含参数的二元一次方程组
含参数的二元一次方程组
专题：含参的二元一次方程组分析：用两个不含参数的二元一次方程重组，求解得参数。
4x y 5 mx ny 3的解和 的解相同，求3x 2y 1 mx ny 1、解的性质例 3 ：已知关于 x,y 二元一次方程组一、同解问题 例 1：已知关于 x,y 二元一次方程组 x y 1 4x ay的解是二元一次方程3 x y 3的解，求 a 的值。
变式 1：已知方程组2x 3y 3x 5y的解适合 x28 ，求 m 的值 .变式 2：已知二元一次方程组4x y 5的解和mx ny 33x 2y mx ny11 的解相同，m,n 的值。
例 2 ：已知二元一次方程组m,n 的值。
4x 3y 7 的解 x,y 的值互为相反数，求 k 的值。
kx (k 1)y 3变式4：若方程组3x y k 1的解x,y满足0 x y 1，求k 的取值范围。
x 3y 3分析：观察方程组和所求式子的结构共性，把二元一次方程组中的参数作整体化处理三、错解问题例4：甲乙两人同时解关于x, y的方程组ax y 3，甲看错了b ，求得的解为2x by 1 的解为x 1，你能求出原题中的a,b 的值吗？y3分析：将解代入没看错的方程看错了方程②中的b，得到方程组的解为x y 54.试计算a2017 ( 110b)2018的值.变式3：已知方程组y 2k3y 1 5k的解x 与y 的和是负数，求k 的取值范围。
变式5：甲、乙两人共同解方程组ax4x5yby152①②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为31；乙1，乙看错了a，求得例5 ：已知3x 7y z 3，求x y4 x 10y z 4z的值。
变式6：已知3x 4y z2x y 8z0，其中xyz2 2 20 ，求x y z的值。
xy yz 2 zx专题：解三元一次方程x yzx yz例 2 ：解 2 34变式 3： 3 4 2x y z 182x 3y z 162x y z 183x y 2z 3 例 4：2x y 3z 11x y z 12例 1 ：解xy2 y 2z 4xz1x 2y 9变式 1：y z 32z x 47变式 2：若 x y 2y z342z x 51，求 x, y,z例 3:y z 26 y1变式 4 ：x y 2z 2x y z 3x z 03x y 2z 3变式 5：2x y 3z 11 x y z 12。
二元一次方程10道题带过程
二元一次方程10道题带过程【原创版3篇】篇1 目录1.引言：二元一次方程的概述2.二元一次方程的求解方法3.例题一：解一个简单的二元一次方程组4.例题二：解一个含有分数的二元一次方程组5.例题三：解一个含有绝对值的二元一次方程组6.例题四：解一个含有平方项的二元一次方程组7.例题五：解一个含有两个未知数的二次项的二元一次方程组8.例题六：解一个含有参数的二元一次方程组9.例题七：解一个含有矩阵的二元一次方程组10.例题八：解一个含有行列式的二元一次方程组11.例题九：解一个含有高次项的二元一次方程组12.例题十：解一个含有多个方程的二元一次方程组13.结论：二元一次方程的求解技巧和注意事项篇1正文二元一次方程是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组，是代数学中的基本内容之一。
在解决实际问题中，我们常常会遇到需要解决二元一次方程的问题。
本文将通过十个例子，详细讲解如何解决二元一次方程。
首先，我们需要了解二元一次方程的求解方法。
一般地，我们可以通过以下步骤求解：1.列出方程组；2.消元，将方程组化为一个一元一次方程；3.解出一个未知数；4.将已知数代入原方程，解出另一个未知数。
下面，我们将通过十个具体的例子，详细讲解如何运用以上方法解决二元一次方程。
例题一：解一个简单的二元一次方程组。
方程组：x + y = 6, x - y = 2。
解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：2x = 8，解得 x = 4，代入原方程解得 y = 2。
例题二：解一个含有分数的二元一次方程组。
方程组：x + y = 6, x - y = 1/2。
解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：2x = 15/2，解得 x = 15/4，代入原方程解得 y = 11/4。
例题三：解一个含有绝对值的二元一次方程组。
方程组：x + y = 6, |x - y| = 2。
解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：x - y = 2 或 x - y = -2，解得两组解：x = 4, y = 2 或 x = 2, y = 4。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之二元一次方程组难题汇编含答案
所以9-m＜0
解得m＞9
故选：A.
点睛：此题主要考查了非负数的应用，关键是根据平方数和绝对值的非负性构造二元一次方程组.
2．二元一次方程 的正整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】A
【解析】
【分析】
通过将方程变形，得到以 的代数式，利用倍数逻辑关系，枚举法可得．
【详解】
∵由 可得， ， 是正整数．
16．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）
A．106cmB．110cmC．114cmD．116cm
【答案】A
【解析】
【分析】
通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
x-y=-1.
故选A.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解法，利用整体思想可以是本题解决过程变得简单.
12．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设有x人，物品价值y钱，根据题意相等关系：①8×人数﹣3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组.
参数和系数
参数和系数
参数和系数是数学中常见的概念。
在方程、函数、多项式等数学问题中，参数和系数都是至关重要的元素。
参数指的是在某个数学问题中，可以调节的变量。
例如，在一元二次方程 y=ax^2+bx+c 中，a、b、c 就是参数，它们的值可以根据
具体情况进行调整。
在函数 y=f(x) 中，如果 f(x) 含有一个参数 k，那么改变 k 的值，函数的图像也会发生相应的变化。
系数则是数学中的一种常数，它出现在某个式子中，并且不随某个变量的变化而变化。
例如，在二元一次方程组中，x+y=3 和 2x+3y=7，其中的系数分别是 1、1、3 和 7。
在多项式
f(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+c 中，a、b、...、c 都是系数。
在数学中，参数和系数的概念十分类似，但是它们在实际应用中有着不同的作用。
参数常常表示某个问题的未知量，其值可以根据问题的具体情况进行调整，从而得到最优解；系数则是问题中的已知量，它们的值可以被确定下来，从而帮助我们求解问题。
总之，参数和系数是数学中不可或缺的概念，它们的理解和运用是我们学习数学的必修课程。
- 1 -。
二元一次方程组计算题100道含过程
二元一次方程组计算题100道含过程
1. 题目
解下列二元一次方程组：
1.2x + y = 6 3x - y = 4
2.-x + y = 5 2x + 3y = 8
…
2. 解答
问题1
1.将第一个方程变形为：2x = 6 - y，然后列出方程组为： 2x = 6 - y 3x - y = 4
2.将第一个方程中的2x代入第二个方程，得出：(6 - y) + 3x - y = 4，化简后为： -2y + 3x = -2
3.将上述方程整理为标准形式：3x - 2y = -2
4.解方程组： 2x + y = 6 3x - 2y = -2
可以通过消元法或代入法进行解答。
…
问题2
1.将第一个方程变形为：-x = 5 - y，然后列出方程组为： -x = 5 - y 2x + 3y = 8
2.将第一个方程中的-x代入第二个方程，得出：(5 - y) + 2x + 3y = 8，化简后为： 2x + 2y = 3
3.将上述方程整理为标准形式：2x + 2y = 3
4.解方程组： -x + y = 5 2x + 2y = 3
可以通过消元法或代入法进行解答。
…
以此类推，解答剩下的97道题目。
结论
通过解答以上100道二元一次方程组计算题，我们可以得到每道题的解。
在解答过程中，使用了消元法和代入法两种常见的解方程的方法。
这些题目的目的是帮助我们熟悉解二元一次方程组的过程，并加深对方程组解法的理解。
注意：以上解答过程仅以两种常见的解法作为示例，实际解答时可以根据问题的具体情况选择合适的解法。
人教版初中数学中考复习 一轮复习-一次方程及其解法(含参)(2)
x y 3的解，求a的值。
考点二:二元一次方程含参问题
已知方程组2mxx5nyy246, 与n3xx m5 yy
8 ,
36
有相同的解，求m,
n的值。
考点二:二元一次方程含参问题
类型二：解的性质
1.如果关于x、y的二元一次方程组2ax3x
2y 5 (a 2) y
的x与y的值相等， 4
那么a
D.无法判断
追问：m的值是多少？
考点三:二元一次方程与一次函数
2.在二元一次方程组
2x 3y 1 0 6x my 3 0
中，当m=
无数组解。
追问：请你讨论该方程解的情况。
时，这个方程有
考点三:二元一次方程与一次函数
3.已知方程组
2x ky 4
x
2
y
0
有正数解，则k的取值范围是
。
考点三:二元一次方程与一次函数
练习1.
已知xy
21是二元一次方程组mmxx nnyy
7的解，则m 1
n
考点二:二元一次方程含参问题
练习2.
已知xy
25和
x 1 是方程ax y 10
by
15的两个解，则a
考点二:二元一次方程含参问题
类型二：方程同解
1.已知关于x、y的二元一次方程组4xxayy
1 的解也是二元一次方程 3
x2 y 1
考点一:二元一次方程（组）及其解法
例2. 用代入法解方程组2xxyy1106
① ②
解：由①得x=10-y ③ 把③代入②，得2（10-y）+y=16 y=4 把y=4代入③，得x=6
所以这个方程的解为 xy
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高三参数方程知识点
高三参数方程知识点高三学生在学习数学的过程中，会接触到各种不同的知识点和概念。
其中，参数方程是高三数学学习中的一个重要内容。
本文将详细介绍高三参数方程的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握该知识。
一、参数方程的概念参数方程是指以一个或多个参数表示的函数关系，其中参数的取值范围可以是任意的。
一般来说，参数方程可以将曲线或曲面上的点表示为参数的函数。
二、参数方程的表示方法1. 一元一次方程组参数方程最简单的形式是一元一次方程组。
例如，对于平面上的曲线，可以用两个一元一次方程来表示。
常见的一元一次方程组形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
2. 二元一次方程组在三维空间中，参数方程可以用二元一次方程组表示。
形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，u和v是参数。
三、参数方程的应用参数方程在几何图形的描述和计算中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 曲线的参数方程参数方程可以描述各种曲线，如直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
通过参数方程，我们可以很方便地计算曲线上的点的坐标，进而绘制曲线。
2. 曲线的长度和曲率参数方程在计算曲线的长度和曲率时非常有用。
通过确定参数的取值范围，并计算相邻点的距离，我们可以求得曲线的长度。
此外，通过求导数和二阶导数，我们还可以计算曲线的曲率和曲率半径等重要指标。
3. 曲面的参数方程参数方程可以用于描述各种曲面，如球面、圆柱、圆锥和双曲面等。
通过参数方程，我们可以计算曲面上的点的坐标，进而绘制出复杂的三维图形。
四、参数方程的特点和优势参数方程具有一些独特的特点和优势，使其在数学领域得到广泛应用：1. 灵活性：参数方程中的参数可以取任意实数值，因此可以描述各种不同的几何图形。
2. 简洁性：用参数方程表示几何图形时，通常可以用更简洁的形式表示，较少出现复杂的运算和方程。
人教版含参数的二元一次方程组的解法
例2：
｛ 关于x、y的方程组
4x+y=5 3x-2y=1
的解和
｛ mx+ny=3 mx-ny=1
的解相同，求m、n.
