一元二次方程单元要点总结

初中数学九年级上册《一元二次方程》知识点

九上数学第21章《一元二次方程》知识点1.一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，∴x a =-。

注意：若b<0，方程无解(2)因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

(3)配方法：用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解(4)公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根：2b x a-±=(240b ac -≥)0∆=⇔方程有两个相等的实根0∆<⇔方程无实根3.韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。

2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。

4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。

2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。

4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。

5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。

3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。

2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。

知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。

解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。

选择哪种方法要根据具体情况而定。

直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。

配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。

2x^2+11x-2=0B。

ax^2+bx+c=DC。

2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。

针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。

3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。

m=n=2B。

m=2.n=1C。

n=2.m=1D。

m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

根的概念可用于求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。

一元二次方程单元知识点总结

一元二次方程单元知识点总结一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数常数，且a不等于零。

一元二次方程的解可以通过以下方法确定：1. 使用求根公式：一元二次方程的解可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)得到。

根的个数取决于判别式的值，即Δ= b^2 - 4ac。

- 如果Δ > 0，方程有两个不同的实根；- 如果Δ = 0，方程有一个重根；- 如果Δ < 0，方程没有实根，但可以有两个虚根。

2. 使用配方法：将一元二次方程进行配方法，即将该方程转化为完全平方的形式。

通过完成平方的过程，可以得到方程的解。

3. 使用因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，即将该方程写成两个一次因式的乘积的形式。

通过因式分解的过程，可以得到方程的解。

4. 使用求和与求积法：通过求出一元二次方程的根的和与积的公式可以得出方程的解。

除了求解一元二次方程外，我们还可以通过以下方式分析一元二次方程的性质：1. 判别式：通过计算判别式Δ = b^2 - 4ac的值，可以判断方程的解的性质。

- 当Δ > 0时，方程有两个不同的实根；- 当Δ = 0时，方程有一个重根；- 当Δ < 0时，方程没有实根。

2. 根的范围：一元二次方程的根的范围取决于方程的系数。

- 当a > 0时，方程的根在x轴上方；- 当a < 0时，方程的根在x轴下方。

3. 对称轴和顶点：一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过求解x = -b / (2a)得到对称轴的x坐标，即方程的解的平均值。

同时，将对称轴的x坐标带入方程可得到对称轴上的y坐标，即方程的解的平均值。

4. 开口方向：一元二次方程的开口方向取决于方程的系数。

- 当a > 0时，方程的图像开口向上；- 当a < 0时，方程的图像开口向下。

这些是一元二次方程的一些重要知识点和解题方法总结。

九年级一元二次方程知识点总结

九年级一元二次方程知识点总结一元二次方程是九年级数学中的重要内容，它是由一个未知数的二次方程式所表示的方程。

在学习一元二次方程时，我们需要了解一些基本概念和解题方法。

下面将对一元二次方程的知识点进行总结。

一、基本概念1. 一元二次方程：一元二次方程式是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知数，且a≠0。

2. 二次项、一次项和常数项：在一元二次方程中，ax^2、bx和c 分别被称为二次项、一次项和常数项。

3. 标准形式：对于一元二次方程，我们通常将其化为标准形式，即将方程中的一次项系数化为正数，例如x^2-3x+2=0。

4. 解：解是使方程成立的未知数的值。

一元二次方程一般有两个解，可以是实数解或复数解。

二、解题方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以被因式分解时，我们可以通过因式分解法求解。

首先将方程化为(ax+b)(cx+d)=0的形式，然后令括号内的两个因式分别为零，解得方程的解。

2. 公式法：当一元二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用求根公式来求解。

求根公式是x=-b±√(b^2-4ac)/2a，其中a、b、c 是方程的系数。

3. 完全平方式：当一元二次方程可以表示为完全平方式时，我们可以通过完全平方式求解。

首先将方程写成(a±√b)^2=c的形式，然后开方并解得方程的解。

三、注意事项1. 判别式：判别式是求解一元二次方程时的重要指标，它是b^2-4ac。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程有两个共轭复数解。

2. 因式分解时要注意提取公因式和使用二次三项分解公式。

3. 在使用求根公式时，要注意判别式的符号和平方根的正负号。

4. 在使用完全平方式时，要注意将方程化为完全平方式的形式，并注意正负号。

通过对一元二次方程的学习，我们可以解决一些实际问题，例如求解抛物线的顶点、焦点、方程的图像等。

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一元二次方程章节复习一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x xkx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

★1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。

★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（） A 1- B 1 C c b - D a -★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

