简明固体物理 热容理论PPT课件
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固体物理-固体比热容
离子比热容
离子比热容是由于固体中离子的振动和移动而引起的热容。它是离子质量 和离子间相互作用力的函数，与温度密切相关。
离子比热容的大小取决于离子的振动频率和扩散系数，不同的离子化合物 具有不同的离子比热容。
在低温下，离子比热容通常表现为线性温度依赖性，而在高温下则表现出 更复杂的非线性行为。
磁性比热容
环境污染物治理
在环境污染物治理中，某些具有特定 比热容的吸附剂可以用于吸附和去除 环境中的有害物质，如重金属离子和 有机污染物等。
05
固体比热容的研究前景
新材料的比热容研究
新材料比热容研究
随着科技的发展，新型材料不断涌现，研究 这些材料的比热容对于理解其热学性质和潜 在应用具有重要意义。例如，新型高温超导 材料、纳米材料和二维材料的比热容研究， 有助于发现新的物理现象和潜在应用。
要点二
高温高压下的比热容测量技术
高温高压下的比热容测量需要高精度的实验技术和设备。 例如，激光加热技术、闪光量热计和高压装置的结合使用 ，可以在极端条件下对材料的比热容进行测量。
比热容与微观结构的关系研究
比热容与微观结构的关系
固体材料的比热容与其微观结构密切相关。通过对比热 容的研究，可以深入了解材料的微观结构和动力学性质 。
02
固体比热容的分类
晶格振动比热容
晶格振动比热容是由于固体晶格结构的振动而引起的热容。它是固体中原子或分子的振动幅度和频率 的函数，与温度密切相关。
晶格振动比热容的大小取决于晶体的对称性和周期性，不同的晶体结构具有不同的晶格振动比热容。
高温下则表现为更复杂的非线性行为。
比热容随物质种类的变化
总结词
不同物质具有不同的比热容
VS
固体的热容
第4章 晶格振动和晶体的热学性质
4.3 固体的热容
热容
热容是分子或原子热运动的能量随温度变化的一个物 理量，指物体升高单位温度（1K）所需增加的能量。
比热容：1g物质的热容 摩尔热容：1mol物质的热容
物体的热容与其热过程有关：
定压热容 定容热容
C p Q T p CV Q T V
回顾
简正坐标格波能量量子化 声子 如果某振动模ωj(q)激发nj(q)个声子，或说被nj(q)个声 子占据，这种格波的能量就是
1 j n j (q) j (q) 2
声子是遵从玻色统计分布
n j (q)
1 e
ω j (q)/k BT
1
声子的能量和准动量分别为ħj(q)和ħq。
4 3 D T T 4 x dx D T D T CV 9 R 0 x e 1 e 1 D 3
高温T>> D ， ex=1+x
4 D 3 T 4 x dx D T T D T CV 9 R 0 1 1 x 1 e D 3 4 3 T D 3 D T 3R 3R 4 D T e 1 D T 3
3NA 3NA 2
2
高温 k BT
x 1 k BT
n(i )
1
e i / kBT
3NA
k BT 1 1 x 1 e 1 1 x 1 i
则得Dulong-Petit定律
3N A k BT i k B 3 N A k B CV i T i i
固体物理导论第八章课件.ppt
3
8.1 晶格热容一般公式
8.1.2 晶体的量子化晶格振动总能量
由第七章讨论已知，晶格振动用声子系统表示，声子服从玻色分 布。在温度 T，处于
j (q) j 1,2,3,.....，.