变式：
｛ 3x-5y=16 nx+my=-8
｛ 2x+5y=-6 mx-ny=-4
例3：
｛ 甲、乙两人同时解方程组
mx+ny=1 mx-ny=5
x+2y=3
其中x+by=2 cx-7y=8 时，
｛ 本应解出 x=3 y=-2
，由于看错了系数c，从而
｛ 得到解
x=-2 y=2
，试求a+b+c.
专题训练
含参数的二元一次方程组的解 法
参数：在方程中除了未知数以外的其他字母
新课导入
｛ 关于x、y的方程组
x=m y=3m+2
其中x+y=10，求m的值.
例1：
｛ 关于x、y的方程组
2x+3y=3m x+2y=3
其中x+y=2，求m的值.
练习：
｛ x+2y=k
关于x、y的方程组 3x+5y=k-1
由于
｛x=3
甲看错了方程①中的m，得到的解是， y=2
｛x=2
乙看错了方程②的n，得到的解是 y=1 ，
试求正确m、n的值。
小结：通过本节课你有什么收获？
作业：
｛ 1 关于x、y的方程组
x+2y=4k 2x+y=2k+1
其中x－y=13，求k的值.
｛ 2 关于x、y的方组
2mx－y=4m +3
方程与不等式之二元一次方程组全集汇编及解析
方程与不等式之二元一次方程组全集汇编及解析一、选择题1 .二元一次方程3x+y = 7的正整数解有（ ）组.A . 0B . 1C . 2【答案】 C 【解析】【分析】 分别令 x=1 、2进行计算即可得 【详解】 解:方程 3x+y=7， 变形得 :y=7-3x ， 当 x=1 时，y=4;当 x=2 时，y=1,则方程的正整数解有二组 故本题答案应为： C【点睛】 本题考查了二元一次方程的解，给出一个未知数的值求出另一个未知数的值即可2.某家具生产厂生产某种配套桌椅 （一张桌子，两把椅子 ），已知每块板材可制作桌子 1张或椅子 4把，现计划用 120 块这种板材生产一批桌椅 （不考虑板材的损耗，恰好配套 ），设用 x 块板材做椅子，用 y 块板材做桌子，则下列方程组正确的是（）【分析】根据“用 120 块这种板材生产一批桌椅 ”，即可列出一个二元一次方程，根据 “每块板材可做 桌子 1 张或椅子4 把，使得恰好配套，一张桌子两把椅子 ”，列出另一个二元一次方程，即 可得到答案.【详解】解：设用x 块板材做椅子，用y 块板材做桌子， •••用120块这种板材生产一批桌椅，••• x+y=120 ①,生产了 y 张桌子， 4x 把椅子， •••使得恰好配套，1张桌子2把椅子， • 4x=2y ② ， ① 和② 联立得：D .无数x A.2xy 120 4yx B.2y 4x120x C .4x答案】 解析】y 1202yCxD .x120 4yx y 120 4x 2y故选： C. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组 是解题的关键.3.若(x+y — 1) 2+|x — y+5| = 0，则 x =( )A .— 2B . 2C . 1【答案】 A【解析】 【分析】 由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 【详解】解得： 故选： 【点睛】 本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的解法，根据两个非负数的和为零则这两 个数均为零得出方程组是解决此题的的关键 .4.某人购买甲种树苗 12棵，乙种树苗 15棵，共付款 450元，已知甲种树苗比乙种树苗 每棵便宜 3 元，设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵 y 元.由题意可列方程组（）【解析】 【分析】根据 购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元”可列方程12x+15y = 450；由甲 种树苗比乙种树苗每棵便宜 3元”可列方程y -x = 3，据此可得.【详解】设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵 y 元.解：••• x+y — 1) 2+|x — y+5| = 0,D .— 1x 即可 .A.12x 15y 450 A.x y 312x 15y 450 B.y x 312x 15y 450C .y 3 x【答案】 B 12x 15y 450D .x3y，口土亠 「、计/n 12x 15y 450 由题意可列万程组y x 3故选：B . 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据 题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组.5. 下列方程组中，是二元一次方程组的是【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义进行判断即可. 2,属于二元二次方程组，故本选项错误; B 、 该方程组中含有 3个未知数，属于三元一次方程组，故本选项错误；C 、 该方程组中未知数的最高次数是 2,属于二元二次方程组，故本选项错误；D 、 该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；故选D . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知 数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程.3x 2y =4① 2x y =2②‘①②得：x-y=2,1则原式=2-2= —.x A . y1 13 2x3x y 5B .2y z 6C. r y 1 5 2xy 1-2 D .2 y 2x 4【详解】解：A 、该方程组中未知数的最高次数是6.已知方程组3x 2y 4，则2x -2y =()1A.-4【答案】A1B.-2C. 2D . 44 故选A.【解析】 【分析】值. 【详解】解：2x+3y-z = 0 ①，x-2y+z = 0 ②， ①+②，得3x+y=0,X 1解得，一— y 3故选D .【点睛】 本题主要考查解三元一次方程组，解答本题的关键是明确题意,【解析】 【分析】 再将其相减即可得解.【详解】 解：•••X m 5① y 3 m ② 由①得, x m 5由②得,y m 3••• x ym 5故选：C【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组、 解决本题的关键.7.如果 2x 3y z 0,且 x 2y x 0，那么一的值为（yA . 1 【答案】D B- 1c-3将题目中的两个方程相加，即可求得3x+y=0的值，根据 x 与y 的关系代入即可求出求出所求式子的值.5,可得到mx 与y 的关系式是（）A . x y【答案】CB . xC. x yD . x y先解方程组求得以及代数求值的知识点，熟练掌握相关知识点是/.( a+b)( a-b) = (-1+4) x(-1-4) =-15.故选：B . 【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键.10.为丰富同学们的课余活动，某校计划成立足球和篮球课外兴趣小组，现需购买篮球和 足球若干个，已知购买篮球的数量比足球的数量少1个，篮球的单价为 60元，足球的单价为30元，一共花了 480元，问篮球和足球各买了多少个？设购买篮球 x 个，购买足球y个, 可列方 程组()X y 1X y 1A .60X 30y 480B .60X 30y 480X y 1X y 1C. 30X 60y 480D .30X 60y 480【答案】B 【解析】 【分析】根据购买篮球的数量比足球的数量少1个，篮球的单价为共花了 480元”找到等量关系列出方程即可. 【详解】设购买篮球X 个，购买足球y 个，根据题意可列方程组：X y 160X 30y 480 , 故选：B .9. 若6"I 是关于X 、y 的方程组ax + by =2hx + rty =7的解，则(a+b)(a - b)的值为()B .— 15 A . 15 【答案】B 【解析】 【分析】 把方程组的解代入方程组可得到关于 (a+b )( a-b )的值. 【详解】 解：••• {:二!是关于X 、y 的方程组C. 16 D .— 16 a 、b 的方程组，解方程组可求 a , b ，再代入可求ax + by = 2 砧丽 bx ■^ay = 7的解，60元，足球的单价为 30元,9 7【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是能够找到题目中的等 量关系，难度不大.11.用5个大小相同的小长方形拼成了如图所示的大长方形，若大长方形的周长是 每个小长方形的周长是（）【解析】 【分析】【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意列出方程组是解题的关键.【答案】A 【解析】 【分析】根，即可. 【详解】6X 5y 7m 2 且 x+y=9,3x y 728,则C. 13D . 16设小长方形的长为 方形的周长. X,宽为 y ，根据题意列出方程组，解方程组求出 x,y 的值，进而可求小长【详解】 设小长方形的长为X,宽为 y ，根据题意有 X 2y (3y X X)228解得•••小长方形的周长为（4 2） 故选：A . 12，12.在方程组A . 76x 3x 5y 7m y 72的解中,y 的和等于9,则7m 2的算术平方根为B .D . J 7根据条件得到二元一次方程组X y 3x y，求出X , y 的值，进而求出7m 2的算术平方【答案】A【详解】3xy 9 x 4，解得：，y 7 y 52 = 6x 5y =6X 4+5X 5=49 2的算术平方根为：7.故选A . 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的意义，掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关 键.13.方程5x + 2y =— 9与下列方程构成的方程组的解为yA . X + 2y = 1 C. 5x + 4y =— 3【答案】D 【解析】B . 3x + 2y =— 8 D . 3x — 4y =— 8试题分析：将x 与y 的值代入各项检验即可得到结果.解：方程5x+2y=- 9与下列方程构成的方程组的解为賃二-2的是 3x — 4y=— 8.故选D .点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知 数的值.14.《九章算术》中记载：今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？ ”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱 •如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱|50;如果乙得到甲所有钱的三分之二， 甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为 yXy “ f yx + - = 502x = 50 + -2 A .B .2yC.引 y\ ■D. 2Xy + y = 50y = 50 H - I 3【解析】 【分析】设甲需带钱X ,乙带钱2- = 5Q ,据此列方程组可得. 3 y ,根据题意可得，甲的钱 +乙的钱的一半=50, 乙的钱+甲所有钱的乙带钱为/，根据题意,當【答案】A 那么乙也共有 50|.问 可列方程组为（）y - 北+矿502x— + y =故选：A . 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知 数，找出合适的等量关系，列出方程组.15.小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的 信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（y【分析】通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上 高出单独一个纸杯的高度等于 9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于 14.根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解. 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高2x y 9X 1 则，解得7x y 14y 7则 99x+y = 99 X 1+7= 106即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是 106cm .故选：A . 【点睛】本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比 较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力.本题易错点是误把 9cm 当作3个纸杯的高度，把14cm 当作8个纸杯的高度.116. 一辆汽车从 A 地驶往B 地，前-路段为普通公路，其余路段为咼速公路，已知汽车在3普通公路上行驶的速度为 60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，汽车从A 地到B解：设甲需带钱X ,乙带钱y ,根据题意, 得: A . 106cm【答案】A 【解析】B . 110cm C. 114cm D . 116cm3个纸杯叠放在一起xcm ,单独一个纸杯的高度为 ycm ,B地一共行驶了2.2h .设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为【答案】c 【解析】 【分析】2x y 60 盍 2.2故答案为：C . 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键.m 3，的解满足x > y > 0,则m 的取值范围是（）.5m【答案】A【解析】 【分析】2m 1•/x > y > 0,2m 1 m 2解之得m > 2. 故选A.【点睛】x 2y A .x y cc ———2.2B .x602y 100 2.2 2xC.x60盍2.2D .2xx 10060 2-2设普通公路长、高速公路长分别为xkm 、ykm ， 1-，结合汽车从A3的二元一次方程组，此题得解.由普通公路占总路程的地到B 地一共行驶了 2.2h ，即可得出关于 x , y 【详解】设普通公路长、高速公路长分别为 xkm 、ykm ，依题意，得:17.若关于X , y 的方程组x y2x yA . m >2B . m >— 3C.— 3< m < 2 D . m <3 或 m > 2先解方程组用含 【详解】m 的代数式表示出 X 、y 的值，再根据x >y >0列不等式组求解即可.x y m2x y 5m3，得本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含 值是解答本题的关键.18.小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了 分钟，假设小颖上坡路的平均速度是【答案】 【解析】 【分析】【详解】•••她去学校共用了 16分钟,【分析】m 的代数式表示出x 、y 的 163千米/小时，下坡路的平均速度是 5千米/小时，若设小颖上坡用了 xmin ，下坡用了 y min ，根据题意可列方程组（3x A .x 5y 1200 y 16 3——x605 —y 60 16 1.23x C.x5y 1.2 y 163一xD605—y 60 161200 根据路程=时间乘以速度得到方程3一 x60—y 1.2，再根据总时间是16分钟即可列出方60 ••• x+y=16,•••小颖家离学校1200 米,3 一x 605 60y1.2，3 一x •- 60 x y5 —y 60 161.2 故选：B. 【点睛】此题考查二 元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组，注意时间单位，这是解 题中容易出现错误的地方.19.如果方程组 by ax y的解与方程组5bx 的解相同，贝y a+b 的值为（）ay 2A . - 1【答案】B【解析】 B .C.D . 0bx ay =2 ，得到一个关于by ax = 5整理即可得出 a+b 的值.16cm ,②小长方形的1个长1个宽 4cm ，进而可得到关于 x 、y 的两个方程，可求 得解，从而可得到小长方形的面积. 【详解】设小长方形的长为 X ,宽为y ,如图可知，x 3y x y 解得:x = 4把代入方程组 尸3右两边分别相加，a ,b 的方程组，将方程组的两个方程左x = 4、, 把代入方程组尸3 bx ay =2 by ax =5得：4b 3a =2②,3b 4a =5②①+②，得：7 (a+b ) 则 a+b=1. 故选B . 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地, 解，叫做二元一次方程组的解.理解定义是关键.=7,兀一次方程组的两个方程的公共20.如图，在长方形 ABCD 中，放入六个形状、大小相同的小长方形 若AB16cm , EF 4cm ，则一个小长方形的面积为 (3 (即空白的长方形),A . 16cm 2【答案】B 【解析】 【分析】B . 21cm 2C. 24cm 2D . 32 cm 2设长方形的长和宽为未数，根据图示可得两个量关系:①小长方形的1个长3个宽164E所以小长方形的面积 3 7 21 cm2故选B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．。
