得到结论.。

宁夏银川一中高三第一次月考数学(理)试题

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银川一中 高三年级第一次月考数 学 试 题(理)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知全集U=R ,集合A={x|-2≤x<0},B={x|2x-1<41},则C R (A ∩B )= ( )A .(-∞,-2)∪[-1,+∞]B . (-∞,-2]∪(-1,+∞)C .(-∞,+∞)D .(-2,+∞) 2.以下有关命题的说法错误的是( )A .命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”B .“1=x ”是“”0232=+-x x 的充分不必要条件C .若q p ∧为假命题,则p 、q 均为假命题D .对于命题01,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有则使得3.下列函数中,在),0(+∞上为减函数的是( )A .xx f 3)(= B .xx f 1)(-=C .x x f =)(D .x x f 21log )(=4.若函数)(x f y =的定义域是[0,2],则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是 ( )A .[0,1]B .[0,1]∪(1,4)C .[0,1]D .(0,1) 5.函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是( )A .(3,4)B .(2,e )C .(1,2)D .(0,1)6. 已知函数f (221)1xx xx +=-则f (3)= ( ) A .8B .9C .10D .11 7.函数[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∞∈=,1,log )1,(,32x x x y x 的值域为( )A .(0,3)B .[0,3]C .(]3,∞-D .[)+∞,08.设a R ∈,函数()xxf x e a e -=+⋅的导函数是'()f x ,且'()f x 是奇函数。

重庆一中高三下学期第一次月考(数学理)

重庆一中高三下学期第一次月考(数学理)

秘密★启用前重庆一中高三下期第一次月考数学试题卷(理科)数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一.选择题.(每小题5分,共50分)1.已知集合11{1,1},{|24,}2xM N x x Z+=-=<<∈,则M N=( )A.{1,1}- B.{0} C.{1}- D.{1,0}-2.已知等差数列{}na,满足211836,24a a a+==,则5a等于( )A.6B.8C.10D.123.下列函数()f x中,满足“对任意12,(0,)x x∈+∞,当12x x<时,都有1()f x>2()f x”的是( )A.1()f xx=B.2()(1)f x x=- C.()xf x e= D.()ln(1)f x x=+4.已知(0,1),)a b x==,向量a与b的夹角为3π,则x的值为( ) A.3±B. C.9± D.35.已知直线l、m、n,平面α、β有以下命题:①若,l m l n⊥⊥且,m nα⊂,则lα⊥;②若//,//m nαα且,m nβ⊂,则//αβ;③若,l lαβ⊥⊥,则//αβ;④若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则//αβ. 则正确命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6.函数2()sin cos f x x x x =在区间[,]42ππ上的最大值是( )A.1B.12C.1D.327.已知()y f x =为奇函数,当(0,2)x ∈时,1()ln ()2f x x ax a =-≥,当(2,0)x ∈- 时,()f x 的最小值为1,则a 的值等于( )A.12B.1C.32 D.28.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F,右准线为l ,A 、B 是椭圆上两点,且|AF|:|BF|=3:2.直线AB 与l 交于点C,则B 分有向线段AC所成的比为( )A.12B.2C.23D.329.已知函数2()(1)([0,1])f x m x n x =--∈的反函数为1()fx -,且m 为函数()ln g x x =与函数21(1)(1)()243(1)x x h x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩的交点个数,lim x n →-∞=,则函数12[()]y f x -=的值域是( )A.[0,1]B.[1,1C.1D. 10.对于各数互不相等的正数数组(12,,...,n i i i )(n 是不小于2的正整数),如果在p q <时有p qi i <,则称“pi 与q i”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”、“2,3”,其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组1234(,,,a a a a ,5)a 的“顺序数”是4,则54321(,,,,)a a a a a 的“顺序数”是( )A.7B.6C.5D.4二.填空题.(每小题5分,共25分)11.复数311i i --的虚部是 .12.Rt △ABC 的三个顶点都在半径为13的球面上,若球心为O,Rt △ABC 两直角边的长分别为5和12,则三棱锥O —ABC 的体积为 .13.6个人站成一排,其中甲乙不相邻且均不在两端的排法有 种(用数字作答). 14.已知实数,x y 满足222log (23)1log log x y x y ++=++,则xy 的最小值是 .15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线,切点为E,延长FE 交抛物线24y cx =于点P,若E 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为 .三.解答题.(共75分)16.(13分)已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c .且222()tan b c a A +-=. (1)求角A 的大小;(2)求sin(10)[110)]A A +︒⋅-︒的值.17.(13分)上海世博会开幕之前,某调查公司 调查了重庆市某单位3位员工参观世博 会意愿及消费习惯,并得到结论如右表所示. (1)求这3位员工中至少有2位员工 参观世博会的概率;(2)记这3位员工参观世博会消费总金 额为随机变量ξ(元),求ξ的分布列 及数学期望.18.(13分)已知函数32()ln(1)()f x ax x x a R =-++∈,在1x =处的切线与直线3250x y -+=平行.(1)当[0,)x ∈+∞时,求()f x 的最小值;(2)求证:33331231...ln(1)234n n n -++++<+(2n ≥且n N ∈).19.(12分)已知正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中AA1=2AB,E 、F 、M 分别为CC1、BC 、A1D1中点.(1)求证:AE//面BC1M; (2)求二面角F —ED —A 的余弦值.20.(12分)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于A 、B 两点.O 为坐标原点.(1)过点A 作抛物线的切线交y 轴于点C,求线段AC 中点M 的轨迹方程;(2)若1l 倾斜角为30°,则在抛物线准线2l上是否存在点E,使得△ABE 为正三角形,若存在,求出E 点坐标,若不存在,说明理由.21.(12分)对于数列{}n x 满足1(2)x a a =>,21(1,2,...)2(1)nn n x x n x +==-.