一元二次方程知识点总结全难易两个部分

第二章一元二次方程1、花边有多宽（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。

1．一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

2、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m ）2=n(n ≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。

3、公式法（1）求根公式b 2-4ac ≥0时，x=aacb b 242-±-(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)；二、计算b 2-4ac 的值，当b 2-4ac ≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。

4、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a ·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。

（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。

5、为什么是0.618 （1）什么叫黄金比线段AB 上一点C 分线段AB 成两条线段AC ，BC ，若AB AC =ACBC，则C 点叫线段AB 的黄金分割点，其中ABAC叫黄金比，其值为0.618。

一元二次方程总复习全章知识点梳理.

一元二次方程总复习考点 1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0 。

注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。

考点 2:一元二次方程的解法1. 直接开平方法2. 配方法:3.公式法:4. 因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。

5.一元二次方程的注意事项:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b ,c 的值;②若 b 2 -4ac <0,则方程无解.★⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4 2 =3 (x +4中,不能随便约去 x +4。

⑷注意:解一元二次方程时一般不使用配方法 (除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况⑴ b 2-4ac ≥ 0⇔方程有两个不相等的实数根;⑵ b 2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;⑶ b 2-4ac ≤ 0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用b 2-4ac 解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点 3:根与系数的关系 :韦达定理对于方程 ax 2+bx+c=0(a≠ 0 利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形。

解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。

二、经典考题剖析:【易错】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(A. 02=++c bx axB. 0652=++k x kC. 01232=++xx x D. 012 3(22=+++x x k 1、 (2009成都若关于 x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(A.k>-1B. k>-1且k ≠ 0C. k<1D. k<1且k ≠ 02、解方程:(1 1(2 1(3-=-y y y y (20862=+-x x3、 (2009鄂州关于 x 的方程 kx 2+(k+2x+4k=0有两个不相等的实数根,(1求 k 的取值范围;(2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。

一元二次方程知识点归纳和重难点精析

一元二次方程知识点归纳和重难点精析一、知识点归纳1.一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。

2.一元二次方程的解法公式一元二次方程的解法公式为x=[-b ±sqrt(b²-4ac)] / (2a)。

其中，sqrt表示求平方根，x为未知数，a、b、c为方程的系数。

二、重难点精析九年级数学一元二次方程的重难点1.高次项：一元二次方程中，二次项的系数a不能为0.且最高次数为2.这是在解一元二次方程时需要特别注意的难点。

2.整体化简：在求解一元二次方程时，需要将方程进行整体化简，从而得到未知数的值。

这需要学生具备一定的化简和运算能力。

针对重难点的解决方法及相关思考题1.高次项注意事项：在一元二次方程中，要确保二次项的系数不为0.且最高次数不超过2.如有其他高次项，可将其合并或转化为二次项。

2.整体化简技巧：为了更好地求解一元二次方程，学生需要掌握整体化简的方法。

可以通过移项、合并同类项等方式，将方程化简为更易于求解的形式。

思考题：求解一元二次方程x²-6x+9=0时，有哪些方法可以解题?哪种方法更适合处理此类方程?三、扩展知识一元二次方程的历史背景及应用领域一元二次方程作为九年级数学的重要知识点，在实际生活和后续学习中有着广泛的应用。

例如，在解决实际问题时，一元二次方程可用于解决诸如最大化、最小化、平均值等优化问题。

此外，在物理、化学、生物等科学领域中，一元二次方程也常常用于描述现象和解决问题。

相关知识点补充在求解一元二次方程的过程中，可能会涉及到其他数学知识点，如三角函数、平移和缩放等。

这些知识点对于理解一元二次方程的解法和实际应用都有一定的帮助。

例如，三角函数可以用于求解一元二次方程的近似解；平移和缩放可以用于将复杂的一元二次方程转化为简单的形式，从而更容易求解。

因此，学生在学习的过程中需要注意知识点的联系与运用。

一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要概念，它在数学和实际问题中应用广泛。

在本文中，我们将对一元二次方程进行归纳总结，包括定义、解的性质、解的判断和应用等方面。

一、定义一元二次方程是指形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

其中，x表示未知数，该方程的图像是平面上的抛物线。

二、解的性质1. 解的个数一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。

判别式Δ=b^2-4ac反映了方程的解的性质。

- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

2. 解的性质对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，假设它的两个实数根为x1和x2，则有以下性质：- x1+x2=-b/a，其中a≠0；- x1*x2=c/a，其中a≠0。