二元一次方程组含参问题教学设计
二元一次方程组含参问题教学设计今天我要和你聊的是关于二元一次方程组含参问题的教学设计。
这是一个非常重要的数学概念，也是中学阶段数学教学中的重点之一。
通过深入的理解和掌握，学生可以更好地应用这一概念解决实际问题，培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在本篇文章中，我将从深度和广度两个方面对二元一次方程组含参问题的教学进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、理论基础在进行教学设计之前，首先要对二元一次方程组含参问题的理论基础有一个清晰的认识。
二元一次方程组含参问题是指方程组中的系数或常数是未知数的函数的问题。
在初中数学中，一般是用代数方法来解决这类题目。
学生需要掌握代数方法的基本原理和运用技巧，包括解方程、消元、代入等。
还需要了解二元一次方程组的图像解释和几何意义，从而更好地理解和应用这一概念。
二、教学目标针对二元一次方程组含参问题，我们的教学目标应该是帮助学生：1. 理解含参常数的概念，掌握含参一次方程的解法；2. 掌握解二元一次方程组的方法，并能熟练运用代数方法解决含参问题；3. 了解二元一次方程组的图像解释和几何意义；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学内容在教学过程中，我们应该注重以下几个方面的内容：1. 含参常数的概念：通过具体的例子，引导学生理解含参常数的概念，明确含参常数与未知数的关系，为后续解题打下基础；2. 含参一次方程的解法：结合实际问题，引导学生掌握含参一次方程的解法，重点培养学生的应用能力；3. 解二元一次方程组的方法：通过实例详细讲解解二元一次方程组的方法，并且通过实际问题的应用，培养学生解决实际问题的能力；4. 图像解释和几何意义：引导学生理解二元一次方程组的图像解释和几何意义，加深对这一概念的理解。
四、教学方法在教学过程中，我们可以采用多种教学方法，包括：1. 讲授法：通过讲解基本原理和解题方法，帮助学生理解和掌握知识点；2. 实例分析法：通过具体的例子，引导学生熟练应用知识，培养解决实际问题的能力；3. 合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作，提高学习效果；4. 案例教学法：以真实案例为背景，引导学生深入理解知识点，加强对知识点的实际运用能力。
初中数学方程与不等式之二元一次方程组技巧及练习题附答案
初中数学方程与不等式之二元一次方程组技巧及练习题附答案一、选择题1．如图， 10 块同样的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意所列方程组正确的选项是（）x2y 75x 2 y 75A ．3xB ．3yyx2x y 752x y 75C ．3xD ．3yyx【答案】 B 【分析】 【剖析】依据图示可得：矩形的宽能够表示为 x+2y ，宽又是 75 厘米，故 x+2y=75，矩的长能够表示为 2x ，或 x+3y ，故 2x=3y+x ，整理得 x=3y ，联立两个方程即可．【详解】x 2 y 75 依据图示可得，x 3 y应选 B ．【点睛】本题主要考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，重点是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．2．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3 倍等于乙数的4 倍，求甲、乙两数．若设甲数为x ，乙数为y ，由题意得方程组（）42 y xx y 4242x y x y 4211A ．3yB ．C ．D ．4y4x 4x3yxy3x34【答案】 D【分析】【剖析】依据题干关系分别列出二元一次方程，再组合行成二元一次方程组即可 .【详解】解：由甲、乙两数之和是42 可得， xy42 ；由甲数的3 倍等于乙数的4 倍可得，3x4 y ,故由题意得方程组为：x y42，3x 4 y应选择 D.【点睛】本题考察了二元一次方程组的应用，理清题干关系，分别列出两个二元一次方程即可.x=23．是方程 mx-3y=2 的一个解，则m 为 ( )y=7232319A．8B．2C．－2D．－2【答案】 B【分析】【剖析】把 x 与 y 的值代入方程计算即可求出m 的值．【详解】解：把x=2代入方程得： 2m-21=2，y=7解得： m= 23，2应选： B．【点睛】本题考察了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．二元一次方程2x+y＝ 5 的正整数解有（）A．一组B．2 组C．3 组D．无数组【答案】B【分析】【剖析】因为要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、 2、 3 分别代入方程，求出对应的值，进而确立二元一次方程的正整数解．【详解】解：当 x=1，则 2+y=5，解得 y=3，当 x=2，则 4+y=5，解得 y=1，当x=3，则 6+y=5，解得 y=-1，因此原二元一次方程的正整数解为，．应选 B．【点睛】本题考察认识二元一次方程：二元一次方程有无数组解；经常要确立二元一次方程的特别解．x5y a1的解 x 与y的差为3，则a的值为（）5．若方程组y a33xA． 0B． 7C． 7D．8【答案】 B【分析】【剖析】3a7x先利用加减消元法解方程组获得8，再依据已知条件列出对于参数 a 的方程，a3y8而后解一元一次方程即可得解．【详解】x 5y a1①解：∵3x y a3②② -①×3得，ya38 3a7① +②×5得，x83a7x∴方程组的解为：8a3 y8x5y a1∵方程组y a 的解 x 与y的差为3，即 x y 33x33a7a33∴88∴ a7．应选： B【点睛】本题考察认识含参数的二元一次方程组、列一元一次方程并解一元一次方程，能获得对于参数 a 的方程是解决问题的重点．6．重庆育才中学 2019 年“见字如面读陶分享会”盛大举行，初一年级获得了必定数目的入场券，假如每个班 10 张，则多出 15 张，假如每个班 12 张，则差 5 张券，假定初一年级共有 x 个班，分派到的入场券有y张，列出方程组为（）A ．C ．10x 5 y 12x 15 y10x y 512x 15 yB ．D ．10 x 5 y12 x 15 y 10x 5 y 12x 15 y【答案】 A 【分析】 【剖析】假定初一班级共有 x 个班，分派到的入场券有 y 张，依据 “假如每个班 10 张，则多出 5 张券；假如每个班 12 张，则差 15 张券 ”列出方程组．【详解】设初一班级共有 x 个班，分派到的入场券有 y 张，10x 5 y 则15 ．12x y应选： A ．【点睛】本题考察由实质问题抽象出二元一次方程组，解题的重点是明确题意，列出相应的方程组．7．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 10 个或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有 120 张白铁皮，设用 x 张制盒身， y 张制盒底，得方程组 ()x y 120 x y 120 x y 120 x y 120 A ．10 xB ．40xC ．20xD ．40x40y10 y40y20y【答案】 C 【分析】【剖析】第一依据题意能够得出以下两个等量关系： ① 制作盒身的白铁皮张数 +制作盒底的白铁皮的张数 =120，② 盒身的个数 ×2=盒底的个数，据此进一步列出方程组即可.【详解】∵一共有 120 张白铁皮，此中 x 张制作盒身， y 张制作盒底，∴ x y 120 ，又∵每张铁皮可制盒身10 个或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，∴ 40 y 20x ，x y 120 ∴可列方程组为：，40 y 20x应选： C.【点睛】本题主要考察了二元一次方程组的实质应用，依据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.8．某人购置甲种树苗12 棵，乙种树苗15 棵，共付款450 元，已知甲种树苗比乙种树苗每棵廉价 3 元，设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元．由题意可列方程组（）12x15y450 A．y3B．x12x15y450 C．3x D．y 【答案】 B【分析】【剖析】12x 15y450 y x312x 15y450 x 3 y依据“购置甲种树苗 12棵，乙种树苗15 棵，共付款450 元”可列方程 12x+15y＝450；由“甲种树苗比乙种树苗每棵廉价3元”可列方程 y﹣ x＝3，据此可得．【详解】设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元．由题意可列方程组12x15 y450y x3，应选： B．【点睛】本题主要考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，解题重点是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程组．9．二元一次方程3x4y 20 的正整数解有（）A．1 组B．2 组C．3 组D．4 组【答案】 A【分析】【剖析】经过将方程变形，获得以x 的代数式，利用倍数逻辑关系，列举法可得．【详解】∵由 3x 4 y 20 可得， 4y 203x, y 35x ，x, y是正整数．4∴依据题意， x 是4的倍数，则 x0， y 5 （不符题意）； x 4, y 2 是方程的解，x8, y 1 （不符题意）．故答案是 A．【点睛】本题既考察正整数的观点又考察代数式的变形，理解二元一次方程解的观点是本题的重点．10．已知对于x、y的二元一次方程组3x 5 y6，给出以下结论：①当 k 5 时，此3x ky10方程组无解；② 若此方程组的解也是方程6x15 y16 的解，则k10 ；③不论整数 k何值，此方程组必定无整数解（x 、y均为整数），此中正确的选项是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】 D【分析】【剖析】①将 k53x 5 y6代入方程组可得3x 5 y，解方程组即可作出判断；10将 k10 代入方程组可得3x5y6②3x10y求得方程组的解后，再将解代入106x15y 16即可作出判断；3x5 y6x 2203k 15，依据 k 为整数即可作出判断．③ 解ky10得3x y4k 5【详解】解：①当 k 5 时，对于x、 y 的二元一次方程组为：3x 5 y63x 5 y ，此时方程组无解，10故本说法正确；23x 5 y6x 3，将其②当k 10时，对于 x 、y的二元一次方程组为：10 y 10，解得3x4y5代入 6x15 y16 ，能使其左右两边相等，故本说法正确；x 203x 5 y62得3k 15，因为 k 为整数而x、 y 不可以都为整数，故本说法③ 解ky103x4y5k正确．应选： D【点睛】本题考察了二元一次方程（组）的解、解二元一次方程组等，方程组的解即为能使方程组中双方程同时建立的未知数的值．x3y 4a、 b 的值是11．假如方程组的解与方程组的解同样，则ax by 5bx ay2（ ）a 1 a 1 a 1 a 1A ．2B ．2C ．2D ．2bbbb【答案】 A【分析】【剖析】x 3 3a 4b 5 把代入方程中其他两个方程得3b 4a，解方程组可得．y42【详解】解：因为两个方程组的解同样，因此这个同样的解是x 3，y 4x 3 把y 4代入方程中其他两个方程得3a 4b 5 3b 4a 2a 1解得b 2应选 A ． 【点睛】本题查核知识点：解二元一次方程组.解题重点点：娴熟解二元一次方程组．12． 甲、乙两人在同一个地方练习跑步，假如让乙先跑10 米，甲跑5 秒钟就追上乙；如果甲让乙先跑2 秒钟，那么甲跑4 秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x 、y 米，则列出方程组应是( )5x 10 5 y5x 5 y 105x5y 105 x y 10A ．4 x 4 y 2B ．4x 2 4 yC ．4 x y 2yD ．4 x y2x【答案】 C【分析】解：设甲、乙每秒分别跑x 米， y 米，由题意知：5x 5y 10．应选 C ．4 xy2 y点睛：依据实质问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些重点性词语，找出等量关系，列出方程组．13．已知对于 x,y 的二元一次方程组3x2y3m25 ,则 m 的2x3y m的解适合方程 x 2 y值为（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】 C【分析】【剖析】整理方程为 3x+7y=2,与x2yx35 构成新的方程组,求解得,代入原方程组中随意一y1个方程即可求出 m.【详解】解：将 m=2x+3y 代入3x2y3m 2 中得,3x+7y=2,∵x,y 的二元一次方程组3x2y3m22 y 5 , 2x 3y m的解适合方程 xx 2 y5x3∴联立方程组7 y ,解得：y,3x21∴ m 2x 3y =3,应选 C.【点睛】本题考察解二元一次方程组的方法,属于简单题 ,娴熟掌握加减消元和代入消元的方法是解题重点 .14．某文具店一本练习本和一支水笔的单价共计为 3 元，小妮在该店买了20 本练习本和10 支水笔，共花了36 元．假如设练习本每本为x 元，水笔每支为y 元，那么依据题意，以下方程组中，正确的选项是（）x y 3x y 3y x 3x y 3A．20x 10y36B．20x 10 y36C．20x 10y36D．10x 20 y 36【答案】 B【分析】剖析：依据等量关系“一本练习本和一支水笔的单价共计为 3 元”，“20本练习本的总价+10支水笔的总价 =36”，列方程组求解即可．详解：设练习本每本为x 元，水笔每支为y 元，依据单价的等量关系可得方程为x+y=3，依据总价 36 获得的方程为20x+10y=36，x y＝3因此可列方程为：，20x10 y＝36应选： B．点睛：本题主要考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，获得单价和总价的2 个等量关系是解决本题的重点．2x 3 y 3()15． 用加减消元法解方程组2 y 11 ，以下变形正确的选项是3x4x 6 y 3 6 x 3 y 9 4x 6 y 6 6x 9 y 3 A ．B ．2 y22C ．6 y33D ．