初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.1 相似三角形D卷

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【专题突破训练】华东师大版九年级数学上册《第23章图形的相似》单元检测试卷附参考答案

段，你认为这个旋转中心的坐标是________．
20.如图，三角板 ABC 的两直角边 AC，BC 的长分别是 40cm 和 30cm，点 G 在斜边 AB 上，且 BG=30cm，将这个三角板以 G 为中心按逆时针旋转 90°，至△A′B′C′的位置，那么旋转后两个三角板重叠部分（四边形 EFGD）
A. AB
CD
B. AB
CD
C. AB
AD
D. AC
BD
A. ൌ
B.
C. ൌ
D. ൌ
二、填空题（共 10 题；共 30 分）
11.如图，已知示长是是线段 t 、宽是 t 的矩形的面积，则 t 的黄金分割点，且 ________ t .若表示以为一边的正方形的面积，表 .(填“>”“＝”或“<”)
2.如图，若 D、E 分别为△ABC 中 AB、AC 边上的点，且∠AED=∠B
（
）
A.
B.
C. t h ，已知 t
D. 4 ൌ t ，则 △ t h 与 △ th
3.如图，以点 O 为位似中心，将 △ th 缩小后得到 △ 的面积的比为( )
A.1：3 体 AB 长的（
B.1：4 ）
C.1：5
D.1：9
24.如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF⊥AE 于 F，试说明：△ABF∽△EAD．
25.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD，交 DC 的延长线于点 E，AB=3，EF=0.8，AF=2.4．求 AD
的长．
26.如图是一个常见铁夹的侧面示意图， OA ， OB 表示铁夹的两个面， C 是轴， CD DA 的距离． mm ， DO mm ， DC

华东师大版九年级数学上册第23章 (23.1～23.3.1) 同步练习题(含答案,教师版)

华东师大版九年级数学上册第23章 (23.1～23.3.1) 同步练习题(时间：100分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分) 1．观察下列每组图形，相似图形是(D)2．下列各组中的四条线段不是成比例线段的是(C) A ．a ＝1，b ＝1，c ＝1，d ＝1 B ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝8 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝153．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3，则下列结论正确的是(A) A ．AB 是A ′B ′的3倍 B ．A ′B ′是AB 的3倍 C ．∠A 是∠A ′的3倍D ．∠A ′是∠A 的3倍4．若x －y 13＝y 7，则x ＋y y ＝(C)A.137B.207C.277D ．无法确定5．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，AO ∶DO ＝1∶2，那么下列式子正确的是(B) A ．BO ∶BC ＝1∶2 B ．CD ∶AB ＝2∶1 C ．CO ∶BC ＝1∶2D ．AD ∶DO ＝3∶16．如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的三等分点，AE ＝23AD ，连结BE 交AC 于点F ，AC ＝12，则AF为(B) A ．4B ．4.8C ．5.2D ．67．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步：分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于M ，N 两点；第二步：连结MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ；第三步：连结DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是(D) A ．2B ．4C ．6D ．88．【动手操作】宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(D)A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH二、填空题(每小题4分，共20分)9．在比例尺为1∶8 000的地图上，两地的距离为25 cm ，它的实际距离约为2_000m. 10．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，d ＝4 cm ，那么a ＝3cm. 11．一个五边形的各边长分别是2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边是8，则该五边形的周长是803．12．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，DE ∶EB ＝2∶3，EF ＝6，那么BC 的长为10．13．如图，菱形ABCD 的周长为12，∠DAB ＝60°，对角线AC 上有两点E 和F(点E 在点F的左侧)，且要使四边形DEBF 与菱形ABCD 相似，则AE三、解答题(共48分)14．(8分)已知P 为线段AB 上一点，且AB 被点P 分为AP ∶PB ＝3∶5.如果AB ＝160 cm ，试求PB 的长．解：设AP ＝3x ，则PB ＝5x ，AB ＝8x ，其中x ≠0， ∴AB PB ＝85. 当AB ＝160 cm 时，160PB ＝85，∴PB ＝100 cm.15．(8分)若x 3＝y 4＝z5，x ＋y ＋z ＝36，求x ，y ，z 的值．解：设x 3＝y 4＝z5＝k(k ≠0)，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k. ∵x ＋y ＋z ＝36， ∴3k ＋4k ＋5k ＝36. 解得k ＝3.∴x ＝9，y ＝12，z ＝15.16．(10分)如图，已知AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，∠B ＝30°，∠D ＝115°，△ABC ∽△DAC. (1)求CD 的长； (2)求∠BAD 的大小．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC CD ＝BC AC ，即5CD ＝105. ∴CD ＝2.5 cm. (2)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠BAC ＝∠D ＝115°，∠CAD ＝∠B ＝30°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝115°＋30°＝145°.17．(10分)如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连结AE 并延长交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ，DF FC ＝32.(1)若BD ＝20，求BG 的长； (2)求CMCD的值．解：(1)∵GF ∥BC ， ∴DF FC ＝DG BG ＝32. ∵BD ＝20， ∴32＝20－BG BG . ∴BG ＝8.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴DM AB ＝DG BG ＝32. ∴DM CD ＝32.∴CM CD ＝12.18．(12分)如图，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点．若△PAD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长．解：∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠PAD ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC.设AP 的长为x ，则BP 的长为8－x.如果AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况： ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x)＝3∶4，解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x)，解得x ＝2或x ＝6. ∴AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.。

华师大版数学九年级上册第23章2331相似三角形课时作业.doc

华师大版数学九年级上掰 23章第3 23. 3. 1相似三角形课睢业两边的和是（4. 在宋BC 中，AB=12, BC=18, CA=24,另一个和它相似的 ①EF 最长的一边是 36,则4DEF最短的一边是（A. 72B. 18 C ・ 12 D ・ 2015. 平面直角坐标中，已知点 0（0, 0） , A （0, 2） , B （1, 0）,点P 是反比例函数 y=- 一2. 一个三角形三边的长删AB3, 5, 7, 另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它A. 19B. 17 C ・ 24D. 213. 女口图，^ADE-AA BC,若 AD=1, BD=2,则來DE 与來BC 的相似比是（D. 3： 2AB ,來BC 的周长为15cm,则來B 的0妫（x图象上的一个动点，过点P 作PQ 丄x 轴，垂足为Q.若以点0、P 、Q 为顶点的三角形与 9AB 相似，则相应的点 P 共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. △ABC-A ABC ；且z A=68°,贝贬 X(=)A. 22。

B ・ 44。

C ・ 68° D ・ 80°7•如图，若 ABC, 以下4个等式错误的是（A.AC = ABCD BCB.CD C ・CD2=AD?DBD ・ AC 2=AD?ABAD AC28. A ABC和££卩相似，且相似比为一，那么'已们的周长比是（32349A.-B.—C.—D. —32949•点D、E分别在宋BC的祖B、AC上，AD=2, DB=8, AC=5・若SDE与^ABC相似,则AE的长为（）A. 1.25B. 1 C・ 4 D・ 1 或4D、E三点组成的三角形与△ ABC相似，贝I] AE的长为（）A. 16 B・ 14 C・ 16 或14 D・ 16 或9"・如图，RtSBORtQEF, N A二35。

