简化解析几何运算的技巧

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简化解析几何计算量的常用方法

简化解析几何计算量的常用方法作者：周淦利

来源：《中学课程辅导·高考版》2018年第11期

平面解析几何是将平面图形置于坐标系中，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过具體的程式化的计算解决抽象的复杂的几何问题.但这也往往造成了许多计算的繁琐，对运算能力提出了更高的要求.其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行相关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至可避免的.下面介绍几种解析几何中简化运算量的常用方法，供同学们学习时参考.

解析几何问题的解题技巧

6中等数学

解析几何问题的解题技巧

薛党鹏

(陕西省西安中学)

(本讲适合高中)

的处理问题,但是,的计算.,介绍解析几何中一些常见的解题技巧.

2(y1+y2)-2px.

将A(a,b)、B(-a,0)分别代入MM1、

MM2的方程,得

(y1-b)y0=by1-2pa和y0y2=2pa.

下面说明直线M1M2恒过一个定点.联立这两式,消去y0,得(y1-b)2pa=(by1-2pa)y2.

1 回避方程(组)求解灵活运用方程知识

解析几何的繁杂运算主要集中在解方程、求交点等方面.如果我们能够充分挖掘几

何曲线的代数含义,紧扣目标,灵活运用代数方程的知识(包括消元思想、整体思想、函数思想、同解原理以及方程的轮换对称、韦达定理、判别式、实根分布等),回避这些运算,往往可以使问题得到简便解决.

例1 已知抛物线y=2px及定点

A(a,b)、B(-a,0)(ab≠0,b≠2pa).M是抛物线上的点,设直线AM、BM与抛物线的另一交点分别为M1、M2.求证:当M在抛物线上变动时(只要M1、M2存在且M1≠M2),直线M1M2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.

(1998,全国高中数学联赛)

y分析:设M,y

2p0

整理成M1M2的方程的形式,得

y1y2=

(y1+y2)-2pa.b

故点Qa,

满足M1M2的方程.

所以,直线M1M2恒过点Qa,.

说明:此解法借助于轮换对称,简化了MM2和M1M2方程的求解过程.

例2 设一圆和一等轴双曲线交于四点A1、A2、A3、A4,其中A1和A2是圆的直径的一对端点.求证:

解析几何化减技巧

解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的是几何对象（如点、线、面）在坐标系中的表示和变换。在解析几何中，我们经常需要化简一些复杂的表达式或方程，以提高计算的效率和准确性。以下是一些常用的解析几何化简技巧：

1. 代数运算：这是最基本的方法，包括加、减、乘、除、乘方等。例如，对于两个向量的点积，我们可以使用分配律和结合律进行化简。

2. 坐标变换：如果我们有一个表达式涉及到多个坐标点或向量，我们可以考虑使用坐标变换来简化这个表达式。例如，如果我们有两个参考系，并且知道它们之间的转换关系，我们就可以将一个坐标点从一种参考系转换到另一种参考系。

3. 向量运算：向量运算（如加法、数乘、点积、叉积等）在解析几何中非常常见。理解这些运算的性质和规则可以帮助我们更有效地进行化简。

4. 矩阵运算：在解析几何中，矩阵经常被用来表示变换（如旋转、平移、缩放等）。理解矩阵的运算法则（如乘法、转置、逆等）可以帮助我们更有效地进行化简。

5. 参数方程：对于一些复杂的几何形状（如椭圆、抛物线、双曲线等），我们经常使用参数方程来表示它们。参数方程可以将一个复杂的几何问题转化为一个简单的代数问题，从而更容易进行化简。

6. 极坐标与直角坐标转换：在解析几何中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。理解这两种坐标系之间的转换关系可以帮助我们更有效地进行化简。

7. 对称性：许多几何形状和表达式都具有对称性。利用这些对称性可以帮助我们更有效地进行化简。

8. 代数恒等式：一些基本的代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式等）在解析几何中非常有用。掌握这些恒等式可以帮助我们更有效地进行化简。

解析几何求解技巧

解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。

一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。具体的求解步骤可以概括为：

1. 建立坐标系。根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。

2. 确定几何图形上的点的坐标。根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。

3. 转化为代数方程。根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。

4. 求解代数方程。根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。

5. 检验结果。将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。

二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。

具体的求解步骤可以概括为：

1. 确定坐标系和向量的表示。建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。

2. 利用向量的性质和运算推导条件。根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。

3. 利用向量之间的关系求解。根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。

减少解析几何运算量的若干方法

在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。

一、回归定义，以简驭繁

圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。

例1、在面积为1的ΔPMN 中，tg ∠PMN =2

,tg ∠2-=MNP ,建立适当的坐标

系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程(93年高考题)

分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN 的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。

解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为

y a x ，则由椭圆定

义有PN PM a +=2，MN c =2，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，

tg ∠2-=MNP ，tg ∴∠2=PNA 。由平面几何知识有:

⎪

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎨⎧=-=⋅==.

