结构力学第二章 结构的几何构造分析
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结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
结构力学第2章 结构的几何构造分析
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；
经微小位移后又成为几何不变体系；
在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移 常变体系：可发生大位移
可变体系
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片I
可发生以O为中心的微小转动， O点
称为瞬时转动中心。 两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个 铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰 两根平行的链杆把刚片I与基础相
连接， 则两根链杆的交点在无穷远处。
两根链杆所起的约束作用相当于无穷远 处的瞬铰所起的作用。
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的
若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则 为几何可变 若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束 例 2-4 试计算图示体系的W。 方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0
W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0 方法二： j=7，b=14
W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4， g=3 W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10 体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10
第2章
§2-1 §2-2
《结构力学》龙驭球第2章_结构的几何构造分析
W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10
体系几何不变，S=0
n=S-W=0-（-10）=10
具有10个多余约束的几何不变体系
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-6 试计算图示体系的W。
两个体系
j=6，b=9， W=2j-b=2×6-
9=3
图(a)是一个内部几何不变且无多余约束的体系
自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数
§2-1 几何构造分析的几个概念
3. 约束
一个支杆相当于一个约束，如图(a) 一个铰相当于两个约束，如图(b) 一个刚性结合相当于三个约束，如图(c)
§2-1 几何构造分析的几个概念
4. 多余约 束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由
度并不减少，此约束称为多余约束。
自由度算法二（体系由结点加链杆组成）
j—体系中结点的个数 b—单链杆根数
结点自由度个数总和：2j
体系约束总数：
b
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的 若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则
为几何可变
若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束
§2-6 小结
4 关于计算自由度数W
W的数值 W＞0 W=0
W＜0
几何构造特性 对象的自由度数大于约束数 体系为几何可变，不能用作结构 对象的自由度数等于约束数 如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构 如体系为几何可变，则有多余约束
对象的自由度数小于约束数 体系有多余约束 如体系为几何可变，则为超静定结构
结构力学第二章结构的几何组成分析
结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学第二章 结构的几何构造分析
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
例2:
两组 平行
4
2 3 1 5 6 一组 平行
§2-5 几何构造分析举例
例3：
3 1 Ⅱ
2
结论： 杆1、杆2、杆3不交与 一点，因此该体系是无 多余约束的不变体系。
Ⅰ
例4:
1 Ⅰ 3 Ⅱ 2
结论： 杆1、杆2、杆3不交于 一点，该体系是无多余 约束的几何不变体系。
§2-5 几何构造分析举例
例5：
①
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
结构力学 2几何组成分析(第二、三课)
m＝9
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
结构力学-几何组成分析
复铰 等于多少个 单铰？
1连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰
体系的计算自由度：
结 构 力 学 第 二 章
bicea
计算自由度等于刚片总自由度数 减总联系数
W = 3m-(2h+b) m---刚片数（不包括地基） h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
结 构 力 学 第 二 章
bicea
结 构 力 学 第 二 章
bicea
除去联系后，体系的自由度并不 改变，这类联系称为多余联系。
图中上部四根杆 和三根支座杆都是 必要的联系。 下部正方形中任意 一根杆，除去都不增 加自由度，都可看作 多余的联系。
结 构 力 学 第 二 章
bicea
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
W=0,但 布置不当 几何可变。 上部有多 余联系， 下部缺少 联系。
找虚铰 无多几何不变
无多几何不变
Ⅱ
O12
结 构 力 学 第 二 章
bicea
找 刚 片 O 、 找 虚 铰
23
Ⅲ
Ⅰ
O13
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
结 构 力 学 第 二 章
bicea
F
G
E
D
找刚片 无多几何不变
结 构 力 学 第 二 章
bicea
F
G E
D
如何变静定？ 唯一吗？
C
结 构 力 学 第 二 章
bicea
结 构 力 学 第 二 章
bicea
可选小论文题之一 “体系组成分析的计 算机方法” 做这一小论文的 找我要参考资料
结 构 力 学 第 二 章
bicea
可选小论文题之一 “论三刚片六杆 连接体系的可变性” 或 “体系组成分析的计 算机方法”
结构力学2结构的几何构造分析
（2）从内部刚片出发构造
例1
1,3
例2 . .1,2
2,3
.
