Information-Theory-02-2015
信息论第2章 信道模型及信道容量资料
Information Theory
王逸林
哈尔滨工程大学 2013
Tel: 82519503 E-mail: wangyilin@
第2章 信道模型及信道容量
2.1 2.2 1.3 1.4 1.5 1.6 信道的数学模型及分类 信道传输的平均互信息 平均信息量 消息序列的熵 连续信源的信息度量 信源的相关性和剩余度
明线 对称平衡电缆（市内） 固体介质电缆小同轴（长途） 有线信道 中同轴（长途） 波导 混合介质 光缆 长波 中波 1 传输媒介类型 短波 超短波 移动 空气介质 视距接力 微波 对流层 散射 电离层 卫星 光波
b1 bs 输出 [P]
输入 a1 p(b1 / a1 ) p(bs / a1 ) ar p(b1 / ar ) p(bs / ar )
单符号信道的数学模型：
{ X , p( y / x),Y }
单维离散信道的数学模型
输入输出的联合概率为：
2.1.2 离散信道的数学模型
X
X ( X 1 , X 2 ,...X N )
信道
Y
p( y / x )
Y = (Y1 , Y2 ,...YM )
涉及输入和输出两个随机过程，其之间统计依 赖关系由条件概率 p( y / x )来描述.
包含了信道噪声与干扰的影响 反映了信道的统计特性
以太？
信道的分类
工程物理背景——传输媒介类型； 数学描述方式——信号与干扰描述方式； 信道本身的参数类型——恒参与变参； 用户类型——单用户与多用户； 输入、输出随机变量的个数 ——单符号信道与多符号信道。
Information Theory
Information is uncertainty. Information Theory tells us how to measure information, and the possibility of transmitting the information, which may be counted in bits if wanted. Quantum information offers a new intriguing possibility of information processing and computation.
Historical Notes
Claude E. Shannon (1916-2001) himself in 1948, has established almost everything we will talk about today. He was dealing with communication aspects. He first used the term “bit.”
Qubit vs. bit Measure and collapse, noncloneable property Parallel vs. sequential access
Aspects of Qபைடு நூலகம்antum Information: transmitting
Conclusion
The Channel Coding Theorem
The Channel is characterized by its input X and output Y, with its capacity C=I(X;Y). If the coding rate <C, we can transmit without error; if coding rate>C, then error is bounded to occur. limit the ability of a channel to convey information
信息论chapt1,2
信宿 （含译码、解密）
Chapter 1 Introduction
3）研究信息传输的保密性与认证性
信源 （含编码） 信道 (含信道编、译码)
信息是否只为授权者接收、 接收者能否正确判断所接受 消息→与干扰无关。
信宿 （含信源译码）
1.3.3 本课程主要讨论内容
本课程主要介绍信息论的基础内容，可概括为： 香农信息论梗概 （1）信息的度量:这是信息论建立的基础，给出了各种信息量和各种熵 的概念。 （2）无失真信源编码:最主要的结论是Shannon 第一定理以及各种信源 编码的方法。 （3）信道编码:给出了信息传输速率、信道容量等概念，最主要的结论 是Shannon 第二定理，以及基于该定理的各种信道编码，如分组码、卷 积码等
1.3 信息论研究的主要对象、目的与内容 1.3.1 主要研究对象——通信系统(communication systems)
通信系统的模型(modeling)如下图:
Chapter 1 Introduction
Noise Source Encoder Channel
Decoder
Sink
图1.1 通信系统模型
• 经济学中财富的增长率与股票市场 的熵率有对偶关系。 • 计算受制通信速度，而通信又受制 与计算速度。二者互相影响。以信 息论为基础通信理论会对计算理论 有影响。
教材
傅祖芸，信息论基础理论与应用；
Robert gallager ‘information theory and reliable communication’ 大家以后学会习惯外文教材和文献
信息论基础 Information theory
用数学方法研究信息的传输（存储）及转换处理的理论 又名： mathematic theory of Communication （关于通信的数学理论）
专业英语
• Information theory is based on probability theory and statistics. The most important quantities of information are entropy, the information in a random variable, and mutual information, the amount of information in common between two random variables
Information Theory
• Information theory is a branch of applied mathematics and engineering involving the quantification of information to find fundamental limits on compressing and reliably communicating data.
