第一讲三角形全等的性质与判定

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全等三角形的概念、性质与判定

1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移（2）翻折（3）旋转5. 判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。

注意：“边边角”不一定成立。

反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。

【解题方法指导】例1. （2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。

分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；由AF＝DC，可以得到AC＝DF；由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC证明：在△BAF与△EDC中，∵AB∥DE∴∠A＝∠D又AB＝DE，AF＝DC∴△BAF≌△EDC（SAS）评析：判断两个三角形全等，设法找齐三个条件，至少有一个条件是边，因此先找出给出的条件（如AB＝DE，AF＝DC）；然后发展条件，继续得到有关信息（如由AB∥DE⇒∠A＝∠D；由AF＝DC⇒AC＝DF）例2. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。

数学第一讲全等三角形的性质及判定(一)

第一讲全等三角形的性质及判定（一）一、要点提示1、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

能够相互重合的顶点、边、角分别叫做对应的顶点、对应边、对应角。

全等符号为“≌”。

2、组成全等三角形的基本图形：（1）平移型：如图所示（对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到）（2）轴对称型：如图所示（重合的顶点就是全等三角形的对应顶点）。

（3）旋转型：如图所示。

它们可以看成以某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对应顶角、某些角的和或差中。

3、全等三角形的性质： ●对应角相等●对应边相等 ●对应边上的中线相等 ●对应边上的高相等●对应角的角分线相等 4、全等三角形的判定方法：（1）边角边定理（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（2）角边角定理（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）边边边定理（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。

（4）斜边、直角边定理（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两具直角三角形全等。

5、判定三角形全等的基本思路：6、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，已知一边一角边为角的对边→找任意一角→AAS边就是角的一条边找这条边上的另一角→ASA 找这条边上的对角→AAS 找该角的另一边→SAS已知两边找夹角→SAS找直角→HL 找另一边→SSS找两角的夹边→ASA找任意一边→AAS已知两角在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。

7、主要考点：能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等，是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。

二、全等三角形的判定公理1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。

例1已知：如图，∠1＝∠2，AB ＝AD 。

初三数学上册课本第一讲

证明(二)_______年_____月______ 日1、你能证明它吗？(1)三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边_______ ，对应角也________. 判定： _____________________________________. (2)等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)推论:三线合一是指： ____________________________________________. (3)等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；等边三角形的三条边都满足 “三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。

判定定理：有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

(4)含 30 度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形(1)勾股定理及其逆定理定理： _____________________________________________________________ 。

逆定理： ___________________________________________________________ 。

(2)命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

(3)直角三角形全等的判定定理定理： ________________________________________ (HL) 3、线段的垂直平分线(1)线段垂直平分线的性质及判定性质： __________________________________________________ 。

判定： __________________________________________________ 。

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（）或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（）AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

三角形的全等性质

三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。

其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。

本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。

一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。

全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。

二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。

2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。

3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。

4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。

通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。

三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。

例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。

2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。

通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。

3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。

4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。

我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。

全等三角形的性质及判定

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（）或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

三角形全等的判定(第一课时)

数$。
SSS判定定理的证明
第十步
根据三角形的性质，我们知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即$angle A+angle B=angle C$。
第十一步
根据三角形的性质，我们知道三角形的一个内角等于与它相邻的两个外角之差的一半，即$angle A=frac{1}{2}(angle B+angle C)$。
第三步，由全等三角形的性质，我们知道$BC = AC$。
ASA判定定理和AAS判定定理的应用
应用一
当已知两个三角形有两个角和一个角的对边分别相等时，我们可以使用ASA或AAS判定定理来判断这两个三角形是否全等。
应用二
当已知两个三角形有一个角、一边和另一角的对边分别相等时，我们可以使用ASA或AAS判定定理来判断这两个三角形是否全等。
三角形全等的判定(第一课时)
目录 Contents
• 三角形全等的基本概念 • 三角形全等的SSS判定 • 三角形全等的SAS判定 • 三角形全等的ASA判定和AAS判定 • 三角形全等的特殊情况
01
三角形全等的基本概念
三角形全等的定义
01
三角形全等是指两个三角形能够完全重合，即它们的形状和大小都相同。
实例二
在平面几何中，我们经常需要证明两个三角形是全等的。利用SAS判定定理，我们可以很容易地证明两个三角形是全等的。例如，已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE，BC=EF，并且角A=角D，角B=角E。根据SAS判定定理，我们可以证明三角形ABC和三角形DEF是全等的。
04
三角形全等的ASA判定和 AAS判定
ASA判定定理和AAS判定定理的证明
第三步，由全等三角形的性质，我们知道$BC = AC$。 AAS判定定理证明