华师大版初中数学九年级上册《23.3 相似三角形》同步练习卷(含答案解析

华师大新版九年级上学期《23.3 相似三角形》同步练习卷一．填空题（共10小题）1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为．2．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，则=．3．若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=．4．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B 点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．6．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是，△A′B′C′的周长是．7．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标．8．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有．9．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=．二．解答题（共30小题）11．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q 每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？13．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F．求+的值．14．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y=（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E 是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD 上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．16．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．19．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG 在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．22．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．24．如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．25．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的长是宽的2倍，求矩形的长和宽．26．有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm（1）写出y与x的函数关系式．（2）当x取多少时，EFGH是正方形？27．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．28．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．30．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．31．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF 并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF=BG；（2）若AB=4，求DC的长．32．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF•DA．33．如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：△CDF∽△BFE；（2）若EF∥CD，求证：2CF2=AC•CD．34．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．35．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=12cm，AB=6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么：（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？36．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF请在三角形②～⑥中，找出与①相似的三角形的序号是（把你认为正确的一个三角形的序号填上）并证明你的结论．37．如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？38．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．（1）写出图中所有与△ABD相似的三角形；（2）探索：设，是否存在这样的t值，使得△ADF∽△EDB？说明理由．39．如图所示，D在△ABC的AB边上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2=AF•AB．求证：△AEF∽△ACD．40．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D．已知AC=6，AD=2，求AB？华师大新版九年级上学期《23.3 相似三角形》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为3：2．【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故答案为：3：2【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．2．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，则=．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．=4，S△DEF=9，【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC∴．故答案为【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．3．若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=15．【分析】根据△ADE∽△ACB，得到=，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∴=，又=，DE=10，∴BC=15．故答案为：15．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键．4．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x．【分析】设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．【解答】解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，∴=，∴=2k2，∴a4=4k2，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B 点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12，∴t=3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．6．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是2：5，△A′B′C′的周长是37.5．【分析】根据相似三角形的性质及已知求得相似比，再根据周长比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周长．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′∴相似比是6：15=2：5∵△ABC的周长是15∴△A′B′C′的周长是37.5．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．7．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标（，）．【分析】如图作C1H⊥x轴于H．由△C1OB∽△C1A1O，推出==，由tan∠C1A1H===，设C1H=m，则A1H=2m，OH=2m﹣4，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作C1H⊥x轴于H．∵△C1OB∽△C1A1O，∴==，∵tan∠C1A1H===，设C1H=m，则A1H=2m，OH=2m﹣4，∴A1C1=m，OC1=，∴m=2，解得m=或（舍弃），∴C1（，）．【点评】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形的旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8．已知，如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于点E、F，EF交AD于点Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．上述结论中，正确的有（3）（4）．【分析】首先延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，易得四边形BPCM是平行四边形，然后由平行线分线段成比例定理，证得AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，继而证得EF∥BC；然后由相似三角形的性质，证得结论．【解答】解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，∵AD是中线，∴BD=CD，∴四边形BPCM是平行四边形，∴BP∥MC，CP∥BM，即PE∥MC，PF∥BM，∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，∴AF：AB=AE：AC，∴EF∥BC；∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，∴FQ：BD=EQ：CD，∴FQ=EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；∵△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；∵△PFQ∽△PCD，∴FQ：CD=PQ：PD，∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；∵EF∥BC，∴S△FPQ ：S△DCP=（）2，S△PEF：S△PBC=（）2，∴S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．故（4）正确．故答案为：（3）（4）．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是8．【分析】首先连接DF，由四边形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分别是AB，BC的中点，可得===2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根据相似三角形的性质与勾股定理，可求得AN，MN的长，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面积关系，求得△DMN的面积．【解答】解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴△BFN∽△DAN，∴==，∵F是BC的中点，∴BF=BC=AD=，∴AN=2NF，∴AN=AF，在Rt△ABF中，AF==5，∴cos∠BAF===，∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，∴AE=BF=，∵∠DAE=∠ABF=90°，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠AED=∠AFB，∴∠AME=180°﹣∠BAF﹣∠AED=180°﹣∠BAF﹣∠AFB=90°．∴AM=AE•cos∠BAF=×=2，∴MN=AN﹣AM=AF﹣AM=×5﹣2=，∴．=AD•CD=×2×2=30，又∵S△AFD∴S=S△AFD=×30=8．△MND故答案为：8．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握三角形面积的求解方法，注意辅助线的作法．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=6．【分析】根据射影定理得到等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴CD2=BD•AD=36，∴CD=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．二．解答题（共30小题）11．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q 每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△CDA或△QBP∽△CDA，从而解得所需的时间．【解答】解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90°，当=时，即=，解得x=5；②设经x秒后，△QBP∽△CDA，由于∠PBQ=∠ADC=90°，当=时，即=，解得x=2．故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似．【点评】此题考查了相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用，注意分情况讨论求解．13．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F．求+的值．【分析】先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AB交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．【解答】解：作EG∥BC交AD于G，则有=，即=，得EG=BD=CD，∴==作DH∥AB交CE于H，则DH=BE=AE，∴==1，∴+=+1=．【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．14．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y=（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E 是AB的中点．（1）求D点的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．【分析】（1）先求出点E的坐标，求出双曲线的解析式，再求出CD=1，即可得出点D的坐标；（2）分两种情况：①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，，求出CF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；②当BD与CF是对应边时，=，求出CF、OF，得出F的坐标，用待定系数法即可求出直线BF的解析式；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA=BC，AB=OC，∵B（2，3），E为AB的中点，∴AB=OC=3，OA=BC=2，AE=BE=AB=，∴E（2，），∴k=2×=3，∴双曲线解析式为：y=；∵点D在双曲线y=（x＞0）上，∴OC•CD=3，∴CD=1，∴点D的坐标为：（1，3）；（2）∵BC=2，CD=1，∴BD=1，分两种情况：①△FBC和△DEB相似，当BD和BC是对应边时，，即=，∴CF=3，∴F（0，0），即F与O重合，设直线BF的解析式为：y=kx，把点B（2，3）代入得：k=，∴直线BF的解析式为：y=x；②△FBC和△DEB相似，当BD与CF是对应边时，=，即=，∴CF=，∴OF=3﹣=，∴F（0，），设直线BF的解析式为：y=ax+c，把B（2，3），F（0，）代入得：，解得：a=，c=，∴直线BF的解析式为：y=x+；综上所述：若△FBC和△DEB相似，BF的解析式为：y=x，或y=x+；【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的性质、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用相似三角形的性质求出点的坐标才能得出结果．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD 上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）过点A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中运用三角函数即可求得AF 的长，再在直角△ACF中，根据勾股定理即可求解；（2）过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，应分为，AE=AB，BE=AB，AB=AE（根据∠BAE 是直角，可得这种情况不可能）几种情况讨论．【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神16．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解答】解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）【点评】此题考查了平行线的性质与判定．此题难度适中，解此题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．【分析】（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出结论．（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF．【解答】（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DAC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：方法一：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•PA∴4•（4+2）=OB•3OB∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，在Rt△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB，∴∠FDA=∠CBA，又∵∠AFD=∠ACB=90°，∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在Rt△APF中有，，求得DF=．方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，易证△PCO∽△PDA，可得=，△PGO∽△PFA，可得=，可得，=，由方法一中PC=4代入，即可得出DF=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG 在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．22．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【分析】（1）根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．【解答】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x=48．答：正方形零件的边长为48mm．（3）设EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC∴，∴=∴y=80﹣x∴矩形面积S=xy=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】方法一：解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，∴即解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米．方法二：解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF=xm，则MN∥AB，AB=MN=1.25m，MF=AC，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴∠EMA=∠MDF=45°∴DF=MF=AC=xm，DC=DF+AM=x+1.75m，∵MF∥AC∴==，即=，解得：x=4.375m，∴DC=4.375+1.75=6.125m≈6.1m，∴路灯高CD约为6.1米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．24．如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴=，∴=，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故树高DC为5.28米．【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．25．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的长是宽的2倍，求矩形的长和宽．【分析】根据矩形性质得PN∥BC，PQ=DE，则可证明△APN∽△ABC，根据相似。