,121,

2,21

MN AN AM PA MN AN PA MA PA

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧====⇒.33,334,3,33

2AN AM MN PA ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧==⇒.315,3

152PN PM 152=+=∴PN PM a ,,215=

a 4152=a ，32==MN c ，2

3=c ， 3222=-=∴c a b 。

∴所求的椭圆方程为13

高中数学解析几何优化计算6大技巧

解析几何优化计算6大技巧

中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳

回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．

【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，

C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是(

)

A.2

B.3

C.32

D.62

【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，

1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ，

1|2＋|AF 2|2＝12，

解得a 2＝2，

故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62

.【答案】D [关键点拨]

本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1

|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．

解析几何高中数学中的几何问题解题技巧

解析几何高中数学中的几何问题解题技巧几何问题在高中数学中占据重要的地位，解析几何是其中一门基础课程。为了帮助同学们更好地应对几何问题，本文将介绍一些解析几何中的问题解题技巧。

一、利用坐标系简化问题

在解析几何中，引入坐标系是非常常见且有效的方法。通过将几何图形中的点映射到坐标平面上，我们可以借助代数计算的能力来解决几何问题。

例如，对于一个平面上的直线问题，我们可以选取任意两个点作为坐标系的原点和单位向量，并利用直线的斜率和截距的公式来求解直线的方程。这样一来，原本需要应用几何性质进行推导的问题，转换为了代数运算，大大简化了解题过程。

二、利用对称性简化问题

对称性在几何问题中也起到重要的作用。通过对于问题中的几何图形进行适当的对称操作，我们可以从几何性质的对称性中获得更多的信息，从而简化问题的解决过程。

举个例子，考虑一个三角形ABC及其垂心H。垂心H是三角形ABC的三条高的交点。如果我们能够利用对称性证明三角形ABC关于垂心H的某个性质，那么我们可以断定同样的性质也适用于三角形ABC。通过引入对称性，我们可以减少需要考虑的情况，从而更加高效地解决问题。

三、应用向量方法解题

向量是解析几何中的重要工具，它不仅可以简化几何问题的解题过程，还能够扩展几何问题的解决方法。

例如，在处理平面几何问题时，我们可以引入向量表示点和向量运算。通过定义向量的加法、减法和数量积等运算，我们可以更方便地

表达几何关系，并且利用向量的性质进行推导。

四、构造辅助线简化问题

在解析几何中，构造辅助线是一种常用且有效的策略。通过巧妙地

浅谈解析几何中简化运算的常用策略

解析几何难在运算，要想突破这一难关，除了平时要注意培养良好的意志品质外，更主要的是要掌握一些有效减少运算量的方法，希望以下几种方法，对大家能有所帮助。

策略一追根溯源，回归定义

圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质特性，揭示了它们存在的条件及其所包含的性质，用定义解题，简捷明快，省时高效。

例1设是抛物线的焦点，直线过交抛物线于、两点，点满足条件；

(1) 证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切；

(2) 若是抛物线上一点，且的最小值为5，求、的值。

分析：本题如果不用定义，就势必用点到直线的距离公式和两点间的距离公式，如（2）中，在求最小值时，遇到了两根式函数和的最值问题，相当复杂。

解：（1）设中点为，分别过、、点作准线的垂线，垂足分别为、、，由抛物线定义可知：

所以，以直径的圆与准线相切。

（2）过作于，交抛物线于点，则为所求

评注：利用圆锥曲线解题，应注意以下几种情形：

①涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正、余弦定理来解决；涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点等问题，常用第二定义。

②研究有关点间的距离的最值问题时，常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离，再结合图形利用几何意义去解决有关的最值问题。

策略二抓住本质，合理转化

转化是解题的精髓，就是从未知向已知，从复杂向简单的化归转化过程，它具有很强的灵活性。常要求我们抓住问题的本质，解放思想，克服思维定势。好的转化方法不仅可以减小运算量，而且可以让人叹为观止，使人的心灵受到美的熏陶。

解析几何简化运算的几种方法(含答案)

博文教育讲义

课题：简化解析几何运算方法

教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结教学重点：简化运算方法归纳教学难点：有关的规律总结与运用教学过程：