q 取值数目为晶体原胞数N
状态的声子平均数目：
其平均能量： 系统总能量：
n j (q)
1 e j (q) / kBT
)2
3PNkB
结果与经典论由能均分定理得到热容结果----杜隆-珀替定律一 致。因为，系统的原子数目为 PN 个，每个原子的自由度 为 3，能均分定理给出，原子每个自由度的能量为 kBT，每 个原子对热容的贡献为 3kB。
8
8.2 爱因斯坦和德拜模型
8.2.1 爱因斯坦模型
讨论：
(2) 在低温下， T ΘE， 因为 eΘE /T 1
11
8.2 爱因斯坦和德拜模型
8.2.2 德拜模型
将
g
j
()
3N
D30
2
D D
代入
CV
3P
j
0 kB
( j (q) / kBT )2 e j (q) / kBT
(e j (q) / kBT 1)2
g j ()d j
得
CV
3kB
D 0
3N
D3
2 (
kBT
)2
e / kBT (e / kBT 1)2
7
8.2 爱因斯坦和德拜模型
8.2.1 爱因斯坦模型
讨论：
ex (ex 1)2
(ex / 2
ex ex/2)2 ex
(1) 在高温下， T ΘE
((1
1 x ) (1
x ))2
8.1 晶格热容一般公式
8.1.2 晶体的量子化晶格振动总能量
由第七章讨论已知，晶格振动用声子系统表示，声子服从玻色分 布。在温度 T，处于
j (q) j 1,2,3,.....，.
q 取值数目为晶体原胞数N
状态的声子平均数目：
其平均能量： 系统总能量：
n j (q)
1 e j (q) / kBT
)2
3PNkB
结果与经典论由能均分定理得到热容结果----杜隆-珀替定律一 致。因为，系统的原子数目为 PN 个，每个原子的自由度 为 3，能均分定理给出，原子每个自由度的能量为 kBT，每 个原子对热容的贡献为 3kB。
8
8.2 爱因斯坦和德拜模型
8.2.1 爱因斯坦模型
讨论：
(2) 在低温下， T ΘE， 因为 eΘE /T 1
11
8.2 爱因斯坦和德拜模型
8.2.2 德拜模型
将
g
j
()
3N
D30
2
D D
代入
CV
3P
j
0 kB
( j (q) / kBT )2 e j (q) / kBT
(e j (q) / kBT 1)2
g j ()d j
得
CV
3kB
D 0
3N
D3
2 (
kBT
)2
e / kBT (e / kBT 1)2
7
8.2 爱因斯坦和德拜模型
8.2.1 爱因斯坦模型
讨论：
ex (ex 1)2
(ex / 2
ex ex/2)2 ex
(1) 在高温下， T ΘE
((1
1 x ) (1
x ))2
固体物理学之晶格热容
晶格热容计算的简化模型 －－－德拜模型
由周期性边界条件，q的取值为分立的，允许 的q值在q空间形成均匀分布的点子，在体积 元dk=dkxdkydkz中数目为：
V dk 3 (2π ) V V为晶体体积，上式表明， 3 是均匀分 (2π ) 布的q值的“密度”。
对于准连续分布的振动，可以把包含在ω＋d ω内 的振动数目写成： Δn = g (ω )Δω 称为振动的频率分布函数(振动模的态密度函数)。 由于振动的热容只决定于它的频率：
2× ( V 2π 2Ct
ω 2 dω ) 3
总的频率分布为：
3V 2 g (ω ) = ω dω 2 3 2π C 1 1 1 1 = ( 3 + 3) 3 C 3 Cl Ct
根据弹性理论，ω可取0至无穷大地任意值，则：
∫
∞
0
g (ω )d ω
振动模的数量是发散的(因为理想介质的自由度是 无限的)。 在德拜模型中假设：频率大于某一个值ωm的短波 实际上是不存在的，而对ωm 以下的振动都可以用 弹性波近似， ωm则由自由度确定如下：
ξ
= 3R
辅助理解的课题思考题
1、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的物理根源是 什么？ 2、在甚低温下，德拜模型为什么与实验相符？
CV (T / Θ D ) = 9 R ∫
Θ D /T
ξ 4 eξ
(e − 1)
ξ
2
0
dξ
T 3 ∞ ξ 4 eξ dξ ⇒ CV (T / Θ D ) = 9 R( ) ∫ 0 (eξ − 1) 2 ΘD T 3 12π 4 R( = ) 15 ΘD (T → 0)
Θ D = hω / k B
R = Nk B , ξ = hω / k BT
固体物理课件——第五章 共86页
根据前面所得热能和热容表达式：
U9NkBTT3
xD x3 dx 0 ex1