4y 119x 6 y 116 x 9x 6x 【答案】 C【分析】【剖析】运用加减法解方程组时，要知足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数，把原方 程变形要依据等式的性质，本题中方程 ①×2， ②×3，便可把 y 的系数变为互为相反数．【详解】2x 3 y 3 解： {2 y 113x ①×2得， 4x+6y=6 ③，②×3得， 9x-6y=33 ④ ，4x 6y 6 构成方程组得： {．9x 6 y33应选 C ．【点睛】本题考察二元一次方程组的解法有加减法和代入法两种，一般采用加减法解二元一次方程组较简单．运用加减法解方程组时，要知足方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数．16 ．《九章算术》中记录： “ 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十 .问甲乙持钱各几何？ ”其粗心是：今有甲、乙两人各带了若干钱 .假如甲获得乙 全部钱的一半，那么甲共有钱；假如乙获得甲全部钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为 ，乙带钱为 ，依据题意，可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．【答案】 A【分析】【剖析】设甲需带钱 x ，乙带钱 y ，依据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半 =50，乙的钱 +甲全部钱的，据此列方程组可得．【详解】解：设甲需带钱x，乙带钱y，依据题意，得：应选： A．【点睛】本题考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，解答本题的重点是读懂题意，设出未知数，找出适合的等量关系，列出方程组．17．某校运动员分组训练，若每组7 人，余为 x 人，组数为y 组，则列方程组为（）3 人；若每组8 人，则缺 5 人；设运动员人数7 y x 37 y x 37y x 3D．7 y x 3A．B．C．8y x 58y 5 x8y 5 x8 y x 5【答案】 A【分析】【剖析】依据重点语句“若每组 7 人，余 3 人”可得方程 7y+3=x；“若每组 8人，则缺 5 人．”可得方程 8y-5=x，联立两个方程可得方程组．【详解】设运动员人数为 x 人，组数为 y 组，7 y x3由题意得：．8 y x5应选 A．【点睛】本题主要考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，重点是正确理解题意，抓住重点语句，列出方程．18．利用两块同样的长方体木块丈量一张桌子的高度，第一按图①方式搁置，再互换两木块的地点，按图② 方式搁置丈量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】 C【分析】【剖析】设长方体木块的长是xcm，宽是 ycm，由题意得x y 5 ，再代入求出桌子的高度即可．【详解】设长方体木块的长是xcm，宽是 ycm，由题意得80 x y 70 y x可得 x y5则桌子的高度是80 x y 80 5 75cm故答案为： C．【点睛】本题考察了二元一次方程的实质应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的重点．19．图①的等臂天平呈均衡状态，此中左边秤盘有一袋石头，右边秤盘有一袋石头和 2 个各 10 克的砝码．将左边袋中一颗石头移至右边秤盘，并拿走右边秤盘的 1 个砝码后，天平仍呈均衡状态，如图② 所示．则被挪动石头的重量为（）A．5 克B．10 克C．15 克D．20 克【答案】 A【分析】【剖析】【详解】解：设左天平的一袋石头重 x 克，右天平的一袋石头重 y 克，被挪动的石头重 z 克，由题意，得：x y20x z y z10解得 z=5答：被挪动石头的重量为 5 克．应选 A．【点睛】本题考察了列三元一次方程组解实质问题的运用,三元一次方程组的解法的运用,解答时理解图象天昭雪应的意义找到等量关系是重点．x m5 20．由方程组3，可获得 x 与y的关系式是（）y mA．x y2B．x y 2C．x y 8D．x y8【答案】 C【分析】【剖析】先解方程组求得 x m5、y m 3 ，再将其相减即可得解．【详解】x m5①解：∵y 3m②由①得， x m5由② 得， y m3∴ x y m 5m 3 m 5 m 38 ．应选： C【点睛】本题考察认识含参数的二元一次方程组、以及代数求值的知识点，娴熟掌握有关知识点是解决本题的重点．。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之二元一次方程组难题汇编含答案解析
（易错题精选）初中数学方程与不等式之二元一次方程组难题汇编含答案解析一、选择题1．下面几对数值是方程组233,22x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解的是（ ）A ．1,x y =⎧⎨=⎩B ．1,2x y =⎧⎨=⎩C ．0,1x y =⎧⎨=⎩D ．2,1x y =⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】 【分析】利用代入法解方程组即可得到答案. 【详解】23322x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②， 由②得：x=2y-2③，将③代入①得：2（2y-2）+3y=3， 解得y=1，将y=1代入③，得x=0， ∴原方程组的解是01x y =⎧⎨=⎩， 故选：C. 【点睛】此题考查二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.2．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为（ ）A ． 4.5112y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩B ． 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ． 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ． 4.5112y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩【答案】B 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长 4.5=；木长12-绳长1=，据此可列方程组求解． 【详解】设绳长x尺，长木为y尺，依题意得4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，故选B．【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．3．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．5{152x yx y=+=-B．5{1+52x yx y=+=C．5{2-5x yx y=+=D．-5{2+5x yx y==【答案】A【解析】【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：515 2x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（）A．4243y xx y+=⎧⎨=⎩B．4243x yx y+=⎧⎨=⎩C．421134x yx y-=⎧⎪⎨=⎪⎩D．4234x yx y+=⎧⎨=⎩【答案】D【解析】【分析】按照题干关系分别列出二元一次方程，再组合行成二元一次方程组即可.【详解】解：由甲、乙两数之和是42可得，42x y +=；由甲数的3倍等于乙数的4倍可得，34x y =,故由题意得方程组为：4234x y x y +=⎧⎨=⎩， 故选择D. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题干关系，分别列出两个二元一次方程即可.5．甲乙两人同解方程 2{78ax by cx y +=-= 时，甲正确解得 3{2x y ==- ，乙因为抄错c 而得2{2x y =-= ，则a+b+c 的值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以得到a 、b 、c 的三元一次方程组，从而可以求得a 、b 、c 的值，本题得以解决． 【详解】解：根据题意可知，∴3a-2b=2，3c+14=8，-2a+2b=2 ∴c=-2，a=4，b=5 ∴a+b+c=7. 故答案为：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．若方程组5133x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差为3，则a 的值为（ ）A ．0B ．7C ．7-D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先利用加减消元法解方程组得到37838a x a y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，再根据已知条件列出关于参数a 的方程，然后解一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵5133x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩①②②-①×3得，38a y +=- ①+②×5得，378a x -=∴方程组的解为：37838a x a y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩∵方程组5133x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差为3，即3x y -=∴373388a a -+⎛⎫--= ⎪⎝⎭ ∴7a =． 故选：B 【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组、列一元一次方程并解一元一次方程，能得到关于参数a 的方程是解决问题的关键．7．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有120张白铁皮，设用x 张制盒身，y 张制盒底，得方程组 ( )A ．1204010x y y x +=⎧⎨=⎩B ．1201040x y y x +=⎧⎨=⎩C ．1204020x y y x +=⎧⎨=⎩D ．1202040x y y x +=⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意可以得出以下两个等量关系：①制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮的张数=120，②盒身的个数×2=盒底的个数，据此进一步列出方程组即可. 【详解】∵一共有120张白铁皮，其中x 张制作盒身，y 张制作盒底， ∴120x y +=，又∵每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒， ∴4020y x =， ∴可列方程组为：1204020x y y x+=⎧⎨=⎩，故选：C. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.8．若关于x ，y 的方程组4510(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩中x 的值比y 的相反数大2，则k 是（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据“x 的值比y 的相反数大2”得出“x=-y+2”，再代入到方程组的第一个方程得到y 的值，进而得出x 的值，把x ，y 的值代入方程组中第二方程中求出k 的值即可. 【详解】∵x 的值比y 的相反数大2， ∴x=-y+2，把x=-y+2代入4x+5y=10得，-4y+8+5y=10， 解得，y=2， ∴x=0，把x=0，y=2代入kx-(k-1)y=8，得k=-3. 故选A. 【点睛】此主要考查了与二元一次方程组的解有关的问题，解题的关键是列出等式“x=-y+2”.9．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（ ）A ．1、2B ．1、5C ．5、1D ．2、4【答案】C 【解析】 【分析】把x=2代入x+y=3求出y ，再将x ，y 代入2x+y 即可求解. 【详解】 根据，把x=2代入x+y=3.解得y=1.把x=2，y=1代入二元一次方程组中2x+y=5 故被遮盖的两个数分别为5和1.【点睛】主要考查学生对二元一次方程组知识点的掌握．将已知解代入其中x+y=3求出y 值为解题关键.10．某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x 天，生产乙种玩具零件y 天，则有（ ）A ．30200100x y x y +=⎧⎨=⎩B ．30100200x y x y +=⎧⎨=⎩C ．302200100x y x y +=⎧⎨⨯=⎩D ．302100200x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．【详解】 由题意可得，{x y 302200x 100y+=⨯=，故答案为C 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．11．已知32x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，则+a b 的值是（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】A 【解析】 【分析】把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程组，可得关于a 、b 的方程组，继而根据二元一次方程组的解法即可求出答案． 【详解】将32x y =⎧⎨=-⎩代入23ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩，可得：322323a b b a -=⎧⎨-=-⎩，两式相加：1a b +=-， 故选A ．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法.12．已知关于x y 、的方程组135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩，满足12x y ≥，则下列结论：①2a ≥-；②53a =-时，x y =；③当1a =-时，关于x y 、的方程组135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩的解也是方程2x y +=的解；④若1y ≤，则1a ≤-，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】 ①解方程组得322x a y a =+⎧⎨=--⎩，由12x y ≥得到关于a 的不等式，解之可得答案；②将x ＝y代入方程组，求出a 的值，即可做出判断；③将x ＝y 代入322x a y a =+⎧⎨=--⎩求出x 、y 的值，从而依据x ＝y 得出答案；④由y≤1得出关于a 的不等式，解之可得． 【详解】解：关于x 、y 的方程组135x y ax y a +=-⎧⎨-=+⎩，解得：322x a y a =+⎧⎨=--⎩．①∵12x y ≥， ∴a ＋3≥−a−1， 解得a≥−2，故①正确；②将x ＝y 代入322x a y a =+⎧⎨=--⎩，得：4353x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即当x ＝y 时，a ＝53-，此结论正确； ③当a ＝−1时，20x y =⎧⎨=⎩，满足x ＋y ＝2，此结论正确；④若y≤1，则−2a−2≤1，解得a≥−32，此结论错误；故选：C ．