通过采用数据的统计描述，信息论确定了描述 通过采用数据的统计描述， 数据所需要的比特数即信源的信息熵。 数据所需要的比特数即信源的信息熵。
− Lossless data compression — the data must be reconstructed exactly; − Lossy data compression: allocates bits needed to reconstruct the data, within a specified fidelity level measured by a distortion function. This subset of Information theory is called rateratedistortion theory.
信息论基础第二章PPT
8
则用转移概率矩阵表示为 0.25 0.75 p 0.6 0.4
也可用状态转移图表示为
0.75
0.25
0
1
0.4
0.6
9
其n长序列的联合分布为：
Pr { X n x n } Pr {( X 1 X 2 X n ( x1 x2 xn )} ( x1 )i 1 Pr ( X i 1 xi 1 | X i xi )
Pr {( X1 , X 2 , X n ) ( x1 , x2 xn )}
( x1, x2 xn ) n , n 1, 2
p( x1 , x2 xn )
唯一决定
4
无记忆信源
当 X1, X 2 X n 为相互独立的随机变量， 且服从相同的分布：
Pr ( X i x) p( x)
P(0 | 00) 0.8, P (1|11) 0.8, P (1| 00) P (0 |11) 0.2 P(0 | 01) P(0 |10) P (1| 01) P (1|10) 0.5
用转移概率矩阵表示为
11
0 0.8 0.2 0 0 0 0.5 0.5 P 0.5 0.5 0 0 0 0.2 0.8 0
1 k
1 k
Pr {( X t1 , X t2 , , X tm ) ( x1 , x2 ,, xm )} Pr {( X t1 k , X t2 k , , X tm k ) ( x1 , x2 xm )}
14
如果一个马氏过程是平稳的，则
Pr {X m xm | X m1 xm1 , X m2 xm2 ,, X1 x1} Pr {X m xm | X m1 xm1} Pr {X 2 xm | X1 xm1}
第一章信息检索理论基础课件
第一章 信息检索理论基础
主要知识点
（一）信息检索原理 （二）信息检索技术 （三）信息检索系统 （四）信息检索语言 （五）信息检索方法 （六）信息检索评价 （七）信息检索与数字图书馆
信息检索技术—信息检索常用技术
（1）布尔检索技术：它是利用布尔逻辑算符进行检索词 或代码的逻辑组配，是现代信息检索中最常使用的一种方法 。
信息存储（标引）过程
检
原始
信息特
索
信息特
检
文献
征提取
标
征标识
检索系统
索
信息
检索提
识
检索提
结
需求
问表达
系
问标识
标识匹配
果
统
信息检索过程
信息检索原理—信息检索及其发展
（1）信息检索(Information Retrieval)是“一种时间性的 通讯形式”，“在时间上从一个时刻通往一个较晚的时刻， 而在空间上可能还在同一地点” 。这一看法，揭示了信息 存储与获取两个环节是一种延时性的通讯形式。
（3）向量空间检索模型：向量检索是以向量的方式确定检 索内容的方法，系统中的每一篇文献和每个提问均用等长的向 量表示。如：文献集合中的第i篇文献用Di = ( T1, T2, T3, …, Tm ) 表示，其中T1, T2, T3, …, Tm为系统中所有标引词集合；提问集 合中的第j个提问用Qj = ( T1, T2, T3, …, Tm )表示；Tk表示文献向 量或提问向量中的第k个分量，即文献表示或提问式中所含的第 k个标引词或检索词。
按照狭义的理解，信息 是 信用 息来是消物除质不存定在性的的一东 西 种。 方按式照、广形义态的或理运解动， 又 状有 态两，种也认是识事：物从的本一体 意 种义 普上遍说属，性信，息一泛般指指一 切 数事 据物、运消动息的中状所态包和含运 动 的的 意方义式，。可从以认使识消论息的 意 中所义描上说述，事件信的息不是定关于 事 性物 减运少动。状态和运动方 式的反映。
信息熵InformationTheory