.
无多余约束的几何不变体系 例3
1,2
几何瞬变体系
.
.
1,3 2,3
. 2,3
几何瞬变体系
1,2 1,3
§2-3
• • • • • • • • • • • 体系的自由度S:
平面杆件体系的计算自由度
S=a-c A为各部件自由度总和,c为全部约束中的非多余约束数 计算自由度W： W=a-d d为全部约束的总数 即得： S-W=n 这就是W、S、 n三者之间的关系式。 由于自由度S与多余约束数n都不是负数，即S≥ 0， n ≥ 0 则可得出下面两个不等式：s≥n， n ≥-W 也就是说，W是自由度S的下限，而（-W）则是多余约束n 的下限 。
第二章
结构的几何构造分析
Geometrical Constitution Analysis Of Plane Systems
几何构造分析的目的主要是分析、判断一个体系是否 几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变 体系才可以作为结构。 §2-1 几何构造分析的几个概念
一、几何不变体系和几何可变体系
六、瞬铰
B C’
0 P O
.
. O’
C
A 0'
M 0 0
N3 P r 0
N1 N2 N3
B
D
N3
Pr
七、无限远处的瞬铰：
关于∞ 点和∞线的下列四个结论 1、每个方向有一个 ∞点（即该方向各平行线 的交点） 2、不同方向有不同的 ∞点 3、各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 。 4、各有限点都不在∞线上。
结构力学第三版课后习题答案精选全文
20kN/m
M图
4.5kN
8.98
4
4.5
6 11
4.5 FQ图
M图 (kN.m)
FQ图(kN)
37
3.3 静定平面刚架
必作题： P.109 3-3 (b) (d) (f) (j) P.110 3-4 (a — i) P.111 3-7 (a) P.112 3-8 (a) (d)
选作题： P.109 3-3 (a) (e) (g) (l) P.112 3-8 (c) P.112 3-9 (a) P.113 3-11
2
P.37 2-1(b)
1
2
3
三链杆交于一点，瞬变
3
P.37 2-2(b)
4几何不变，无多余约束5P.37 2-3(c)
有一个多余 约束
1
2 3
几何不变，有一个多余约束
6
P.37 2-4(d)
O(I、III) O(II、III) I
II
1
2
O(I、II)
III
铰O(I、II)、 O(II、III)的连线与1、2两链 杆不平行，体系几何不变，无多余约束
2.5m 5m 5m 2.5m
FN图
60
3.4 静定平面桁架
必作题：
P.113 P.114 P.115
选作题：
P.116 P.117
3-13 (b) (d) (f) 3-14 (a) (b) (c) 3-17 (a) (d)
3-18 (a) 3-20
P.116 3-18 (b)
61
P.113 3-13 (b) 分析桁架类型，指出零杆
FP
联合桁架，10根零杆。
62
P.113 3-13 (d) 分析桁架类型，指出零杆
结构力学02结构的几何构造分析
图02—06a
19
瞬 铰
从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆 交点处的一个铰所起的约束作用。这个铰可称为瞬铰。用瞬铰 替换对应的两个链杆约束，这种约束的等效变换只适用于瞬时 微小运动。
图02—06a
20
瞬 铰
注意：图02—06c、图02—06d中O点为瞬铰，图02— 06e、图02—06f中A点不是瞬铰。
三个刚片之间的联结方式 规律：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直 线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
图02—7c
26
平面几何不变体系的组成规律
图02—8a、图02—8b所示的体系不符合“三链杆不共点”的条 件，它们都是瞬变体系。在图02—8a中，三链杆相交于同一点 O ，刚片Ⅱ相对于基础Ⅰ可以绕O点作瞬时转动。 在图02—8b中，三链杆彼此平行(即相交于无限远的一点)，刚 片Ⅱ相对于基础Ⅰ可以在垂直链杆的方向作瞬时移动(即绕无 限远的一点作瞬时转动)。
3
几何不变体系和几何可变体系
一个结构要能够承受各种可能的荷载，首先它的几何构造应当 合理，它本身应是几何稳固的，能够使其几何形状保持不变。 反之，如果一个杆件体系本身为几何不稳固，不能使其几何形 状保持不变，则它是不能承受任意荷载的。 因此，从几何构造的角度看，一个结构应是一个几何形状不变 的体系，简称几何不变体系。 进行结构的几何构造分析的一个目的，就是把杆件结构看成一 个杆件体系，检查它是不是一个几何不变体系。 为此，需要研究几何不变体系的组成规律。
图02—9b
图02—9a
31
平面几何不变体系的组成规律
装配的过程之一
图02—9c
32
平面几何不变体系的组成规律
《结构力学》龙驭球_结构的几何构造分析 ppt课件
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-1 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系 三角形ADE—刚片I，三角形AFG—刚片Ⅱ，基础—刚片Ⅲ，
A、B、C、三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体 系。 （2）分析图(b)中的体系
折线杆AC—链杆2，折线杆BD—链杆3，T形刚片由链杆1、2、 3与基础相连。如三链杆共点，则体系是瞬变的。否则，体系为无 多余约束的几何不变体系。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
1. 三个点之间的连接方式
规律1 不共线的三个点用三个链杆两两相连，则所 组成的铰接三角形体系是一个几何不变的整体，且没有多 余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