本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法．13．若12xy=⎧⎨=-⎩是关于x和y的二元一次方程1ax y+=的解，则a的值等于（）A．3 B．1 C．1-D．3-【答案】A【解析】【分析】将方程的解代入所给方程，再解关于a的一元一次方程即可．【详解】解：将12xy=⎧⎨=-⎩代入1ax y+=得，21a-=，解得：3a=．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的解以及解一元一次方程，比较基础，难度不大．14．二元一次方程3x+y＝7的正整数解有()组．A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】C【解析】【分析】分别令x=1、2进行计算即可得【详解】解:方程3x+y=7，变形得:y=7-3x，当x=1时，y=4;当x=2时，y=1，则方程的正整数解有二组故本题答案应为：C【点睛】本题考查了二元一次方程的解，给出一个未知数的值求出另一个未知数的值即可.15．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【答案】B【解析】【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．【详解】设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得120x+90y=1200，则y=4043x-，∵x、y均为正整数，∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种，故选B．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．16．如果21xy=-⎧⎨=⎩是二元一次方程mx+y=3的一个解，则m的值是（）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】C【解析】【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．【详解】把21xy=-⎧⎨=⎩代入方程得：-2m+1=3，解得：m=-1，故选：C．17．A地至B地的航线长9360km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机无风时的平均速度是（）A．720km/h B．750 km/h C．765 km/h D．780 km/h【答案】B【解析】【分析】设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据飞机顺风速度×时间＝路程，飞机逆风速度×时间＝路程，列方程组进行求解．【详解】设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，由题意得，12()9360 13()9360x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得，75030x y =⎧⎨=⎩，答：飞机无风时的平均速度为750千米/时， 故选B ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握顺风速度＝静风速度+风速，逆风速度＝静风速度-风速是解题的关键．18．图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的重量为（ ）A ．5克B ．10克C ．15克D ．20克【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：设左天平的一袋石头重x 克，右天平的一袋石头重y 克，被移动的石头重z 克，由题意，得：2010x y x z y z =+⎧⎨-=++⎩解得z=5答：被移动石头的重量为5克． 故选A ． 【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用,三元一次方程组的解法的运用,解答时理解图象天平反映的意义找到等量关系是关键．19．某商店对一种商品进行促销，促销方式：若购买不超过10件，按每件a 元付款：若一次性购买10件以上，超出部分按每件b 元付款．小明购买了14件付款90元；小聪购买了19件付款115元，则a ，b 的值为（ ） A ．7,5a b == B ．5,7a b == C ．8,5a b == D ．7,4a b ==【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可列出关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：由题意得：10490109115a b a b +=⎧⎨+=⎩①②， 由②−①得：525=b ，解得：5b =，将5b =代入①得：104590+⨯=a ，解得：7a =，∴方程组的解为75a b =⎧⎨=⎩， 故选：A ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程组．20．若方程6ax by +=的两个解是11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=-⎩，则,a b 的值为（ ） A ．42a b =⎧⎨=⎩B ．24a b =⎧⎨=⎩C ．24a b =-⎧⎨=-⎩D ．42a b =-⎧⎨=-⎩【答案】A【解析】【分析】将方程的两组解代入6ax by +=中，可以得到一个关于a,b 的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】 ∵方程6ax by +=的两个解是11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=-⎩， ∴626a b a b +=⎧⎨-=⎩解得42a b =⎧⎨=⎩， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．。
二元一次方程组解法技巧
二元一次方程组解法技巧1. 嘿，你知道代入消元法吗？就像一把钥匙开一把锁一样！比如说方程组{x+y=5，x-y=1}，我们可以从第一个方程中解出 x=5-y，然后把它代入第二个方程，那不就轻松搞定啦！这多直接有效啊，大家赶紧试试呗！2. 还有加减消元法哦！这就像搭积木一样，把相同的部分消除掉。
比如{2x+y=7，3x-y=8}，把两个方程一加，y 就没啦，直接能求出 x 啦，是不是很奇妙呀！3. 换元法也很牛呢！就好像给式子穿上了一件新衣服。
像方程组{(x+1)+2(y-1)=5，2(x+1)-(y-1)=2}，我们设 x+1=a，y-1=b，一下子就变简单多啦！哎呀，这多好用呀！4. 图像法也很有趣哟！那不就是把方程组画在纸上嘛。
比如 y=2x+1 和y=-x+4，画出来两条直线的交点不就是解嘛，哇哦，感觉像在探索宝藏一样呢！5. 整体代入法也是一绝呀！就好像手里有个魔法棒。
比如已知 2x-y=3，那要求 6x-3y 不就简单了嘛，把 6x-3y 变成 3(2x-y)，直接代入 3 就好啦，是不是很神奇呀！6. 主元法知道不？这就像是抓住了关键人物。
比如方程组 x+y+z=10，2x-y+z=8，先确定一个主元，然后围绕它来解题，多有意思呀！7. 对称法也不容小觑哦！有时候方程组就像照镜子一样对称呢。
遇到这种情况，解题可就轻松多啦，不信你试试呀！8. 参数法就像是个神秘嘉宾。
在一些复杂的方程组里，引入参数，就会有意想不到的效果呢。
哇塞，真的很厉害呢！9. 构造法也超棒呀！就像是给自己搭了一个特别的舞台。
根据方程组的特点构造出合适的形式来解题，真的是太有创意啦！总之，二元一次方程组的解法技巧多着呢，每一种都有它独特的魅力，大家要多多去发掘呀，绝对会让你受益匪浅的！。
参数法解方程
参数法解方程参数法是一种解二元一次方程的方法，通过引入一个参数，将二元一次方程转化为含有参数的一元一次方程，然后通过求解参数，进而得到方程的解。
解二元一次方程可以有多种方法，如代入法、消元法、公式法等，而参数法则是一种更加灵活和简化的方法。
参数法的基本思想是引入一个参数，通过参数的取值的不同，将二元一次方程转化为一元一次方程，然后通过求解参数来得到方程的解。
以方程组为例，假设有二元一次方程组：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知数。
首先，我们引入一个参数t，将上述方程组转化为含有参数t 的一元一次方程组：(ax + by) - (dx + ey) = c - f(a - d)x + (b - e)y = c - f然后，我们将这个含有参数的一元一次方程组进行拆解，分别得到：(a - d)x = (c - f) - (b - e)yx = [(c - f) - (b - e)y] / (a - d)这样，我们就通过参数法将二元一次方程组转化为了一个含有参数t的一元一次方程，并求解得到了x的表达式。
下面我们再将这个表达式代入方程组中的一个方程，得到y的表达式。
我们选取第一个方程进行代入：a[(c - f) - (b - e)y] / (a - d) + by = c[(c - f) - (b - e)y] + by(a - d) / (a - d) = cc - f - (b - e)y + by(a - d) / (a - d) = c(1 - (b - e)(a - d) / (a - d))y = [(b - e)(a - d) / (a - d)]y - (c - f)这样，我们就得到了y的表达式。
通过参数法解方程的优点是能够从一开始就引入一个参数，简化了计算的步骤，同时也能够保持方程的结构清晰，易于理解和推导。
然而，参数法也有一定的局限性，当方程的系数较为复杂时，参数法的计算会变得繁琐和复杂。
方程与不等式之二元一次方程组经典测试题及答案解析
方程与不等式之二元一次方程组经典测试题及答案解析一、选择题1．由方程组53x m y m-=⎧⎨+=⎩，可得到x 与y 的关系式是（）A ．2x y -=-B ．2x y -=C ．8x y -=D ．8x y -=-【答案】C 【解析】 【分析】先解方程组求得5x m =+、3y m =-，再将其相减即可得解． 【详解】 解：∵53x m y m -=⎧⎨+=⎩①②由①得，5x m =+ 由②得，3y m =-∴()()53538x y m m m m -=+--=+-+=． 故选：C 【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组、以及代数求值的知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．2．若是关于x 、y 的方程组的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( ) A ．15 B ．﹣15C ．16D ．﹣16【答案】B 【解析】 【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a 、b 的方程组，解方程组可求a ，b ，再代入可求（a+b ）（a-b ）的值． 【详解】 解：∵是关于x 、y 的方程组的解，∴ 解得∴（a+b ）（a-b ）=（-1+4）×（-1-4）=-15． 故选：B ．【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．3．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套，现有120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，得方程组（）A．1204016x yy x+=⎧⎨=⎩B．1204332x yy x+=⎧⎨=⎩C．12040210x yy x+=⎧⎨=⨯⎩D．以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，本题中的等量关系是（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数＋制作盒底的白铁皮张数＝120，从而列方程组．【详解】解：根据题意，盒身的个数×2＝盒底的个数，可得；2×10x＝40y；制作盒身的白铁皮张数＋制作盒底的白铁皮张数＝120，可得x＋y＝120，故可得方程组120 40210x yy x+=⎧⎨=⨯⎩．故选：C．【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二元一次方程组的知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．4．若关于x，y的方程组2{x y mx my n-=+=的解是2{1xy==，则m n-为（）A．1 B．3 C．5 D．2【答案】D【解析】解：根据方程组解的定义，把21xy=⎧⎨=⎩代入方程，得：412mm n-=⎧⎨+=⎩，解得：35mn=⎧⎨=⎩．那么|m-n|=2．故选D．点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法．5．甲乙两人同解方程2{78ax bycx y+=-=时，甲正确解得3{2xy==-，乙因为抄错c而得2{2x y =-= ，则a+b+c 的值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以得到a 、b 、c 的三元一次方程组，从而可以求得a 、b 、c 的值，本题得以解决． 【详解】解：根据题意可知，∴3a-2b=2，3c+14=8，-2a+2b=2 ∴c=-2，a=4，b=5 ∴a+b+c=7. 故答案为：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x 文，乙原有钱y 文，可得方程组（ ）A ．14822483x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．14822483y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．14822483x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D ．14822483y x x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，通过题目的等量关系，结合题目所设未知量列式即可得解. 【详解】设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，根据题意，得：14822483x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确设出未知量根据等量关系列式求解是解决本题的关键.7．某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果， 甲同学说：（1）班与（5）班得分比为65；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x 分，（5）班得y 分，根据题意所列的方程组应为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据（1）班与（5）班得分比为6：5，有x ：y=6：5，得5x=6y ； 根据（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分，则x=2y-40． 可列方程组为．故选D ．8．若关于x ，y 的方程组2315x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解满足x ＋y ＝3，则m 的值为 ( )A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D 【解析】 【分析】首先把m 看成常数，然后进一步解关于x 与y 的方程组，求得用m 表示的x 与y 的值后，再进一步代入3x y +=加以求解即可. 