(1)求证:12(1,2,3,...)n n x x n +<<=;D(2)若3a ≤,{}n x 前n 项和为n S ,求证:2(1,2,...)2n aS n n <+=重庆一中高三下期第一次月考数学试题答案(理科)二.填空题.(每小题5分,共25分)11. 1- 12. 13. 144 14. 92 15.三.解答题.(共75分)16.解:(1)由已知:2cos tan 2sin bc A A bc A ⋅==∴sin 2A =∴锐角△ABC ∴3A π=(2)原式=sin 70(150)sin 70︒⋅-︒==2cos(5060)2cos110sin 70sin 70cos50cos50︒+︒︒︒︒⋅=︒︒=2sin 20cos 20sin 401cos50sin 40-︒︒-︒==-︒︒17.解:记“员工1, 2, 3参加世博会”分别为事件A,B,C 则:(1)1()()()()P P A B C P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2221221221212()(1)(1)(1)()32332332323=⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅+⋅= (2)ξ可能取0, 3000, 4000, 6000, 7000, 10000E ξ=600018.解:(1)由已知21()321f x ax x x '=-++同时13(1)3222l f a k '=-+== ∴1a =∴3232213(1)()ln(1),()32011x x f x x x x f x x x x x +-'=-++=-+=>++∴()f x 在[0,)+∞上↑ ∴min [()](0)0f x f ==(2)令1x n =. 则:1()0f n > ∴32111ln(1)0n n n -++>即:311ln(1)n nn -<+ ∴331121ln(1),ln(1)......2233<+<+∴333121111...ln(1)ln(1)...ln(1)2323n n n -+++<+++++ 3411ln(...)ln ln(1)232n n n n ++=⋅=<+∴不等式成立.19.法一:(1)证:E,F 为CC1,BC 中点⇒EF//BC1⇒EF//面BC1M F,M 为BC, A1D1中点⇒AF//C1M ⇒AF//面BC1M ⇒面AEF//面BC1M ⇒AE//面BC1M(2)分别取AE,ED 中点O,O′.连结FO, CO′,OO′则OO′1//2=AD //=FC ∴平行四边形FCO′O ∴FO//CO′∵EC=CE ∴CO′⊥ED⇒CO′⊥面AEDAD ⊥面CD D1C1⇒AD ⊥CO′ ⇒FO ⊥面AED∵OO′⊥ED. 连结O′F. 则O′F ⊥ED ∴∠OO′F 为二面角F —ED —A 平面角, 不妨设AB=1 AA′=2在Rt △FOO′中,OO′=12AD=12, AF=AE=,∴FO=2∴tan ∠OO′F=FOOO =' ∠OO′F=∴二面角为 法二:建立如图坐标系,不妨设AA1=2AB=4.则AE=(2,2,2)(1)设平面BC1M 的法向量为a,则:110(2,1,1)0BC a a C M a ⎧⋅=⎪⇒=--⎨⋅=⎪⎩∵0AE a ⋅= ∴AE a ⊥ ∴AE//面BC1M(2)同理,可解得面ADE 的法向量(0,1,1)b =-面FED 的法向量(2,1,1)c =--∴cos(,)||||c d c a c d ⋅===显然二面角F —ED —A 为锐二面角∴二面角F —ED —A 为.D20.(1)设211(,)2x A x p ,A 点处切线斜率11()x k f x p '== ∴直线方程为:2111()2x x y x x p p -=- 令2102x x y p =⇒=- 即21(0,)2x c p - ∴AC 中点(,)M x y 满足02A Cy y y +==又∵A,B 为l 与抛物线交点 ∴10x ≠ ∴102M x x =≠∴M 点轨迹方程为0(0)y x =≠ (2)假设存在符合题意的点E.由已知1:2p l y x -= 联立抛物线方程有:22)2px p x =+∴220x px p =-=∴12x x ==故3(,),,)62p A p B p ∵△ABE 为正△∴3AE k =-∴AE:)6p y x p -=即6p y x =- 准线2:2p l y =-∴()2pE -欲使△ABE 为正△,则BE k 不存在. 即B E x x =不符合∴不存在符合条件的点E.21.(数学归纳法)先证:2n x >.∵当1n =时,12x a =>成立假设n k =时,2k x >.则:221[(1)1]12(1)21k k k k k x x x x x +-+==⋅--111[(1)2]42212k k x x =-++>⨯=-∴2n x >又:21(2)2(1)2(1)n n n n n n n n x x x x x x x x +--=-=<-- ∴1nn x x +> 综上知:12n n x x +<<(2)221(2)222(2)2(1)2(1)2(1)n n n n n n n n x x x x x x x x +---=-==⋅----∵123n x x <≤≤ ∴211111[1](1)2(1)21224n n n x x x -=-≤⋅-=-- ∴112(2)4n n x x +-≤- ∴111112()(2)()(2)44n n n x x a ---≤⋅-=⋅-∴1111142(2)()(2)(2)(2)14314nni n i i i S n x a a a -==-=-≤⋅-<-⋅=--∑∑ ∵4516(2)0326a a a ---=< ∴4(2)32aa -<∴22n a S n -<即 22n aS n <+。

宁夏银川一中2024届高三上学期第一次月考数学理科试题及参考答案

宁夏银川一中2024届高三上学期第一次月考数学理科试题及参考答案

银川一中2024届高三年级第一次月考理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时,务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =≤,{}20B x x a =-<,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是A .()2,+∞B .[)2,+∞C .(),2-∞D .(],2-∞2.已知复数z 满足i zz =+-112,则复数z 的虚部是A.-1B.iC.1D.-i3.如图,可以表示函数()f x 的图象的是A .B .C .D .4.已知a ,b 为实数,则使得“0a b >>”成立的一个充分不必要条件为A .11a b>B .ln(1)ln(1)a b +>+C .33a b >D 11a b ->-5.函数()214log 2y x x =--的单调递增区间为A .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .(),1-∞-C .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .()2,+∞6.的大小关系为则,,设c b a c b a ,,,21(31log 2log 3.02131===A .b c a <<B .cb a <<C .ca b <<D .ac b <<7.已知函数ay x=,xy b=,log cy x=的图象如图所示,则A.e e ea c b<<B.e e eb a c<<C.e e ea b c<<D.e e eb c a<<8.若命题“[]()21,3,2130a ax a x a∃∈---+-<”为假命题,则实数x的取值范围为A.[]1,4-B.50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D.[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦9.已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxx⎧≥⎪==-⎨<⎪⎩,则函数()g x的图象大致是A.B.C.D.10.