几种常用的分布_抽样分布
3-理论分布与抽样分布
68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张 下一张 主 页 退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张 下一张 主 页 退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)
第十六讲(数理统计中常用的分布、抽样分布定理)
3 n足够大 时， (n)近似服从• (n,2n) N
2
证
1设
2 (n) X i2
i 1
n
X i ~ N (0,1) i 1,2, , n
X 1 , X 2 , , X n
相互独立,
2 i
则 E ( X i ) 0, D( X i ) 1, E ( X ) 1
•2
P{ X z } 1
-z= z1-
例1 求
z0.05 , z0.025 , z0.005 , z0.95 .
解： P{ X 1.645} 0.05, P{ X 1.96} 0.05, P{ X 2.575} 0.005.
z0.05 1.645 , z0.025 1.96 , z0.005 2.575
0.4 0.3 0.2 0.1
n= 1 n=20
-3
-1
1
2
3
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t分布的性质： 1. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形， 1 t 2 2 再 由函数的性质有 lim f (t ) 2 e . n
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为 第 一自由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) . 由定义可见，
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
若F~F(n1,n2)， F的概率密度为
( n1 n2 ) n n1 n21 1 n n 2 n ( n1 ) 2 ( y ) 1 n1 y 2 ( y ) ( 1 ) ( 2 ) 2 2 2 0
(抽样检验)理论分布和抽样分布
第四章理论分布和抽样分布在上章样本分布及其特征的基础上本章将讨论总体的分布及其特征。
首先介绍间断性变数总体的理论分布，包括二项分布和泊松分布；其次介绍连续性变数总体的理论分布，即正态分布；最后介绍从这两类理论分布中抽出的样本统计数的分布，即抽样分布。
为了说明这些理论分布，必须首先了解概率的基本概念和计算法则。
第一节事件、概率和随机变量一、事件和事件发生的概率在自然界中一种事物，常存在几种可能出现的情况，每一种可能出现的情况称为事件，而每一个事件出现的可能性称为该事件的概率(probability)。
例如种子可能发芽，也可能不发芽，这就是两种事件，而发芽的可能性和不发芽的可能性就是对应于两种事件的概率。
若某特定事件只是可能发生的几种事件中的一种，这种事件称为随机事件(random event)，例如抽取一粒种子，它可能发芽也可能不发芽，这决定于发芽与不发芽的机会(概率)，发芽与不发芽这两种可能性均存在，出现的是这两种可能性中的一种。
事件发生的可能性(概率)是在大量的实验中观察得到的，例如棉田发生盲蝽象为害的情况，并不是所有的棉株都受害，随着观察的次数增多，我们对棉株受害可能性程度大小的把握越准确、越稳定。
这里将一个调查结果列于表4.1。
调查5株时，有2株受害，受害株的频率为40%，调查25株时受害频率为48%，调查100株时受害频率为33%。
可以看出三次调查结果有差异，说明受害频率有波动、不稳定。
而当进一步扩大调查的单株数时，发现频率比较稳定了，调查500株到2000株的结果是受害棉株稳定在35%左右。
表4.1 在相同条件下盲蝽象在某棉田危害程度的调查结果调查株数(n) 5 25 50 100 200 500 1000 1500 2000 受害株数(a) 2 12 15 33 72 177 351 525 704 棉株受害频率(a/n)0.40 0.48 0.30 0.33 0.36 0.354 0.351 0.350 0.352现以n代表调查株数，以a代表受害株数，那么可以计算出受害频率p=a/n。
三大抽样分布及常用统计量的分布
(n1
1) S12
2
～
2
(n1
1),
(n2
1)S
2 2
2
～
2
(n2
1)
且S12与S22相互独立，由 2分布的性质知
(n1 1)S12
2
(n2 1)S22
2
～ 2 (n1
n2
2)
再由定义3知
T
X
Y Sn
(1
1 n1
1
2
)
～t(n1
n2
n2
- 2)
t 分布的上侧分位点
对于给定的 (0< <1)，称满足条件
X
2 i
.
i2
i4
解 (1) 因为Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n. 所以
X1-X2 ～N(0, 2)，
X
2 3
X
2 4
~
2(2),
X1
X2 2
~
N(0,1),
故
X1 X2
X
2 3
X
2 4
(X1
X
X 2)
2 3
X
2 4
2
～t(2).
2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单
/2
/2
- t/2(n) O t/2(n) t
图5-8
在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表.