【详解】由题意得：2315x y m x y +=-⎧⎨-=⎩①②，∴由①−②可得：()2315x y x y m +--=--， 化简可得：336y m =-，即：2y m =-， 将其代入②可得：25x m -+=， ∴3x m =+ ∵3x y +=， ∴323m m ++-=， ∴1m =， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．5{152x yx y=+=-B．5{1+52x yx y=+=C．5{2-5x yx y=+=D．-5{2+5x yx y==【答案】A【解析】【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：515 2x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．已知2,1.xy=⎧⎨=⎩是方程25+=x ay的解，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】将21xy=⎧⎨=⎩代入方程2x+ay=5，得：4+a=5，解得：a=1，故选：A.11．已知2728x yx y+=⎧⎨+=⎩，那么x y-的值是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】观察方程组，利用第一个方程减去第二个方程即可求解. 【详解】2728x y x y ①②+=⎧⎨+=⎩， ①-②得， x-y=-1. 故选A. 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，利用整体思想可以是本题解决过程变得简单.12．下面几对数值是方程组233,22x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解的是（ ）A ．1,0x y =⎧⎨=⎩B ．1,2x y =⎧⎨=⎩C ．0,1x y =⎧⎨=⎩D ．2,1x y =⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】 【分析】利用代入法解方程组即可得到答案.【详解】23322x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②， 由②得：x=2y-2③，将③代入①得：2（2y-2）+3y=3， 解得y=1，将y=1代入③，得x=0，∴原方程组的解是01x y =⎧⎨=⎩，故选：C. 【点睛】此题考查二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.13．为丰富同学们的课余活动，某校计划成立足球和篮球课外兴趣小组，现需购买篮球和足球若干个，已知购买篮球的数量比足球的数量少1个，篮球的单价为60元，足球的单价为30元，一共花了480元，问篮球和足球各买了多少个？设购买篮球x 个，购买足球y 个，可列方程组( )A ．x y 160x 30y 480-=⎧+=⎨⎩B ．x y 160x 30y 480=-⎧+=⎨⎩C ．x y 130x 60y 480=-⎧+=⎨⎩D ．x y 130x 60y 480-=⎧+=⎨⎩【答案】B 【解析】 【分析】根据“购买篮球的数量比足球的数量少1个，篮球的单价为60元，足球的单价为30元，一共花了480元”找到等量关系列出方程即可． 【详解】设购买篮球x 个，购买足球y 个，根据题意可列方程组：x y 160x 30y 480=-⎧+=⎨⎩， 故选：B ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是能够找到题目中的等量关系，难度不大．14．如果方程组4x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x ﹣5y ﹣30＝0的一个解，那么m 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．3 D ．2 【答案】D 【解析】 【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x ，y 用含m 的代数式表示出来，代入方程3x-5y-30=0求得a 的值． 【详解】()()142x y m x y m ⎧+⎪⎨-⎪⎩＝＝ （1）+（2）得x=52m ， 代入（1）得y=-32m ，把x ，y 代入方程3x-5y-30=0得：3×52m +5×32m -30=0，解得m=2；故选D ． 【点睛】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．15．在方程组657237x y m x y +=+⎧⎨-=⎩的解中，x 、y 的和等于9，则72m +的算术平方根为（ ）A ．7B ．7±CD ．【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到二元一次方程组937y x y x ⎧⎨-=+=⎩，求出x ，y 的值，进而求出72m +的算术平方根，即可． 【详解】∵657237x y m x y +=+⎧⎨-=⎩且x+y=9， ∴937y x y x ⎧⎨-=+=⎩，解得：45x y =⎧⎨=⎩，∴72m +=65x y +=6×4+5×5=49， ∴72m +的算术平方根为：7． 故选A ． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的意义，掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．16．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A ．4种 B ．3种C ．2种D ．1种【答案】B 【解析】【分析】设购买篮球x 个，排球y 个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x 、y 的方程，由x 、y 均为非负整数即可得． 【详解】设购买篮球x 个，排球y 个， 根据题意可得120x+90y=1200， 则y=4043x-， ∵x 、y 均为正整数，∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种， 故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．17．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x 元，水笔每支为y 元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（ ）A ．3201036x y x y -=⎧⎨+=⎩ B ．3201036x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．3201036y x x y -=⎧⎨+=⎩ D ．3102036x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B 【解析】分析：根据等量关系“一本练习本和一支水笔的单价合计为3元”，“20本练习本的总价+10支水笔的总价=36”，列方程组求解即可． 详解：设练习本每本为x 元，水笔每支为y 元， 根据单价的等量关系可得方程为x+y=3， 根据总价36得到的方程为20x+10y=36，所以可列方程为：3201036x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，故选：B ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键．18．关于x ，y 的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩的解是整数，则整数a 的个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【解析】 【分析】先解方程组求出x y 、的值，根据y 和a 都是整数求出121a +=-或125a +=或121a +=或125a +=-，求出a 的值，再代入x 求出x ，再逐个判断即可; 【详解】2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩①②2⨯①-②得：()215a y --=解得：521y a =--把521y a =--代入②得：54721x a -=+ 解得：7624a x a+=+ Q 方程组的解为整数∴ ,x y 均为整数∴ 121a +=-或125a +=或121a +=或125a +=-解得：1,2,0,3a =--，当1a =-时，12x =，不是整数，舍去； 当2a =时，2x =，是整数，符合；当0a =时，3x =，是整数，符合； 当3a =-时，32x =，不是整数，舍去； 故选：C. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的含参问题，准确的解出方程组并且列出整数解的情况是求解本题的关键.19．如果方程组x 35ax by =⎧⎨+=⎩的解与方程组y 42bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a 、b 的值是（ ）A ．a 12b =-⎧⎨=⎩B ．a 12b =⎧⎨=⎩C ．a 12b =⎧⎨=-⎩D ．a 12b =-⎧⎨=-⎩【答案】A 【解析】 【分析】把34x y =⎧⎨=⎩代入方程中其余两个方程得345342a b b a +=⎧⎨+=⎩，解方程组可得．【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是34x y =⎧⎨=⎩， 把34x y =⎧⎨=⎩ 代入方程中其余两个方程得345342a b b a +=⎧⎨+=⎩解得a 12b =-⎧⎨=⎩故选A ．【点睛】本题考核知识点：解二元一次方程组.解题关键点：熟练解二元一次方程组．20．已知方程组5430x y x y k -=⎧⎨-+=⎩的解也是方程3x －2y=0的解，则k 的值是（ ） A ．k=－5B ．k=5C ．k=－10D ．k=10 【答案】A【解析】【分析】根据方程组5430x y x y k -=⎧⎨-+=⎩的解也是方程3x －2y=0的解，可得方程组5320x y x y -=⎧⎨-=⎩，解方程组求得x 、y 的值，再代入4x-3y+k=0即可求得k 的值.【详解】∵方程组5430x y x y k -=⎧⎨-+=⎩的解也是方程3x －2y=0的解，∴5320x y x y -=⎧⎨-=⎩ ， 解得，1015x y =-⎧⎨=-⎩ ； 把1015x y =-⎧⎨=-⎩代入4x-3y+k=0得， -40+45+k=0，∴k=-5.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意得出方程组5320x y x y -=⎧⎨-=⎩，解方程组求得x 、y 的值是解决问题的关键.。
含参数的二元一次方程组
含参数的二元一次方程组二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组。
二元一次方程形式为ax + by = c，其中a、b、c是已知常数，x和y是变量。
二元一次方程组通常有多种解，包括唯一解、无穷解和无解。
下面我们将介绍几个例子，来展示含参数的二元一次方程组。
例1：考虑方程组{3x + 2y = a{4x - y = 2其中a是参数。
要解这个方程组，可以使用消元法或代入法。
下面我们使用代入法来求解。
将第二个方程中的y用x表示，得到y = 4x - 2。
然后，将y的表达式代入第一个方程，得到3x + 2(4x - 2) = a。
简化得到11x - 4 = a。
将a的值代入原方程组，就可以得到x和y的值。
解得x = (a + 4) / 11，y = (4a + 8) / 11。
这样，我们得到了含参数的二元一次方程组的解。
例2：考虑方程组{3x + 4y = a + b{2x - y = a - b其中a和b是参数。
同样使用代入法，将第二个方程中的y用x表示，得到y = 2x - a + b。
然后将y的表达式代入第一个方程，得到3x + 4(2x - a + b) = a + b。
简化得到11x - 3a - 3b = 0。
从中我们可以发现，参数a和b满足这个关系式才能使方程组成立。
这个例子展示了含参数的二元一次方程组可能会有无数个解。
例3：考虑方程组{ax + by = a{bx - ay = b其中a和b是参数。
我们可以通过将第二个方程乘以a和第一个方程乘以b来消去x 和y的系数。
得到abx + aby = ab和abx - aby = b。
简化得到2abx = ab + b。
再进一步简化得到x = (a + 1) / (2a)。
将x的表达式代入第一个方程，可以得到y = (a - 1) / (2b)。
这样，我们得到了含参数的二元一次方程组的解。
以上三个例子展示了含参数的二元一次方程组的求解过程。
人教版七年级下册第八章含参二元一次方程组解法、同解、错解问题专题
含参二元一次方程组解法、同解、错解问题含参问题类型类型题1：含参问题构建二元一次方程组解方程例题1.若0)532(54=-++-+n m n m ，求()2n m -的值。
2.已知方程3)5()2()24(12=+----b a y b x a 是关于x、y的二元一次方程，求a与b的值。
3.已知与互为相反数，则=______，=________．4.已知2a y＋5b 3x 与b 2－4y a 2x 是同类项，那么x，y的值是()．学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容含参二元一次方程组解法、同解、错解问题教学目标1．掌握含参的二元一次方程组的同解、错解的解题方法2．掌握复杂的二元一次方程组的解法2．了解二元一次方程组的解有无数组解、唯一解与无解，会进行简单的求解二元一次方程组的灵活应用针对练习1.若｜x－2｜＋(3y＋2x)2＝0，则的值是．2.若x a+1y-2b与-x2-b y2的和是单项式，则a、b的值分别的（）A.a=2，b=-1B.a=2，b=1C.a=-2，b=1D.a=-2，b=-13.若单项式与是同类项，则，的值分别是多少4..若｜x－y－1｜＋(2x－3y＋4)2＝0，则x＝，y＝．5.若是关于，的二元一次方程，则（）A．，B．，C．，D．，类型题2：恒成立问题构建二元一次方程组解方程例题1.在方程(x＋2y－8)＋m(4x＋3y－7)＝0中，找出一对x，y值，使得m无论取何值，方程恒成立．2.在方程(a+6)x-6+(2a-3)y=0中，找出一对x，y值，使得a无论取何值，方程恒成立.类型题3：（新题型）含有三个未知数的方程组求比例例题1.已知满足方程组，求【学有所获】1）口述：2个未知数需要几个方程，3个未知数需要几个方程，n个未知数需要几个方程2）整体思想一般运用在哪些方面，试着自己归类总结。
针对练习1.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,且xyz≠0.(1)请用含z的代数式表示x、y，并求出x:y:z的值(2)你能求出的值。
二元一次方程组的解的公式
二元一次方程组的解的公式
对于二元一次方程组，我们可以使用消元法或代入法来求解。
消元法：
将两个方程相加，得到一个新方程，这个新方程的右边为0。
将新方程两边同时除以未知数的系数，得到一个新方程，这个新方程的右边为0。
解这个新方程，即可得到一个未知数的值。
将这个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，即可得到另一个未知数的值。
代入法：
从第一个方程中解出一个未知数，得到这个未知数的值。
将这个未知数的值代入第二个方程中，得到另一个未知数的值。
例如，对于方程组：
3x + 2y = 18
5x - y = 3
我们可以使用消元法来求解：
解得： [{x: 24/13, y: 81/13}]
图像法：将二元一次方程组转化为一元一次方程，通过求解一元一次
方程得到答案。
拉格朗日插值法：利用拉格朗日插值多项式求解二元一次方程组。
牛顿插值法：利用牛顿插值多项式求解二元一次方程组。
最小二乘法：利用最小二乘法求解二元一次方程组。
反代法：将二元一次方程组的两个方程相减，得到一个新的方程。
再将这个新的方程代入其中一个方程中，即可得到另一个未知数的值。
参数法：将二元一次方程组的两个方程都转化为含有同一个参数的方程，通过求解参数得到答案。