第一节全等三角形的性质和判定-学而思培优

第一节全等三角形的性质和判定一、课标导航二、核心纲要1.基本概念(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角．2．表示符号“≌”；如右图所示，.ABC ABC ∆≅∆注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边是对应边．(4)有公共角的，公共角是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角是对应边（或对应角）.4．全等量角形的性质(1)全等三角形对应边相等．(2)全等三角形对应角相等．(3)全等三角形的周长、面积相等．(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）5．全等三角形的判定(1) -般三角形全等判定方法①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；．③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．(2)直角三角形全等判定方法①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；②一般方法：SAS ，ASA ，AAS.注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等．6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）7．全等三角形的图形有以下几种典型形式(1)平移全等型(2)对称全等型(3)旋转全等型本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，三、全能突破基础演练1．如图12-1-1所示，将△AOB 绕点0按逆时针方向旋转 45后得到,//OB A ∆若,15=∠AOB 则AOB ∠的度数是( )． o A 20. 30.B 35.C 40.D2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：;,,DF AC EF BC DE AB ===①;,,EF BC E B ED AB =∠=∠= ② ;,,F C EF BCE B ∠=∠=∠=∠③.,,E B DF AC DE AB ∠=∠==④其中，能使△A BCcn△DEF 的条件共有( )．A.1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组3．如图12 -1-3所示，BD AC CB AD CD AB 、,,==相交于点0，图中有( )对全等三角形．2.A3.B4.C5.D4．如图12 -1-4所示，△ABC 绕点A 旋转o180得到△AED ，(1)则DE 与BC 的位置关系是，数量关系是 (2)若,24=∆ABC s 则=∆ADE s(3)若ADE BC AC ∆==,4,2的周长为偶数，则AE 的长为5．如图12 -1-5所示，OP OD OB OC OA CD AB ,,,===是BOD ∠的平分线，求证：.COP AOP ∠=∠6．如图12 -1-6所示，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，.,,//FD AB F A DF BE =∠=∠求证：.FC AE =7．如图12 -1-7所示，,//ED AB 点F 、点C 在AD 上，,,//DE AB EF BC =求证：.DC AF =8．如图12 -1-8所示，.,,,AC ED BA AE AB BC AB AE ==⊥⊥求证：.AC ED ⊥9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：,BC AD =① ,BD AC =② ,DE CE =③ ,C D ∠=∠④=∠DAB ⑤.CBA ∠请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：求证：证明：能力提升10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中90,34=∠=∠C B )绕A 点按顺时针方向旋转到11C AB ∆的位置，使得点1B A C 、、在同一条直线上，那么旋转角最小等于( ) 56.A o B 68. 124.C o D 180.11．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为,23,3-x ,12-x 若这两个三角形全等，则x 等于( )． 37.A 3.B 373.或C 4.D12.如图12 -1-11所示，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( )个．2.A 4.B 6.C 8.D13.如图12 -1-12所示，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折形成的，若,138=∠BAC 则∠EFC 的度数为14.如图12 -1-13所示，点A 在DE 上，点F 在AB 上，且,321,3,∠=∠=∠==AB CE AC 则DE 的长为15.如图12 -1-14所示，已知AC 与BD 相交于点,,,,1,DEC ADC BE AD DC AE AB AE E ∠=∠==-=则CE 的长为16.如图12 -1-15所示，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且.,CD FD AC BF ==求证：;AC BF ⊥17.如图12 -1-16所示，已知,,,,AC AF AB AE AC AF AB AE ==⊥⊥求证：.)2(;)1(BF EC BF FC ⊥=18．在△ABC 中，,,90BC AC ACB ==∠直线L 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作Z 的垂线AE 、BF ，垂足分别为E 、F ．(1)如图12-1-17(a)所示，当直线L 不与底边AB 相交时，求证：.BF AE EF +=(2)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，并证明．(3)当直线L 绕点C 旋转到图12-1-17(c)的位置时，猜想EF 、AE 、BF 之间的关系，直接写出结论．19．(1)如图12 -1-18所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，,BP CA =点Q 在CE 上，QC,AB =探究PA 与AQ 之间的关系；(2)若把(1)中的△ABC 改为钝角三角形，A AB AC ∠>,是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论，中考链接20.（2012．北京）如图12 -1-19所示，点E 、A 、C 在同一条直线上，.,,//CD AC CE AB CD AB ==求证：.ED BC =21．（2012．湖南衡阳）如图12 -1- 20所示，,//,EF BC DC AF =请只补充一个条件，使得△ABC ≌△DEF，并说明理由．22．（2011．四川内江）如图12 -1- 21所示，在Rt△ABC 中，AC BAC ,90=∠,2AB =点D 是AC 的中点，将一块锐角为o 45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．巅峰突破23.如图12 -1- 22所示，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于点F ，AF 的延长线交BC 于点H ，若,,21AD AF =∠=∠则图中全等三角形共有( )对．4.A5.B6.C7.D24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于点F ，且,AC BF =则∠ABC 的度数为。