例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
t0.05(15)= 1.753
t0.05/2(15)= 2.131
其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.
几种常用抽样方案
几种常用抽样方案
常用抽样方案有很多种，以下是几种常见的抽样方案及其特点：
1.简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中随机地选择样本，每个个体有相等的概率被选中。
这种抽样方案适用于总体的分布和特征都是已知的情况，且总体规模不大的情况。
2.系统抽样：系统抽样是指按照一定的规则，从总体中按照一定的间隔选择样本。
例如，从一串编号的个体中每隔一定的距离选择一个个体作为样本。
系统抽样适用于总体规模较大，难以进行简单随机抽样的情况。
3.分层抽样：分层抽样是将总体分为若干层，然后从每一层中进行简单随机抽样。
这种抽样方案适用于总体具有明显的层次结构的情况，可以提高抽样的效率和精度。
4.整群抽样：整群抽样是将总体划分为若干个群体，然后随机选择几个群体作为样本进行调查。
这种抽样方案适用于总体划分明确，群体内的个体相似性较高的情况，能够提高抽样的效率。
5.分阶段抽样：分阶段抽样是将抽样过程划分为多个阶段，在每个阶段中进行不同的抽样方式。
例如，先进行简单随机抽样，然后在选定的样本中再进行分层抽样。
分阶段抽样适用于复杂的抽样情况，能够提高抽样的效率和灵活性。
6.整体抽样：整体抽样是指直接从总体中抽取全部个体作为样本。
这种抽样方案适用于总体规模较小，抽取全部个体的成本较低的情况。
以上是几种常用的抽样方案，不同的抽样方案适用于不同的调查情况。
在选择抽样方案时，需要考虑总体的特点、抽样目的以及可行性等因素，
以确保抽样结果的准确性和可靠性。
常用的三种抽样分布
常用的三种抽样分布
概述
在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取一定数量的样本，并计算样本统计量的分布。
根据中心极限定理，当样本数足够大时，样本的均值和标准差会呈正态分布。
然而，并非所有的抽样分布都符合正态分布。
本文将介绍统计学中常用的三种抽样分布，包括正态分布、t分布和χ²（卡方）分布。
1. 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是最常见的一种抽样分布，也被称为高斯分布。
它具有以下特点： - 均值为μ，标准差为σ； - 对称分布，其曲线呈钟型，两侧尾部逐渐下降； - 总体分布和抽样分布均为正态分布； - 标准正态分布
的均值为 0，标准差为 1。
可以通过标准化计算将任意正态分布转换为标准正态分布。
正态分布在实际应用中非常重要，尤其是在假设检验和置信区间计算中的应用广泛。
2. t分布（Student’s t-Distribution）
t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset（也被称为。
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
16几个常用的抽样分布与抽样分布定理
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，
抽样分布的名词解释
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
几种常用统计量的分布
P{
χ2
χ
2 a
(n)
}
f
a2 (n)
x dx a
的点χa 2(n)称为 χ2 分布单侧 分位点或双侧临界值，如图11-5 所示 .
图11-5
几种常用统计量的分布
定义4
设X ~ N ( ， 2 ) ，样本方差为S 2，则统计量χ2
(n
1)S 2
2
服从自由度为n
1
的χ 2分布，记作
χ2
n
/ n
几种常用统计量的分布
证明
X ~ N ( ， 2 ) ，( X1.，X 2 ， ，X n )是来自总体 X 的样本 ，
X
~
N ( ， 2 )(i 1，2 ，
，n) ，其线性函数 X
1 n
n i 1
Xi
也服从正态分布，即
E X
E1 n
n i 1
Xi
1n E
n i1
Xi
1 n n
(
EX i i 1，2
n) ，
1 n
1
DX
D n
i 1
Xi
n2
n
D Xi
i 1
1 n2 2 (
n2
n
X1 ，X 2 ， X n相互独立) ，
则X ~ N ( ， 2 ) ，故 X ~ N (0 ，1) .
n
/ n
几种常用统计量的分布
例1
解
因为总体 X 服从正态分布N 5 ，9 ，所以 X 服从正态分布N (5 ，9 ) ，故
图11-2
几种常用统计量的分布
显然，f x随着n不同而不同，且f x为偶函数 . 当n 时，有
lim f x
3章几种常见的分布
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
几种常见的分布
2019/5/27
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
2019/5/27
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2019/5/27
4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2019/5/27
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
13
十二、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布方分布
概率论与数理统计 --- 第六章{样本及抽样分布} 第四节：抽样分布
P T 1.059
0.15.