联立解法：将二元一次方程组的两个方程联立起来，构成一个新的方程组，然后解这个新的方程组得到答案。
矩阵法：将二元一次方程组转化为矩阵形式，通过求解矩阵得到答案。
二元一次方程组含参题型-例题解析
含字母系数的一次方程组一、二元一次方程及二元一次方程的解 1．二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：0ax by c ++=（0a ≠，0b ≠）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．二、二元一次方程组及二元一次方程组的解 1．二元一次方程组的概念注意：（1只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组．（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．2．二元一次方程组解的情况（1）在x 、y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ ①②中，1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为已知数，（1a 与1b 、2a 与2b 都至少有一个不等于0），则有：由21b b ⨯-⨯①②得：12212112a b a b x b c b c -=-（） 由21a a ⨯-⨯①②得：12211221a b a b y a c a c -=-（）当12210a b a b -≠时，方程组有唯一一组解；当12210a b a b -=，且21120b c b c -≠，12210a c a c -≠时，方程组无解； 当12210a b a b -=，且21120b c b c -=，12210a c a c -=时，方程组有无穷多组解； （2）二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的情况有以下三种：①当111222a b c a b c ==时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效） ②当111222a b c a b c =≠时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的） ③当1122a b a b ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：1221122121121221c b c b x a b a b c a c a y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．一、一次方程（组）解的讨论【例1】 下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程只有一个解．B ．二元一次方程组有无数个解．C ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解．D ．二元一次方程组一定有解．【解析】略 【答案】C 例题精讲【例2】 不解方程组，判定下列方程组解的情况：①23369x y x y -=⎧⎨-=⎩；②23423x y x y -=⎧⎨-=⎩；③351351x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】如果在此我们仍然使用上面的结论判断，会不太方便，对于上面的结论，我们还可以这样记忆：1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均不为0，那么上结论可这样记忆：当1122a b a b ≠时，方程组有唯一一组解（这个解可用加减消元法求得）； 当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多组解（因为两个方程等效）； 当111222a b c a b c =≠时，原方程组无解（因为两个方程是矛盾的）． 这个公式很常用！利用此结论会很快判断出结果：①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③35≠-方程组有唯一解． 【答案】①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③3535≠-方程组有唯一解．二、含字母系数的一次方程组1．根据方程解的具体数值来确定 【例3】 已知12x y =⎧⎨=⎩与3x y m =⎧⎨=⎩都是方程x y n +=的解，求m 与n 的值．【解析】12x y =⎧⎨=⎩是方程x y n +=的解可得3n =，则原方程为3x y +=，3x y m =⎧⎨=⎩是方程3x y +=的解可得33m +=，0m =． 【答案】0m =，3n =．【例4】 方程6ax by +=有两组解是22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩，求2a b +的值．【解析】将22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩代入6ax by +=可得22686a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，20a b +=【答案】0【例5】 如果二元一次方程20mx ny ++=有两个解是22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩，那么下列各组中，仍是这个方程的解的是（ ） A ．35x y =⎧⎨=⎩B ．62x y =⎧⎨=⎩C ．53x y =⎧⎨=⎩D ．26x y =⎧⎨=⎩【解析】将22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩代入20mx ny ++=可得3212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，原方程为312022x y -++=，检验选A ．【答案】A【例6】 写出一个以12x y =-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】此题答案不唯一，满足条件即可． 【答案】13x y x y +=⎧⎨-=-⎩【例7】 写出一个以23x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】本题答案不唯一，满足条件即可．【答案】51x y y x +=⎧⎨-=⎩【例8】 已知43x y =-⎧⎨=⎩是方程组12ax y x by +=-⎧⎨-=⎩的解，则6()a b += ．【解析】根据题意可得：431432a b -+=-⎧⎨--=⎩，由431a -+=-得：1a =，由432b --=得：2b =-，6()1a b +=．【答案】1【例9】 已知12x y =-⎧⎨=⎩是方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b += ．【解析】将12x y =-⎧⎨=⎩代入12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩可得0a =，4b =-，那么0(4)4a b +=+-=-．【答案】4-【例10】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求()m n +的值．【解析】把2,1x y ==代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得()22112211m n ⎧⨯+-⨯=⎪⎨+=⎪⎩ 由①得1m =- 由②得0n =所以当1m =-，0n =时，1m n +=-．【答案】1-【例11】 已知方程组2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩，求m 、n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩可得2421m nn m -=⎧⎨+=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．【答案】31m n =⎧⎨=⎩【例12】 关于x ，y 的方程组3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，求m ，n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩可得3205319m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩【答案】23m n =⎧⎨=⎩【例13】若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a b+=．【解析】略【答案】0a b+=【例14】若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么a b-=．【解析】略【答案】1【例15】若关于x y，的方程组2x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则m n-为（）A．1 B．3 C．5 D．2 【解析】略【答案】D【例16】明明和亮亮二人解关于x、y的方程组278mx bycx y+=⎧⎨-=⎩，明明正确地解得32xy=⎧⎨=-⎩，而亮亮因把c看错了，解得22xy=-⎧⎨=⎩．请问：亮亮把c看成了多少？【解析】根据题意，分别把32xy=⎧⎨=-⎩和22xy=-⎧⎨=⎩代入方程2mx by+=，得322222m bm b-=⎧⎨-+=⎩，解得45mb=⎧⎨=⎩把3x=，2y=-代入方程78cx y-=，得2c=-．假设亮亮把c看成了d，把2x=-，2y=代入方程78dx y-=，得11d=-．【答案】11-【例17】已知方程组278ax bymx y+=⎧⎨-=⎩的解应为32xy=⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m看错后，解方程组得22xy=-⎧⎨=⎩，则a b m⋅⋅的值是．【解析】将32xy=⎧⎨=-⎩，22xy=-⎧⎨=⎩代入2ax by+=可得222322a ba b-+=⎧⎨-=⎩，解得45ab=⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=-⎩代入78mx y-=可得2m=-，45(2)40a b m⋅⋅=⨯⨯-=-【例18】 孔明同学在解方程组2y kx by x=+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，又已知13k b =+，则b 的正确值应该是 ．【解析】把12x y =-⎧⎨=⎩代入6y kx =+可得4k =把4k =代入得11b =-【答案】11-【例19】 已知甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，如果甲看错了方程①中的a ，得方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩，而乙看错方程②中的b ，得到方程组的解是54x y =⎧⎨=⎩，请求120082009()10a b +-的值． 【解析】把31x y =-⎧⎨=⎩代入42x by -=-,可得10b =-把54x y =⎧⎨=⎩代入515ax y +=可得1a =-把1a =-， 10b =-代入20082009()2a += 【答案】2【例20】 甲、乙两人同时解方程组85mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩①②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确m n ，的值． 【解析】由题意得：425258m n m n -=⎧⎨+=-⎩解方程组可得：382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【答案】382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【例21】 小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩求a b c ++的值．【解析】由题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩解得：45a b =⎧⎨=⎩把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程78cx y -=得：2c =-∴7a b c ++=【答案】72．根据方程解的数量关系来确定【例22】 关于x ，y 的二元一次方程组42132x y mx y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x 与y 的值相等，试求m 的值．【解析】根据题意可得x y =，代入方程组可得42132x x mx x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122x m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 【答案】2【例23】 若方程组435(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩的解中x 比y 的相反数大1，求k 的值．【解析】根据题意可得1x y =-+，代入方程组可得4(1)35(1)(1)8y y k y k y -++=⎧⎨-+--=⎩，解得13y k =-⎧⎨=⎩．【答案】3【例24】 若关于x y ，的二元一次方程组2351x y mx y m +=⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差是7，求m 的值．【解析】解方程组2351x y m x y m +=⎧⎨+=-⎩的解为：3221x m y m =--⎧⎨=+⎩代入7x y -=得：2m =-【例25】 当1x =时，关于x ，y 的二元一次方程组331ax y x by -=⎧⎨-=-⎩解中的两个数互为相反数，求a ，b ．【解析】x ，y 互为相反数，当1x =，则1y =-，代入方程组可得2a =，4b =-． 【答案】2a =，4b =-．【例26】 二元一次方程组31242x y x ay +=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 互为相反数，求a 的值．【解析】∵x 与y 互为相反数 ∴0x y +=解0312x y x y +=⎧⎨+=⎩得：66x y =⎧⎨=-⎩把方程组的解代入412x ay +=得2a =【答案】2【例27】 k 为何值时，关于x y ，的方程组35223x y k x y k-=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．【解析】这是含有字母的二元一次方程组，求解此类题需将字母看作常数求解方程组的解，然后再根据题目条件求出字母的值．解：解方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩得：264x k y k =-⎧⎨=-⎩又因为：20x y +=，即：31020k -=所以：10k =．【答案】10【例28】 已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x y ，，其和1x y +=，求k 的值． 【解析】解3251x y x y -=⎧⎨+=⎩得：25y =-因为(1)7kx k y +-=，所以7kx ky y +-= 所以()7k x y y +-= 把21,5x y y +==-代入()7k x y y +-=得：335k =【答案】335【例29】 已知方程组3542x y m x y m +=-⎧⎨+=⎩中未知数和等于1-，则m = ．【解析】方程组可以简化为3241y m y m -+=-⎧⎨-+=⎩；解之得到3m =-．