(完整版)全等三角形的性质及判定

全等三角形第 1 节全等三角形的性质和判断【知识梳理】1、全等图形：能够完整重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的观点与表示：能够完整重合的两个三角形叫作全等三角形．能够互相重合的极点、边、角分别叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角均分线相等，面积相等．4、全等三角形的判断方法：(1)边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理 ( AAS ) ：两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理 ( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊疗自测】1、假如ABC≌Δ DBC，则 AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠ DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△ DCE， AE＝2 cm， BE＝1.5 cm，∠ A＝25°，∠ B＝48°；那么 DE＝_____cm，EC＝ _____cm，∠C＝ _____°；∠D＝ _____°．C 和点E，点 B 和点D 分别是对应点，则另一3、假如△ABC和△ DEF这两个三角形全等，点组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点打破】种类一：全等形例 1、由同一张底片冲刷出来的两张五寸照片的图案 _____全等图案，而由同一张底片冲刷出来的五寸照片和七寸照片 ____全等图形。

（填“是”或许“不是”）种类二：全三角形的定义和性质例 2、如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ ABF 与△ DCE 全等，点 A 与点 D ，点 B 与点 C 是对应极点， AF 与 DE 交于点 M ，则∠ DCE= （）A ．∠B B．∠ A C．∠ EMF D ．∠ AFB例 3、如图，△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180°形成的，若∠ BAC ：∠ABC ：∠ BCA=28 ： 5： 3，则∠α的度数为（）A ． 90° B． 85° C． 80° D． 75°种类三：全等三角形的判断（SSS）例 4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图印迹如下图，则作图的依照是（）A ． SSS B． SAS C． ASA D． AAS例 5、已知：如图 2－ 1，△ RPQ 中， RP＝ RQ， M 为 PQ 的中点．求证： RM 均分∠ PRQ．剖析：要证 RM 均分∠ PRQ，即∠ PRM＝ ______，只需证 ______≌ ______证明：∵M 为 PQ 的中点（已知），∴______＝ ______在△ ______和△ ______中，RP RQ(已知 ),PM ______,______ ______(),∴______≌ ______（）．∴∠ PRM ＝ ______（ ______）．即 RM．例 6．已知：如图， AD ＝BC． AC＝ BD ．试证明：∠ CAD ＝∠ DBC .种类四：全等三角形的判断（SAS）例 7. 已知：如图3－1，AB、CD订交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠ D＝∠ B．剖析：要证∠ D＝∠ B，只需证 ______≌ ______证明：在△ AOD 与△ COB 中，AO CO ( ),______ ______( ),OD ______( ),∴△ AOD ≌△ ______ （）．∴∠D＝∠ B （ ______）．例8、小红家有一个小口瓶（如下图），她很想知道它的内径是多少？可是尺子不可以伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有方法了．她拿来了两根长度同样的细木条，而且把两根长木条的中点固定在一同，木条能够绕中点转动，这样只需量出AB 的长，就能够知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为何吗？请说明原因．（木条的厚度不计）例 9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接∠ABC= ∠ EBD=90 °），连结 AE 、 CD，试确立 AE 结论．（A 、B、D 三点共线，AB=CB ，EB=DB ，与 CD 的地点与数目关系，并证明你的种类五：全等三角形的判断（AAS和 ASA）例 10、某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块，现要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃，同学小明知道只需带③ 去就行了，你知道此中的道理是（）A ． SAS B． SSA C． ASA D． HL例 11.如图，已知△ ABC的六个元素，则以下甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例 12、已知：如图，PM ＝ PN，∠ M＝∠ N．求证： AM＝ BN．剖析：∵ PM＝ PN，∴要证AM＝BN，只需证PA＝ ______，只需证 ______≌ ______．证明：在△ ______与△ ______中，______ ______( ),______ ______( ),______ ______( ),∴△ ______≌△ ______ （）．∴ PA＝ ______ （）．