例2:
从正态总体N ( , 0.5 )中抽取样本X 1 , , X 10 .
2
数理统计
10 2 （1）已知 0，求概率P X i 4 ; i 1 10 2 （2）未知，求概率P ( X i X ) 2.85 . i 1
S1 和S2 分别是这两个样本的样本方差, 则有:
2 2
(1)
S1
2 2
S2
~ F ( n1 1, n2 1);
2 2
若两方差 1 2，则
S1 1
2 2
2 2
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1);
(2)
X Y ( 1 2 ) ( n1 1) S1 ( n2 1) S2
n取不同值时
( n 1) S
2
2
的分布
定理3 (样本均值的分布) 数理统计 设X1, X2, …, Xn是取自正态总体 N(μ, σ2)的样本, 2 X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有:
X S n ~ t ( n 1)
证:由定理1、和t分布的定义可得： 2
X ~ N (0,1), ( n 1) S
2) F分布的分位点:
对于给定的， 1, 称满足条件: 0
P F F ( n1 , n2 )
( y )dy
F ( n1 , n2 )
的点F ( n1 , n2 )为F ( n1 , n2 )分布的上 分位点.
F分布的上分位点的性质：
F1 ( n1 , n2 ) 1 F ( n2 , n1 )
6.2.常用统计量及抽样分布
1.
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2. X 与 S 2 独立。 定理三 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样
X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
X S/ n ~ t (n 1)
定理四 设 X 11,,X 22,,,X nn 与Y11,,Y22,,,,Ynn 是来自正态总体 N ((11,, 1212))和 N Y 是来自正态总体 N 和 设 X X , X 与Y Y 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 的样本，且这两个样本相互独立。设 n 1 1 n1 X i 1 X i , Y i 1 Yi 分别是这两个样本的均值； n2 n1 n 1 1 n1 2 2 2 S2 (Yi Y ) 2 S1 i1 ( X i X ) , n21 1 i 1 n1 1 分别是这两个样本的样本方差， 则有
则称随机变量
[(n1 n 2 ) / 2](n1 / n 2 ) n1 / 2 y ( n1 / 2 ) 1 , y0 ( y ) (n1 / 2)(n 2 / 2)[1 (n1 y / n 2 )]( n1 n2 ) / 2 0, 其它
其图形如右图所示
U / n1 F V / n2 服从自由度为 ((n1 ,,n 22)的2)) 服从自由度为 n1 n )的F 分布，记为 F ~ F n1 n
F (n1 , n 2 ) 分布的概率密度为
2 2 设 U ~ ( n1 ), V ~ (n 2 ), 且U , V 独立，
1 0.357 2.80
二、抽样分布定理
定理一 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 本，X 是样本均值，则有 X ~ N ( , 2 / n) 定理二 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
【精】几种常见的分布
十三、泊松分布（Poisson ion）
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数， 交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
3 理论分布与抽样分布
1.3.3 正态分布的概率计算
标准正态分布的计算： 已知X ～N(0，1)，求X在实数区间（a，b）上 的概率P（a＜x＜b）？
Ф(b)－Φ(a)
这个积分比一般正态分布要简单，在实际工作中应 用广泛。为了使用方便，前人编制了标准正态分布 函数的数值表。见附表。
（1）附表1可解决：已知a和b，求P（a＜x＜b）?
从波松分布的实例中，分布参数λ往往是未知的，
只能从所观察的随机样本中计算出相应的样本平均
数作为 λ 的 估计值，将其代替计算公式中的λ，计
算出 k = 0，1，2，… 时的各项概率。
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退 出
例，为监测饮用水的污染情况， 现检验某社区每 毫升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录如下：
量x ，其可能取值为某范围内的任何数值 ，且x 在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是 确定的，则称x为 连续 型 随 机 变 量 ( continuous random variable)。
不能列出试验结果和取此结果的概率， 只能给出一定范围和在此范围内取值 上一张 的概率。
下一张 主 页
退 出
1.2.1 泊松分布的定义
当随机变量x（x=k）所有可能取值是非负整数，且 其概率分布为：
λ e P( x k ) k!