【答案】3-3．根据方程解的个数情况来确定【例30】 m ，n 取何值时，方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩（1）有唯一解？（2）没有解？（3）有无穷多组解？ 【解析】由①可得253x y =-③，代入②可得(6)10m y n -=-④当60m -≠时，④有惟一解，进而原方程组有惟一一组解；当60m -=时，100n -≠时，④无解，进而原方程组无解；当60m -=时，100n -=时，④无穷个解，进而原方程有无穷组解．【答案】（1）当60m -≠时，原方程组有惟一一组解；（2）当60m -=时，100n -≠时，原方程组无解； （3）当60m -=时，100n -=时，原方程有无穷组解．【例31】 已知关于x 、y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程组的解为：（1）惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．【解析】由已知方程组可得：(2)(1)(2)(2)2(2)(1)2a a x a a a a y a -+=-+⎧⎨-+=-⎩，（1）当(2)(1)0a a -+≠，即2a ≠且1a ≠-时，方程有惟一解，方程组也有惟一解；（2）当(2)(1)0a a -+=，且(2)(2)a a -+与2a -中至少有一个不为零时，方程无解，因此当1a =-时，原方程无解；（3）当(2)(1)(2)(2)20a a a a a -+=-+=-=，即2a =时，原方程组有无穷多组解．【答案】（1）当2a ≠且1a ≠-时，方程组有惟一解；（2）当1a =-时，原方程无解；（3）当2a =时，原方程组有无穷多组解．【例32】 选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【解析】略【答案】①当10a =，14c =时，方程组有无数多解；②当10a =，14c ≠时，方程组无解； ③当10a ≠时，方程组有唯一的解．【例33】 当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解．【解析】②－①，得(1)4m x n -=-（1）当1040m n -=-≠，，即14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当10m -≠，即1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当10m -=，40n -=时，即14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【答案】（1）当14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【例34】 当m n ，为何值时，关于x y ，的方程组2235mx y nx y n -=⎧⎨+=+⎩（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解．【解析】（1）由223m ≠-，得：43m ≠-． ∴当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）由2235m n n =-=+，得4,23m n =-=-． ∴当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）由2235m n n =-≠+，得4,23m n =-≠-． ∴当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【答案】（1）当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【例35】k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨-=⎩无解？【解析】根据12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解，所以32k =- 【答案】32-【例36】 若关于xy 的方程组322(1)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩有无穷多组解，求m 的值．【解析】∵方程组有无穷多组解 ∴2m =31m -=2m 解得：2m =（舍），2m =- ∴m 的值是2-．【答案】2-【例37】 已知方程组354x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解，m 和n 是绝对值小于10的整数，求m 和n 的值．【解析】因为方程组无解，所以3m n =，45m n ≠．因为||3||10m n =<，所以101033n -<<，即3n =-，2-，1-，0，1，2，3；相应的9m =-，6-，3-，0，3，6，9，所以（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【答案】（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【例38】 如果关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，那么a = ．【解析】注意方程组无解的条件，根据111222a b c a b c =≠时，方程组无解可得出a 的值． 【答案】6-【例39】 m ，n 取何值时，方程2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解？没有解？有唯一解？ 【解析】由方程组可得：(6)10m y n -=-，当60m -=，100n -=时，即6m =，10n =方程组有无穷多组解；当60m -=，100n -≠时，即6m =，10n ≠方程组无解； 当60m -≠，100n -≠时，即6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．【答案】6m =，10n =方程组有无穷多组解；6m =，10n ≠方程组无解； 6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．4．根据方程同解的情况来确定【例40】 已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求3(2)a b +的值．【解析】由已知，两个方程组有相同的解，所以方程256x y +=-和3516x y -=有相同的解，故将此两个方程联立，通过解此方程组就可求出两个方程组的解，又因为此解满足方程4ax by -=-和8bx ay +=-，故可得关于,a b 的二元一次方程组，通过解该方程组就可求出,a b 的值，从而可求3(2)a b +的值．解：将256x y +=-和3516x y -=联立，得2563516x y x y +=-⎧⎨-=⎩①+②，得510x =，∴2x =把2x =代入①，得2256y ⨯+=-，∴2y =-． ∴22x y =⎧⎨=-⎩．将22x y =⎧⎨=-⎩．代入方程4ax by -=-和8bx ay +=-，得224228a b b a +=-⎧⎨-=-⎩，即24a b a b +=-⎧⎨-=⎩解得13a b =⎧⎨=-⎩．当1,3a b ==-时，333(2)(23)(1)1a b +=-=-=-故代数式3(2)a b +的值为－1．解决此题的关键是深刻理解二元一次方程组的解的概念，二元一次方程组的解就是方程组中两个二元一次方程的公共解．【答案】1-【例41】 关于x y ，的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -= ．【解析】本题注意方程组的重新组合，把只含有x y ，的方程放在一起组成方程组可解出x y ，的值．再把x y ，的值代入含有a b ，的方程可得到关于a b ，的方程组．可求得12x y =⎧⎨=-⎩，进而求得23a b =⎧⎨=⎩．所以()8b a -=-．【答案】8-【例42】 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b ，的值． 【解析】解方程组5325x y x y +=⎧⎨-=⎩得：12x y =⎧⎨=-⎩把12x y ==-，分别代入方程5451ax y x by +=+=，可得：142a b ==， 【答案】142a b ==，【例43】 已知x ，y 的方程组241ax by x y +=⎧⎨+=⎩与3(1)3x y bx a y -=⎧⎨+-=⎩的解相同，求a ，b 值．【解析】联立1x y +=与3x y -=可得21x y =⎧⎨=-⎩，将其代入其它两个方程24(1)3ax by bx a y +=⎧⎨+-=⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩．【答案】64a b =⎧⎨=⎩【例44】 如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3528x y a --=的一个解，那么a 的值是？【解析】解方程组⎧⎨⎩2a =【答案】2【例45】 已知关于x y ，的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m ．【解析】解方程组23,9x y m x y m +=⎧⎨-=⎩得：72x my m =⎧⎨=-⎩把72x my m =⎧⎨=-⎩代入3217x y +=得：1m =【答案】1【例46】 若关于x y ，的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为？【解析】由方程①+②可得：7x k =①-②可得：2y k =-把7x k =，2y k =-代入方程236x y +=得：34k =【答案】34【例47】 已知关于x ，y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 【解析】解法一：由于a 取不同的值，方程都有一个相同的解，所以可以取1a =，1a =-代入原方程，可以得到方程组：330270y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩；解法二：方程有一个公共解，说明方程有一种形式，关于a 的方程有无数解，将方程变形得：(2)(25)0a x y x y +----=，此方程有无数解，故：20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩． 【答案】31x y =⎧⎨=-⎩5【例48】 a 【解析】把a 作为已知数，解这个方程组得31325312a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∵00x y >⎧⎨>⎩，∴3130253102aa -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解不等式组得313315a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解集是6111053a <<【答案】111053a <<【例49】 m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？ 【解析】把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵x 是整数，∴8m -取8的约数1248±±±±，，，． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数12±±，． 取它们的公共部分，812m -=±±，． 解得97106m =，，，． 经检验97106m =，，，时，方程组的解都是整数． 【答案】97106m =，，，【例50】 已知方程组51x my x y +=⎧⎨+=⎩有正整数解，那么正整数m 的值为 ．【解析】消去x 得到方程(1)6m y +=，解得61y m =+． 因此12m +=或13m +=；故1m =或2m =．【答案】1m =或2m =【例51】 要使方程组⎧⎨⎩有正整数解，求整数a 的值．【解析】解方程组2x x ⎧⎨-⎩∵∴4a +的值可以为：124816，，，，∴a 的值为：320412--，，，，． 【答案】320412--，，，，【例52】 已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x y ，均为整数，则2m = ．【解析】消去y 得到(3)10m x +=；因为方程有整数解，故10(3)3x m m =≠-+，代入第二个方程得到153y m =+； 为使103m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或7； 为使153m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或12； 为使103m +和153m +都是整数，且m 是正整数，取2m =，则24m =． 【答案】4【例53】 已知关于x y ，的方程组： 1 1 1 x by y ax bx ay -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有解，试证明：221a b ab a b ++++=． 【答案】由①＋②×b ，得(1)1ab x b -=+，由①×a ＋②，得(1)1ab y a -=+．当1ab =时，(1)1ab y a -=+无解，即方程组无解；当1ab ≠时，则11bx ab +=-，11a y ab+=-，代入③化简即可得到221a b ab a b ++++=．。
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含参数的二元一次方程组
1．在等式y kx b =+中，当6x =时，2y =；当3x =时，3y =．求当3x =-时，y 的值．
2．已知关于x 、y 的方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩和28
x by a x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值．
3．若关于x ，y 的二元一次方程组38x y mx ny +=⎧⎨+=⎩与方程组14x y mx ny -=⎧⎨-=⎩
有相同的解． (1)求这个相同的解；
(2)求m n -的值．
4．已知关于x ，y 的方程组431(1)3x y mx m y -=⎧⎨+-=⎩
的解满足43x y +=，求m 的值．
5．已知关于x，y的二元一次方程组
32820
26
x y m
x y m
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
的解满足x y
=，求m的值．
6．已知关于x，y的二元一次方程组
53
3221
x y n
x y n
+=
⎧
⎨
-=+
⎩
的解适合方程6
x y
+=，求n的值．
7．若方程组
4
32
ax by
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
与方程组
21
2
x y
ax by
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
有相同的解，求a，b的值．
8．关于x，y的方程组
2
231
x y m
x y m
+=
⎧
⎨
+=+
⎩
满足5
x y
+=，求m的值．
9．解方程组：33522 435
m n m n m n
++++
==
-
．
10．甲、乙两人同时解方程组
5
213
mx y
x ny
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
甲解题看错了①中的m，解得
7
2
2
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，乙解题时看错②中的
n，解得
3
7
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，试求原方程组的解．。