结构力学第二章 结构的几何构造分析

§2-3 几何构造分析方法
利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何
不变体系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
1）组装几何不变体系
（1）从基础出发进行组装
把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础 和其它构件组装成一个不变体系。 例1：
刚片1 搭上了5个 二元体
§2-3 几何构造分析方法
例2：
§2-4 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况 （1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆 联结（如前页图所示）就是瞬变体系。
如果三根链杆互相平行又等长，体系是常变的。
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆 联结。
§2-4 瞬变体系
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就 会发生绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生 以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可
§2-4 瞬变体系
② 两对链杆平行
平行 链杆
平行 链杆
组成无穷远铰的两对链杆 互相平行，体系是瞬变的。
组成无穷远铰的两对链杆互相 不平行，体系是不变的。组成无 穷远铰的两对链杆互相平行又等 长，体系是可变的。
§2-4 瞬变体系
③ 三对链杆都平行
体系是瞬变的。
§2-4 瞬变体系
2）瞬变体系不可作为结构使用 例：
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
约束：复刚结.swf
四、必要约束和多余约束
1、必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
必要约束.swf
a) 无多余约束
①
b) 有多余约束
c) 没有多余约束
A
②
B
③
①A
C
④
B
三、刚片的合成
I
有一个无多余约束的几何不变体系。
7 试对图示体系作几何组成分析。
几何可变体系。
几何组成分析的步骤： （1）若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根 链杆与基础相连，则可以只分析该体系。 （2）找二元体，如有，可撤去或加上，使体系简化。 注意：加二元体时，必须把二元体加在几何不变体上； 减二元体时，二元体二杆铰接处不同其它杆件联结。 （3）从直接观察出的几何不变部分开始，应用体系组 成规律，逐步扩大不变部分直至整体。 注意：虚铰的识别 非直杆用直杆代替 找铰接三角形
几何可变 体系
几何不变 体系
显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变
体系是不可以作为结构的。因此在选择或组成一个结 构时必须掌握几何不变体系的组成规律。
几何不变体系：不考虑材料的弹性变形，结构在任意荷载 作用下，其几何形状和位臵都不能改变。 几何可变体系：不考虑材料的弹性变形，尽管结构受到很 小的作用力，其几何形状或位臵都可能改变。
（3）复铰
复铰——连接两个以上刚片的铰。
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
3、刚结的约束作用
(1)单刚结（连接两个刚片的刚结）
1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
I II A B A A 左 A右 E I
约束：刚结.swf
A II
III
C
D
(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
利用规律1，可以组成所需的不变体系：
刚片1
二元体
2）两个刚片之间的联结方式
刚片
规律2：两个刚片用一个铰和
一根链杆相联结，且三个铰不
在一条直线上，则组成几何不
把规律1中的1根链杆 变体系，并且无多余约束。 用刚片代替。
§2-2 几何不变体系的组成规律
3）三个刚片之间的联结方式 规律3：三个刚片用三个铰 两两相连，且三个铰不在一 条直线上，则组成几何不变 体系，并且无多余约束。
③
①
②
②
③
2、多余约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不 因此而改变，则此约束称为多余约束。
多余约束.swf
五、实铰和虚铰
1、实铰
约束：铰接.swf
I A
I A
II
II
相交于∞处 (虚铰)
2、虚铰（瞬铰）
I A D C B
O (虚铰) ① ②
虚铰.swf
O (虚铰)
I C A
①
I C A B
1
2
刚片1
3
二元体
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
二元体
1
例3：
刚片1 没有多余约束的 几何不变体系
2 3
刚片2
地基作为刚片3
§2-3 几何构造分析方法
（2）从上部体系出发进行组装
先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不
变体系，然后运用规律4把它与基础相连。 例1：
刚片1
3 1 1 2 3 2
①
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
常用的简化方法
一、若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根链 杆与基础相连，则可以只分析该体系。
（c）
无多余约束的几何不变体系。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 增加二元体是体系的组装过程，应从一个基本刚片开始。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 减去二元体是体系的拆除过程，应从体系的外边缘开始进行。
§2-1 几何构造分析的几个概念
（1）点的自由度
Y
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）刚片的自由度
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料 变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆 甚至体系中已被确定为几何 不变的部分看作是一个刚片。 刚片在平面内的 自由度为：3
A a
o
P
B C
X 0
M M
A
RA RC
0 RB L RC h P a 0 RB L RA h P b
L
b L
C
由第二式与第三式得：RA RC 与第一式矛盾， 因此无解。这是因为瞬变体系在图示状态是可 变的，因此不能运用平衡原理。
§2-4 瞬变体系
刚片1 1
3 2
结论：没有多余约 束的几何瞬变体系。
地基作为刚片2
§2-4 瞬变体系