信息熵InformationTheory信息论（Information Theory）是概率论与数理统计的⼀个分枝。
⽤于信息处理、信息熵、通信系统、数据传输、率失真理论、密码学、信噪⽐、数据压缩和相关课题。
本⽂主要罗列⼀些基于熵的概念及其意义，注意本⽂罗列的所有 log 都是以 2 为底的。
信息熵在物理界中熵是描述事物⽆序性的参数，熵越⼤则越混乱。
类似的在信息论中熵表⽰随机变量的不确定程度，给定随机变量 X ，其取值x1,x2,⋯,x m，则信息熵为:H(X)=m∑i=1p(x i)⋅log1p(x i)=−m∑i=1p(x i)⋅log p(x i)这⾥有⼀张图，形象的描述了各种各样的熵的关系：条件熵设 X ,Y 为两个随机变量，X 的取值为x1,x2,...,x m ,Y 的取值为y1,y2,...y n，则在X 已知的条件下 Y 的条件熵记做 H(Y|X) :H(Y|X)=m∑i=1p(x i)H(Y|X=x i)=−m∑i=1p(x i)n∑j=1p(y j|x i)log p(y j|x i)=−m∑i=1n∑j=1p(y j,x i)log p(y j|x i)=−∑x i,y j p(xi,y j)log p(y j|x i)联合熵设 X Y 为两个随机变量，X 的取值为x1,x2,...,x m ,Y 的取值为y1,y2,...y n，则其联合熵定义为:H(X,Y)=−m∑i=1n∑j=1p(x i,y j)log p(x i，y j)联合熵与条件熵的关系：H(Y|X)=H(X,Y)−H(X)H(X|Y)=H(X,Y)−H(Y)联合熵满⾜⼏个性质：1）H(Y|X)≥max(H(X),H(Y)) ;2）H(X,Y)≤H(X)+H(Y) ;3）H(X,Y)≥0.相对熵 KL距离相对熵，⼜称为KL距离，是Kullback-Leibler散度（Kullback-Leibler Divergence）的简称。
许波版《心理学史》 认知心理学
(一)早期实验心理学的影响
早期实验心理学把主体的直接经验作为心理学的研究对象，提倡实验 加内省的方法。认知心理学在批判和改造的基础上，继承了冯特的内 省法，提出了“口语报告分析法”或“出声思考法”，即要求被试通 过原始性的口头陈述来报告思考时的内部信息加工，特别是短时记忆 的内容。
2.米勒(George A. Miller,1920-)
20世纪美国心理学家，是以信息处理为基础的认知心理学 的先驱，也是因研究短期记忆提出“神秘七加减二”理论 而闻名的心理学家。
米勒(George A. Miller,1920-)
3.奈瑟(Ulric Neisser,1928- )
20世纪德国出生的美国心理学家，是以信息处理论为基础的 现代认知心理学的先驱，也是因开创性著作而被誉为“认知 心理学之父”的心理学家。
(三)行为主义心理学的影响
认知心理学在研究方法上继承和发展了行为主义研究的客观
化原则，在新行为主义的刺激-中间变量-反应的研究模式的 基础上提出了输入-内部信息加工-输出这样一个与计算机的 操作相似的研究模式，从而尽可能地使心理过程的探讨保持 操作性，以期体现出客观性。
(四)皮亚杰学派的影响
皮亚杰的发生认识论和认知心理学都不赞成行为主义，但又都表现出对
作为一种新的心理学思潮，现代认知心理学有时与其他 流行的心理学思潮是对立的：与行为主义的对立，反对它 只研究可观察的外部行为，强调研究人的内部认知结构； 与精神分析的对立，反对它过分关注潜意识，强调意识的 主导地位；与人本主义心理学的对立，反对它只关注个人 成长和人际关系，强调应以认知过程为研究对象。
信息论初步.
3.熵在TIM中的用途
Feature selection:
If
we use only a few words to classify docs, what kind of words should we use? P(C| “computer”=1) v.s. p(C | “the”=1): which is more random? (C is the category of the topics)
Relative entropy What if we encode X with a code optimized for a wrong distribution q? How many bits would we waste? p( x)
D( p || q) H ( p, q) H ( p) p( x) log
i 1
N
1 if x y 0 o.w.