已知函数()()()314(1)1a x a xf x axx⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩,满足对任意的实数1x,2x且12x x≠,都有[]1212()()()0f x f x x x--<,则实数a的取值范围为A.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.已知定义在R上的函数()f x在(],2-∞上单调递减,且()2f x+为偶函数,则不等式()()12f x f x->的解集为A.()5,6,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B.()5,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭C.5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D.51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知函数()ln1af x xx=++.若对任意1x,(]20,2x∈,且12x x≠,都有()()21211f x f xx x->--,则实数a的取值范围是A.27,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B.(],2-∞C.27,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭D.(],8∞-二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.共20分)13.已知lg 2a b +=-,10b a =,则=a ______.14.已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,满足()()f a f a <-,则a 的取值范围是.15.若函数()21x mf x x +=+在区间[]0,1上的最大值为3,则实数=m _______.16.已知函数()e e 21x x f x x -=--+,则不等式(23)()2f x f x -+>的解集为____________.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

湖南省长沙市一中高高三数学第三次月考理科试卷

湖南省长沙市一中高高三数学第三次月考理科试卷

长沙市一中高三月考试卷(三)理科数学时量:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,已知U 是全集,M ,P ,S 是U 的非空子集,则阴影部分所表示的集合是( )A .(M ∩P )∩SB .(M ∩P )∪SC .(M ∩P )∩ U SD .(M ∩P )∪ U S2.已知A 、B 、C 三点共线,(,1),(2,3)AB k AC ==则k 的值为( ) A .23B .23-C .32D .32-3.已知函数f (x ) = 2 + log a x (a >0,且a ≠1),f – 1 (x )是f (x )的反函数,若f – 1 (x )的图像过点(6,4),则a 等于( )A .1BC .2D .34.已知3sin cos ,(0,)84πααα=∈,则cos sin αα-的值等于( )A .14-B .14C .12-D .125.在数列{a n }中,a 1 = ln 2,a n+1 = a n + ln (1+2n),则a n = ( ) A .ln 2 + ln (n+2)B . ln n (n+1)C .ln 2 + nln (n+2)D .1 + n + ln n6.非零向量a 与b 的夹角为120°,若向量c = a + b ,且c ⊥b ,则||||a b 等于( )A .12B C .2 D 7.若函数y = f (x )同时具有下列三个性质:(1)最小正周期为π;(2)图象关于直线x =3π对称;(3)在区间[,]63ππ-上是增函数,则y = f (x )的解析式可以是( ) A .y = sin(26x π+)B .y = sin(26x π-) C .y = cos(23x π+) D .y = cos(26x π-)8.设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立....的是( ) A .|a – b |≤|a – c | + |b – c |B .a 2 +21a ≥a +1aCD .a – b +1a b-≥2 9.已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 为△ABC 的外心,D 是AB 的中点,动点P 满1(32)(12)4OP OD OC λλ⎡⎤=-++⎣⎦(λ∈R ),则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A .内心B .外心C .重心D .垂心10.已知函数g (x ) = log a (2 – ax )在定义域内单调递增,设函数f (x ) = a x (a >0,a ≠0),则集合1{|(||)0,}P x f x x R -=>∈与集合{|11}Q x x =-<<的关系是( ) A .P Q =B .P QC .P QD .P Q φ∧=二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卷中对应题号的横线上) 11.不等式12x x +-≤0的解集是 . 12.已知p >0,q >0,p 、q 的等差中项为12,且x = p +1p ,y = q +1q ,则x + y 的最小值为.13.若向量a = (x ,2x ),b = (–3x ,2),且a ,b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是 .14.碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的“半衰期”是5730年,即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半,经探测,一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%.设这群鱼是距探测时t 年前死亡的,则t 满足的关系式为 .15.设函数f (x )的定义域为R ,若|f (x )|≤|x |对一切实数x 均成立,则称f (x )为Ω函数,下列函数①f 1(x ) = x sin x ,②f 2(x ) =1x x e e-+,③f 3(x ) =221x x +,④f 4(x ) = ln(x 2 + 1)中为Ω函数的是(只填序号).三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16.(本小题满分12分)已知关于x 的不等式211a xa x--->–4和|23|x x -<在实数集R 上的解集分别为A 和B ,2∈ R A ,且a ∈B ,求实数a 的取值范围. 17.(本小题满分12分)已知二次函数f (x ) = ax 2 + bx +14与直线y = x 相切于点A (1,1)(Ⅰ)求f (x )的解析式;(Ⅱ)若对任意x ∈[1,9],不等式f (x – t )≤x 恒成立,求实数t 的取值范围.⊂≠⊃≠18.(本小题满分12分)在△ABC 中,已知内角A =3π,边BC =B = x ,△ABC 的面积为y . (Ⅰ)求函数y = f (x )的解析式和定义域; (Ⅱ)求y 的最大值. 19.(本小题满分13分)长、株、潭新工业区某品牌饮料生产企业,其产品开发中心主要从事新产品的研制和开发,该中心的第三实验室的主要任务是对新开发的不同口感的饮料进行口感调和试验.口感的度量指标称为“口感度”,即该饮料中所含某主要成分的百分比.