k λ
其中，λ是一个大于0的常数；k=1,2,…，n,…； e是自然对数的底数；则称随机变量x为服从参数为λ 的泊松分布。
记为： x～P(λ)。
1.2.2 泊松分布的重要特征
上一张 下一张 主 页 退 出
离 散 型 随 机 ห้องสมุดไป่ตู้ 量：如果表示试验结果的
变量x，其可能取值为可列个 ，且 以各种确定 的概率取这些不同的值 ， 则 称 x 为 离 散 型 随 机 变 量 ( discrete random variable)；
一些常用的抽样分布
一些常用的抽样分布 1、 正态母体中x 的分布设x x x x n i 、、、、、、、、、21使独立同分布的随机变量（在有限 个母体中，进行重复抽样时，取出一个检查后又放回样本中，母体的性质不变，分布也不变，称、、、、、、、、、x x x n 21是独立同分布的。
无限母体，认为抽样后，母体的性质不变）且每一个随机变量服从正态分布分布),(2σμN ,则平均值∑==ni i x n x 11服从正态分布),(2nσμ。
2、 x 2分布设、、、、、、、、、x x x n 21使独立同分布的随机变量，而每个随机变量服从标准正态分布N （0，1），则随机变量x x x xn 222212、、、+=的分布密度为0 x 《0 F(x)=e x x n nn 2122)2(12--τ x>0其中)2(n τ是伽马函数在2n 初的值，这种分布 ⎰∞-=01)(dt x e t t x τ称为自由度为n 的x 2分布，记为)(2n x水泥砼用材料的检测一、水泥五大类常用水泥品种1、主要检测项目及指标（P120）2、取样方法（1）袋装水泥同一水泥厂，同期出厂的同品种和同强度等级，200t为一取样单位。
随机从20个以上部位的袋中取等量样品水泥，混拌均匀后称取12kg为样品。
（2）散装水泥同一水泥厂，同期出厂的同品种和同强度等级，500t为一取样单位。
随机从不少于3个罐车中取等量水泥，混拌均匀后称取12kg为样品。
（3）样品两等分：①一份用于试验检测；②一份密封保存三个月，备查复检。
3、常用水泥技术性能的检测方法（1）细度①比表面积法：透气仪P122负压筛法②筛析法（0.0080mm筛孔）水筛法干筛法（2）标准稠度用水量标准稠度用水量试验，主要为测定凝结时间和安定性确定用水量调整水量法（试锥下沉28±2mm）两种方法固定水量法 P=33.4-0.185s(3)凝结时间初凝：下沉至距底板4±1mm终凝：下沉为0.5mm时4、安定性5、水泥胶砂强度试验五大类常用水泥品种。
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1 1 F0.95 (12,9)＝ 0.357 F0.05 (9,12) 2.8
证明：
P{F F1 (n1, n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1, n2 )
1 F ( n2 , n1 ) F1 ( n1 , n2 )
单侧分位点 t ( n)也可由表四查得， P{t t (n)}
2
2
定理5.2 （P.124）设 X ~ N(0,1), Y ~ 2(n),
且 X与Y 独立，则
X t ~ t (n) Y /n
例 设总体 X ~ N(0,1), X1,X2为总体X的样本，Z= X1+X2
z Y X X 2 , 令W , 则W 服从的分布是 （） Y Z 0
例：设随机变量X1, X2, …,Xn为总体X~N(,2)的 一个样本，
1 1 2 2 X X i , Sn ( X i X ) n i 1 n i 1
则服从 t(n-1) 分布的统计量是( 4 )
n
n
(1) (3)
n( X )
; ;
n( X ) (2) ; Sn (4) n 1( X ) . Sn
§5.2 几种常用的分布（统计三大分布）
一、2 （卡方）分布 1. 定义
2 ~
称随机变量 2 服从自由度为n的2 分布，记为2 ~ 2(n).
其中，( r ) x r 1e x dx ( r 0时收敛 ). 0 1 有 ( r 1) r( r )(r 0), (1) 1, ( ) . 2
(2) (6);
2
(4) (3) .