∵PM＝PN （），∴PM － ______＝ PN－ ______，即 AM ＝ ______．例 13、已知： AB ⊥ AE ，AD ⊥ AC ，∠ E=∠ B， DE=CB ．求证： AD=AC ．．例 14、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC，BE⊥CE于点 E． AD⊥CE于点D．求证：△ DEC≌△ CDA．种类六：全等三角形的判断（HL）例 15. 已知在△ ABC和△ DEF中 , ∠ A=∠D=90°, 则以下条件中不可以判断△ABC和△DEF全等的是 ( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠ F,BC=EF例 16、如下图，在△ ABC中，∠ C=90°， DE⊥AB 于点 D， BD=BC,若 AC=6，则AE+DE=_____BDAE C【易错优选】1、如下图，△ABC ≌△ DEC，则不可以获得的结论是（）A ． AB=DEB ．∠ A= ∠ D C． BC=CD D ．∠ ACD= ∠ BCE2、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 M是 AD的中点，且 MB=MC，若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D． 283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则∠ ABC+∠ DFE=__________度【精髓提炼】判断三角形全等的基本思路：找夹角SAS已知两边 SS找直角HL找另一边SSS边为角的对边→找随意一角→AAS找这条边上的另一角→ASA已知一边一角 SA边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→ SAS找两角的夹边ASA已知两角 AA找随意一边AAS备注：找寻对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是重点．全等三角形的图形概括起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【 1】如图， E 为线段 BC 上一点， AB ⊥BC，△ ABE ≌△ ECD ，判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论．训练【 2】如图，点A、F、C、D在同向来线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧，且 AB＝DE，∠ A＝∠ D，AF＝ DC．求证： BC∥EF．训练【 3】已知图中的两个三角形全等，则∠ 1 等于度．【训练 4】．如图，∠ BAC= ∠DAE ，∠ ABD= ∠ ACE ，AB=AC ．求证： BD=CE ．基础稳固一、选择题1、以下说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．此中正确的有（）．A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个DE=BC，以D、 E 为两个极点作地点不一样的三2、如图，△ABC是不等边三角形，角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能够画出[ ] ．A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个3、以下说法正确的选项是（）A、全等三角形是指周长和面积都同样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都同样;C、全等三角形是指形状同样的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、以下两个三角形中，必定全等的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是 40°，腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是 100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ ABC与△ BDE都是等边三角形， AB<BD，若△ ABC不动，将△ BDE绕点CD的大小关系为( )B 旋转，则在旋转过程中，AE与A．AE=CD B ． AE>CD C．AE<CD D．没法确立ECA B D6、如图，已知 AB=AD，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ABC≌△ ADC的是（）A．CB=CD B ．∠ BAC=∠DAC C．∠ BCA=∠ DCA D．∠ B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，BE⊥ AC 于 E，AD 与 BE 订交于点F，若 BF=AC，则∠ ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角极点 B 在直线 PQ上，AD⊥ PQ于 D，CE⊥PQ 于 E，且 AD=2cm，DB=4cm，则梯形 ADEC的面积是 _____ ．8、（着手操作实验题）如下图是小明自制对顶角的“小仪器”表示图：（1）将直角三角板 ABC的 AC边延伸且使 AC固定；（2）另一个三角板 CDE?的直角极点与前一个三角板直角极点重合；（3）延伸 DC，∠PCD与∠ ACF就是一组对顶角，已知∠ 1=30°，∠ ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC ，∠ 1=∠ 2，AD=AE ，求证：∠ C=∠ B．10、如图，在△ ABC中， AD是∠ BAC的均分线， DE、DF分别是△ ABD和△ ACD的高线，求证： AD⊥EF。