2. 一个点与一个刚片 之间的连接方式
3. 两个刚片之间的连接 方式
规律2 一个刚片与一个点用 规律3 两个刚片用一个
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系； 经微小位移后又成为几何不变体系； 在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移
可变体系 常变体系：可发生大位移
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰
O为两根链杆轴线的交点，刚片I 可发生以O为中心的微小转动， O点 称为瞬时转动中心。
第2章 结构的几何构造分析
§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 平面几何不变体系的组成规律
§2-3 平面杆件体系的计算自由度 §2-4 在求解器中输入平面结构体系(略) §2-5 用求解器进行几何构造分析(略) §2-6 小结
§2-1 几何构造分析的几个概念
1. 几何不变体系和几何可变体系
结构力学第二章结构的几何分析
组成没有 多余约束 的几何不 变体系
A A
B
B
AC
A
B
B
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一 刚片与一点相联
一点与一刚片用两根不共线的链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系 B
1 A2
A C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联结一点称为二元体
在一体系上增加（或减去）二元体不改变 原体系的机动性，也不改变原体系的自由度。
只有几何不变体系 才能作为建筑结构使 用！！
PA
P
N
A
N
β
PA
β
发生微量位移 Δ是微量
P
N
N
2-1-2 自由度(degrees of freedom)
1）刚 片：凡本身为几何不变者，均视其为刚片
2）自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参 数的数目，即确定体系位置所需要独立坐标的数目
A
y
y
A x
y x
（Ⅱ，Ⅲ）
（Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系
由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规 则判定
(Ⅱ,Ⅲ)
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅱ)
三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的三铰相连。 ④该体系为无多余约束的几何不变体系。
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。
因为除去图中任 意一根杆，体系 都将有一个自由 度，所以图中所 有的杆都是必要 的约束。
结构力学龙驭球第四版第二章课后习题答案
大地之间由支座 A,B 相联即为刚片Ⅰ,易得刚片Ⅱ，l ，三刚片分别由杆 6,7;8,9;10,11 相 联交于(1,2)，(2,3)，1,3）。三饺不共线﹐故为几何不变体系且无多余约束。
图 2-10-a b. 解：如图 2-10-b 所示刚片 I，ll，IⅢl，三刚片分别由饺(1,3)，(2,3）及杆 1，2 交于无穷
图 2-8-a b. 解：如图 2-8-b 所示刚片Ⅰ﹐及大地Ⅲ，I，Ⅱ交于无穷远处饺(1,2),l，Ⅲ由支座链杆相
联交于(1,3)，ll，Ⅲ交于(2，3); (1,3）及(2,3)的连线与杆 5,6 平行﹐故体系为瞬变。
图 2-8-b 2-9 试分析所示体系的几何构造。 a. 解：按一般思路分析，如图 2-9-a 所示刚片 I，ll,大地刚片Ⅲ,分别交于饺 A，(1,3),(2,3),
4，5;6,7;8,9;10,1l;12,13 后仍为几何不变,大地视为刚片Ⅱ﹐由不平行且不交于一点的链 14,15,16 相联，所以为几何不变体系且无多余约束。
图 2-2-b c. 解：去掉二元体 8,9,不予考虑。如图 2-2-c 所示刚片 I，ll,Ⅲ由三饺相联，但三个铰在一
条直线上,不满足规则要求，为瞬变体系。
图 2-1-c 2-2 试分析所示体系的几何构造。 a. 解：如图 2-2-a 所示,依次去掉二元体 l,2;3,4;5,6;7,8;9,10;11,12;只剩下大地刚片，为几何
不变体系，且无多余约束。
图 2-2-a b. 解：如图 2-2-b 所示,杆 1,2,3 由不在一条直线上的三个饺相联﹐构成刚片Ⅰ,加上二元体
w= 2j-b= 2×10-(16＋4)= o b. 解：w = 3m-（3g ＋2h＋b
=3×14-(3 ×2＋2×18) =o
图 2-10-a b. 解：如图 2-10-b 所示刚片 I，ll，IⅢl，三刚片分别由饺(1,3)，(2,3）及杆 1，2 交于无穷
图 2-8-a b. 解：如图 2-8-b 所示刚片Ⅰ﹐及大地Ⅲ，I，Ⅱ交于无穷远处饺(1,2),l，Ⅲ由支座链杆相
联交于(1,3)，ll，Ⅲ交于(2，3); (1,3）及(2,3)的连线与杆 5,6 平行﹐故体系为瞬变。
图 2-8-b 2-9 试分析所示体系的几何构造。 a. 解：按一般思路分析，如图 2-9-a 所示刚片 I，ll,大地刚片Ⅲ,分别交于饺 A，(1,3),(2,3),
4，5;6,7;8,9;10,1l;12,13 后仍为几何不变,大地视为刚片Ⅱ﹐由不平行且不交于一点的链 14,15,16 相联，所以为几何不变体系且无多余约束。
图 2-2-b c. 解：去掉二元体 8,9,不予考虑。如图 2-2-c 所示刚片 I，ll,Ⅲ由三饺相联，但三个铰在一
条直线上,不满足规则要求，为瞬变体系。
图 2-1-c 2-2 试分析所示体系的几何构造。 a. 解：如图 2-2-a 所示,依次去掉二元体 l,2;3,4;5,6;7,8;9,10;11,12;只剩下大地刚片，为几何