~ p ( x) c( x) / N
L(Y ) p( X yi )
i 1
log L(Y ) log p( X yi ) c( x) log p( X x) N p( x) log p( x)
i 1 x x
1.最优编码
.最优编码
1.最优编码
2.自信息
一个信源可按某种概率发出若干不同的信号，每 个信号带有的信息量称为其自信息。
信源：随机变量；信号：随机变量的取值
基于定性分析，自信息的特性应当是
非负 递增
具有这样的特性的函数有很多，人们构造出如下 定义式：
ωn ：随机变量X的某个取值；P(ωn )：X取该值的概率
3.熵
Information theory(信息论与编码)
信息论与编码总结1.关于率失真函数的几点总结原理（需要解决什么问题？或者是受什么的启发，能达到什么目的）。
与无失真信源编码相比，限失真信源编码的原理是什么？我们知道无失真信源编码是要求使信源的所发送的信息量完全无损的传输到信宿，我们常见的编码方式有哈夫曼编码、费诺编码和香农编码。
他们的中心思想是使序列的中0和1出现的概率相等。
也就是说长的码字对应的信源符号出现的概率较小，而短的码字对应的信源符号出现的概率较大，这样就能实现等概。
若编码能实现完全的等概，则就能达到无失真的传输。
此时传输的信息量是最大的，和信源的信息量相等，此时传输的信息速率达到信道容量的值。
（其实这是编码的思想，与之对应的为限失真编码的思想。
香农本人并没有提出明确的编码方法，但是给出指导意义）与无失真的信道相比，如信道存在一定的损耗，即表明有传递概率。
此时我们换一个角度。
我们使信源概率分布固定不变，因为平均交互信息量I(X;Y)是信道传递概率P(Y/X)的下凸函数，因此我们设想一种信道，该信道的传递概率P(Y/X)能使平均交互信息达到最小。
注意，此时的传递概率P(Y/X)就相当于“允许一定的失真度”，此时我们能这样理解：即在允许的失真度的条件下，能使平均交互信息量达到最小，就表明我们传输的信息可以达到最小，原来的信息量还是那么大。
现在只需传输较小信息，表明压缩的空间是非常大的。
无失真压缩和限失真压缩其实是数学上的对偶问题。
即无失真压缩是由平均相互信息量的上凸性，调整信源概率分布，使传输的信息量达到最大值C，这个值就是信道容量。
（信道容量是不随信源概率分布而改变的，是一种客观存在的东西，我们只是借助信源来描述这个物理量，事实上也肯定存在另外一种描述方式。
）限失真压缩则是相反，他考虑的是信源概率分布固定不变，是调节信道转移概率的大小，使平均交互信息量达到最小。
此时信道容量还是相同，只是我们要传输的信息量变小了，（时效性）有效性得到提高。
信息论发展史
信息论发展史内容摘要：信息论经过六十多年的发展，现在已经成为现代信息科学的一个重要组成部分，信息论是现代通信和信息技术的理论基础。
现代信息论又是数学概率论与数理统计下年的一个分支学科。
现在信息论已经成为国内数学系信息与计算科学专业的一门必须课程。
作为信息论的奠基人克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon ），于1948年和1949年发表的两篇论文一起奠定了现代信息论的基础。
关键字：信息论(information theory）、克劳德·香农（Claude Shannon）、数学、信息与传输一．信息论概念及其研究发向信息论，顾名思义是一门研究信息的处理和传输的科学；即用概率论与数理统计方法来探究信息的度量、传递和变换规律的一门学科。
它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法，信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域，这两个方面又由信息传输理论、信源－信道隔离定理相互联系。
信息是系统传输和处理的对象，它载荷于语言、文字、图像、数据等之中。
这就是现代信息论的出发点。
二．信息论创始人—香农香农（Shannon）1948年也在《贝尔系统技术杂志》上发表了两百多页的长篇论文《通信的数学理论》；第二年，他又在同一杂志上发表了另一篇名著《噪声下的通信》。
在这两篇论文中，他经典地阐明了通信的基本问题，提出了通信系统的模型，给出了信息量的数学表达式，解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等有关精确地传送通信符号的基本技术问题，并且开始创造性的定义了“信息”。
这两篇论文成了现在信息论的寞基著作。
而香农也一鸣惊人，成了这门新兴学科的奠基人。
克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon ）美国数学家，信息论的创始人。
信息论初步.
编码长度：信源发出的不同信号在传输中需要用 多长的编码传输，能够节省对信道的占用，并在 接收方获得不歧义的信息 Entropy（熵）：测量随机变量不确定性，反映混 乱程度 Mutual Information（互信息）：测量两个随机变 量的相关/相互依赖程度。解释当已知一个变量时 能对减少另一个变量不确定性起到多大的贡献。 Kullback-Leibler divergence：比较两个分布的差 异
How How
do we measure the “randomness” of X? do we design optimal coding for X?
3. 熵
熵率
4.联合熵、条件熵
H(Y|X)代表：当接 收方已知变量X时， 信源方还需要提供 平均多少信息才能 传达变量Y
5.互信息
3.熵在TIM中的用途
Feature selection:
If
we use only a few words to classify docs, what kind of words should we use? P(C| “computer”=1) v.s. p(C | “the”=1): which is more random? (C is the category of the topics)
Text compression:
Some
documents (less random) can be compressed more than others (more random) Can we quantify the “compressibility”?