第01讲全等三角形的性质和判定(上)

第一讲全等三角形的性质和判定（上）
全等图形：能够重合的两个图形就是全等形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；
完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点；
互相重合的角为对应角；互相重合的边为对应边
全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）全等三角形的周长相等、面积相等；
（4）平移、对称、旋转前后的图形全等
【例1】如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，（1）求证：AB=CD；（2）求证：CE∥BF；（3）求AC的长度.
全等三角形的判定：①SAS：两边及其夹角相等；
②ASA：两角及其夹边相等；
③AAS：两角及其邻边相等；
④SSS：三条边相等；
⑤HL：直角边斜边相等（直角三角形）
【例2】已知：如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：∠A=∠D.
【例3】如图，已知AB=DC，AC=DB，求证：∠1=∠2.
【例4】已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED.求证：AC=CD.
【例5】已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB=DC.(2)求证：AC与BD互相平分.(2)若过点O作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE=OF.
【例6】已知：如图：DE⊥AC，BF⊥AC，AD=BC，DE=BF，求证：AB=DC.
【例7】证明：全等三角形对应边上的中线、高线，对应角的平分线分别相等.。

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如以下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定〔SSS、SAS、ASA、AAS、HL〕全等三角形判定一〔SSS ，SAS 〕全等三角形判定1——“边边边〞三边对应相等的两个三角形全等.〔可以简写成“边边边〞或“SSS 〞〕.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，那么△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边〞1. 全等三角形判定2——“边角边〞两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“边角边〞或“SAS 〞〕.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，那么△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边〞1、：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．证明：∵M 为PQ 的中点〔〕，∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM 〔SSS 〕．∴ ∠PRM ＝∠QRM 〔全等三角形对应角相等〕．即RM 平分∠PRQ.举一反三：【变式】：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边〞2、：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE 〔SAS 〕∴BC ＝DE 〔全等三角形对应边相等〕3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接〔A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°〕，连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD 〔SAS 〕∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4〔对顶角相等〕∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD举一反三：【变式】：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝〞．以下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，假设AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .那么〔〕A.△ABC ≌△'''A C BB. △ABC ≌△'''A B CC. △ABC ≌△'''C A BD. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，那么以下结论中错误的选项是〔〕A.AB ∥DCB.∠B ＝∠DC.∠A ＝∠CD.AB ＝BC3. 以下判断正确的选项是〔〕A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图，AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的选项是〔〕A.EC ⊥ACB.EC ＝ACC.ED ＋AB ＝DBD.DC ＝CB二、填空题9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD〔SSS〕10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，那么∠CBE＝_______.12. ，如图，AB＝CD，AC＝BD，那么△ABC≌，△ADC≌.三、解答题13. ：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. ：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD 〔〕，∴ ∠______＝∠______ 〔〕，在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______∴ Δ______≌Δ______ 〔〕．∴ ∠______＝∠______ 〔〕．∴ ______∥______〔〕．15. 如图，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE 求证：AE ＝DE.全等三角形判定3——“角边角〞两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA 〞〕.要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''A B，∠B＝∠'B，那么△ABC ≌△'''A B C.要点二、全等三角形判定4——“角角边〞1.全等三角形判定4——“角角边〞两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角角边〞或“AAS〞〕2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED ＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的条件而定，见下表：条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等 SAS SSS类型一、全等三角形的判定3——“角边角〞1、：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A CAD CB D B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.类型二、全等三角形的判定4——“角角边〞2、：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD 〔AAS 〕∴AC ＝AD举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFDBDE CDF BD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED ≌△CFD 〔AAS 〕∴BE ＝CF3、：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．〔1〕求证：AC 与BD 互相平分；〔2〕假设过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C(AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO 〔AAS 〕∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C(AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO ＝对顶角相等）∴△AEO ≌△CFO 〔ASA 〕∴OE ＝OF.一、选择题1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是〔〕 A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠EB ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠EC ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠DD ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E2．如图，△ABC的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是〔〕图4－3A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，以下结论错误的选项是〔〕A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．如图，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，以下条件不能判定△ABM≌△CDN的是〔〕A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的选项是〔〕A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC二、填空题7. 如图,∠1＝∠2，要使△AB E≌△ACE，还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在△ABC和△'''A B C中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠'C＝69°，∠'B＝44°，且AC＝''B C，那么这两个三角形_________全等.〔填“一定〞或“不一定〞〕9. ，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，那么EF＝________.11. 如图, ：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC ,根据是，再证△BDE ≌△，根据是．12. :如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，〔1〕假设以“ASA〞为依据，还缺条件〔2〕假设以“AAS〞为依据，还缺条件〔3〕假设以“SAS〞为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？假设全等，试写出证明过程；假设不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB 〔ASA 〕．问：这位同学的答复及证明过程正确吗？为什么？14. 如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分.15. ：如图, AB∥CD, OA ＝OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝DF.求证：EB∥CF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS〞，“ASA〞或“SAS〞判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔可以简写成“斜边、直角边〞或“HL〞〕.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL〞 1、：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：〔1〕AB ＝CD ：〔2〕AD ∥BC ．证明：〔1〕∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BCBD DB ⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB 〔HL 〕∴AB ＝CD 〔全等三角形对应边相等〕〔2〕由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC ..举一反三：【变式】：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．2、判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×〞，全等的注明理由：〔1〕一个锐角和这个角的对边对应相等；〔〕〔2〕一个锐角和斜边对应相等；〔〕〔3〕两直角边对应相等；〔〕〔4〕一条直角边和斜边对应相等．〔〕举一反三：【变式】以下说法中，正确的画“√〞；错误的画“×〞，并举出反例画出图形.〔1〕一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．〔〕〔2〕有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕〔3〕有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．〔〕3、：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD =⎧⎨⎩＝ ∴Rt △ADC ≌Rt △BCD 〔HL 〕∴AD ＝BC .〔全等三角形对应边相等〕举一反三：【变式】，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题1．以下说法正确的选项是〔〕A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是〔〕A．形状一样B．周长相等C．面积相等D．全等6. 在两个直角三角形中，假设有一对角对应相等，一对边对应相等，那么两个直角三角形〔〕A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______〞．8. ，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，那么△ABC≌_______.9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，那么AC＝_________.10. 如图，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，假设DE＝2，AB ＝4，那么DB＝______.12. 如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.那么∠BAD＝_______.三、解答题14. 如图，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF. 求证：AC＝EF.15. 如图，AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.。