不变体系，且无多余约束。
图 2-2-a b. 解：如图 2-2-b 所示,杆 1,2,3 由不在一条直线上的三个饺相联﹐构成刚片Ⅰ,加上二元体
w= 2j-b= 2×10-(16＋4)= o b. 解：w = 3m-（3g ＋2h＋b
=3×14-(3 ×2＋2×18) =o
结构力学第二章
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的三铰相连。 ④该体系为无多余约束的几何不变体系。
有一个多余约束的几何不变体系
3.等价变换 一个刚片，无论其大小、形状，只要本身没有多余
联系，则可在不改变与其它部分联结方式的前提下，用一 根链杆或一铰接三角形代替。
例15
o12
2、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片
间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。
E
O13
O23
D
F
O12
A
D
B
C
ⅠF
如将基础、ADE、 EFC作为刚片，将 找不出两两相联
的三个铰。
Aபைடு நூலகம்
B
C
Ⅲ
如图示，三刚片用三个不共线的 铰相连，故：该体系为无多余约 束的几何不变体系。
（Ⅰ,Ⅱ）
Ⅰ (Ⅰ,Ⅲ) Ⅱ
o13
II o23 III
I
I
例16
例17
例17
I II
III
III
III
例17
OI,III
III OI,II
I II OII,III
III III
结论：几何不变体系
例18
E
F
D
例18 F
E D
例18
II
III
E
F
D I
例18
OI,II II E
OI,III III F
D I
结论:几何不变体系
系。
1 几何构造分析的几个概念
（7）虚铰（瞬铰） 连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成的联 系，叫虚铰。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的交点 上。
《结构力学》龙驭球第2章_结构的几何构造分析2
W = 2 j −b
j—结点数； 结点数； 结点数 b—简单链杆数。 简单链杆数。 简单链杆数 3. 混合公式 —— 将体系中刚片和结点为被约束对象，铰、刚结和链杆为 将体系中刚片和结点 被约束对象， 刚片和结点为 刚结和链杆为 约束，则计算自由度公式为： 约束，则计算自由度公式为：
W = (3m + 2 j ) − (3g + 2h + b)
C 2
III 3
W = 3×3−(2×3+3) = 9 −9 = 0
I A II
m=3 g = 0 h =3 b =3
例2-3.4：求图示体系的计算自由度。 ：求图示体系的计算自由度。 解：
m = 2 g =1 h = 1 b = 5 W = 3×2 −(3×1+ 2×1+5) = 6 −10 = −4
复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 连接n个刚片的铰相当于 ） 连接 个刚片的铰相当于（n-1）个单铰 个刚片的铰相当
3 6－2×（1）= 4 － × ） 9－2×（2）= 5 － × ）
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。 个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。 个单链杆。 连接 n 个铰结点的复链杆相当于 个单链杆
二、平面体系的计算自由度 W 平面体系的计算自由度
1、平面刚片体系公式 —— 将体系中刚片为被约束对象，铰、刚结和链杆 、 将体系中刚片 被约束对象， 刚片为 约束。则计算自由度公式为： 为约束。则计算自由度公式为：
W = 3m − (3 g + 2h + b)
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①
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
二元体
Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ O3 Ⅱ
3 O2
结论： 两刚片由3根不交于一 点的链杆连接，因此该 体系是无多余约束的几 何不变体系。
例6： O1
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。
Ⅲ
6 试对图示体系作几何组成分析。 II
I
无多余约束的几何不变体系。 III I 无多余约束的几何不变体系。 II
料的应变，而能保持几何形状和位臵不变的，称为几何
不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度
大家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度 顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由 程度、一刚体的自由程度……
判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度 问题，因此下面复习一下自由度的概念。
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
约束：复刚结.swf
四、必要约束和多余约束
1、必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
必要约束.swf
a) 无多余约束
①
b) 有多余约束
c) 没有多余约束
④
B
§2-4 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况 （1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆 联结（如前页图所示）就是瞬变体系。
如果三根链杆互相平行又等长，体系是常变的。
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆 联结。