现有甲、乙两个容器,分别盛有口感度为10%、20%的某种饮料各500ml ,实验人员对它们进行口感调和试验,调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml 溶液,分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀,称为第一次调和;然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml 溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀,称为第二次调和;…依照上述操作程序反复进行调和试验,记第n – 1 (n ∈N *)次调和后甲、乙两容器中饮料的口感度分别为a n 和b n . (1)试写出a 1 ,b 1的值;(2)依据调和程序,试用n 表示甲、乙两个容器中的两种饮料的口感度的差b n –a n ; (3)试分别求出第n – 1次调和后甲、乙两个容器中的口感度a n 、b n 关于n 表达式. 20.(本小题满分13分)已知f (x及g (x (Ⅰ)求证:f (x )·g (x )为定值; (Ⅱ)求g (x )的最大值;(Ⅲ)若a 1b c x ==+,问是否存在满足下列条件的正数t ,使得对于任意的正数x ,以a 、b 、c 为边可以组成一个三角形?若存在,则求出t 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分13分)直线l 过点P (t ,1t )(t ≥1)且斜率为21t-,它与直线m :y = kx (k >0)交于点A ,与x轴交于点B ;点A ,B 的横坐标分别为x A ,x B ,记f (t ) = x A ·x B (Ⅰ)求f (t )的解析式;(Ⅱ)设数列{a n}(n≥1,n∈N)满足a1 = 1,a n = f n≥2),求数列{a n}的通项公式;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当1<k<3时,证明不等式a1 + a2 + …+ a n>38 n kk-理科数学长沙市一中高三月考试卷参考答案(三)一、选择题 1.C2.A 解析:∵AB AC λ= ∴(,1)(2,3)k = ∴213k λλ=⎧⎨=⎩ ∴23k =3.B4.D 解析:∵0<α<4π,∴cos sin αα>即cos sin 0.αα->∴1cos sin .2αα-==5.B 解析:据题意可知:a n = a n – 1 + ln11n n +-, a n – 1 = a n – 2 + ln2nn -,…… a 2 = a 1 + ln 31累加得a n = ln 2+ ln (1)2n n + = lnn (n+1)6.C 解析:∵c ⊥b ∴(a + b )·b = 0 ∴a ·b + b 2 = 0 ∴|a |·|b |·(–12) + b 2 = 0 ∴–12|a | + |b | = 0 ∴||||a b = 2.7.B8.D 解析:由排除可知:a – b +1a b-≥2,当a – b <0时不成立. 9.C 解析:21(1)(12)33OP OD OC λλ=-++因为11(32)(12)44λλ-++= 1,所以P 、D 、C 三点共线,点P 的轨迹一定过△ABC 的重心.10.B 解析:{|1001}P x x x =-<<<<或. 二、填空题 11.{x | –1≤x <2}12.答案:5. 解析:∵p + q = 1,x + y = p +11111111()()3p q q p q p q p q p q q p++=++=+++=++ ≥5. 当且仅当p = q =12时等式成立.13.114(,)(,0)(,)333-∞--+∞.14.57301()0.4652t= 或 5730l n 0.465l n 0.5t ⨯=15.答案:①③④ 解析:∵|x ||sin x |≤|x |,∴f 1(x ) = x sin x 是Ω函数. ∵f 2(0) =12,∴|f (0)|≤|0|不满足,∴f 2(x ) =1xx e e -+不是Ω函数;∵当x = 0时,f 3(0) = 0,显然符合条件;当x ≠1时,| f 3(x)|=2221||||21x x x x ≤=≤+ ∴f 3(x ) =221x x +是Ω函数.f 4(x ) = ln(x 2 + 1)是偶函数,只需考查x ≥0时即可, 令g (x ) = x – f (x )= x – ln(x 2 + 1).( x ≥0) .g ′(x ) = 1 –222(1)211x xx x -=++≥0(仅有x = 1时取“=”号) ∴g (x )在[0,+∞)上单调递增,又g (0) = 0. ∴g (x )≥0 ∴x ≥f 4(x )又f 4(x ) ≥0 ∴|x |≥f 4(x ) ∴f 4(x ) = ln(x 2 + 1)是Ω函数. 三、解答题16.∵2∈ R A ,∴21342a a -≤--或a – 2 = 0(7)(3)2a a a +-⇒-≤0或a – 2 = 0 (7)(3)(2)0723a a a a a ⇒+--≤⇒≤-≤≤或①……………………………………(5分)又∵1∈B ,|23|13x x x -<<<由解得又a B ∈ ∴13a << ②……………………(10分)由①②知2≤a <3,即a 的取值集合M = [2,3).………………………………(12分) (注:没有设a -2=0 扣2分)17.解析:(Ⅰ)依题意,有1(1)111,442(1)21f a b a b f a b ⎧=++=⎪⇒==⎨⎪'=+=⎩.………………(4分) 因此,f (x )的解析式为f (x )=21()2x +;………………………………………………(5分) (Ⅱ)由f (x – t )≤x (1≤x ≤9)得21()2x t -+≤x (1≤x ≤9),…………………………(7分) 解之得221)1)t ≤≤(1≤x ≤9)……………………………………………(9分) 由此可得22min max 1)]41)]4t t ≤=≥=且,…………………………………(11分) 所以实数t 的取值范围是{t | t = 4}.………………………………………………(12分) 18.解析:(1)△ABC 的内角和A + B + C = π ∵A =3π ∴0<B <23π.∵AC =sin 4sin sin BC B x A = ∴AB =2sin 4sin()sin 3BC C x A π=-……………………(4分)∴y =12AB ·2sin sin()3AC A x x π=-(0<x <23π)…………………(6分)(2)∴y =21sin()sin )32x x x x x π-=+=6sin x cos x +2x =x –6π(72666x πππ-<-<)……………………(10分)当262x ππ-=即x =3π时,y 取得最大值12分) 19.解析:(1)依题设a 1 = 10%,b 1 = 20%.…………………………………………(2分) (2)∵a n = 11400100500n n a b --+ = 145n a - + 115n b -.…………………………………… (4分)b n =11400100500n n b a --+ = 145n b - + 115n a -,∴b n – a n = (145n b -+115n a -) – (145n a -+115n b -) = 35(b n –1 –a n –1)(n ≥2) 可知数列{b n –a n }为等比数列,首项b 1 –a 1 = 10%,公比为35,所以b n –a n= (b 1 –a 1)· (35)n – 1 = 10%(35)n – 1 = 110·(35)n – 1……………………………………(9分)(3)由(2) 知b n –a n =110·(35)n – 1 …… ① 又a n + b n = 1n a -+1n b -= … = a 1 + b 1 = 30% = 310…… ② …………………………(10分) 联立①②得a n =1313()20205n -- b n =1313()20205n -+.………………………………………………………………………(13分)20.解析:(1)f (x )g (x ) =21(1)1xx-++=……………………………………(3分)(22≥,当x = 1时等号成立,又x +1x≥2,,当x = 1时等号成立.………………………………………………(5分)22++x = 1时,f (x )的最大值.