例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的 链杆联结，分析其几何构造。
△ △ △
1 L1
L3 α3
2 L2
3 L3
L1
L2 α1 α2
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不 再平行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。 这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变体系。
O
瞬铰
变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。
如果三根链杆直接交于点‘O’， 则组成的是常变体系。‘O’称为： 实铰。
实铰
O
§2-4 瞬变体系
（4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行
平行 链杆
两虚铰的连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系是瞬 变的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组 成无穷远铰的链杆平行，体系 也是瞬 变的。若两虚铰的连线与组成无穷远 铰的链杆不平行，体系是不变的。
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
第2章 结构的几何构造分析
主要内容
§2-1
§2-2
几何构造分析的几个概念
几何不变体系的组成规律
§2-3 §2-4
§2-5
几何构造分析方法 瞬变体系
分析几何构造举例
重点：
平面杆系几何组成的两种类型及几何组成分析的目的。
自由度的概念及平面杆系结构计算自由度的计算。 无多余约束几何不变体系的组成规则及其适用条件。 平面杆系几何组成分析的方法。
几何可变体系不能作为建筑结构 结构必须是几何不变体系 刚片：可以看成是几何形状不变 体系（刚体）的物体。（可以是 杆、由杆组成的结构、支撑结构 的地基） 刚片Ⅱ 刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
例2:
两组 平行
4
2 3 1 5 6 一组 平行
§2-5 几何构造分析举例
例3：
3 1 Ⅱ
2
结论： 杆1、杆2、杆3不交与 一点，因此该体系是无 多余约束的不变体系。
Ⅰ
例4:
1 Ⅰ 3 Ⅱ 2
结论： 杆1、杆2、杆3不交于 一点，该体系是无多余 约束的几何不变体系。
§2-5 几何构造分析举例
例5：
料的应变，而能保持几何形状和位臵不变的，称为几何
不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度
大家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度 顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由 程度、一刚体的自由程度……
判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度 问题，因此下面复习一下自由度的概念。
Y
x
A

y
X
§2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束 结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系
的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片
自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（1）链杆 链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
还有2个自由度 还有5个自由度
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。
8 分析图示链杆体系的几何组成。
C E
A
B D F
无多余约束的几何不变体系。
9 分析图示体系的几何组成。
A
B
C
D
无多余约束的几何不变体系。
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
二元体
Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ O3 Ⅱ
3 O2
结论： 两刚片由3根不交于一 点的链杆连接，因此该 体系是无多余约束的几 何不变体系。
例6： O1
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。
Ⅲ
6 试对图示体系作几何组成分析。 II
I
无多余约束的几何不变体系。 III I 无多余约束的几何不变体系。 II
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体
两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。
规律1还可以这样叙述：
在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
§2-2 几何不变体系的组成规律
把规律2中的另1根 链杆也用刚Biblioteka Baidu代替。
以上三条规律实际上可以归纳为一个基本 规律：三角形规律。
§2-2 几何不变体系的组成规律
前面说过：一根链杆相当于一个约束，一个单铰 相当于两个约束，因此一个单铰可以用两根链杆来代 替，有： O
虚铰
规律4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连， 则组成几何不变体系，并且无多余约束。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
§2-1 几何构造分析的几个概念
1）几何不变体系和几何可变体系
如果一个结构受到一个任意荷载作用，若不考虑材
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。 n=3
(2n 3) 2 3 3 3
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰 一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
还有4个自由度
还有1个自由度
例：接近瞬变体系结构的受力分析
α
α
A
C P
B
NCA C
NCB P
取C结点：
Y 0
N CA P 2 Sin
2 NCA Sin P
若α 很小，NCA就很大。 因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-5 几何构造分析举例
例1： 5
3 1 2 02 4
01 03
6
结论： 铰O2、O3的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。 结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。