复数经典例题百度文库

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【详解】
由题意，
．
故选：D．
解析：D
【分析】
求出复数，然后由乘法法则计算．
【详解】
由题意，
．
故选：D．
6．B
【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.
【详解】
由题，得，所以.
故选：B.
解析：B
【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.
【详解】
由题，得，所以 .
本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．
8．B
【分析】
利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可
【详解】
，
所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限
故选：B
解析：B
【分析】
利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．在复平面内，复数对应的点是，则（）
A． B． C． D．
11．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（）
A． B． C． D．

复数经典例题

一、复数选择题

1．i 是虚数单位，复数13i +=（） A ．3i -- B ．3i -+

C ．3i -

D ．3i + 2．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（）

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．1＋i

3．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（）

A ．5

B ．5

C ．5-

D ．5i

4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（） A ．3 B ．1

C ．2

D ．3 5．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（）

A ．2a >或1a <-

B ．1a >或2a <-

C ．12a -<<

D ．21a -<<

6．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（）

A 2

B ．2

C ．2

D ．8

7．已知i 是虚数单位，则复数

41i i +在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=

∈+为纯虚数，则z a +=（） A 5B ．3 C ．5 D ．229．若复数z 满足()322i z i i -+=

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【详解】
由已知可得，所以.
故选：C
解析：C
【分析】
根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.
【详解】
由已知可得，所以 .
故选：C
3．C
【分析】
利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可
【详解】
由题意可知＝，
故选C
解析：C
【分析】
利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可
【详解】
由题意可知＝，
一、复数选择题
1．若复数是虚数单位为纯虚数，则实数的值为（）
A． B．
C． D．
2．若，则（）
A． B． C． D．
3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝（）
【详解】
由
复数（）为纯虚数，则，则
所以
故选：B
10．B
【分析】
由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为的实部为，所以可设复数，
则其共轭复数为，又，
所以由，可得，即，因此.
故选：B.
解析：B
【分析】
由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.

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一、复数选择题

1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

2．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（）

A ．9

7- B ．7 C ．97 D ．7-

3．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 4．复数312i z i =

-的虚部是（） A ．65

i - B ．35i C ．35 D ．65- 5．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）

A B C ．3 D ．5 6．已知复数5i 5i 2i z =

+-，则z =（）

A B ．C ．D ．7．若1m i i

+-是纯虚数，则实数m 的值为（）．

A ．1-

B ．0

C ．1 D

8．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（）

A ．1

B C ．2 D ．4 9．若1i i z

，则2z z i ⋅-=（）

A ．

B ．4

C ．

D ．8 10．复数12i z i =

+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．已知复数z 的共轭复数212i z i -=

+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 12．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（）

复数练习题精选

一、基础练

练1

将下列名词变成复数形式：

1. dog

2. book

3. city

4. leaf

5. box

6. peach

7. child

8. bench

9. thief

10. potato

答案：1. dogs 2. books 3. cities 4. leaves 5. boxes 6. peaches 7. children 8. benches 9. thieves 10. potatoes

练2

填写下列句子的空格处

1. There are two __________ in the room. (box)

2. My sister has three _________. (child)

3. Six _________ are sitting on the shelf. (book)

4. The __________ are jumping in the garden. (child)

5. There are four ___________ in the kitchen. (potato)

答案：1. boxes 2. children 3. books 4. children 5. potatoes 二、提高练

练1

将下列名词变成复数形式，并按照字母表顺序排列：

1. deer

2. hero

3. thief

4. tomato

5. potato

6. monkey

7. baby

8. city

9. lady

10. army

答案：1. deer 2. heroes 3. thieves 4. tomatoes 5. potatoes 6. monkeys 7. babies 8. cities 9. ladies 10. armies

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一、复数选择题

1．若()211z i =-，21z i =+，则

12z z 等于（） A ．1i +

B ．1i -+

C ．1i -

D ．1i -- 2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．2

B ．1

C ．0

D ．1- 3

．

))5511--+＝（）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2 4．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=

∈+为纯虚数，则z a +=（） A

B ．3

C ．5 D

．5．设()2211z i i =

+++，则||z =（） A

B ．1

C ．2 D

6．若1m i i

+-是纯虚数，则实数m 的值为（）． A ．1-

B ．0

C ．1 D

7．已知复数2021

11i z i

-=+，则z 的虚部是（） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i

8．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z

，则z 为（）

A ．1

C ．2

D ．4 9．若1i i z

，则2z z i ⋅-=（）

A ．

B ．

4 C ．D ．8 10．复数

2i i -的实部与虚部之和为（） A ．35 B ．15- C ．15 D ．35

11．若()()324z i

i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =

（）

A ．68i +

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C．实数是（为的共轭复数）的充要条件
D．若，则实数a的值为2
25．已知复数（其中为虚数单位），则以下结论正确的是（）
A． B． C． D．
26．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（）
A． B．
C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限
27．已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且则下列结论正确的是（）．
在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确
解析：AB
【分析】
先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
由题意得：，即，
所以z不是纯虚数，故A错误；
复数z的虚部为，故B错误；
在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确；
，故D正确.
故选：AB
【点睛】
本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.
10．已知复数，为的共轭复数，则（）
A． B．2C．10D．
11．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（）
A． B． C． D．
12．复数，（为虚数单位），则虚部等于（）．
A． B．3C． D．
13．已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为（）