……(7分)又f (x )·g (x ) = 1,∴g (x ) =1()f x ≤2故x = 1时,g (x )的最大值2 9分)(3)∵a x + 1 = c ,∴若能构成三角形,只需1(1)x x >++>t t ⎧>⎪⎪⇒⎨⎪<⎪⎩x ∈R +恒成立………………………………………………(10分) maxmin[()][()]t g x t f x >⎧⇒⎨<⎩ 由(2)知f (x )min = f∴t <11分) g (x )max = 2∴t >2(12分) 综上,存在t ∈(2) 满足题设条件.……………………………………(13分) 21.解析:Ⅰ)直线l 的方程为y –211t t=-(x – t ),令y = 0,得x B = 2t由211()y kxy x t t t =⎧⎪⎨-=--⎪⎩,得221A t x kt =+,∴x A ·x B = 2t ·221t kt + = 2241t kt +……………(2分) 因此,f (t )的解析式为:f (t ) = 2241t kt +(t ≥1) ………………………………………………(3分)Ⅱ)n ≥2时,a n = 11111141111111,,()1444343n n n n n n n n a ka k k kka a a a a a ------+==+-=-+即…………(5分)①当k = 3 时,∵113k a -= 0,∴数列{11na -}是以0为首项的常数数列,则a n = 1…(6分) ②当k ≠3 时,数列{13n k a -}是以1–3k为首项,14为公比的等比数列, 13n k a -= 11(1)()34n k --,解得a n =113443n n k k--+-……………………………………………(7分) 综合①、②得a n = 113443n n k k--+-……………………………………………………………(8分)Ⅲ)11133433943(43)n n n n k a k k k k k k k -----=-=+-+-,∵1<k <3,∴390k k -<,1111434n n k k k --<+-, ∴121339139144n n n k k a k k k k ----->=……………………………………………………(10分) 则a 1 + a 2 + … +a n –1238333()()()8n n k a a a k k kk-=-+-++-+2124(3)39111[1]8[1()]8444nn k k k k --->++++=-+224(3)4(23)(1)8k k k k k-+->+= ∵1<k <3 ,∴24(23)(1)k k k +->0因此,不等式a 1 + a 2 +…+a n >38n kk-成立.………………………………………(13分)。

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高三(上)第三次月考数学试卷 (理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}101M =-,,,{}2N x x x =≤,则M N =( )A .{}0B .{}01,C .{}11-,D .{}101-,, 2. 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A .12B .9C .6D .33. 已知变量x 与y 负相关,且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A .^0.4 2.3y x =+ B .^2 2.4y x =- C .^29.5y x =-+ D .^0.4 4.4y x =-+ 4. .已知{}n a 为等差数列,48336a a +=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .9 B .17 C .81 D .1205.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游,则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有( )A .2种B .10种C .12种D .14种6.下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于( ) A .43 B .23 C .13D .17.已知函数)sin()(ϕ-=x x f ,且⎰=320,0)(πdx x f 则函数)(x f 的图象的一条对称轴为( )A .65π=x B .127π=x C .3π=x D .6π=x 8. 设函数xxx f +=1)(,则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是( ) A .)0,(-∞ B .)1,(-∞ C .⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 D .⎪⎭⎫⎝⎛-31,319. 命题:p “0[0,]4x π∃∈,00sin 2cos 2x x a +>”是假命题,则实数a 的取值范围是( )A .1a < B.a <C .1a ≥ D.a ≥10.在[]22-,上随机地取两个实数a ,b ,则事件“直线1x y +=与圆()()222x a y b -+-=相交”发生的概率为( )A .14B .916C .34D .111611. 圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线,若,a R b R ∈∈,且0ab ≠,则2211a b +的最小值为( ) A .1 B .3 C .19 D .4912. 设函数)(x f 的定义域为R ,2)0(=f ,对任意的1)()(,>'+∈x f x f R x ,则不等式1)(+>xx e x f e 的解集为( )A.),(∞+0 B.)0,(-∞ C.),1()1,+∞-∞- ( D.)1,0()1,( --∞ 二、填空题(每题5分,满分20分)13. 已知向量()1,2a =,()1,0b =,()3,4c =,若λ为实数,()a b c λ+⊥,则λ的值为 .14.已知命题032:2>-+x x p ,命题131:>-xq ,若“p q ∧⌝)(”为真,则x 的取值范围是 .15.函数)2(log )(221x x x f -=的单调递减区间是 .16. 函数⎩⎨⎧≤-->-=02012)(2x x x x x f x ,若方程0)(=-m x f 有三个实根,则m 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin b a C C =+.(1)求A;(2)若2,4a b c=+≥,求ABC∆的面积.18. (12分)甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,根据以往比赛的胜负情况知道,每一局甲胜的概率为23,乙胜的概率为13,如果比赛采用“五局三胜”制(先胜三局者获胜,比赛结束).(1)求甲获得比赛胜利的概率;(2)设比赛结束时的局数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.19. (12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.20. (12分)已知椭圆2222:1x yCa b+=过点()()2,0,0,1A B两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.21.(12分)设函数()ln,k Rkf x xx=+∈.(1)若曲线()y f x=在点()(),e f e处的切线与直线20x-=垂直,求()f x的单调递减区间和极小值(其中e为自然对数的底数);(2)若对任何()()1212120,x x f x f x x x >>-<-恒成立,求k 的取值范围.请在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.(10分)22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ,0,2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()13f x x x =-++.