【教学资源网·世纪金榜】2016-2017学年高中数学人教A版(课件)必修五 第二章 数列 第5节 第1课时

【精彩点拨】 (1)利用 Sn 与 an 的关系求解，但要注意验证首项． (2)利用对数的运算性质求出 bn，再利用错位相减法求和．
【自主解答】
(1)因为2Sn＝3n＋3，
所以2a1＝3＋3，故a1＝3. 当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3， 此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n 1＝2×3n 1，
a[1＋0.016－1] ＝ ＝a[1.016－1]×102(元)． 1.01－1 1.016×102 由S1＝S2，得a＝ . 1.016－1 以下解法同法一，得a≈1 739，故每月应支付1 739元．
解数列应用题的具体方法步骤： 1认真审题，准确理解题意，达到如下要求 ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题， 还是含有递推关系的数列问题？是求 an，还是求 Sn？特别要注意准确弄清项数 是多少. ②弄清题目中主要的已知事项.
96 ＝ 3 ＝32，∴n＝6.
法二
a1－anq 由公式 Sn＝ 及条件得 1－q
a1－96×2 189＝ ，解得 a1＝3，又由 an＝a1· qn－1， 1－2 得 96＝3· 2n－1，解得 n＝6. a11－q3 9 (2)①当 q≠1 时，S3＝ ＝2， 1－ q 3 9 2 又 a3＝a1· q ＝2，∴a1(1＋q＋q )＝2，
法二
a11－q4 ∵S4＝ ＝1，且 q＝2， 1－q
a11－q8 a11－q4 ∴S8＝ ＝ (1＋q4)＝S4· (1＋q4)＝1×(1＋24)＝17. 1－q 1－q (2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 a1＋a1q2＝10， 3 5 5 a1q ＋a1q ＝4， a11＋q2＝10， 即 3 5 2 a q 1＋q ＝4， 1 ① ②

1×3 1＋2×3 2＋„＋n－1×31
－ －
－n
，
所以 3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋„＋(n－1)×32－n]， 两式相减，得
1 n 1 － 3 2 2 － － － － 1 2Tn＝3＋(30＋3 1＋3 2＋„＋32 n)－(n－1)×31 n＝3＋ －1 －(n－1)×3 1－3
【答案】 127
2．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则－q3 21－q3 ∵S3＝ ＝ ＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3 或－ 1－q 1－q
【答案】 3 或－4
3．等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝44，则 a1＝ ________________________________________________________________.
＋ ＋1
此时可把求 Sn 的问题转化为求等比数列{2n}的前 n 项和问题．我们把这种 求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前 n 项 和的方法叫错位相减法．
(2015· 山东高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 anbn＝log3an，求{bn}的前 n 项和 Tn.
2
3 2 9 2 即q2(1＋q＋q )＝2，
1 解得 q＝－2(q＝1 舍去)，∴a1＝6. 3 ②当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝2. 3 a1＝6， a1＝ ， 2 综上得 1 或 q＝－2 q＝1.
1．在等比数列 {an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，已知其中的三个量，通 过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的 具体应用． 2． 在解决与前 n 项和有关的问题时， 首先要对公比 q＝1 或 q≠1 进行判断， 若两种情况都有可能，则要分类讨论．
a11－qn － 由 Sn ＝ ，an＝a1qn 1 以及已知条件得 1－q
a11－2n 189＝ ， 1－2 2n－1， 96＝a1· 192 ∴a1· 2 ＝192，∴2 ＝ a . 1
n n
∴189＝a1(2 又∵2
n－1
n
192 －1)＝a1 a －1，∴a1＝3. 1
2 1.061 × 10 ∵1.016＝1.061，∴a＝ ≈1 739. 1.061－1
故每月应支付1 739元． 法二 本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)． 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋„＋a 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的
[再练一题] 1．在等比数列{an}中， (1)若 q＝2，S4＝1，求 S8； 5 (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝4，求 a4 和 S5.
【解】 (1)法一 设首项为 a1，∵q＝2， a11－24 1 S4＝1，∴ ＝1，即 a1＝15， 1－2 1 8 1 － 2 8 a11－q 15 ∴S8＝ ＝ ＝17. 1－q 1－2
阶 段 一
2.5
等比数列的前 n 项和 等比数列的前 n 项和
阶 段 三
第 1 课时
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1.掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用.重点 2.会用错位相减法求数列的和.难点 3.能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题.
[基础·初探]
教材整理 等比数列的前 n 项和
探究 2 在等式 Sn＝1· 21＋2· 22＋3· 23＋„＋n· 2n 两边同乘以数列{2n}的公
比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求 Sn 的问 题转化为等比数列的前 n 项和问题吗？
【提示】
在等式 Sn＝1· 21＋2· 22＋3· 23＋„＋n· 2n ①
两边同乘以{2n}的公比可变形为 2Sn＝1· 22＋2· 23＋3· 24＋„＋(n－1)· 2n＋n· 2n＋1② ②－①得：Sn＝－1· 21－22－23－24－„－2n＋n· 2n ＝－(21＋22＋23＋„＋2n)＋n· 2n 1.
阅读教材 P55～P57 第 12 行，完成下列问题． 等比数列的前 n 项和公式
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，则数列{an}前 7 项 的和为________．
【解析】 ∵a5＝a1q4，∴q＝± 2.∵q>0，∴q＝2， a11－q7 27－1 ∴S7＝ ＝ ＝127. 1－q 2－1
∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 ∴②÷ ①得，q ＝8，即 q＝2，∴a1＝8.
3
∴a4＝a1q
3
1 ＝8×23＝1， 1 8×1－25
a11－q5 S5＝ ＝ 1－q
1 1－2
31 ＝2.
等比数列前n项和公式的实际应用
借贷 10 000 元，以月利率为 1%，每月以复利计息借贷，王老师从 借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？ (1.016≈1.061,1.015≈1.051)
【精彩点拨】 解决等额还贷问题关键要明白以下两点 (1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本 金的数额是不同的，复利的计算公式为 S＝P(1＋r)n，其中 P 代表本金，n 代表 存期，r 代表利率，S 代表本利和． (2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什 么，公比或公差是多少．
2抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字 语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. 3将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的 数学关系式.
[再练一题] 2．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨， 该矿区计划从 2014 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减 少 10%. (1)以 2014 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2014 年 最多出口多少吨？(保留一位小数．参考数据：0.910≈0.35.)
【答案】 －11
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
【自主解答】
法一
设每个月还贷 a 元，第 1 个月后欠款为 a0 元，以后
第 n 个月还贷 a 元后，还剩下欠款 an 元(1≤n≤6)， 则 a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， „ a6＝1.01a5－a＝„＝1.016a0－[1＋1.01＋„＋1.015]a. 由题意，可知 a6＝0， 即 1.016a0－[1＋1.01＋„＋1.015]a＝0， 1.016×102 a＝ . 1.016－1
【解析】 a1[1－－25] 由 S5＝ ＝44，得 a1＝4. 1－－2
【答案】 4
S5 4．设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则S ＝________. 2