§2-4 瞬变体系
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就 会发生绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生 以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体
两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。
规律1还可以这样叙述：
在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
§2-2 几何不变体系的组成规律
第2章 结构的几何构造分析
主要内容
§2-1
§2-2
几何构造分析的几个概念
几何不变体系的组成规律
§2-3 §2-4
§2-5
几何构造分析方法 瞬变体系
分析几何构造举例
重点：
平面杆系几何组成的两种类型及几何组成分析的目的。
自由度的概念及平面杆系结构计算自由度的计算。 无多余约束几何不变体系的组成规则及其适用条件。 平面杆系几何组成分析的方法。
§2-3 几何构造分析方法
利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何
不变体系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
1）组装几何不变体系
（1）从基础出发进行组装
把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础 和其它构件组装成一个不变体系。 例1：
刚片1 搭上了5个 二元体
§2-3 几何构造分析方法
例2：
例：接近瞬变体系结构的受力分析
α
α
A
C P
B
NCA C
NCB P
取C结点：
Y 0
N CA P 2 Sin
2 NCA Sin P
若α 很小，NCA就很大。 因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-5 几何构造分析举例
例1： 5
3 1 2 02 4
01 03
6
结论： 铰O2、O3的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。 结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。
§2-4 瞬变体系
② 两对链杆平行
平行 链杆
平行 链杆
组成无穷远铰的两对链杆 互相平行，体系是瞬变的。
组成无穷远铰的两对链杆互相 不平行，体系是不变的。组成无 穷远铰的两对链杆互相平行又等 长，体系是可变的。
§2-4 瞬变体系
③ 三对链杆都平行
体系是瞬变的。
§2-4 瞬变体系
2）瞬变体系不可作为结构使用 例：
③
①
②
②
③
2、多余约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不 因此而改变，则此约束称为多余约束。
多余约束.swf
五、实铰和虚铰
1、实铰
约束：铰接.swf
I A
I A
II
II
相交于∞处 (虚铰)
2、虚铰（瞬铰）
I A D C B
O (虚铰) ① ②
虚铰.swf
O (虚铰)
I C A
①
I C A B
O
瞬铰
变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。
如果三根链杆直接交于点‘O’， 则组成的是常变体系。‘O’称为： 实铰。
实铰
O
§2-4 瞬变体系
（4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行
平行 链杆
两虚铰的连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系是瞬 变的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组 成无穷远铰的链杆平行，体系 也是瞬 变的。若两虚铰的连线与组成无穷远 铰的链杆不平行，体系是不变的。
刚片1 1
3 2
结论：没有多余约 束的几何瞬变体系。
地基作为刚片2
§2-4 瞬变体系
例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的 链杆联结，分析其几何构造。
△ △ △
1 L1
L3 α3
2 L2
3 L3
L1
L2 α1 α2
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不 再平行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。 这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变体系。
三、刚片的合成
I
有一个无多余约束的几何不变体系。
7 试对图示体系作几何组成分析。
几何可变体系。
几何组成分析的步骤： （1）若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根 链杆与基础相连，则可以只分析该体系。 （2）找二元体，如有，可撤去或加上，使体系简化。 注意：加二元体时，必须把二元体加在几何不变体上； 减二元体时，二元体二杆铰接处不同其它杆件联结。 （3）从直接观察出的几何不变部分开始，应用体系组 成规律，逐步扩大不变部分直至整体。 注意：虚铰的识别 非直杆用直杆代替 找铰接三角形
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。 n=3
(2n 3) 2 3 3 3
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰 一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
还有4个自由度
还有1个自由度
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