(1)解不等式()8f x ≥;(2)若不等式()23f x a a<-的解集不是空集,求实数a 的取值范围.2016-2017学年云南省玉溪一中高三(上)第三次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={﹣1,0,1},N={x|x2≤x},则M∩N=()A.{0}B.{0,1}C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1}【考点】交集及其运算.【专题】计算题.【分析】求出集合N,然后直接求解M∩N即可.【解答】解:因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1},M={﹣1,0,1},所以M∩N={0,1}.故选B.【点评】本题考查集合的基本运算,考查计算能力,送分题.2.(2015•新课标II)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=()A.3 B.6 C.9 D.12【考点】函数的值.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】先求f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得f(log212)=6,进而得到所求和.【解答】解:函数f(x)=,即有f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)==12×=6,则有f(﹣2)+f(log212)=3+6=9.故选C.【点评】本题考查分段函数的求值,主要考查对数的运算性质,属于基础题.3.已知变量x与y负相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3 B.=2x﹣2.4 C.=﹣2x+9.5 D.=﹣0.4x+4.4【考点】线性回归方程.【专题】计算题;试验法;概率与统计.【分析】利用变量x与y负相关,排除选项,然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可.【解答】解:变量x与y负相关,排除选项A,B;回归直线方程经过样本中心,把=3,=3.5,代入=﹣2x+9.5成立,代入=﹣0.4x+4.4不成立.故选:C.【点评】本题考查回归直线方程的求法,回归直线方程的特征,基本知识的考查.4.已知{a n}为等差数列,3a4+a8=36,则{a n}的前9项和S9=()A.9 B.17 C.36 D.81【考点】等差数列的前n项和.【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.【分析】由等差数列性质得到a1+4d=a5=9,由此能求出{a n}的前9项和.【解答】解:∵{a n}为等差数列,3a4+a8=36,∴3(a1+3d)+a1+7d=4a1+8d=36,解得a1+4d=a5=9,∴S9=×(a1+a9)=9a5=9×9=81.故选:D.【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游,则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有()A.2种B.10种C.12种D.14种【考点】排列、组合的实际应用.【专题】应用题;转化思想;演绎法;排列组合.【分析】把4名同学分为(3,1)或(2,2)两组,再分配到周六周日两天,问题得以解决.【解答】解:把4名同学分为(3,1)或(2,2)两组,再分配到周六周日两天,故有(C41+)•A22=14种,故选:D.【点评】本题考查了分组分配的问题,关键是如何分组,注意平均分组的方法,属于基础题.6.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于()A.B.C .1 D.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥,根据三视图判断相关几何量的数据,把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥,其中三棱柱的高为2,底面是直角边长为1的等腰直角三角形,三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形,∴几何体的体积V=×1×1×2﹣××1×1×2=.故选:B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.7.已知函数f(x)=sin(x﹣φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;定积分.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】由f(x)dx=0求得cos(φ+)=0,故有φ+=kπ+,k∈z.可取φ=,则f(x)=sin(x﹣).令x﹣=kπ+,求得x的值,可得函数f(x)的图象的一条对称轴方程.【解答】解:∵函数f(x)=sin(x﹣φ),f(x)dx=﹣cos(x﹣φ)=﹣cos(﹣φ)﹣[﹣cos(﹣φ)]=cosφ﹣sinφ= cos(φ+)=0,∴φ+=kπ+,k∈z,即φ=kπ+,k∈z,故可取φ=,f(x)=sin(x﹣).令x﹣=kπ+,求得x=kπ+,k∈Z,则函数f(x)的图象的一条对称轴为x=,故选:A.【点评】本题主要考查定积分,函数y=Asin (ωx +φ)的图象的对称性,两角和差的三角公式的应用,属于中档题.8.设函数f(x)=,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是()A.(﹣∞,0)B.(﹣∞,1)C. D.【考点】分段函数的应用.【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用.【分析】函数f(x)=为奇函数,分析函数的单调性,可将f(x)>f(2x﹣1)化为:x>2x﹣1,解得答案.【解答】解:函数f(x)=为奇函数,当x≥0时,f(x)==1+为增函数,故函数f(x)在R上为增函数,故f(x)>f(2x﹣1)可化为:x>2x﹣1,解得:x∈(﹣∞,1),故选:B【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数的单调性,难度中档.9.命题p:“∃x0∈[0,],sin2x0+cos2x0>a”是假命题,则实数a的取值范围是()A.a<1 B.a<C.a≥1 D.a≥【考点】特称命题.【专题】转化思想;综合法;简易逻辑.【分析】特称命题转化为全称命题,求出sin(2x+)的最大值,从而求出a的范围即可.【解答】解:“∃x0∈[0,],sin2x0+cos2x0>a”是假命题,即∀x∈[0,],sin2x+cos2x≤a是真命题,由sin2x+cos2x=sin(2x+)≤a,得:sin(2x+)≤,由x∈[0,]得:2x+∈[,],故sin(2x+)的最大值是1,故只需≥1,解得:a ≥,故选:D.【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题,考查三角函数问题,是一道中档题.10.(2016秋•红塔区校级月考)在[﹣2,2]上随机地取两个实数a,b,则事件“直线x+y=1与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”发生的概率为()A.B.C.D.【考点】几何概型.【专题】数形结合;数形结合法;直线与圆;概率与统计.【分析】根据题意画出不等式组和≤表示的平面区域,利用面积比求出对应的概率值.【解答】解:根据题意,得,又直线x+y=1与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交,d≤r,即≤,得|a+b﹣1|≤2,所以﹣1≤a+b≤3;画出图形,如图所示;则事件“直线x+y=1与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”发生的概率为P===.