In general, given a random variable X following distribution p(X),
信息认识--信息理论基础知识-一起来了解信息论
信息认识--信息理论基础知识-一起来了解信息论一起来了解信息论作者：蔡筱英 | 来源：信息方法概论 ]学习要点：信息论是研究信息的计量、发送、传递、交换、接收和储存的一门新兴学科。
信息论有狭义信息论与广义信息论之分。
狭义信息论由美国数学家、电机工程师商农在1948年创立的,其出发点是解决信息传递(通信)过程中的一系列理论问题。
因此，狭义信息论也叫统计通信理论。
广义信息论通常叫做信息科学。
信息论(information theory)是关于信息的本质和传输规律的科学的理论，是研究信息的计量、发送、传递、交换、接收和储存的一门新兴学科。
人类的社会生活是不能离开信息的，人类的社会实践活动不光需要对周围世界的情况有所了解并能做出正确的反应，而且还要与周围的人群沟通关系才能协调地行动。
这就是说，人类不仅时刻需要从自然界获得信息，而且人与人之间也需要进行通信，交流信息。
人类需要随时获取、传递、加工、利用信息，否则就不能生存。
人们获得信息的方式有两种；一种是直接的，即通过自己的感觉器官，耳闻、目睹、鼻嗅、口尝、体触等直接了解外界情况；一种是间接的，即通过语言、文字、信号等传递消息而获得信息。
通信是人与人之间交流信息的手段，语言是人类通信的最简单要素的基础。
人类早期只是用语言和手势直接进行通信，交流信息。
“仓颉造字”则使信息传递摆脱了直接形式，同时扩大了信息的储存形式，可算是一次信息技术的革命。
印刷术的发明，扩大了信息的传播范围和容量，也是一次重大的信息技术变革。
但真正的信息革命则是电报、电话、电视等现代通信技术的创造与发明，它们大大加快了信息的传播速度，增大了信息传播的容量。
正是现代通信技术的发展导致了关于现代通信技术的理论——信息论的诞生。
信息论的创始人是美国贝尔电话研究所的数学家仙农(C. E. Shannon，1916——) ，他为解决通信技术中的信息编码问题，把发射信息和接收信息作为一个整体的通信过程来研究，提出了通信系统的一般模型；同时建立了信息量的统计公式，奠定了信息论的理论基础。
Information theory
Notice that we can think of the entropy as average length of message needed to transmit the outcome of the random variable.
6
An example
Uniform distribution: pi=1/8. Uniform distribution has higher entropy.
expectation.
10
Mutual information (互信息)
We showed: H(X,Y) = H(X) + H(Y|X) = H(Y) + H(X|Y), which implies: H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X)
This difference is called the mutual information between X and Y and is denoted I(X;Y):
–
On the other hand: P{X = x,Y = y} = P{X = x} P{Y = y} = pq Therefore, the function I should satisfy the identity I(pq) = I(p) + I(q)
4
–
Information: Mathematical Form
2
Data Transmission Intuition
Intuition: a ‘Good’ compression algorithm (e.g., Huffman coding) encodes more frequent events with shorter codes;
雅思文章information theory
雅思文章information theory Information theory is a branch of applied mathematics that deals with how to efficiently transmit and store information. It was first introduced by Claude Shannon in 1948 and has since played a crucial role in the development of modern communication technologies.At its core, information theory is concerned with measuring the amount of information contained in a message or signal. This is typically done using a metric known as entropy, which is a measure of the uncertainty or randomness of the message. Messages with high entropy contain more information, as they provide more uncertainty or surprise to the receiver.One of the