第1讲.全等三角形的性质及判定.学生版

全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．知识点睛中考要求第一讲全等三角形的性质及判定全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。

经典学而思全等三角形全套

第一讲全等三角形的性质及判定【例 1】如图，AC // DE , BC // EF , AC = DE .求证：AF = BD .【补充】如图所示：AB // CD , AB = CD .求证：AD / BC .【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD 〃 BC , E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：FC = AD .【例3】如图，AB , CD 相交于点O , OA = OB , E 、F 为CD 上两点，AE / BF , CE = DF .求证: AC/ BD ．【例2】已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB = DC , OA = OD . BE = CF , ZB = Z C . 求证：C【补充】已知：如图，AD = BC , AC = BD ，求证：Z C = Z D .【补充】已知，如图，AB = AC , CE1 AB , BF 1 AC ,求证：BF = CE .【例4】如图，Z DCE = 90。

，CD = CE, AD 1 AC, BE 1 AC ,垂足分别为A, B，试说明AD + AB = BE 【例10］如图所示，已知AB = DC , AE = DF , CE = BF，证明：AF = DE .【例11】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BE = CF .求证:【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE 1 EF , GE = EF .求证: BG + CF = BC .E【例12］在凸五边形中，/B = Z E , Z C = Z D , BC = DE , M为CD中点.求证：AM 1 CD .A【补充】如图所示：AF = CD , BC = EF , AB = DE, Z A = Z D .求证：BC // EF .【例13］（1）如图，△ ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断^ABC与^AEG面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是。

三角形全等的判定ppt课件

∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）
5.HL（H.L.）在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.）在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）

第1讲全等三角形的性质与判定

B ACDEF 第1讲全等三角形地性质与判定考点·方式·破译1．能够完全重合地两个三角形叫全等三角形.全等三角形地形状和大小完全相同。

2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等,对应角相等。

②全等三角形对应高，角平分线，中线相等。

③全等三角形对应周长相等,面积相等。

3．全等三角形判定方式有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ,对于两个直角三角形全等地判定方式,除上述方式外,还有HL 法。