1
2
刚片1
3
二元体
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
二元体
1
例3：
刚片1 没有多余约束的 几何不变体系
2 3
刚片2
地基作为刚片3
§2-3 几何构造分析方法
（2）从上部体系出发进行组装
先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不
变体系，然后运用规律4把它与基础相连。 例1：
刚片1
3 1 1 2 3 2
常用的简化方法
一、若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根链 杆与基础相连，则可以只分析该体系。
（c）
无多余约束的几何不变体系。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 增加二元体是体系的组装过程，应从一个基本刚片开始。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 减去二元体是体系的拆除过程，应从体系的外边缘开始进行。
（3）复铰
复铰——连接两个以上刚片的铰。
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
3、刚结的约束作用
(1)单刚结（连接两个刚片的刚结）
1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
I II A B A A 左 A右 E I
约束：刚结.swf
A II
III
C
D
(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
A a
o
P
B C
X 0
M M
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
二元体
Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ O3 Ⅱ
3 O2
结论： 两刚片由3根不交于一 点的链杆连接，因此该 体系是无多余约束的几 何不变体系。
例6： O1
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。
Ⅲ
6 试对图示体系作几何组成分析。 II
I
无多余约束的几何不变体系。 III I 无多余约束的几何不变体系。 II
料的应变，而能保持几何形状和位臵不变的，称为几何
不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度
大家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度 顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由 程度、一刚体的自由程度……
判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度 问题，因此下面复习一下自由度的概念。
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
约束：复刚结.swf
四、必要约束和多余约束
1、必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
必要约束.swf
a) 无多余约束
①
b) 有多余约束
c) 没有多余约束
④
B
§2-4 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况 （1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆 联结（如前页图所示）就是瞬变体系。
如果三根链杆互相平行又等长，体系是常变的。
O
（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆 联结。
§2-4 瞬变体系
三根链杆的延长线交于点‘O’，两刚片在瞬间就 会发生绕‘O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生 以后，三根链杆的延长线不再 交于一点，体系就变成了不可
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体
两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。
规律1还可以这样叙述：
在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
§2-2 几何不变体系的组成规律
第2章 结构的几何构造分析
主要内容
§2-1
§2-2
几何构造分析的几个概念
几何不变体系的组成规律
§2-3 §2-4
§2-5
几何构造分析方法 瞬变体系
分析几何构造举例
重点：
平面杆系几何组成的两种类型及几何组成分析的目的。
自由度的概念及平面杆系结构计算自由度的计算。 无多余约束几何不变体系的组成规则及其适用条件。 平面杆系几何组成分析的方法。
§2-3 几何构造分析方法
利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何
不变体系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
1）组装几何不变体系
（1）从基础出发进行组装
把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础 和其它构件组装成一个不变体系。 例1：
刚片1 搭上了5个 二元体
§2-3 几何构造分析方法
例2：
例：接近瞬变体系结构的受力分析
α
α
A
C P
B
NCA C
NCB P
取C结点：
Y 0
N CA P 2 Sin
2 NCA Sin P
若α 很小，NCA就很大。 因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