华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似单元检测试卷及解析

华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似单元检测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（-2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（）A. （3，6）B. （1，3）C. （1，6）D. （3，3）2.已知△ABC 平移后得到△A 1B 1C 1，且A 1（﹣2，3），B 1（﹣4，﹣1），C 1（m ，n ），C （m+5，n+3），则A ，B 两点的坐标为（）A. （3，6），（1，2）B. （-7，0），（-9，-4）C. （1，8），（-1，4）D. （-7，-2），（0，-9）3.点P （x ，y ），且xy ＜0，则点P 在（）A. 第一象限或第二象限B. 第一象限或第三象限C. 第一象限或第四象限D. 第二象限或第四象限4.把点A （2，5）向下平移3个单位长度后，再向右平移2个单位长度，它的坐标是（）A. （﹣1，5）B. （2，2）C. （4，2）D. （﹣1，7）5.点M （3，-2）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.一次函数24y x =+交y 轴于点A ，则点A 的坐标为（）A. （0，4）B. （4，0）C. （-2，0）D. （0，-2）7.点P 位于x 轴下方，距离x 轴5个单位，位于y 轴右方，距离y 轴3个单位，那么P 点的坐标是（）A ．（5，－3）B ．（3，－5）C ．（－5，3）D ．（－3，5） 8.下列说法正确的是（）A. 相似两个五边形一定是位似图形B. 两个大小不同的正三角形一定是位似图形C. 两个位似图形一定是相似图形D. 所有的正方形都是位似图形9.下列说法中，不正确的是（）A. 直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似B. 底角为40°的两个等腰三角形相似C. 一个锐角为30°的两个直角三角形相似D. 有个角为30°的两个等腰三角形相似10.已知点A 的坐标为(a ，b)，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得OA 1，则点A 1的坐标为（）A (−a ，b)A. (a ，−b) B. (−b ，a) C. (b ，−a)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题（题型注释）1的正方形，△ABC 与△A′B′C′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O ，并直接写出△ABC 与△A′B′C′的位似比．12.如图，是一块三角形土地，它的底边BC 长为100米，高AH 为80米，某单位要沿着底边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，D 、G 分别在边AB 、AC 上，若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积。

九年级数学上第23章图形的相似单元测试题(华师大版有答案)

九年级数学上第23章图形的相似单元测试题（华师大版有答案）图形的相似试题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1.已知四条线段是成比例线段，即＝，下列说法错误的是（） A． B．＝ C．＝ D．＝ 2.在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则这两地的实际距离（） A． B. C.D. 3.若，且，则的值是（） A.14 B. 42 C.7 D. 4.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及，那么的值（） A.只有 1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个 5.如图，在△ 中，点分别是的中点，则下列结论：① ；②△ ∽△ ；③ 其中正确的有（） A. 3个 B.2个 C.1个 D.0个6.如图， // ， // ，分别交于点，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C. 6对D.7对 7.已知△ 如图所示，则下列4个三角形中，与△ 相似的是（）8.如图，在△ 中，∠ 的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（） A. B. C. D. 9如图，是△ 的边上任一点，已知∠ ∠ .若△ 的面积为，则△ 的面积为（） A. B. C. D. 10．如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共18分） 11.已知，且，则 _______.12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________． 13.如图，在△ 中，∥ ，，则 ______． 14.若，则=__________； 15如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，，那么窗户的高为________.16.五边形∽五边形，∠ 三、解答题（共78分） 19.（9分）已知：如图，是上一点，∥ ，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由20.（9分）梯形中，∥ ，点在上，连结并延长与的延长线交于点．（1）求证：△ ∽△ ；（2）当点是的中点时，过点作∥ 交于点，若，求的长．21.（8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′（在位似中心的同侧）和△ABC位似，且位似比为1 2；（2）连结（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.22.（9分）已知：如图，在△ 中，∥ ，点在边上，与相交于点，且∠ ．求证：（1）△ ∽△ ；（2）23．（9分）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．24.（11分）已知：如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．（１）求证：四边形是菱形. （２）若，△ 的面积为，求△ 的周长. （３）在线段上是否存在一点，使得？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．25.（9分）如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接 . （1）求证：；（2）若，求证：四边形为正方形.26.（8分)如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．第24章图形的相似检测题参考答案 1.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项都为相似图形，D项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形. 2.C 解析：由比例的基本性质知A、B、D项都正确，C项不正确. 3.D 解析： 4.D 解析：设，则所以所以 . 5.A 解析：因为点分别是的中点，所以是△ 的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确. 6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .7.C 解析：由对照四个选项知，C项中的三角形与△ 相似. 8. B 解析：在△ 中，∠ 由勾股定理得因为所以 .又因为所以△ ∽△ 所以，所以所以 9.D 解析：A项的点在第一象限；B项的点在第二象限；C项的点在第三象限；D项的点在第四象限.笑脸在第四象限，所以选D. 10.B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B正确. 11.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的三角形的两直角边长为3,4时，的值为5；当一个直角三角形的一直角边长为6，斜边长为8，另一直角边长为，且另一个与它相似的三角形的一直角边长为3,斜边长为4时，的值为 .故的值可以为5或 . 12.C 解析：因为所以所以即所以所以 . 13.4 解析：因为，所以设，所以所以 14.90，270 解析：设另一个三角形的其他两边为由题意得，所以又因为所以三角形是直角三角形，所以周长为 15.9 解析：在△ 中，因为∥ ，所以∠ ∠ ∠ ∠ ，所以△ ∽△ ，所以，所以，所以 16. 解析：由，得，，，所以 17. 解析：∵ ∥ ，∴ △ ∽△ ，∴ ，即，且，，，∴ 18. 解析：因为五边形∽五边形所以又因为五边形的内角和为所以 . 19.解： . 理由：∵ ∥ ∴ ∠ ∠ .又∴ . 又∵ ∴ △ ∽△ ，∴ 即 . 2 0.（1）证明：∵ 在梯形中，∥ ，∴ ∴ △ ∽△ ．（2）解：由（1）知，△ ∽△ ，又是的中点，∴ ∴ △ ≌△ ∴ 又∵ ∥ ∥ ，∴ ∥ ，得．∴ ∴ ． 21.解：（1）如图. （2）四边形的周长=4+6 .22.证明：（1）∵ ，∴ ∠ ．∵ ∥ ，∴ ，．∴ ．∵ ，∴ △ ∽△ ．（2）由△ ∽△ ，得，∴ ．由△ ∽△ ，得．∵∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．∴ ．∴ ．∴ ． 23.（1）证明：在正方形中，， . ∵ ∴ ，∴ ，∴ . （2）解：∵ ∴ ，∴ ，，∴ . 由∥ ，得，∴ △ ∽△ ，∴ ，∴ . 24.（１）证明：由题意可知∵ ∥ ∴ ∠ ∠ ，∠ ＝∠ ∴ △ ≌△ ∵ ，又∥ ∴ 四边形是平行四边形. ∵ ，∴ 四边形是菱形. （2）解：∵ 四边形是菱形，∴ . 设，∵ △ 的面积为24，，∴ ∴ △ 的周长为 . （３）解：存在，过点作的垂线，交于点，点就是符合条件的点. 证明如下：∵ ∠ ∠ 90°，∠ ∠ ∴ △ ∽△ ，∴ ，∴ . ∵ 四边形是菱形，∴ ∴ ∴ 25.证明：（1）∵ ，∴ . 在与中，∵ ，∴ ，∴ . 又，∴ ，∴ ，∴ . （2）∵ ，∴ ，又，∴ ，∴ . 又，∴ 四边形是矩形. 又，∴ 四边形是正方形. 26.解：∵ 四边形为平行四边形，∴ ∠ ∠ ，∠∠ ，∴ △ ∽△ ，∴ ，即，∴ ，∴ ．。