4．证明两个三角形全等地关键,就是证明两个三角形满足判定方式中地三个款件,具体思路步骤是先找出两个三角形中相等地边或角,再由选定地判定方式,确定还需要证明哪些相等地边或角,再设法对它们进行证明。

5．．证明两个三角形全等,由款件,有时能直接进行证明,有时要证地两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用地方式有：平移，翻折，旋转，等倍延长线中线，截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ,那么图中有全等三角形（）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设款件出发,首先找到比较明显地一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用地款件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进地方式常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】01．（天津）下面判断中错误地是（）A ．有两角和一边对应相等地两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等地两个三角形全等C ．有两边和其中一边上地中线对应相等地两个三角形全等AFCEDBD ．有一边对应相等地两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图,点A ，D ，B ，E 在同一款直线上,且AD ＝BE ,∠A ＝∠FDE ,则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题,假如是真命题,请给出证明。

全等三角形的性质与判定

全等三角形的性质与判定
1 什么是等边三角形
等边三角形是三条边长相等的三角形。

它的三个内角均为60度，因此也称为六边形。

它是几何图形中许多基本图形之一，可以被泛出多种几何形状，如正方形、六边形、十二边形等。

2 等边三角形的性质
（1）等边三角形三边长相等，边长等于a。

（2）等边三角形三个内角均等，角度为60度。

（3）因等边三角形有3条边，因此它的外心也在三角形的内部。

外心距各边的距离都是相等的，与每条边相等，即都等于a/3。

（4）等边三角形的高都是从顶点又上底角的中点向底角投射的距离，h=a·√3/2。

（5）等边三角形的面积等于a^2·√3/4。

3 等边三角形的判定
判定一个三角形是否是等边三角形，通常要根据它的三边长进行判定。

若三边长均相等，即可判定该三角形为等边三角形，只需要确定三边长相等，就可以明确该三角形是等边三角形。

而要确定三边长相等，就必须满足三角形不等式条件，即a+b>c, a+c>b, b+c>a。

说明只要满足不等式条件，并且三边长均相等，则可以断定该三角形是等边三角形。

三角形全等的性质和判定

三角形全等的性质和判定全等三角形的定义和性质经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

三角形全等的判定全等三角形的判定有：边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、和直角三角形的斜边，直角边(HL)共5种判定方法。

但是刚接触时容易记混。

想理解或者记住这几个判定三角形全等的条件，首先要了解哪些条件能够确定一个三角形。

如果已知条件能够确定这个三角形的形状和大小，那么它就可以用来判定三角形全等。

如果在给定条件下，图形不能确定，例如：某条边或者角在满足条件下，依然可以活动，那么这些条件就不能用来判定三角形全等。

例如知道三个角的大小(AAA)，只能确定三角形的形状不能确定大小，所以只知道三个角的大小不能确定这个三角形。

所以AAA不能判定三角形全等。

边边边(SSS)：三条边可以确定这个三角形，可以结合三角形的稳定性来理解。

边角边(SAS)：已知两边和它们的夹角，那么只要把这两边的另外端点连接即可确定这个三角形。

角边角(ASA)：已知两角和它们所夹的边，那么只要把这两个角的另一条边延长相交，即可确定这个三角形。

角角边(AAS)：由于已知两个角，那么根据三角形内角和，也就知道了第三个角，那么其实它可以转化成角边角(ASA)来理解。

直角三角形的斜边，直角边(HL)：如果是直角三角形，已知斜边和直角边，可以根据勾股定理确定另一条直角边的长度，所以就变成了边边边(SSS)角边边(ASS)：如下图，已知∠A的大小，AB和BC的长度，则有两种情况△ABC与△ABC′，即边BC以高BH为对称轴左右摇摆，所以并不能确定这个三角形。

特殊情况下，当BC与BC′重合时，即BC垂直与AC时(BC的长度恰好是点B到AC的距离)，这时就可以确定这个三角形了(其实这时已经是直角三角形了，即可以利用HL)。

或者当已知角是钝角，即图中∠A是钝角时，BC不能左右摆动，可以确定这个三角形。