§2-5 几何构造分析举例
例1： 5
3 1 2 02 4
01 03
6
结论： 铰O2、O3的连线与杆1、 杆2平行，因体系是无 多余约束的瞬变体系。 结论： 杆1、2与杆3、4不平行, 因此该体系是无多余约 束的不变体系。
§2-4 瞬变体系
② 两对链杆平行
平行 链杆
平行 链杆
组成无穷远铰的两对链杆 互相平行，体系是瞬变的。
组成无穷远铰的两对链杆互相 不平行，体系是不变的。组成无 穷远铰的两对链杆互相平行又等 长，体系是可变的。
§2-4 瞬变体系
③ 三对链杆都平行
体系是瞬变的。
§2-4 瞬变体系
2）瞬变体系不可作为结构使用 例：
③
①
②
②
③
2、多余约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不 因此而改变，则此约束称为多余约束。
多余约束.swf
五、实铰和虚铰
1、实铰
约束：铰接.swf
I A
I A
II
II
相交于∞处 (虚铰)
2、虚铰（瞬铰）
I A D C B
O (虚铰) ① ②
虚铰.swf
O (虚铰)
I C A
①
I C A B
O
瞬铰
变体系。‘O’称为虚铰或瞬铰。
如果三根链杆直接交于点‘O’， 则组成的是常变体系。‘O’称为： 实铰。
实铰
O
§2-4 瞬变体系
（4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行
平行 链杆
两虚铰的连线与组成无穷 远铰的链杆平行，体系是瞬 变的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组 成无穷远铰的链杆平行，体系 也是瞬 变的。若两虚铰的连线与组成无穷远 铰的链杆不平行，体系是不变的。
刚片1 1
3 2
结论：没有多余约 束的几何瞬变体系。
地基作为刚片2
§2-4 瞬变体系
例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的 链杆联结，分析其几何构造。
△ △ △
1 L1
L3 α3
2 L2
3 L3
L1
L2 α1 α2
1 2 3
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不 再平行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。 这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬变体系。
三、刚片的合成
I
有一个无多余约束的几何不变体系。
7 试对图示体系作几何组成分析。
几何可变体系。
几何组成分析的步骤： （1）若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根 链杆与基础相连，则可以只分析该体系。 （2）找二元体，如有，可撤去或加上，使体系简化。 注意：加二元体时，必须把二元体加在几何不变体上； 减二元体时，二元体二杆铰接处不同其它杆件联结。 （3）从直接观察出的几何不变部分开始，应用体系组 成规律，逐步扩大不变部分直至整体。 注意：虚铰的识别 非直杆用直杆代替 找铰接三角形
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。 n=3
(2n 3) 2 3 3 3
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰 一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
还有4个自由度
还有1个自由度
刚片2
例2：
刚片3 没有多余约束的几何不变体系
没有多余约束 的几何不变体系
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1 地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
虚铰
难点：
单铰、复铰、实铰、虚铰、瞬铰、无穷铰、的区别。 如何准确计算平面杆系结构的计算自由度，计算自 由度和实际自由度的关系。 如何正确分析平面杆系结构的几何属性。
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
1
2
刚片1
3
二元体
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
二元体
1
例3：
刚片1 没有多余约束的 几何不变体系
2 3
刚片2
地基作为刚片3
§2-3 几何构造分析方法
（2）从上部体系出发进行组装
先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不
变体系，然后运用规律4把它与基础相连。 例1：
刚片1
3 1 1 2 3 2
常用的简化方法
一、若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根链 杆与基础相连，则可以只分析该体系。
（c）
无多余约束的几何不变体系。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 增加二元体是体系的组装过程，应从一个基本刚片开始。
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 减去二元体是体系的拆除过程，应从体系的外边缘开始进行。
（3）复铰
复铰——连接两个以上刚片的铰。
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
3、刚结的约束作用
(1)单刚结（连接两个刚片的刚结）
1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
I II A B A A 左 A右 E I
约束：刚结.swf
A II
III
C
D
(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）
A a
o
P
B C
X 0
M M