key insights of information theory is that information can be efficiently transmitted through a noisy channel if the message is coded in such a way that errors can be detected and corrected. This has led to the development of sophisticated error-correcting codes that are used in modern communication systems such as satellite communications and mobile phone networks.Information theory has also played a significant role in other areas of science and engineering. For example, it has been used to study thenature of biological systems, such as the genetic code, and to design efficient algorithms for data compression and digital signal processing.In summary, information theory is a fascinating area of study that has had a profound impact on modern communication and information technologies. Its insights and techniques have enabled the efficient transmission and storage of vast amounts of information, and its ongoing development promises to continue shaping our digital world in the years to come.。
信息论2章1,23节(上课用)
q
m
P( xy)logP( xy)
XY
联合熵的性质：
通信与信息基础教学部
33
信息论课件
平均互信息量
定义：
两个离散随机事件集合X和Y，若 其任意两事件间的互信息量为I(xi；yj)， 则其联合概率加权的统计平均值，称为 两集合的平均互信息量，用I(X；Y)表示。
M N M
通信与信息基础教学部
16
信息论课件
联合自信息量
定义：若有两个消息
xi，xj同时出现， 可用联合概率P(xi，xj)来表示，这时的自 信息量定义为
I ( xi , y j ) log p( xi , y j )
通信与信息基础教学部
17
信息论课件
当xi和xj相互独立时，有P(xi， xj)= P(xi)P(xj)，那么就有I(xi， xj)= I(xi)+ I(xj)
XY XY
通信与信息基础教学部
30
信息论课件
条件熵
物理含义：
称：H(X/Y)为信道疑义度。
称：H(Y/X)为信道噪声熵或散步度。
通信与信息基础教学部
31
信息论课件
举例：已知信源 X、Y 0， 概率为
1 p(a1 0，b1 0） p(a2 1，b2 1） 8
信息论课件
信息论 Information Theory
蒋青
jiangq@ TEL：62460517
通信与信息基础教学部
1
信息论课件
2 离散信源及其信息测度
2.1 信源的数字模型及分类 2.2 离散信源的信息量和信息熵 2.3 信息熵的基本性质 2.4信息熵的唯一性定理 2.5 离散无记忆的扩展信源 2.6 离散平稳信源 2.7马尔可夫信源 2.8信源剩余度与自然语言的熵
信息论基础论文
信息论基础发展史信息论( information theory )是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。
是专门研究信息的有效处理和可靠传输的一般规律的科学，是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。
信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。
这两个方面又由信息传输定理、信源－信道隔离定理相互联系。
信息论从诞生到今天，已有五十多年历史，是在20 世纪40 年代后期从长期通讯实践中总结出来的，现已成为一门独立的理论科学，回顾它的发展历史，我们可以知道理论是如何从实践中经过抽象、概括、提高而逐步形成的。
它是在长期的通信工程实践和理论研究的基础上发展起来的。
通信系统是人类社会的神经系统，即使在原始社会也存在着最简单的通信工具和通信系统，这方面的社会实践是悠久漫长的。
电的通信系统( 电信系统) 已有100 多年的历史了。
在一百余年的发展过程中，一个很有意义的历史事实是：当物理学中的电磁理论以及后来的电子学理论一旦有某些进展，很快就会促进电信系统的创造发明或改进。
当法拉第(M . Faraday)于1820年--1830 年期间发现电磁感应的基本规律后，不久莫尔斯(F ．B．Morse) 就建立起电报系统(1832 —1835) 。
1876 年，贝尔(A . G. BELL)又发明了电话系统。
1864 年麦克斯韦(Maxell) 预言了电磁波的存在，1888 年赫兹(H ．Hertz) 用实验证明了这一预言。