九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质练习华东师大版(20

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23。

3。

3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.错误!∶错误!2．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ）A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2,BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝________,则错误!＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB,AC上的点，且DE∥BC。

若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________.图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5,它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B.错误!∶错误! C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39,D，E分别为△ABC的边AB,AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( ）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911。

华东师大版初三数学23章相似三角形典型例题(含答案)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。

华师大版初中数学九年级上册《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷(含答案解析

华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。

新版华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段同步检测题(附答案)

新版华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似2323.1.1 成比例线段知识点 1 线段的比1．线段a ＝20 cm ，b ＝30 cm ，那么a ∶b ＝________，b ∶a ＝________． 2．线段AB ，在BA 的延伸线上取一点C ，使CA ＝3AB ，那么线段CA 与线段CB 的比为( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．3∶5 D ．1∶23．如图23－1－1，C 是线段AB 的中点，点D 在BC 上，AB ＝24 cm ，BD ＝5 cm. (1)AC ∶CB ＝________，AC ∶AB ＝________； (2)BC BD ＝______，CD AB ＝________，ADCD＝______．图23－1－1知识点 2 成比例线段的概念 4．线段a ＝8 cm ，b ＝30 cm ，c ＝10 cm ，d ＝24 cm 中，最短两条线段的比a ∶c ＝________，最长两条线段的比d ∶b ＝________，所以这四条线段________成比例线段(填〝是〞或〝不是〞)．5．以下各组中的四条线段，是成比例线段的是( )A ．3 cm ，6 cm ，12 cm ，18 cmB ．2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cmC. 2 cm ，10 cm ， 5 cm ，5 cm D ．5 cm ，2 cm ，3 cm ，6 cm6．判别以下线段是不是成比例线段，假定是，请写出比例式． (1)a ＝7 cm ，b ＝4 cm ，c ＝d ＝2 7 cm ； (2)a ＝20 mm ，b ＝8 m ，c ＝28 m ，d ＝7 cm. 知识点 3 比例的基本性质7．a b ＝c d ，假定其中a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝2 cm ，那么可列比例式〔〕〔〕＝〔〕〔〕，依据比例的基本性质，可得________，所以线段d ＝________ cm.8．x y ＝79，那么以上等式一定成立的是( ) A ．x ＝97y B ．7y ＝9xC ．7x ＝9yD ．xy ＝639．假定2x ＝5y ，那么以下式子中错误的选项是( )A. y x ＝25B. x －y y ＝32C.x ＋y x －y ＝73 D. y －x x ＝3510. 画在图纸上的某一零件长3.2 cm ，假定比例尺是1∶20，那么该零件的实践长度是__________．11．c 4＝b 5＝a 6≠0，那么b ＋c a的值为________．12．a b ＝43，求a ＋b b 和a －b a的值．13. 等腰直角三角形斜边上的高与腰的长度之比是( )A.2∶1 B．1∶2 C ．2∶ 2 D ．1∶ 2 14．三个数2，2，4.假定再添加一个数，就失掉这四个数成比例，那么添加的数是( )A ．2 2B ．2 2或22C ．2 2，4 2或8 2D ．2 2，22或4 2 15．假定a b ＝c d，那么以下各式一定成立的有( ) ①a ＋b b ＝c ＋d d ；②a －b b ＝c －dd ； ③a a ＋b ＝cc ＋d；④aa －b ＝cc －d.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．［教材练习第2题变式］假定a 5＝b 3＝c2，且a －b ＋c ＝8，那么a ＝________．17．AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′＝2，且△ABC 的周长为18 cm ，求△A ′B ′C ′的周长．18．如图23－1－2，假定点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延伸线上，AB ＝10，AP BP＝AQ BQ ＝32.求线段PQ 的长．图23－1－219．线段a ＝0.3 m ，b ＝60 cm ，c ＝12 dm. (1)求线段a 与线段b 的比；(2)假设a ∶b ＝c ∶d ，求线段d 的长． 20．x －y x ＋y ＝911，求以下各式的值： (1)xx ＋y ； (2)2x ＋yy －x. 21．△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，且a ＋b ＋c ＝12，那么这个三角形的面积是多少？22．阅读以下解题进程，然后解题：标题：x a －b ＝y b －c ＝z c －a(a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值．解：设x a －b ＝y b －c ＝z c －a＝k(k≠0)，那么x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)， ∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k·0＝0， ∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下面的效果：a，b，c为非零实数，且a＋b＋c≠0，当a＋b－cc＝a－b＋cb＝－a＋b＋ca时，求〔a＋b〕〔b＋c〕〔c＋a〕abc的值．参考答案1．2∶3 3∶2 2. A3．(1)1∶1 1∶2 (2)125 724 1974．4∶5 4∶5 是 5．C [解析] 只要C 中210＝55，为成比例线段． 6．[解析] 判别四条线段是不是成比例线段，可依据线段长度的大小关系，从小到大陈列，判别较短的两条线段的比能否等于较长的两条线段的比，假定比值相等那么这四条线段是成比例线段．解：(1)由于b c ＝42 7＝4×72 7×7＝2 77，d a ＝2 77，所以这四条线段是成比例线段，比例式为b c ＝da.(2)将线段从小到大陈列，得a ＝20 mm ＝0.02 m ，d ＝7 cm ＝0.07 m ，b ＝8 m ，c ＝28 m ．由于a d ＝0.020.07＝27，b c ＝828＝27，所以这四条线段是成比例线段，比例式为a d ＝b c. 7．5 3 2 d 5d ＝6 658. B 9. D 10. 64 cm11. 32 [解析] 设c 4＝b 5＝a 6＝k ，那么c ＝4k ，b ＝5k ，a ＝6k ，所以b ＋c a ＝5k ＋4k 6k ＝32.12．解：由可设a ＝4k ，b ＝3k (k ≠0)， ∴a ＋b b ＝4k ＋3k 3k ＝7k 3k ＝73， a －b a ＝4k －3k 4k ＝k 4k ＝14. 13． D14． D [解析] 设这个数是x ，由题意，得当2∶2＝4∶x 时，那么2x ＝4 2，解得x ＝2 2；当2∶4＝x ∶2时，那么4x ＝2 2，解得x ＝22；当2∶2＝x ∶4时，那么2x ＝8，解得x ＝4 2. 应选D. 15． A16．10 [解析] 由a 5＝b 3＝c 2，得b ＝3a 5，c ＝2a 5，由a －b ＋c ＝8，得a －3a 5＋2a5＝8，解得a ＝10.17．解：∵AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′＝2， ∴AB ＝2A ′B ′，BC ＝2B ′C ′，AC ＝2A ′C ′. ∵AB ＋BC ＋AC ＝18，∴2A ′B ′＋2B ′C ′＋2A ′C ′＝18， ∴2(A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′)＝18， ∴A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝9， ∴△A ′B ′C ′的周长为9 cm. 18．[解析] 依据AP BP ＝AQ BQ ＝32，区分求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长．