CV9NBk T3 0xD(exx4e1x)2dx
在低温情况下，即T«θ时，则x»1，
xD T
x xD
3
积分： dx x e dx 0 x
第五章 声子Ⅱ: 热学性质
本章是从量子角度讨论 内能 热容
晶体的比热实验规律
(1)在高温时，晶体的比热为3NkB (N为晶体中原子的个
数, kB=1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量) ；
(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。
下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。
晶体比热的一般理论
<2> 德拜模型的热容
模式密度：
U0 DdD s()ns(.T)s
则点阵热能为:
U0 Dd2 3V 2v2 3e 1 式 中 ， kBT
直接导出结论即可，下页ppt及课本（27-29）式无甚必要
补充：德拜温度的定义
由于ћω、 kBT均具有能量的量纲，可令ћω=kBTω
d3N
D3
62v3N
V
D(62n)1/3v
与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢:
KD
D
v
1
KD 62n 3
kD是晶体中格波的最大波矢，以KD为半径在波矢 空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的 简正模式，即 3N个模式，球外的短波振动在晶体 中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质 中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所
vg K
这实际上是（低温） 长声学支模式
球体分布
将Vg带入上页D(ω)公式即得对应的 模式密度
固体物理学课件：热熔部分
−1
ρ
(ω
)dω
CV
=
(∂E ∂T
)V
=
∫ωm
0
k
B
(
ℏω kBT
)2
eℏω/ kBT (eℏω/ kBT −1)2
ρ(ω)dω
kBT >> ℏωi
∂Ei ∂T
=
kB
(
ℏωi
kBT
)
2
[
[1+ ℏω + ⋯⋯]
kBT
ℏω + 1 ( ℏω )2 + ⋯⋯]2
kBT 2 kBT
∂Ei ∂T
≈
kB
CV = 3∑N kB = 3NkB i=1
L
π
×
(
dω
dq
)
−1
Return
ω(q) =
4β
m
sin
1 2
aq
=
ωm
sin
1 2
aq
ρ (ω
)
=
2N
π
(ω
2 m
−
ω
2
−1
)2
ω = cq
ρ
(ω
)
=
V
(2π )3
1 c
4π
(ω
c
)2
ω = cq2
∇qω (q)
=
dω
dq
=
2cq
ρ (ω )
=
V
(2π )3
1 2cq
4πq 2
=
V
(2π )2
kBT << ℏωi
ω (ℏ ) e i 2 ℏωi / kBT
∂Ei ∂T
固体物理-固体比热容共36页文档
常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
固体物理-固体比热容
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
固体物理-固体比热容
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
固体物理-03-08晶体热容的量子理论名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
固体物理 Solid State Physics
晶体热容
CV
3Nk
B
( E
T
)
2
eE /T (eE /T 1)2
温度非常低时 0 1
kBT
kBE 0
E T
eE /T 1
CV
3Nk
B
(
0
kBT
)
2
e
0 kBT
西南科技大学
T→0时， CV 0 ——与试验符合
固体物理 Solid State Physics
1
j / kBT
T 0 CV 0 —— 与试验成果相符
西南科技大学
固体物理 Solid State Physics
低温极限
CV
kB
(
j
kBT
)2
e
1
j / kBT
可知：当T↓时，CV↓↓，且当 T 0 时，CV 0
从物理意义上看：因为振动能量是量 子化旳，在 kBT j 时，振动被“冻结” 在基态，极难被热激发，因而对热容旳贡献 趋向于0。