接着1895年英国的马可尼(G.Marc oni) 和俄国的波波夫(A . C. n on oB)就发明了无线电通信。
本世纪初(1907 年) ，根据电子运动的规律，福雷斯特(1 ，Forest) 发明了能把电磁波进行放大的电子管。
信息论基础英文版
信息论基础英文版
Information Theory（信息论）是由克劳德·香农（Claude Shannon）于1948年提出的，它研究信息传输、存储和处理的数学模型和原则。
虽然没有特定的书名叫做"Information Theory Basics"，但有很多关于信息论的经典教材和参考书籍可以提供基础知识。
以下是几本经典的英文书籍，涵盖了信息论的基础知识：
1."Information Theory, Inference, and Learning Algorithms" by David MacKay - 这
本书介绍了信息论的基本原理，并将其与概率统计和机器学习联系起来。
2."Elements of Information Theory" by Thomas M. Cover and Joy A. Thomas - 这是
一本信息论领域的经典教材，涵盖了信息论的基本概念、编码理论、数据压缩和通信方面的内容。
3."A Mathematical Theory of Communication" by Claude E. Shannon - 这是克劳
德·香农的原始论文，其中提出了信息论的基本概念和理论框架。
这些书籍提供了信息论的基本原理、数学模型、应用和实践方面的详细信息，适合想要深入了解信息论的人阅读。
可以通过在线书店或图书馆获取这些书籍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例4：计算自信息
设在一正方形棋盘上共有64个方格，如果甲将一粒 棋子随意的放在棋盘中的某方格且让乙猜测棋子所 在位置。 (1) 将方格按顺序编号，令乙猜测棋子所在的顺 序号。问猜测的难易程度。 (2)将方格按行和列编号，甲将棋子所在方格的列 编号告诉乙之后，再令乙猜测棋子所在行的位置。 问猜测的难易程度。
熵函数的性质
离散随机变量X的概率空间为
x2 xn X x1 P( X ) p( x ) p( x ) p( x ) 1 2 n
伴随一个事件发生带来信息，其信息的“量”应该有下面的 性质（公理性条件）： (1) 如果p(x1) < p(x2)，则I(x1) > I(x2)， I(xi )是 p(xi) 的单 调递减函数； (2) 如果p(xi)=0，则I(xi ) → ∞ ; 如果p(xi)=1，则I(xi ) =0 ; (3)由两个相对独立的事件所提供的信息量，应等于它们 分别提供的信息量之和： I(xi yj)=I(xi )+I(yj)
一信源有6种输出符号，概率分别为
P(A)=0.5， P(B)=0.25，P(C)=0.125，P(D)=P(E)=0.05，P(F)=0.025
1) 计算H(X)。 2) 求符号序列ABABBA和FDDFDF的信息量，并将之与6位 符号的信息量期望值相比较。 解：
1)由信息熵定义，该信源输出的信息熵为
信息量定义
随机事件 xi 的自信息定义为该事件发生概率的对数的负值：
I ( xi )
log p( xi )
关于对数底的选取 以2为底，单位为比特(bit) 以e为底，单位为奈特(nat) 以10为底，单位为哈特莱 (Hartley)
一般都采用以2为底的对数，为了书写简洁，有时把底数2略 去不写。
n
... ...
i
p ( xq ) xq
p( x ) 1
i 1
离散平稳无记忆信源的N次扩展信源
假定信源输出的是N长符号序列，把它看成是一个 新信源，称为离散平稳无记忆信源的N次扩展信源 ，用N维离散随机矢量来表示
X X1 X 2
XN X N
N次扩展信源的概率空间为
2 i qN X N 1 p ( ) p( ) p( ) p( ) 1 2 i qN P( X )
i 是一个长为N的序列， i xi xi 1 2
xiN
例1: 计算自信息
设在甲袋中放入n个不同阻值的电阻，随意取出 一个，求当被告知“取出的电阻阻值为 i ”时所 获得的信息量。
i 1
信息熵的意义
信源的信息熵是从整个信源的统计特性来考虑的。它是从平均意义 上来表征信源的总体特性的。对于某特定的信源，其信息熵只有一 个。不同的信源因统计特性不同，其信息熵也不同。
例5 计算平Байду номын сангаас自信息-信息熵
例如掷一个六面均匀的骰子，每次出现朝上一面的点数是随 机的，以朝上一面的点数作为随机试验的结果，并把试验结 果看作一个信源的输出，试建立数学模型。 解：信源的输出：离散随机变量X X：{1，2，3，4，5，6} X： [X • P]= 1
不确定性vs.信息量
自信息可以从两个方面来理解：
自信息是事件发生前，事件发生的不确定性 自信息表示事件发生后，事件所包含的信息量
单位之间的换算关系：
1奈特= log2 e 比特=1.443比特
1哈特莱= log210 比特=3.322比特 1 r进制单位 = log2r 比特
log c b log a b log c a
信源的主要问题
信源分类
根据信源输出消息在时间和取值上是离散或连续分类
信源的分类及其数学模型
根据信源发出的消息序列中的消息，统计特性是否保持不变
信源可分为平稳信源/非平稳信源
根据信源发出的单个消息取值是离散值还是连续值， 信源可分为离散信源/连续信源 根据信源发出的消息之间是否有统计依赖关系， 信源可分为有记忆信源/无记忆信源 本书重点研究 离散平稳无记忆信源，以及较简单的有记忆信源－马尔 可夫信源
——样本空间
