2018届上海市杨浦区高三上学期期末质量调研数学试题

上海市杨浦区2018届高三上期末（一模）数学试卷2017.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算1lim(1)n n→∞-的结果是2. 已知集合{1,2,}A m =，{3,4}B =，若{3}A B =，则实数m =3. 已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=4. 若行列式124012x -=，则x =5. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=6. 在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a = 9. 在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为10. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为11. 已知函数()cos (sin )f x x x x =-x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+ 为奇函数，则α的值为12. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实 数λ的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 在复平面内，复数2iz i-=对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限14. 给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =. 其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④ 15. “0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A. 12B. 2C. 4D. 8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18. 如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点. （1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）19. 已知函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程； （3）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.21. 若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记012max{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案一. 填空题1. 32. 35- 3. 2 4. 6 5. 160-6.112 7. 1 8. 12n n a -= 9. 3π 10. 3π 11. *()26k k N ππα=-∈ 12. 1[,3]3二. 选择题13. C 14. B 15. A 16. B三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设平行于墙的边长为a ， 则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-， ……2分所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈ （定义域2分） ……6分（2）222(3)33()612l l y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈ ……8分所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = ……12分综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l ……14分18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解1：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， ……2分故4SO === ……4分 从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. ……7分 （2）如图，取OB 中点H ，联结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角. ……10分 由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得AH ==；……11分在Rt APH ∆中，90AHP O∠=，122PH SB ==，2AH =……12分则tan 4AH APH PH ∠==， 所以异面直线SO 与PA所成角的大小 …14分 (其他方法参考给分)19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以(1,1)A =-， ……3分 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[1,0]- ……6分（2）函数()f x 的定义域(1,1)A =-，定义域关于原点对称 ……8分1()()ln 1()x f x x ---=+-1111ln ln ln ()111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭……12分 而1()ln 32f =，11()ln 23f -=，所以11()()22f f -≠ ……13分 所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数. ……14分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：（1）抛物线Ω的焦点到准线的距离为2 ……4分 （2）设直线:l x my b =+当0m =时，1x =和9x =符合题意 ……5分 当0m ≠时，11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标满足方程组24x my by x=+⎧⎨=⎩，所以2440y my b --=的两根为1y 、2y 。

216()0m b ∆=+>，124y y m +=，所以2121242x x my b my b m b +=+++=+，所以线段AB 的中点2(2,2)M m b m + ……7分 因为1AB CM k k ⋅=-，1AB k m =，所以2225CM mk m m b ==-+-，得232b m =- 所以2216()16(3)0m b m ∆=+=->，得203m <<因为4r ===23m =（舍去）综上所述，直线l 的方程为：1x =，9x = ……9分 （3）设直线:AB x my b =+，11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标满足方程组24x my by x=+⎧⎨=⎩， 所以2440y my b --=的两根为1y 、2y216()0m b ∆=+>，124y y m +=，124y y b =-所以222121212124044y y OA OB x x y y y y b b ⋅=+=⋅+=-=，得0b =或4b = ……12分 0b =时，直线AB 过原点，所以(0,0)Q ； ……13分 4b =时，直线AB 过定点(4,0)P设(,)Q x y ，因为AB OQ ⊥，所以22(,)(4,)40OQ PQ x y x y x x y ⋅=⋅-=-+=（0x ≠）， ……15分综上，点Q 的轨迹方程为2240x x y -+= ……16分21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 解：（1）x =1时，12172y y+>⎧⎨+>⎩，所以y =2或3；x =2时，14272y y +>⎧⎨+>⎩，所以y =4；3x ≥时，1272y xx y+>⎧⎨+>⎩无整数解所以所有可能的x ，y 为12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩…… 3分（2）n 的最大值为65，理由如下…… 4分一方面，注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->-对任意的11i n ≤≤-，令1i i i b a a +=-，则i b ∈Z 且1k k b b ->（21k n ≤≤-），故11k k b b -≥+对任意的21k n ≤≤-恒成立． （★）当11a =，2017n a =时，注意到121110b a a =-≥-=，得1122111()()()11101i i i i i i b b b b b b b b i ----=-+-+⋅⋅⋅+-+≥++++=-个（21i n ≤≤-）即1i b i ≥-，此时111221121()()()1012(2)(1)(2)2n n n n n n a a a a a a a a b b b n n n -----=-++++-=++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+-=-- （★★） 即1(1)(2)201712n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤ …… 7分 另一方面，为使（**）取到等号，所以取1i b i =-（164i ≤≤），则对任意的264k ≤≤，1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，此时由（★★）式得65163640126320162a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+==， 所以652017a =，即65n =符合题意． 综上，n 的最大值为65．……… 9分（3）M 的最小值为200288n n -+，证明如下：……… 10分当02n m =（2m ≥，*m ∈N ）时， 一方面：由（★）式，11k k b b +-≥，1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++-+-+-+-=-+-+⋅⋅⋅+-≥．此时有：12121112211211122211()()()()()()()()()(1)m m m m m m m m m m m m m m a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b m m m m m ++++--++--+-+=---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-≥++⋅⋅⋅+=-即121()()(1)m m m a a a a m m ++≥++-故121(1)11(1)222m m m a a a a m m m m M ++++-++-≥≥≥ 因为02n m =，所以0020011(1)282228n n n n M ++--+≥=………… 15分 另一方面，当11b m =-，22b m =-，…，11m b -=-，0m b =，11m b +=，211m b m -=-时，111112()()10k k k k k k k k k a a a a a a a b b +-+--+-=---=-=>取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>⋅⋅⋅>，122m m m a a a ++<⋅⋅⋅<<，且11211()(1)12m m a a b b b m m -=-++⋅⋅⋅+=-+ 2112211()(1)12m m m m m a a b b b m m +++-=+++⋅⋅⋅+=-+ 此时20012128(1)128mn n M a a m m -+===-+=． 综上，M 的最小值为200288n n -+．……18分。