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一、复数选择题

1．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．复数3

(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（）

A ．9i

B ．46i -

C ．9

D ．46-

3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有

1z =，则a b +=（）

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

4．i 是虚数单位，复数1i

+=-（）

A ．i -

B ．i

C i -

D i

5．已知复数z 满足()3

11z i i +=-，则复数z 对应的点在（）上 A ．直线12

y x =-

B ．直线12

y x =

C ．直线1

x =-

D ．直线12

6．已知复数5

12z i

=+，则z =（）

A ．1

B C D ．5

7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（） A ．3i -

B ．3i --

C ．3i +

D ．3i -+

8．已知复数()2

11i z i

+，则z =（）

A ．1i --

B ．1i -+

C ．1i +

D ．1i -

9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1

z =+（） A ．1i -+ B ．1i +

C ．1i --

D ．1i -

10．复数12i

z i

=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

11．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3

π而得到.则21

arg()2z z -的值为（） A ．

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一、复数选择题

1．复数2

1i =+（）

A ．1i --

B ．1i -+

C ．1i -

D ．1i +

2．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（）

A ．9

7- B ．7 C ．9

7 D ．7-

3．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（）

A ．5

C ．

D ．5i

4．若复数()()24z i i =--，则z =（）

A ．76i --

B ．76-+i

C ．76i -

D ．76i +

5．已知i 为虚数单位，复数12i

1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

6．已知i 为虚数单位，若复数()12i

z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（）

A B ．3 C ．5 D ．7．若复数1211i

z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

8．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（）

A ．4

B ．2

C ．0

D ．1-

9．3

（）

A ．i -

B ．i

C ．i

D ．i

- 10．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．8

11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（）

A ．-1

B ．1

C ．i -

D ．i

12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（）

复数知识点总结和例题

一、名词的复数形式

1. 一般情况下，名词构成复数的规则是在单数形式后面加上-s，如book-books，cat-cats，dog-dogs等。

2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x结尾的名词，复数形式应在词尾加-es，如bus-buses，class-classes，box-boxes等。

3. 以辅音字母+y结尾的名词，复数形式应将y变为i再加上-es，如baby-babies，city-cities等。

4. 以-f或-fe结尾的名词，复数形式应将f变为v再加上-es，如leaf-leaves，knife-knives 等。

5. 一些名词的复数形式是不规则变化的，需要独立记忆，如child-children，man-men，woman-women等。

二、不可数名词

不可数名词是指不能用于单复数变化的名词，它们通常表示一种概念、物质或抽象事物，

如water, milk, money, information等。不可数名词没有复数形式，不能与不定冠词a/an

连用，通常用于表示数量的量词或用作可数名词的量词修饰。

例题一：

1. The teacher gave us some useful _______ for the exam. (information)

A. informations

B. inform

C. information

D. informs

答案：C. information

2. There are too many ______ in the river. (fish)

复数经典例题百度文库

【详解】
由于，
则.
故选：B
解析：B
【分析】
先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.
【详解】
由于，
则 .
故选：B
3．A
【分析】
先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部.
【详解】
因为，所以其虚部是.
故选：A.
解析：A
【分析】
先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知复数，则的虚部是（）
A． B． C．1D．i
7．复数的共轭复数记为，则下列运算：① ；② ；③ ④ ，其结果一定是实数的是（）
A．①②B．②④C．②③D．①③
8．在复平面内，复数对应的点是，则（）
A． B． C． D．
9．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）
28．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若，且，则
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数，满足，则
D．的平方等于1
29．给出下列命题，其中是真命题的是（）
A．纯虚数的共轭复数是 B．若，则
C．若，则与互为共轭复数D．若，则与互为共轭复数
30．（多选）表示( )

复数经典练习题

高三一轮复习

复数练习题

1.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，求z 1·z 2

2.已知21i =-，则

i(1-)=_________________

3.i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝_________________

4.已知（x+i ）（1-i ）=y ，求实数x ，y 的值

5. 计算复数

21i -

6．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭_________________ 7.设i 为虚数单位，则51i

i -=+_________________

8.设a,b 为实数，若复数

11+2i i a bi =++，求a,b 的值

9．i 是虚数单位,4

1i (

)1-i +等于_________________ 10.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是