P（X）：{P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，…， P(X=6)= 1/6} 2 3 4 5 6
——概率空间
P(X)： 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
1/6
0 p( xi ) 1i 1,2 ,6
p( x ) 1
i 1 i
6
例6 计算平均自信息-信息熵
p( x1 ) 1 1 n(n 1) 2 ... p( xn ) n 1 n(n 1) 2
1 1 I ( x1 ) log n(n 1) ... I ( xn ) log (n 1) 2 2
例3：计算自信息
设在A袋放入n个不同阻值的电阻，随意取出一个， 求当被告知“取出的电阻阻值为i”时所获得的信 息量。 在B袋中放入m种不同功率的电阻，任意取出一个 ，求被告知“取出的电阻功率为 j ”时获得的信 息量。 在C袋中放入n种不同阻值，而每种阻值又有m种 不同功率的电阻，即共有nm个电阻，随意选取一 个，被告知“取出的电阻阻值为i，功率为j”时获 得的信息量。
第1周-第16周，每周二，13:20-15:50 ，下沙校区A-201教室 信息论假说 ：物质、能量与信息是组成世界的三大要素。人们已经 很深入地了解了物质与能量，而对信息的认识还相对较少。 信息论是运用概率论与数理统计的方法对信息定量化，将信息的传 递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信 息传输、信息压缩以及信息保密是信息论研究中的重要领域。 研究信息论基本内容及相关应用，即信息熵、信道容量以及信源和 信道编码和保密通信等问题，为进一步学习相关课程打下基础。 出勤(15%)+平时的作业(35%)+期末考试(50%) /s/1kT1X4Jd ftp://kfchen:public@
例 3：
解：对应A,B,C三袋，随意取出一个电阻事件的概 率分别为：
1 p( xi ) n
1 p( y j ) m 1 p( xi y j ) nm
因此
I(xi)=– logp(xi )=log n 比特 I(yj)= – logp(yj )=log m 比特 I(xi yj)= – logp(xi yj ) =log (n m) = I(xi) + I(yj)比特
解： 由于是随意取出一个电阻,所以取出任意阻值 的电阻的概率相等:
1 p( xi ) n
i 1，2， ，n
比特
I ( xi ) log p( xi ) log 2 n
例2: 计算自信息
1 在乙袋中放入 nn 1 个电阻，其中阻值为1 2
的1个，2 的2个，…，n 的 n个，随意取出一 个，求被告知“取出的电阻阻值为1 ”和“取出 的电阻阻值为n ”时分别获得的信息量。 解：
例 4：
解： p(xi yj )=1/64 i=1,2,…,8; j= 1,2,…,8
(1) I(xi yj)= – logp(xi yj )= 6 比特
(2) I(xi | yj)= – logp(xi | yj ) = – log[p(xi yj )/ p(yj )]=3 比特 I(xi ) = – logp(xi)= 3 比特 I(yj) = 3 比特
log 2 b log10 b log 2 10
互信息定义
如果事件a与事件b相互有联系，知道一个结果会对预测另一 个结果有帮助 例: 某猜奖游戏, 3扇门后面分别是: iPhone6s, 200元充值卡, 100元充值卡
打开一扇门后发现是充值卡，允许你改变当初的选择 你是否会改变？
互信息定义为： I (a; b) I (a) I (a | b)
信息论基础 Elements of Information Theory
陈克非 杭州师范大学理学院 kfchen@
/s/1kT1X4Jd ftp://kfchen:public@
课程安排&课程要求
上课时间地点
离散单符号信源
离散单符号信源：输出离散取值的单个符号的信源
离散单符号信源是最简单、最基本的信源，是组成实际 信源的基本单元，可以用一个离散随机变量来表示
离散单符号信源X的概率空间
X x1 P( X ) p( x ) 1
p ( xi ) 0
x2 p ( x2 )
符号序列FDDFDF所含的信息量为 I 2 3I D 3I F 3 log PD log PF 3 log 20 log 40 28.932 bit
6位符号序列的信息量平均值为 I 6 H ( X ) 11.64 bit
I1 I I 2
互信息有两方面的含义
log p(a) log p(a | b) p ( a | b) log p(a)
表示事件b出现前后关于事件a的不确定性减少的量 事件b出现以后信宿获得的关于事件a的信息量
信源的分类及其数学模型
信源是产生
消息（符号）、 消息序列（符号序列） 时间连续的消息的来源 如何描述信源的输出（信源的建模问题）√ 怎样确定信源产生的信息量、产生信息的速率 √ 信源编码
什么是信息论
本课程的目标
考核要求
电子课件
教材及参考书
傅祖芸，赵建中，信息论与编码 （第二版），电子工业出版社， 2014 李梅, 李亦能, 信息论基础教程 （第4版）, 北京邮电大学出版社, 2008 于秀兰，王永，陈前斌，信息论 与编码，人民邮电出版社2014 T. M. Cover and J. A. Thomas, Elements of Information Theory, （信息论基础, 机械工业出版社, 2012） R. Bose, Information Theory, Coding and Cryptography, （信 息论、编码与密码学, 机械工业 出版社, 2005）