三、解的判断解一元二次方程时，可以通过以下方法来确定方程的解的情况：1. 利用判别式Δ=b^2-4ac进行判断；2. 利用一元二次方程的图像进行判断，即通过方程的平移、伸缩、翻转等变化来观察是否与x轴相交。

四、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 二次函数的图像：将一元二次方程与平面上的抛物线联系起来，研究其图像的性质，如开口方向、顶点坐标等；2. 物理问题：抛体运动、自由落体等问题可以通过建立一元二次方程来求解；3. 经济问题：例如某公司销售利润的变化与时间的关系可以建立一元二次方程来表达；4. 工程问题：建筑、桥梁等工程中的抗压强度等问题可以通过一元二次方程进行分析。

综上所述，一元二次方程作为高中数学中的重要内容，其定义、解的性质、解的判断和应用等方面需要我们进行归纳总结。

通过深入理解和应用一元二次方程，可以帮助我们更好地掌握和应用数学知识，提升解决实际问题的能力。

无论是在学术领域还是日常生活中，一元二次方程都扮演着重要的角色。

一元二次方程知识点总结(全章齐全)

一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。

②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。

(2)确定a,b,c的值。

(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。

(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。

·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。

(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。

(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。

(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。

根的判别情况判别式：世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。

不要随意发脾气，谁都不欠你的。

一元二次方程知识归纳总结

一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。

它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。

在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。

2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。

三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。

2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。

4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。

四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。

它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。

(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有个未知数。

（2）未知数的最高次数是 1、概念（3）是方程。

（4）一元二次方程的一般形式是。

（1）法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程（2）法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法（a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3）法（4）法，其中求根公式是根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根。

（5）当时，方程有两个相等的实数根。

当时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值（1）一元二次方程的应用（2）（3）可用于解决实际问题的步骤（4）（5）（6）知识点归类知识点一一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是一元二次方程2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）

初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。

一元二次方程知识点总结

2 1 章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前—面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当a 0时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时，2 2X 3x 2 0所以X 2是x 3x 2 0方程的解。

一兀二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a . b，x a . b，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）x2a a 0的解是x a ；（2）x m 2n n 0 的解是x 、n m ；22、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有x 2 2bx b 2 (x b)2。

(一) 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1) 把一元二次方程化成一般形式(2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3) 把原方程变为x m 2 n 的形式。

9年级一元二次方程的所有知识点

9年级一元二次方程的所有知识点一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断一个方程是否为一元二次方程的步骤。

- 首先看方程是否是整式方程。

- 再看方程是否只含有一个未知数。

- 最后看未知数的最高次数是否为2。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程，而x^2+(1)/(x)-1 = 0不是一元二次方程（因为它不是整式方程），xy + x^2=1也不是一元二次方程（因为它含有两个未知数）。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的方程，解为x=±√(k)。

- 例如，方程x^2=9，解得x = 3或x=-3。

- 对于形如(ax + b)^2=k(k≥0)的方程，解为ax + b=±√(k)，然后进一步求解x，即x=(-b±√(k))/(a)。

例如(2x - 1)^2=4，则2x - 1=±2，当2x - 1 = 2时，2x=3，x=(3)/(2)；当2x - 1=-2时，2x=-1，x =-(1)/(2)。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 移项，使常数项移到方程右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即方程两边同时除以a（x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)）。

- 在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=-(c)/(a)+frac{b^2}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活和数学问题中都有广泛的应用。

下面我们来详细总结一下一元二次方程的相关知识点。

一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

一般形式为：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其中$a$是二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。

需要注意的是，方程必须是整式方程，即分母中不含未知数。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法适用于形如$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n ＼geq 0$）的方程。

解这类方程的步骤是：先将方程化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式，然后直接开平方，得到$x ＋ m ＝＼pm\sqrt{n}＄，最后解出$x$。

2、配方法将一元二次方程通过配方转化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式，再用直接开平方法求解。

步骤如下：（1）移项：把常数项移到方程右边。

（2）二次项系数化为 1：方程两边同时除以二次项系数。

（3）配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）变形：写成完全平方式。

（5）开方求解。

3、公式法一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。

使用公式法求解的步骤：（1）先确定$a$、＄b$、＄c$的值。

（2）计算判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$。

当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。

（3）将$a$、＄b$、＄c$和$＼Delta$的值代入求根公式，求出方程的根。

4、因式分解法将方程变形为一边是零，另一边是两个一次因式乘积的形式，然后使每个因式等于零，分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解。

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4、分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。

类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ；（2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。