（A ）2z z y -= （B ）222z x y =+

（C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+

11.复数z =1i

i +在复平面上对应的点位于第_______象限

12.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是___________

13．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z

i +的点是（）

A ．E B.F C.G D.H

14.已知()2,a i

b i a b R i +=+∈，其中i 为虚数单位，则

a b +=___________

复数经典例题

经典例题透析

类型一：复数的有关概念

Z 分别为:

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

思路点拨：根据复数Z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用

它们的充要条件可分别求出相应的

a 值.

解析：

（1）当Z 为实数时,

I a - 5a -6=0

Ia = -1或a — 6— 有 2

= = a =6，

a 2 -1 = 0

a =二 1

•••当a = 6时，Z 为实数. (2) 当Z 为虚数时，

I a - 5a - 6 = 0

Ia=-I ^且a = 6 —

有 2

= a _1 且 a = 6 ,

a -1=0 a - -1

•当 a ∈(-∞,- 1 )U(— 1, 1 )∪( 1, 6)∪( 6, +∞)时，Z 为虚数.

(3) 当Z 为纯虚数时，

•不存在实数a 使Z 为纯虚数.

总结升华：由于a ∈ R ,所以复数Z 的实部与虚部分为

：

7a 6

与a 2 - 5a - 6.

a 2 -1

① 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；

② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；

③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可.

例1已知复数

a —7a +6 丄 / 2 Z 2

- 5a - 6)i (a - R), 试求实数a 分别取什么值时,

a 2 _5a _6 = 0 a 2 -7a 6 .a 2-1

-0

a =二 _1^且 a ~^ 6 a =6

举一反三:

【变式1】设复数z=a+bi (a 、b ∈ R ),贝U Z 为纯虚数的必要不充分条件是(

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一、复数选择题

1．设复数1i z i

=+，则z 的虚部是（） A ．12 B ．12i C ．12- D ．12

i - 2．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（）

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（）

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．1＋i 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（）

A B ．1 C ．2 D ．3 5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

6．))5511--+＝（）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2 7．若复数1z i =-，则

1z z =-（）

A B ．2

C ．

D ．4 8．若复数z 满足()322i z i i -+=

+，则复数z 的虚部为（） A ．35 B ．3

5i - C ．35 D ．3

i 9．设复数2i 1i z =

+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限 10．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 11．122i i

复数经典例题

一、复数选择题

1．若()2

11z i =-，21z i =+，则1

z z 等于（） A ．1i + B ．1i -+

C ．1i -

D ．1i --

2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

．

))

11--

+＝（）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

4．已知复数5i

5i 2i

z =+-，则z =（） A

．C

．D

．5．设1z 是虚数，211

z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（） A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

C ．[]22-,

D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤

-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦

6．设()2

211z i i

=+++，则||z =（） A

B ．1

C ．2

7．已知复数()2

11i z i

+，则z =（）

A ．1i --

B ．1i -+

C ．1i +

D ．1i -

8．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1

z =+（） A ．1i -+

B ．1i +

C ．1i --

D ．1i -

9．若复数()4

1i 34i

z +=

+，则z =（）

A ．

B ．

C ．

．

10．已知复数z 的共轭复数212i

z i

-=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．1

B ．-1

C ．i

D ．i -

11．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

12．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（） A ．4

(完整版)复数经典例题

经典例题透析

类型一：复数的有关概念

例1．已知复数

(56)()

a a

z a a i a R

=+--∈

，试求实数a分别取什么值时，

z分别为：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.

解析：

（1）当z为实数时，

有

560

a a

⎧--=

⎪

⎨

-≠

⎪⎩

a a

=-=

⎧

⇒⇒=

⎨

≠±

⎩

或

，

∴当6

a=时，z为实数. （2）当z为虚数时，

有

560

a a

⎧--≠

⎪

⎨

-≠

⎪⎩

a a

≠-≠

⎧

⇒⇒≠±≠

⎨

≠±

⎩

且

且，

∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数. （3）当z为纯虚数时，

有

560

a a

⎧--≠

⎪

⎨-+

⎪

⎩

a a

≠-≠

⎧

⇒⇒∈∅

⎨

⎩

且

∴不存在实数a使z为纯虚数.

总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为

a a

与256

a a

--.

①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；

②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；

③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.

举一反三：

【变式1】设复数z=a+bi （a 、b ∈R ），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（）

A ．a=0

B ．a=0且b ≠0

C ．a ≠0且b=0

D ．a ≠0且b ≠0

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