解：∵AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32，∴BP ＝4，BQ ＝20， ∴PQ ＝BP ＋BQ ＝24. 答：线段PQ 的长为24.19．解：a ＝0.3 m ＝3 dm ，b ＝60 cm ＝6 dm ，c ＝12 dm. (1)a ∶b ＝3∶6＝1∶2. (2)∵a ∶b ＝c ∶d ， ∴1∶2＝12∶d ，解得d ＝24(dm)．故线段d 的长是24 dm.20．解：由可得9(x ＋y )＝11(x －y )，整理得x ＝10y . (1)xx ＋y ＝10y 10y ＋y ＝10y 11y ＝1011.(2)2x ＋y y －x ＝20y ＋y y －10y ＝21y －9y ＝－73.21．令a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k ，那么a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8，代入a ＋b ＋c ＝12，可得k ＝3，∴这个三角形的三边长为a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴这个三角形为直角三角形， ∴S ＝12bc ＝12×3×4＝6.22．设a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋ca＝k (k ≠0)，那么a ＋b －c ＝kc ①，a －b ＋c ＝kb ②，－a ＋b ＋c ＝ka ③，由①＋②＋③，得a ＋b ＋c ＝k (a ＋b ＋c )． ∵a ＋b ＋c ≠0，∴k ＝1，∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，c ＋a ＝2b ， ∴〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕abc ＝2c ·2a ·2babc＝8.23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线区分交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，依据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，假定AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得()()＝()()，解得EF ＝________．图23－1－32．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 区分在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，那么FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．6 图23－1－43．如图23－1－5，假定AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线区分交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .假定AB ＝BC ，那么DE 与EF ________(填〝相等〞或〝不相等〞)．图23－1－54．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .假定AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，那么FC ＝________．图23－1－65．如图23－1－7，AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .假设AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)假定AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，那么线段DF 的长度是多少厘米？ (2)假定AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，那么线段DF 的长度是多少厘米？图23－1－8知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2021·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，由于DE ∥BC ，所以AD BD ＝〔〕〔〕.假定AD BD ＝23，那么AD BD ＝〔〕〔〕＝________．图23－1－98．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3区分交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3区分交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，那么DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 35图23－1－109．如图23－1－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，且区分交AB ，AC 于点D ，E ，那么以下比例式不正确的选项是( )A.AB AD ＝AC AEB.AB AC ＝ADAEC.AD BD ＝AE ECD.AB DE ＝ACEC图23－1－1110．如图23－1－12，假定AB ∥DC ，AC ，BD 相交于点E ，且AE ＝2，EC ＝3，BD ＝10，那么ED ＝________．图23－1－1211．如图23－1－13，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DB ＝AE .假定AB ＝5，AC ＝10，求AE 的长．图23－1－1312．如图23－1－14，AB ∥CD ∥EF ，AD ∶AF ＝3∶5，BE ＝10，那么BC 的长为________．图23－1－1413．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．假定线段AB ＝4 cm ，那么线段BC ＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD 为△ABC 的中线，E 为AD 的中点，连结BE 并延伸交AC 于点F ，那么CF AF＝__________．图23－1－1615．如图23－1－17，在△ABC 中，DF ∥AC ，DE ∥BC ，AE ＝4，EC ＝2，BC ＝8，求CF 的长．图23－1－1716．如图23－1－18，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于点D ，AC ＝8，AB ＝9，CE ＝4，求DE 的长．图23－1－1817．关于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB ∥CD ，AD ，BC 交于点O ，那么 AO DO ＝BO CO.请你应用该结论解答以下效果：如图②，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAD ＝75°，∠CAD ＝30°，AD ＝2，BD ＝2DC ，求AC 的长．图23－1－19教员详答1．DE EF 5 10 4 EF 82．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.应选B.3．相等 [解析] 由于AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.由于AB ＝BC ，所以DE ＝EF .4. 214 [解析] 由于AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .由于AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FCFC ，所以FC ＝214.5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)．故线段DF 的长度是163 cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)．故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.应选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6. 13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥CE 于点E ，交BD 于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝ADDE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作DG ∥BF ，交AC 于点G ，那么AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BDDC.又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BD DC＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ， ∴CF ＝2AF ，∴CF AF＝2. 15．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163. 16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ， ∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延伸线于点E, 那么 BD DC ＝AD DE.又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°. 又∵∠CAD ＝30°，∴∠ACE ＝75°， ∴AC ＝AE ＝AD ＋DE ＝3.。