CV
3NkB
f
B
(
0
kBT
)
西南科技大学
固体物理 Solid State Physics
fB
( 0
kBT
)
( 0
kBT
)2
e 0 / kBT (e0 / kBT 1)2
—— 爱因斯坦热容函数
爱因斯坦温度 0 kB E
E
0
kB
CV
3NkB
( E
T
)2
eE /T (eE /T 1)2
西南科技大学
2 Ct3
)
1.2 热容
34.57 32.08 48.3 37.08
37.84 34.06
43.26
63
金属材料热容 Cp/[J/(mol· K]
2. 合金成分对热容的影响 合金热容具有加权性，即合金的热容是每个组成元素热 容与其质量百分数的乘积之和：
C X 1C1 X 2C2 X nCn X i Ci
6
（1）单原子固态化合物
1 mol物质：E = 3N0kT = 3RT E CVm 3R 24.91 25 J/(mol· K) T
（2）双原子固态化合物
1 mol物质的原子数为2N0，CVm = 2×25 J/(mol· K)
（3）三原子固态化合物 1 mol物质的原子数为3N0，CVm = 3×25 J/(mol· K) 经验定律和经典理论只适用于高温，对低温不适用！ 低温下热容随温度降低而减小，温度接近0 K时热容趋于 零，需要用量子理论来解释。
15
3. 相变对热容的影响－热效应 （1）一级相变和二级相变
磁性转变，部分材料的有序 －无序转变和超导态转变
材料的多 晶型转变
一级和二级 相变时热焓 和热容与温 度的关系
在相变温度下，热 焓发生突变，热容 不连续变化。
16
在一个温度范围内逐步完成，热焓随 温度升高而逐渐增大，当接近临界点 Tc时，热容值达到最大值。
(晶格热振动)晶格热容
固体的热容
(电子热运动)电子热容 (温度极高或极低）
5
热容理论
二、固体热容的经验定律和经典理论
1. 元素的热容定律－杜隆-珀替 (Dulong-Petit) 定律 恒压下元素的原子热容为25 J/(mol· K)。 2. 化合物的热容定律－奈曼-柯普 (Neumann-Kopp) 定律 化合物分子热容等于构成此化合物各元素原子热容之和。 3. 经典理论 经典统计理论的能量均分定理：每一个简谐振动的平均 能量是 k T ，若固体中有 N 个原子，则有 3 N 个简谐振动模； 总的平均能量：E = 3NkT
第1-1_2讲 热容
热容的量子理论
低温时，Cv与温度按指数律随温度而变 化，与实验得出的按T的立方变化规律 仍有偏差。 问题主要在于基本假设：各个振子频率 相同有问题，各振子的频率可以不同， 原子振动间有耦合作用 。
德拜模型
德拜模型认为： 德拜模型认为：
热容的量子理论
晶体对热容的贡献主要是弹性波的振动，即 较长的声频支在低温下的振动 由于声频支的波长远大于晶格常数，故可将 晶体当成是连续介质，声频支也是连续的， 频率具有0～ωmax 高于ωmax的频率在光频支范围，对热容贡献 很小，可忽略
当温度稳低时， 当温度稳低时，T << θD，有：
12π Nk T cv = θ 5 D
4 3
与实验结果相吻合
德拜模型
德拜特征温度θD
热容的量子理论
θD取决于材料的键强度、弹性模量和熔点 取决于材料的键强度、
υ max = 2.8 ×10
Θ D = 137
12
Tm ArV 2 / 3
固体的热容
在热力学中 C = ∆Q/∆T ∆Q = ∆U + P ∆V （晶格热振动）晶格热容 晶格热振动） 固体的热容 (电子的热运动) 电子热容
晶格的热振动
材料的各种热性能的物理本质， 材料的各种热性能的物理本质，均 晶格热振动有关 与晶格热振动有关 晶体点阵中的质点（原子、离子） 晶体点阵中的质点（原子、离子） 总是围着平衡位置作微小振动， 总是围着平衡位置作微小振动， 称为晶格热振动 称为晶格热振动
热容的分类
定容热容： 定容热容：CV = ( 定压热容： 定压热容：C p = (
∆Q ∆T V ∆Q ∆T p
) =( ) =(
∆U + p∆V ∆T V ∆U + p∆V ∆T p
固体物理(第13课)电子热容解析
• 当金属加均匀恒定电场E时，电子动量变化方程：
dk eE dt
dk
eE
dt
• 经过时间τ后电子波矢的增量为
dk eE dt
k
eE
• 上式表明整个费米面在K空间移动了k，因而电子 状态的分布不再具有中心对称，系统的总动量不 为0，金属中有电流流过。
ky k
kx
• 杂质、缺陷、声子对电子的散射，导致电流不可
