2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第五章_数列_第5讲_数列的综合应用

数列 基本特征 模型 等差 均匀增加或者减少 数列 等比 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 数列 指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为 简单递 20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销， 推数列 即数列{a }满足a ＝1.2a －a n n＋ 1 n
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第五章 数列
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第五章 数列
(2)由等差及等比数列的求和公式得 当 n≥7 时，由于 S6＝570， 故 Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)
n－ 6 3 3 ＝570＋70× ×4×1－ 4 4 n－6 3 . ＝780－210× 4
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第五章 数列
[规律方法] 解答数列实际应用问题的步骤： (1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有 等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．基 本特征见下表：
[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 a4－a1 12－3 d＝ ＝ ＝3， 3 3 所以 an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．
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第五章 数列
设等比数列{bn－an}的公比为 q，由题意得 b4－a4 20－12 3 q＝ ＝ ＝8，解得 q＝2. b1－a1 4－3 所以 bn－an＝(b1－a1)qn 1＝2n 1. － 从而 bn＝3n＋2n 1(n＝1，2，…)． － (2)由(1)知 bn＝3n＋2n 1(n＝1，2，…)． 3 － 数列{3n}的前 n 项和为 n(n＋1)，数列{2n 1}的前 n 项和为 2 1－2n ＝2n－1. 1－2 3 所以，数列{bn}的前 n 项和为 n(n＋1)＋2n－1. 2
(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通 项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要 注意运算准确； (3)给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结 果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．
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第五章 数列
2.现有流量均为 300 m3
s 的两条河 A，B 汇 m3
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第五章 数列
(2)令 Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知 a3n－2＝－6n＋31， 故{a3n－2}是首项为 25，公差为－6 的等差数列． n n 从而 Sn＝ (a1＋a3n－2)＝ (－6n＋56)＝－3n2＋28n. 2 2
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第五章 数列
考点二 数列的实际应用问题
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第五章 数列
1.(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)已知等差数列 {an}的 公差不为零，a1＝25 ，且 a1，a11，a13 成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求 a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解：(1)设{an}的公差为 d，由题意得 a2 11＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是 d(2a1＋25d)＝0. 又 a1＝25，所以 d＝0(舍去)，d＝－2. 故 an＝－2n＋27.
合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为 2 kg 和 0.2 kg
m3， 假设从汇合处开始， 沿岸设有若干观测点，
两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相 当于两股水流在 1 s 内交换 100 m3 的水量，即从 A 股流入 B 股 100 m3 水，经混合后，又从 B 股流入 A 股 100 m3 水 并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差 小于 0.01 kg m3(不考虑沙沉淀)．
某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第 2 年到第 6 年， 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始， 每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式； (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，求 Sn(n≥7)．
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Байду номын сангаас
第五章 数列
解：设第 n 个观测点处 A 股水流含沙量为 an kg 股水流含沙量为 bn kg a1＝2，b1＝0.2， 1 1 bn＝ (300bn－1＋100an－1)＝ (3bn－1＋an－1)， 400 4 1 1 an＝ (300an－1＋100bn－1)＝ (3an－1＋bn－1)， 400 4 1 an－bn＝ (an－1－bn－1)， 2 m3，则
m3，B
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第五章 数列
1 ∴{an－bn}是以(a1－b1)为首项， 为公比的等比数列． 2 9 1n－1 ∴an－bn＝ ×2 . 5 9 1n－1 － － 解不等式 ×2 <10 2，得 2n 1>180， 5 ∴n≥9. 因此，从第 9 个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于 0.01 kg/m3.
第五章 数列
第5讲
数列的综合应用
第五章 数列
考点一 考点二 考点三
等差数列与等比数列的综合问题 数列的实际应用问题 数列与不等式的综合问题(高频考点)
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第五章 数列
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
(2014· 高考北京卷)已知{an}是等差数列，满足 a1 ＝3，a4＝12，数列{bn}满足 b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为 等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和．
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第五章 数列
[解]
(1)当 n≤6 时，数列{an}是首项为 120，公差为－10
的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n； 3 当 n≥6 时，数列{an}是以 a6 为首项， 为公比的等比数列． 4
n－6 3 . 又 a6＝70，所以 an＝70× 4
因此，第 n 年初，M 的价值 an 的表达式为 130－10n，n≤6， n－6 an＝ 3 ，n≥7. 70 × 4
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第五章 数列
[规律方法] 解决等差数列与等比数列的综合问题， 关键是 理清两个数列的关系． 如果同一数列中部分项成等差数列， 部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出 来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分 析运算入手， 把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征， 再进行求解．