华师大版九年级上册数学第23章图形的相似含答案

华师大版九年级上册数学第23章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，直线l 1∥l 2∥l 3 ，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1 ， l 2 ， l 3上，∠ACB=90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则的值为（）A. B. C. D.2、点（1,2）关于y 轴对称的点的坐标为（）A.（2,1）B.（－1,2）C.（1,－2）D.（－1,－2） 3、如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ， S△DEF：S △BAF =4：25，则DE ：AB =（）．A.2∶5B.2∶3C.3∶5D.3∶24、若点C 数线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列说法正确的有（）①AB= AC ；②AC=3﹣ AB ；③AB ：AC=AC ：AB ；④AC ≈0.618AB ．A.1个B.2个C.3个D.4个5、已知a＞0，b＜0，那么点P(a，b)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、如图，若，则图中的相似三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对7、四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD ：S四边形A´B´C´D´=（）A.1：9B.1：3C.1：4D.1：58、已知三角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，且A（－2，3），B（－4，－1），C1（m ， n），C（m＋5，n＋3），则A1， B1两点的坐标为（）A.（3，6），（1，2）B.（－7，0），（－9，－4）C.（1，8），（－1，4）D.（－7，－2），（0，－9）9、如图，正方形ABCD的四个顶点在坐标轴上，A点坐标为（3，0），假设有甲、乙两个物体分别由点A同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（）A.（3，0）B.（﹣1，2）C.（﹣3，0）D.（﹣1，﹣2）10、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟时，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A.(4，O)B.(5，0)C.(0，5)D.(5，5)11、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )A.(6+ )米B.12米C.(4+2 )米D.10米12、已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(3，1)，将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(﹣2，1)，则点B的对应点的坐标为( )A.(6，3)B.(0，3)C.(6，﹣1)D.(0，﹣1)13、各顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，如图，在4×8的方格中，以M、N为顶点且与△ABC相似的格点三角形的个数共有（）个．A.3B.4C.5D.614、若△ABC∽△DEF，且两三角形对应中线的比为4：3，则它们的面积之比为（）A.4：3B.8：6C.16：9D.12：915、在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是________．（只要写出一种）17、已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝________.18、如图，，DE=2AE，CF=2BF，且DC=5，AB=8，则EF=________．19、一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为8米，那么，主持人到较近的一侧应为________米．20、如图所示矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P是线段BC上一点(P不与B重合)，M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________．21、如图，点A在双曲线y= （k＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC.若AC=1，则k 的值为________.22、已知，则________．23、线段AB=4cm，点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则AP的长为________．24、已知，且，则________25、如图，在中，，点为边上一动点（不与点重合），以点为圆心，的长为半径作. 当与边相切时，的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知≠0，求的值．27、小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下:如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2 m，CE=0.8 m，CA=30 m.(点A，E，C在同一直线上)，已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB．(结果精确到0.1 m)28、已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=- b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1， 0），B（x2， 0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足= ，求二次函数的表达式．29、如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长.30、如图，在中，是上的点，且，.求证：.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、B3、A4、B5、D6、D7、A8、B9、D10、B11、A12、D13、B14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。

度华东师大版数学九年级上第23章图形的相似检测卷

度华东师大版数学九年级上第23章图形的相似检测卷时间：120分钟总分值：120分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每题3分，共24分)1．以下各组中的四条线段成比例的是〔〕A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，5cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm2．假设x 2＝y 3，那么x ＋y x －y的值是〔〕 A ．5 B ．1 C ．－5 D ．－13．假设两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为〔〕A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 54．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，那么CD 的长为〔〕A ．4B ．7C ．3D ．12第4题图5．如图，线段AB 两个端点的坐标区分为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 增加为原来的12后失掉线段CD ，那么端点C 和D 的坐标区分为〔〕 A ．(2，2)，(3，2) B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)第5题图6．如图，在平面直角坐标系中，A (0，4)，B (2，0)，点C 在第一象限，假定以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似(不包括全等)，那么点C 的个数是〔〕A ．1B ．2C ．3D ．4第6题图7．阳光经过窗口AB 照射到室内，在空中上留下2.7米的亮区DE (如下图)，亮区到窗口下的墙角的距离EC ＝8.7米，窗口高AB ＝1.8米，那么窗口底边离空中的高BC 为〔〕A ．4米B ．3.8米C ．3.6米D ．3.4米第7题图8．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线区分交AB 、BD 于M 、N 两点．假定AM ＝2，那么线段ON 的长为〔〕A.22B.32 C ．1 D.62第8题图二、填空题(每题3分，共30分)9．如图，为估量池塘两岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，区分取OA ，OB 的中点M ，N ，测得MN ＝32m ，那么A ，B 两点间的距离是 m.第9题图10．如图，是象棋棋盘的一局部，假定位于点(1，－2)上，位于点上，那么位于点(－2，1)上．第10题图11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，DE ＝6，那么BC 的长是 . 第11题图12．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，衔接CD ，请添加一个适当的条件，使△ABC ∽△ACD (只填一个即可)．13．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度失掉的，假设图形a 中的点A 的坐标为(4，－2)，那么图形b 中与点A 对应的点A ′的坐标为．第12题图14．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，那么点E 的坐标是．第14题图第15题图15．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE 为Rt △CDB 的斜边BC 上的高．假定BE ＝6，CE ＝4，那么CD ＝ .16．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在三角形的边上)，那么此正方形的面积是 .第16题图第17题图第18题图17．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，AB 与空中平行，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降异样的高度可以将B 端的人跷高米．18．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD .E 为四边形ABCD 内一点且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°，使BC 与DC 重合，失掉△DCF .衔接EF 交CD 于M ，BC ＝10，CF ＝6，那么ME ∶MF 的值为 .三、解答题(共66分)19．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系陈列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F 的度数；(2)假设多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．20．(6分)如下图，AD 、BE 是钝角△ABC 的边BC 、AC 上的高，求证：AD BE ＝AC BC. 21．(6分)如图，M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，依据国度的惠民政策，政府决议打不时线涵洞．工程人员为了计算工程量，必需计算M 、N 两点之间的直线距离，选择测量点A 、B 、C ，点B 、C 区分在AM 、AN 上，现测得AM ＝1千米、AN ＝1.8千米、AB ＝54米、BC ＝45米、AC ＝30米，求M 、N 两点之间的直线距离．22．(7分)：△ABC 在平面直角坐标平面内，三个顶点的坐标区分为A (0，3)、B (3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度失掉的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；(2分)(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．23．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D 作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D区分是BC、AC边上的点，且∠APD ＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)假定AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．25．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，衔接CM交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)假定△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．26．(12分)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A动身，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时动身，以相反的速度沿x轴的正方向运动，规则点P抵达点O时，点Q也中止运动．衔接BP，过P 点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，衔接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？第23章检测卷1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A8．C 解析：作MH ⊥AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH ＝45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH ＝MH ＝22AM ＝22×2＝2，∵CM 平分∠ACB ，∴BM ＝MH ＝2，∴AB ＝2＋2，∴AC ＝2AB ＝(2＋2)×2＝22＋2，∴OC ＝12AC ＝2＋1，CH ＝AC －AH ＝22＋2－2＝2＋2，∵BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴ON MH ＝OC CH，即ON 2＝2＋12＋2，∴ON ＝1.应选C. 9．64 10.(－2，1) 11.1812．∠B ＝∠ACD (答案不独一) 13.(4，－5)14．(3，3) 15.210 16.25 17.118．3∶4 解析：由题意知△BCE 绕点C 顺时转动了90°，∴△BCE ≌△DCF ，∠ECF ＝∠DFC ＝90°，∴CD ＝BC ＝10，DF ∥CE ，∴∠ECD ＝∠CDF .∵∠EMC ＝∠DMF ，∴△ECM ∽△FDM ，∴ME ：MF ＝CE ：DF .∵DF ＝CD 2－CF 2＝8，∴ME ：MF ＝CE ：DF ＝6：8＝3：4.19．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1、∠D 和∠D 1、∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(4分)(2)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)20．解：∵AD 、BE 是钝角△BAC 的高，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°.(2分)又∵∠DCA ＝∠ECB ，∴△DAC ∽△EBC .(5分)∴AD BE ＝AC BC.(6分) 21．解：在△ABC 与△AMN 中，∠A ＝∠A ，AC AB ＝3054＝59，AM AN ＝10001800＝59，∴AC AB ＝AM AN，即AC AM ＝AB AN ，∴△ABC ∽△ANM ，(3分)∴AC AM ＝BC MN ，即301000＝45MN，∴MN ＝1.5千米．(5分) 答：M 、N 两点之间的直线距离是1.5千米．(6分)22．解：(1)(2，－2)(2分)(2)(1，0)(4分)(3)10(7分)23．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(2分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠EDC .(5分)∴△ABD ∽△DCE .∴AB DC ＝BD EC .∴84＝2EC.∴EC ＝1.(7分) 24．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，(3分)∴BP CD ＝AB CP，∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(5分)(2)解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP .∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C .∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BP BA .(8分)∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.(10分) 25．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN.(2分)∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12，∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN .设OB ＝OD ＝x ，那么有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1，∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝6；(5分)(2)∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2，∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4.∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △BCN ＋S △CND ＝4＋2＝6，(8分)∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.(10分)26．解：(1)45° (t ，t )(4分)(2)由题意，可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴AO ＝PQ .(5分)∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ，∴AB ＝PQ .∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BP A ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ .又∵∠BAP ＝∠PQD ＝90°，∴△P AB ≌△DQP .(7分)∴AP ＝DQ ＝t ，PB ＝PD .显然PB ≠PE ，分两种状况：假定EB ＝EP ，那么∠EPB ＝∠EBP ＝45°，此时点P 与O 点重合，t ＝4；假定BE ＝BP ，那么△P AB ≌△ECB .∴CE ＝P A ＝t .(9分)过D 点作DF ⊥OC 于点F ，易知四边形OQDF 为正方形，那么DF ＝OF ＝t ，EF ＝4－2t .∵DF ∥BC ，∴△BCE ∽△DFE ，∴BC DF ＝CE EF ，∴4t ＝t 4－2t.解得t ＝－4±42(负根舍去)．∴t ＝42－4.(11分)综上，当t ＝42－4或4时，△PBE 为等腰三角形．(12分)。