故选:D.【点评】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题,也考查了几何概率的计算问题,是基础题目.11.两圆x 2+y 2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()A.B.C.1 D.3【考点】圆与圆的位置关系及其判定;基本不等式在最值问题中的应用.【专题】计算题.【分析】由题意可得两圆相外切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,由=3,得到=1,=+=++,使用基本不等式求得的最小值.【解答】解:由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=4,x2+(y﹣2b)2=1,圆心分别为(﹣a,0),(0,2b),半径分别为2和1,故有=3,∴a2+4b2=9,∴=1,∴=+=++≥+2=1,当且仅当=时,等号成立,故选C.【点评】本题考查两圆的位置关系,两圆相外切的性质,圆的标准方程的特征,基本不等式的应用,得到=1,是解题的关键和难点.12.设f(x)是定义在R上的函数,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式e x f(x)>e x+1的解集为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】导数的概念及应用.【分析】本题构造新函数g (x )=e x f (x )﹣e x ,利用条件f (x )+f ’(x )>1,得到g ′(x )>0,得到函数g (x )单调递增,再利用f (0)=2,得到函数g (x )过定点(0,1),解不等式e xf (x )>e x +1,即研究g (x )>1,结合函数的图象,得到x 的取值范围,即本题结论. 【解答】解:令g (x )=e x f (x )﹣e x , 则g ′(x )=e x f (x )+e x f ′(x )﹣e x , ∵对任意x ∈R ,f (x )+f ′(x )>1, ∴g ′(x )=e x [f (x )+f ′(x )﹣1]>0, ∴函数y=g (x )在R 上单调递增. ∵f (0)=2, ∴g (0)=1.∴当x <0时,g (x )<1; 当x >0时,g (x )>1. ∵e x f (x )>e x +1, ∴e x f (x )﹣e x >1, 即g (x )>1, ∴x >0. 故选A .【点评】本题考查了函数的导数与单调性,还考查了构造法思想,本题有一定的难度,计算量适中,属于中档题.二、填空题(每题5分,满分20分)13.已知向量()1,2a =,()1,0b =,()3,4c =,若λ为实数,()a b c λ+⊥,则λ的值为 .【考点】平面向量的坐标运算.【专题】计算题;规律型;转化思想;平面向量及应用. 【解答】解:由题意可得λa +b =(1+λ,2λ) ∵(λa +)⊥c ,∴(λa +b )•c =0,代入数据可得3(1+λ)+4×2λ=0, 解之可得λ=﹣ 故答案为:.【点评】本题考查平面向量数量积的运算,涉及向量的垂直于数量积的关系,属中档题.14.(2016秋•红塔区校级月考)已知命题p :x 2+2x ﹣3>0;命题q :>1,若“¬q 且p ”为真,则x 的取值范围是 (﹣∞,﹣3)∪(1,2]∪[3,+∞) . 【考点】复合命题的真假.【专题】转化思想;定义法;简易逻辑.【分析】根据条件先求出命题p,q为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可.【解答】解:因为“¬q且p”为真,即q假p真,而q为真命题时,由>1得﹣1=>0,即2<x<3,所以q假时有x≥3或x≤2;p为真命题时,由x2+2x﹣3>0,解得x>1或x<﹣3,由,得x≥3或1<x≤2或x<﹣3,所以x的取值范围是(﹣∞,﹣3)∪(1,2]∪[3,+∞).故答案为:(﹣∞,﹣3)∪(1,2]∪[3,+∞)【点评】本题主要考查复合命题真假的应用,根据条件求出命题p,q为真命题的等价条件是解决本题的关键.15.(2008•盐田区校级模拟)函数f(x)=log(x2﹣2x)的单调递减区间是(2,+∞).【考点】对数函数的单调性与特殊点.【专题】计算题.【分析】先求函数的定义域,然后分解函数:令t=x2﹣2x,则y=,而函数y=在定义域上单调递减,t=x2﹣2x在(2,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减,根据复合函数的单调性可知函数可求【解答】解:由题意可得函数的定义域为:(2,+∞)∪(﹣∞,0)令t=x2﹣2x,则y=因为函数y=在定义域上单调递减t=x2﹣2x在(2,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为:(2,+∞)故答案为:(2,+∞)【点评】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解,解题的关键是根据复合函数的单调性的求解法则的应用,解题中容易漏掉对函数的定义域的考虑,这是解题中容易出现问题的地方.16.(2016秋•红塔区校级月考)函数f(x)=,若方程f(x)﹣m=0有三个实根,则m的取值范围是(0,1).【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】计算题;数形结合;解题方法;函数的性质及应用.【分析】画出函数的图象,利用函数的图象求解即可.【解答】解:画出函数f(x)=,y=m,的图象如图:方程f(x)﹣m=0有三个实根,即y=f(x)与y=m由三个不同的交点,由图象可得m∈(0,1).故答案为:(0,1).【点评】不要考查函数的图象的应用,零点个数的判断与应用,考查计算能力.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,b=acosC+asinC.(I)求A;(Ⅱ)若a=2,b+c≥4,求△ABC的面积.【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】对应思想;综合法;解三角形.【分析】(1)利用余弦定理将角化边得出b2+c2﹣a2=absinC=2bccosA,再使用正弦定理得出tanA;(2)利用余弦定理和基本不等式可得bc≥4,bc≤4,故bc=4.【解答】解:(1)在△ABC中,∵b=acosC+asinC,∴b=a×+asinC.即b 2+c2﹣a 2=absinC.又∵b2+c2﹣a2=2bccosA,∴asinC=ccosA,∴sinAsinC=sinCcosA,∴tanA=.∴A=.(2)由余弦定理得:cosA==,∴b2+c2=bc+4≥2bc,∴bc≤4.又b2+c2=bc+4,∴(b+c)2=3bc+4,∵b+c≥4,∴(b+c)2=3bc+4≥16,∴bc≥4.∴bc=4.==.∴S△ABC【点评】本题考查了正余弦定理,基本不等式的应用,属于中档题.18.(12分)(2016•大连二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,根据以往比赛的胜负情况,每一局甲胜的概率为,乙胜的概率为,如果比赛采用“五局三胜制”(先胜三局者获胜,比赛结束).(1)求甲获得比赛胜利的概率;(2)设比赛结束时的局数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)甲获得比赛胜利包含三种情况:①甲连胜三局;②前三局甲两胜一负,第四局甲胜;③前四局甲两胜两负,第五局甲胜.由此能求出甲获得比赛胜利的概率.(2)由已知得X的可能取值为3,4,5,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.【解答】解:(1)甲获得比赛胜利包含三种情况:①甲连胜三局;②前三局甲两胜一负,第四局甲胜;③前四局甲两胜两负,第五局甲胜.∴甲获得比赛胜利的概率:p=++C()2()2×=.(2)由已知得X的可能取值为3,4,5,P(X=3)==,P(X=4)=+×=,P(X=5)=C()2()2×+C()2()2×=,∴随机变量X的分布列为:X 3 4 5P数学期望EX==.