2
§5.3 抽样分布 1. 单个正态总体
2 X , X , , X 设 1 2 n 是来自正态总体X ~ N ( , )的样本
下面介绍几个常用统计量的分布（Th5.4, 5.6, 5.7）。 2 1. X ~ N , n
X 2. u / n
~ N (0,1)
4. 与正态分布之间的关系 定理5.1（P.123 ）设随机变量 X ~ N (0,1) (i 1,2,, n), 且它们相互独立，则
i
X ~ ( n)
2 2 i 2 i 1
n
自由度：构成平方和的独立项数。
本平方和中，有 n个独立项： X 1 , X 2 , , X n
X ~ N (0,1), 则X ~ (1),即EX
定理5.3 （P.125）设 X ~ 2 ( n1 ),Y ~ 2 ( n2 ) ，
且X与Y相互独立，则
X / n1 ~ F ( n1 , n2 ) F Y / n2
推论 若 F ~ F(n1, n2) ，则
1 1 ~ F ( n2 , n1 ), 且 F1－ ( n1 , n2 )＝ F F ( n2 , n1 )
X1 , X 2 ,
, X15为来自总体N (0,32 )的一个样本，
15 15 2 求:(1)P X i 225 (2) P 36.65 ( X i X )2 235 . i 1 i 1
15 1 解：（1）令12 2 X i 2 ~ 2 (15) 3 i 1 15 15 1 225 2 2 P{ X i 225} P{ 2 ( X i 0) 2 } 3 i 1 3 i 1 2 P{12 25} 1 P{1 25} 1 0.05 0.95
2 2
2
2 1 _, DX
2 _
二、t 分布 定义5.6 随机变量t 的概率密度为
称t 服从自由度为n 的t 分布，记为 t ~ t(n).
双侧分位点（表四）
P{| t | t ( n)} (给定 )
例1) 2.080,
3. 分位点
P{ ( n)} (给定)
2 2
2 分布的上 分位点（表三）
2 查表三 ( P . 256 ) 得 0.01, n 14, 例如： 0.01 (14) 29.141
即若 2 ~ 2 (14), 则 P{ 2 29.141} 0.01
15 2 (2) P 36.65 ( X i X ) 235 . i 1
(2) 由定理5.6知
15
15 1 22 2 ( X i X ) 2 ~ 2 (14) 3 i 1
15 36.65 1 235 2 P 2 2 ( X i X ) 2 P 36.65 ( X i X ) 235 2 3 i 1 3 3 i 1
解 由 故
2 2 X ~ N ( 21, ) 25
0 .4 2 X 21 ~ 得 N (0,1) 0.4
X 21 P{| X 21 | 0.24} P 0.6 0.4 2(0.6) 1
0.4514
例（ P.130 定理5.1，定理5.6的应用）
n 2(指数分布)
n4 n8
2 分布图
2. 性质
1° 若 2 ~ 2(n) ，则 E2 =n, D2 =2n; 2 2 2 2 ( n ), ( n2 ), 2° (可加性）：若 1 ~ 1 2 ~ 2 2 且 1与 2 相互独立，则 2 2 2 ~ 1 2 ( n1 n2 ) 可推广到k个的情形。
X 1 , X 2 ,, X n为X的一个样本，则当 n 充分大时，
X ~ N ( 0,1) （近似） / n
证 由中心极限定理，当n充分大时
X / n
X
i 1
n
i
n
2
n
~ N (0,1) (近似)
2. 两个正态总体（P.128 ）
定理5.8 的结果
2 2 2 , 则有 定理5.9 若两总体方差相等： 1 2
P{4.07 26.11} P{ 22 4.07} P{ 22 26.11}
2 2
对n=14
查表三 (P.255,256)
0.995 0.025 0.97
4.07
26.11
对于非正态总体的大样本有以下结果：
2 EX , DX , 定理5.5（P.126）设X为任意总体，且
1
n
X 5. t S/ n
i
~ t ( n 1)
3.
2
( n 1) S 2
2
n i 1
2
(X
i 1
X)
2
~ ( n 1)
2
4. 2
1
2 ( X ) i 2
2 ~ ( n)
例（P.126 ，定理5.4的应用）
X 1 , X 2 ,, X 25为来自总体N ( 21,2 2 )的一个样本， 求 ( 2) P{| X 21 | 0.24}.
n 1( X )
例：设随机变量X1, X2, …,X6为总体X~N(,2)的 一个样本，则
Y
( X1 X 2 ) ( X 3 X 4 ) ( X 5 X 6 ) 2
2 2 2
1
服从( 4 )分布。
(1) N (0,1); (3) t (3);
2 1 2
Z 2 ~ t (2) W Y Y /2
三、F分布 定义5.7 随机变量 F 的概率密度
称 F服从第一自由度为n1，第二自由度为 n2的F分布， 记为 F ~ F(n1, n2). F 分布的上分位点由表五给出
P{F F (n1 , n2 )} (小)
当所给概率较大时利用后面的推论，查分位点。