华师大版九年级数学上册第23章第3节 23.3.1相似三角形

华师大版数学九年级上册第23章第3节 23.3.1相似三角形课时作业一、选择题1. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′且 ''AB A B ＝34，△ABC 的周长为15cm ，则△A ′B ′C ′的周长为（）A ．18B ．20C ． 154D ．803答案：B解析：解答：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴''AB A B= ''AC AC =''BCB C ∴ABC A B C V V ’’’的周长的周长=''AB A B =34，∵△ABC 的周长为15cm ， ∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．分析：根据比例的等比性质可得相似三角形周长的比等于相似比，可得ABC A B C V V ’’’的周长的周长=''AB A B =34，由△ABC 的周长为15cm ，即可求得△A ′B ′C ′的周长．2. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A ．19B ．17C ．24D ．21 答案：C解析：解答：设另一个三角形的最短边为x ，第二短边为y ，根据相似三角形的三边对应成比例，知3x ＝5y ＝217， ∴x=9，y =15， ∴x+y =24．故选C ．分析：根据相似三角形的性质三边对应成比例作答即．3. 如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2答案：B解析：解答：∵AD=1，BD=2，∴AB=AD+BD=3．∵△ADE∽△ABC，∴AD：AB=1：3．∴△ADE与△ABC的相似比是1：3．故选B．分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的相似比等于对应边的比．4. 在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF 最短的一边是（）A．72 B．18 C．12 D．20答案：B解析：解答：设△DEF最短的一边是x，∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，∴12x=2436，解得：x=18．故选B．分析：设△DEF最短的一边是x，由相似三角形的性质得到12x=2436，即可求出x，得到△DEF最短的边．5. 平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=- 1 x图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB 相似，则相应的点P共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D解析：解答：∵点P 是反比例函数y =-1x图象上，∴设点P （x ，y ），当△PQO ∽△AOB 时，则PQ AO ＝OQBO，又PQ =y ，OQ =-x ，OA =2，OB =1，即2y ＝1x，即y =-2x ， ∵xy =-1，即-2x 2=-1， ∴x =2∴点P 为（22，2）或（-222）；同理，当△PQO ∽△BOA 时，求得P （2，222，-22）；故相应的点P 共有4个．故选：D ．分析：可以分别从△PQO ∽△AOB 与△PQO ∽△BOA 去分析，首先设点P （x ，y ），根据相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P 的坐标，即可求得答案．6. △ABC ∽△A ′B ′C ′，且∠A =68°，则∠A ′=（） A ．22° B ．44° C ．68° D ．80°答案：C解析：解答：因为△ABC∽△A′B′C′，则∠A与∠A′是对应角，根据相似三角形的性质得到∠A=∠A′=68°，故选C．分析：根据相似三角形的对应角相等即可求得∠A′的度数．7. 如图，若△ACD∽△ABC，以下4个等式错误的是（）A．AC ABCD BC= B．CD BCAD AC=C．CD2=AD•DB D．AC2=AD•AB答案：C解析：解答：∵△ACD∽△ABC，∴ADAC＝ACAB＝CDBC；A.ACCD=ABBC⇒CDBC＝ACAB，故A正确；B.CDAD＝BCAC⇒CDBC＝ADAC，故B正确；C.CD2=AD•DB⇒BDCD＝CDAD，与相似三角形所得结论不符，故C错误；D.AC2=AD•AB⇒ADAC＝ACAB，故D正确；故选C．分析：可根据相似三角形的对应边成比例来进行判断．8. △ABC和△DEF相似，且相似比为23，那么它们的周长比是（）A. 23B.32C.49D.94答案：A解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为2：3，∴它们的周长比是2：3．故选A．分析：根据相似三角形性质，相似三角形周长的比等于相似比可求．9.点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，AD=2，DB=8，AC=5．若△ADE与△ABC相似，则AE 的长为（）A．1.25 B．1 C．4 D．1或4答案：D解析：解答：①若∠AED对应∠B时，AEAB=ADAC，即10AE＝25，解得AE=4；②当∠ADE对应∠B时，ADAB=AEAC，即210=5AE，解得AE=1．故选D．分析：由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．10.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（）A．16 B．14 C．16或14 D．16或9答案：D解析：解答：本题分两种情况：①△ADE∽△ACB∴AE AD AB AC∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=16；②△ADE∽△ABC∴AE AD AC AB∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=9．故选D分析：本题应分两种情况进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长.11. 如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，则∠E的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°答案：C解析：解答：∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，∴∠D=∠A=35°．∵∠F=90°，∴∠E=55°．故选C．分析：由Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠D的度数，又由∠F=90°，即可求得∠E的度数．12. 如图，已知△ACD∽△ABC，∠1=∠B，下列各式正确的是（）A．ADAB＝ACAB＝CDBCB．ADAC＝ACAB＝CDBCC．ADCD＝ABAC＝CDBCD．ADAB＝ABAC＝CDBC答案：B解析：解答：∵△ACD∽△ABC，∴ADAC＝ACAB＝CDBC．故选B．分析：根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例作答．13. 若△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，那么△ABC的最长边是（）A．4cm B．9cm C．4cm或9cm D．以上答案都不对答案：B解析：解答：∵△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，∴△ABC的最长边：△DEF的最长边=3：2，即△ABC的最长边是9cm．故选B．分析：根据相似三角形的相似比的概念，即对应边的比即为相似比，进行求解．14. 若△ABC∽△A΄B΄C΄，∠A=40°，∠B=110°，则∠C΄=（）A．40° B．110° C．70° D．30°答案：D解析：解答：∵∠A=40°，∠B=110°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-110°=30°又∵△ABC∽△A΄B΄C΄，∴∠C΄=∠C=30°．故选D．分析：根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可解答．15. 如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（）A ．5B ．10C ． 52D ．5答案：A解析：解答：从图中可以看出△ABC 的三边分别是2210要让△ABC 的相似三角形最大，就要让DF 225552+= 10525△ABC 的面积为2×1÷2=1，所以△DEF 的最大面积是5．故选A ．分析：要让△ABC 的相似三角形最大，就要让AC 为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．二、填空题16. 已知△ABC ∽△DEF ，∠A =∠D ，∠C =∠F 且AB ：DE =1：2，则EF ：BC = ．