令g(E)
2 5
C N
E 5/ 2，则Ee
0
g(E) f E
dE
Ee
g(EF
)
2
6
kBT 2
g( E F
)
3 5
E
o F
1
5 2
12
kBT
E
o F
2
电子气的摩尔热容量为：
CV
E T
V
N0 Z Ee T
V
N
0：每摩尔金属中
含有的原子数
Z：每个原子的价电子数
(1) 费米面：在波矢空间中，E EF的等能面
(2) 费米波矢：kF
kF
2mE F
(3) 费米波长：F＝2kF
2
2mE F
(4)
费米温度：TF
EF kB
(5) 费米速度：vF
2EF m
5.4 金属的电导率和欧姆定律
• 电导率
• 热平衡时，电子状态在K空间的分布是关于原点对 称的，K态电子与-K态电子成对出现，因而自由电 子气的总动量为零。金属中没有电流。
T
0K时：
E0
3 5
E
o F
T
0K时：
Ee g(EF
固体物理教学课件：Chapt3-6
3、格律乃森方程：
由热力学定律可知：
∑ P =
−
∂F ∂V
T
∑ ( ) = − dU 0 −
dV
= − dU 0
∂kBT −
qs
ln(1 − e−ωs (q)/kBT )
dV
∂V
e−ωs (q)/kBT dωs q
1− e qs
−ωs (q)/kBT
dV
∑ = − dU 0 dV
−
qs
ωs (q) 1
∂U V (T ,V
∂T
)
V
= γ CV
CV : 晶体定容比热
=
−V
∂P ∂V
T
1 V
∂V ∂T
P
= κα
κ : 体积弹性模量
α : 热膨胀系数
考虑热力学关系：
∂P ∂V ∂T = −1 ∂V T ∂T P ∂P V
γ = καV 1-3之间
CV
关于热力学关系
∂P ∂V
π
−∞
a
1
∫ ∫ 分母 ≈
∞
e− fδ2
kBT (1 +
gδ3
)dδ
∞
= e− fδ2 kBT dδ
−∞
kBT
−∞
=
πkBT f
2
δ
3 4
g f2
kBT
> 0,
线膨胀系数=α
1= dδ a dT
3 gkB , 4 f 2a
更高次项展开，膨胀系数将依赖于温度
M2
V = Na
q = 2πh , Na
qa = 2π h ，与a无关
N
γ = − d ln ωs (q) = − 1 d ln ω2 (q)
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x= ħ/ kBT=/T ( = ħ/ kB) xm= ħm/ kBT=D/T m ------声频支最大的角频率； D ------德拜特征温度。
m =(62N/V)1/3 (V------晶体的体积； ------平均声波速度） 12
（3） 讨论:
a: Cv 与T / D的关系曲线
当T D, ，x很小，
=3NkBfE (ħ/kBT) fE (ħ/kBT)------爱因斯坦热容函数
E= ħ/kB （爱因斯坦温度）
18
Cv=3NkB(E /T) 2 exp(E /T) /(exp(E /T) －1)2 E值的选取规则：选取合适的值，使得在热容显著改变 的广大温度范围内，理论曲线和实验数据相当好的符合。 大多数固体， E的值在100～300k的范围以内。
C 影响D的因素 由 max = (2ks/m)1/2 知：原子越轻、原子间
的作用力越大， max越大， D越高。 物质 金刚石 CaF2 Cd Pb D(k) 2000 475 168 100
15
D 德拜理论的不足 因为在非常低的温度下，只有长波的的激发是主 要的，对于长波晶格是可以看作连续介质的。 德拜理论在温度越低的条件下，符合越好。 如果德拜模型在各种温度下都符合，则德拜温度 和温度无关。实际上，不是这样。
()d
等容热容：
Cv=(dE/dT－)v=0 m
kB(ħ/kBT源自2() exp ħ/ kBTd (exp( ħ/kBT) －1)2
说明：用量子理论求热容时，关键是求角频率 的分布函数()。常用爱因斯坦模型和德拜模 型。
9
热容的本质： 反映晶体受热后激发出的晶格波与温度的关系； 对于N个原子构成的晶体，在热振动时形成3N个 振子，各个振子的频率不同，激发出的声子能量也不 同； 温度升高，原子振动的振幅增大，该频率的声子 数目也随着增大； 温度 升高，在宏观上表现为吸热或放热，实质上 是各个频率声子数发生变化。
表
现
为
能量表现为
频率为晶格波（振子）
振动的表振幅的增加
现
增加的方式
为 振子的能量增加
以声子为单位增加振子能量（即能量量子化）
4
1. 振子能量量子化：