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用.19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】综合题;转化思想;演绎法;空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)取AB中点,连接OC,OA1,得出OC⊥AB,OA1⊥AB,运用AB⊥平面OCA1,即可证明.(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向建立坐标系,可向量的坐标,求出平面BB1C1C的法向量,代入向量夹角公式,可得答案.【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点,连接OC,OA1,∵CA=CB,AB=A1A,∠BAA1=60°∴OC⊥AB,OA1⊥AB,∵OC∩OA1=O,∴AB⊥平面OCA1,∵CA1⊂平面OCA1,∴AB⊥A1C;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,建立如图所示的坐标系,可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),则=(1,0,),==(﹣1,,0),=(0,﹣,),设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>=﹣,又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:﹣.【点评】本题考查直线与平面所成的角,涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,属中档题.20.(12分)(2016•北京)已知椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【考点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系.【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)由题意可得a=2,b=1,则,则椭圆C的方程可求,离心率为e=;(2)设P(x0,y0),求出PA、PB所在直线方程,得到M,N的坐标,求得|AN|,|BM|.由,结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2.【解答】(1)解:∵椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点,∴a=2,b=1,则,∴椭圆C的方程为,离心率为e=;(2)证明:如图,设P(x0,y0),则,PA所在直线方程为y=,取x=0,得;,PB所在直线方程为,取y=0,得.∴|AN|=,|BM|=1﹣.∴==﹣===.∴四边形ABNM的面积为定值2.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,考查计算能力与推理论证能力,是中档题.21.(12分)设函数,f(x)=lnx+,k∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x﹣2=0垂直,求f(x)的单调递减区间和极小值(其中e为自然对数的底数);(2)若对任意x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2恒成立,求k的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用.【分析】(1)先利用导数的几何意义求出k的值,然后利用导数求该函数单调区间及其极值;(2)由题意可知,函数f(x)﹣x在(0,+∞)上递增,即该函数的导数大于等于零在(0,+∞)恒成立,然后转化为导函数的最值问题来解.【解答】解:(1)由已知得.∵曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x﹣2=0垂直,∴此切线的斜率为0.即f′(e)=0,有,解得k=e.∴,由f′(x)<0得0<x<e,由f′(x)>0得x>e.∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,当x=e时f(x)取得极小值.故f(x)的单调递减区间为(0,e),极小值为2.(2)条件等价于对任意x1>x2>0,f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2(*)恒成立.设h(x)=f(x)﹣x=lnx+.∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由在(0,+∞)上恒成立,得恒成立.所以(对k=,h′(x)=0仅在x=时成立),故k的取值范围是[,+∞).【点评】本题考查了导数的几何意义(切线问题)以及利用导数如何研究函数单调性、极值的基本思路,属于基础题型.请在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.(10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)(2015秋•城关区校级期中)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,].(Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.【考点】简单曲线的极坐标方程.【专题】数形结合;方程思想;转化思想;坐标系和参数方程.【分析】(I)圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ,利用互化公式可得直角坐标方程,利用三角函数基本关系式可得:参数方程.(II)设切点D(1+cosα,sinα),根据CD∥l,可得=,解出即可得出.【解答】解:(I)圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2﹣2x=0,配方为:(x﹣1)2+y2=1,圆心C(1,0).可得参数方程为:(α∈[0,π],α为参数).(II)设切点D(1+cosα,sinα),∵CD∥l,则=,tanα=,解得α=,∴D.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程、圆的切线的性质、斜率计算公式、相互平行的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.(2016春•湖南期末)已知函数f(x)=|x﹣1|+|x+3|.(1)解不等式f(x)≥8;(2)若不等式f(x)<a2﹣3a的解集不是空集,求实数a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.【专题】分类讨论;综合法;不等式的解法及应用.【分析】(1)求出函数f(x)的分段函数的形式,通过解各个区间上的x的范围去并集即可;(2)求出f(x)的最小值,得到关于a的不等式,解出即可.【解答】解:(1)f(x)=|x﹣1|+|x+3|=,当x<﹣3时,由﹣2x﹣2≥8,解得x≤﹣5;当﹣3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以不等式f(x)≥8的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}.(2)因为f(x)=|x﹣1|+|x+3|≥4,又不等式f(x)<a2﹣3a的解集不是空集,所以,a2﹣3a>4,所以a>4或a<﹣1,即实数a的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞).【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,函数恒成立问题,是一道中档题.。

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