答案：2：1解析：解答：∵△ABC ∽△DEF ，∠A =∠D ，∠C =∠F ， ∴AB DE ＝AC DF ＝BCEF， ∵AB ：DE =1：2， ∴EF ：BC =2：1，故答案为2：1．分析：利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比．17. 若两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为60°、50°，则另一个三角形的最小的内角为度．答案：50解析：解答：∵一个三角形的两个角分别为60°、50°，∴另一个角为180°-（60°+50°）=70°，∴三角形的最小的内角为50°．∵两个三角形相似，∴相似的另一个三角形的最小的内角为50°．分析：先求出三角形的另一个角，比较后得出三角形的最小的内角为50°．再根据相似三角形的性质得出结论．18. 已知△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，则∠A的对应角∠A′= 度．答案：50解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，∴∠A′=50度．分析：根据相似三角形的对应角相等解答．19. 如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k= ，直线y=kx+k的图象必经过象限．答案：12|一、二、三解析：解答：k=ABDE=ACDF=BCEF，∴c b ab a ac c b==+++=k，∴c=（a+b）k，b=（a+c）k，a=（c+b）k，相加得：（a+b+c）=2k（a+b+c），当a+b+c=0时，k=cb a+=cc-=-1，∵相似比是k，∴k=-1舍去；当a +b +c ≠0时，k =12，此时y =12x +12图象经过一、二、三象限；故答案为：12，一、二、三．分析：根据相似比的定义得出c b ab a ac c b==+++=k ，推出c =（a +b ）k ，b =（a +c ）k ，a =（c +b ）k ，求出k 的值，即可求出答案．20. 已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 的三边之比为3：4：5．若△A ′B ′C ′的最长边为20cm ，则它的最短边长为 cm ．答案：12解析：解答：设△A ′B ′C ′的最短的边是x ，根据相似三角形的对应边的比相等，得到x ：20=3：5，解得：x =12cm ．它的最短边长为12cm ．分析：设△A ′B ′C ′的最短的边是x ，根据相似三角形的性质，可得x ：20=3：5，解方程即可．三、解答题21. 如图，已知△ABC 中，AB =8，BC =7，AC =6，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，且相似比为14，试求AD 、AE 的长．答案：解答：当△ABC ∽△ADE 时，相似比为14，AD AB ＝AE AC ＝14，即：8AD ＝6AE ＝14，解得：AD =2，AE =1.5；当△ABC ∽△AED 时，AD AC ＝AE AB ＝14，即：6AD ＝8AE ＝14，解得：AD =1.5，AE =2．分析：利用三角形相似的性质分△ABC ∽△ADE 和△ABC ∽△AED 两种情况讨论即可求得AD 、AE 的长．22. 一个三角形三边长分别为5cm ，8cm ，12cm ，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm ，求另外两边长．答案：解答：设另一个三角形的两边长是x cm ，y cm ，由题意，得：x ：5=y ：8=4.8：12，解得x =2cm ，y =3.2cm ．因此另两条边的边长为2cm ，3.2cm ．分析：根据两个相似三角形的最长边的值，可求出它们的相似比，由此可求出另两条边的长． 23. 已知：如图，△ABC ∽△ADE ，∠A =45°，∠C =40°．求：∠ADE 的度数．答案：解答：∵△ABC ∽△ADE ，∠C =40°， ∴∠AED =∠C =40°．在△ADE 中，∵∠AED +∠ADE +∠A =180°，∠A =45° 即40°+∠ADE +45°=180°， ∴∠ADE =95°．分析：由△ABC ∽△ADE ，∠C =40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED 的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE 的度数．24. 如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且AB =9，AC =6，AD =3，若使△ADE 与△ABC 相似，求AE 的长．答案：解答：①若∠AED对应∠B时，AE AB =ADAC，即9AE=36，解得AE=92；②当∠ADE对应∠B时，AD AB =AEAC，即39=6AE，解得AE=2．所以AE的长为2或92．分析：由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．25. 如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案：解答：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，则AMAB＝ANAC，即6t＝12212t，解得t=3；（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，则AMAC＝ANAB，即12t=1226t，解得t=4.8；故所求t的值为3秒或4.8秒．分析：首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．初中数学试卷。

华东师大版九年级数学第23章相似三角形的性质与判定的综合题专题练习(含答案,教师版)

华东师大版九年级数学第23章相似三角形的性质与判定的综合题专题练习一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为(B)A ．18 B.1095C.965D.2532．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780～1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845～1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQ ＝(D) A ．5B ．4C ．3＋ 2D ．2＋ 23．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DC AB 等于(B) A.23B.14C.13D.354．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G.若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF 的值是(C)A.43B.54C.65D.765．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连结AB 并延长到C ，连结CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为(B) A ．(1，52)B ．(43，83) C ．(5，25)D ．(3，23)6．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连结BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF ＝4，则下列结论：①AF FD ＝12；②S △BCE ＝36；③S △ABE ＝12；④△AEF ∽△ACD ，其中一定正确的是(D) A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③7．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连结BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①BE ＝2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③△PFD ∽△PDB ；④DP 2＝PH ·PC.其中正确的是(C) A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④二、填空题8．如图，在▱ABCD中，AB＝8，P，Q为对角线AC的三等分点，延长DP交AB于点M，延长MQ交CD于点N，则CN＝2．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝3．10．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是135°.11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝110°.12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE∶EC＝2∶1，EF∥CD，交对角线。