振子受热激发所占的能级是分立的，它的能级在0k 时为1/2 ħ ------零点能。依次的能级是每隔ħ升高 一级，一般忽略零点能。
n En =nħ+ 1/2 ħ
16
D(T)
320 300 280 260
0 20 40 60 80 100 120 T(k)
NaCI的D和T的关系
17
2. 爱因斯坦模型 爱因斯坦模型：晶体中所有原子都以相同的频率振动。
晶体的平均能量：
－E=3N
ħ exp( ħ/kBT) －1
热容：
Cv=3NkB(ħ/kBT) 2 exp( ħ/kBT) /(exp( ħ/kBT) －1)2
T －E()
6
4. 在温度Tk时的平均声子数
nav=－E ()/ ħ =
1 exp( ħ/kBT) －1
说明：受热晶体的温度升高，实质上是晶体中热激 发出声子的数目增加。
5. 振子是以不同频率格波叠加起来的合波进行 运动
晶体中的振子（振动频率）不止是一种，而是一个 频谱。
7
4.1.2 热容的量子理论
4.1 固体的热容
固体的热容是原子振动在宏观性质上的一个最直 接的表现。 杜隆·伯替定律------在室温和更高的温度，几乎全 部单原子固体的热容接近3NkB。 在低温热容与T3 本节将热容和原子振动联系起来，用原子振动解 释实验事实。
1
在热力学中 Cv =( E/ T)V E------固体的平均内能
Cv(J/moloC
6×4.18 5×4.18 4×4.18
····· ·
3×4.18 2×4.18 1×4.18
···
T/ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Cv
有
ex -1x
得 ： Cv = 3NkB 当T D xm= ħm/ kBT=D/T ，xm 得： Cv ～ (T / D)3 以上两种情况和实验测试结果 相符合。
T / D
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b 德拜温度
德拜温度------晶体具有的固定特征值。
nav=
1 exp( ħm/kBT) －1
当 exp( ħm/kBT) －1<1时，平均声子数大于1， 能量最大的声子被激发出来。
因 ħm/ kB=D 有 exp(D /T)<2 当T D 时，能量最大的声子被激发出来。即德 拜温度是最大能量声子被激发出来的温度.
当T D 时， nav= kBT/ ħm
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说明： 温度越低，只能激发出较低频声子，而且声子的 数目也随着减少，即长波（低频）的格波是主要 的。在T D 时， 声子的数目随温度成正比。
固体的热容
（晶格热振动）晶格热容 （电子的热运动）电子热容
2
经典统计理论的能量均分定理： 每一个简谐振动的平均能量是kBT ，若固体中有N 个原子，则有3N个简谐振动模， 总的平均能量: E=3NkBT 热容: Cv = 3NkB
3
4.1.1 简谐振子的能量本质
热量 进 入
晶格
引
引
增
起
起
加
晶格振动 电子缺陷和热缺陷
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1. 德拜模型
（1）条件 晶格为连续介质； 晶体振动的长声学波------连续介质的弹性波； 在低温频率较低的格波对热容有重要贡献； 纵横弹性波的波速相等。
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（2） 等容热容
Cv=(d－E/dT)v=3NkBf(x)
式中：
f(x)=
3 xm3
xm 0
exx4 (ex-1)2
dx
为德拜热容函数
2 1 0
5
2. 振子在不同能级的分布服从波尔兹曼能量分布 规律
根据波尔兹曼能量分布规律，振子具有能量nħ的 几率： exp(- nħ/kBT)
3. 在温度Tk时以频率振动振子的平均能量
－E()=
nħ[exp(- nħ/kBT)]
n=0
ħ
exp(-
n=0
nħ/kBT)
= exp( ħ /kBT) －1
分析具有N个原子的晶体： 每个原子的自由度为3，共有3N个频率，在温度Tk时， 晶体的平均 能量：
E=3i=N1E(i)=
3N
i=1
ħi exp( ħi/kBT) －1
用积分函数表示类加函数：
设()d 表示角频率在和+d之间的格波数,而且
m 0
()d
=3N
8
平均能量为：
－E=0 m
ħ exp( ħ/kBT) －1