解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。 1.回归定义

圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。

例1 过椭圆左焦点倾斜角为

60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____

解析本题的常规解法是：联立⎪⎩

⎪⎨

⎧+==+)(3,122

22c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：

)2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'=

(31e AF +=另一方面，在F C B Rt '∆中C F BF C BF '=⇒='∠260

, 故.2

e BF M C C F FM +=

'+'=于是 =+)2(31e BF e AF 2

BF e BF FM +=，又FB FA 2=，所以可得.3

练习：设12F F ，是双曲线()22

高中数学简化运算的小技巧(高手总结来的)

高中数学简化运算的小技巧

高中的题型中，思维难度最大的是数列和不等式，其次是函数，函数比较活，要靠平时

积累。然而会做高难度题型显然是不够的，很多人栽在时间不够和计算失误上。在高考有限的时间内能尽可能挤出时间去解决高难度题型是得高分的关键之一。下面推荐几个方法，可以减少不少运算，而且能有效提高计算准确率。

假如能在高考中节约10分钟，那都是异常宝贵的，更不用说提高计算准确率了。注意：下面这些方法是高中没有讲的，在做题时一定注明用到的定理方法名称。否则遇到钻牛角尖的改卷老师，只能白吃亏。

一.立体几何

（强烈建议学会这个方法，其他的如果觉得理解困难可以不掌握。）

行列式简化运算（大概减少5分钟运算）

在涉及法向量的计算时用行列式会非常简洁。

二阶行列式

�a 11a 12a 21a 22�=a 11a 22−a 21a 12 （即对角线乘积之差）

三阶行列式

�a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�可以按照某一行或者某一列展开（习惯按照行展开） �a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33�=a 11�a 22a 23a 32a 33�−a 12�a 21a 23a 31a 33�+a 13�a 21a 32a 31a 33� （即某个元素乘以剔除这个元素所在行和列后所得的新行列式，注意第二个展开式前面是负号，这里是最容易错的）

立体几何里要用到向量乘法扩展。

1.求平面法向量做立体几何的试题的模式化操作无非是建立直角坐标系，然而有点难度的题都会考法向量的应用，平常解方程组的方法求法向量非常麻烦，还要讨论方向。但用这个方法非常简便，能节省不少时间。（大一开始就要学这个，其实高中就应该学。）

数学解析几何题解题技巧

解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。

解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的

方法进行求解。解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数

学水平有着重要的影响。本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧

和方法。

一、坐标表示法

在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。坐标表示法利用

数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。

在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。

直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。在直角坐标系中，我们用

x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。在解析几何题目中，可以通

过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。利

用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析

几何题目。

极坐标系是另一种常用的坐标表示法。在极坐标系中，我们用极径

和极角来表示平面上的点。极径表示点到坐标原点的距离，极角表示

点与极轴的夹角。利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等

等问题，从而解决解析几何题目。

二、方程表示法

方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。

例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形

式的方程来表示。在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线

的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。

对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通

解析几何问题中优化运算的技巧策略

ʏ南京大学附属中学于冬

解析几何是历年高考中的主干知识点之一,涉及解析几何的考题还经常出现在各种

题型中的压轴题位置,运算量大,综合性强㊂优化数学运算,简化解题过程是圆锥曲线问题中追求的一个目标㊂在解答解析几何问题时,合理探究一些必要的策略技巧,选用适当方法,优化数学运算,往往可以收到事半功倍的效果㊂

一㊁挖掘内涵,回归定义

例1 (2022届辽宁省丹东市高三下

学期复习质量测试(二)数学试题)已知圆M

经过点(0,1)

,且与直线y =-1相切,圆心M 的轨迹为曲线C ㊂

)求曲线C 的方程;(2)经过点N (0,2)

且不平行于x 轴的直线与C 交于P ,Q 两点,点P 关于y 轴的对称点为R ,证明:直线Q R 经过定点㊂

解析:(1)设圆心M (x ,y )

,根据题意可知点M 到点(0,1)的距离与到直线y =-1的距离相等,结合抛物线的定义,可知圆心M 的轨迹是以(0,1)为焦点,y =-1为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为x 2=4y ㊂

(2)由题意知直线P Q 的斜率存在且不

为0,设直线P Q 的方程为y =k x +2(k ʂ0

),P x 1,x 2

,Q x 2,x 2

,则R -x 1,x 2

,联立

x 2

=4y ,

y =

k x +2,

消去y 整理得x 2-4k x -8=0,则Δ=16k 2

+32>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=

-8㊂因为k Q R =

x 2

24-x 2

4x 2+x 1=x 2-x 14

,所以直线Q R 的方程为y -x 22

4=x 2-x 1

数学解析几何题的解题思路和技巧

数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。

一、直线和平面的交点问题

在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。

然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。

接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。

最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。

综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。

因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。

二、直线与曲线的交点问题

除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。

五大策略优化解析几何运算.

五大策略优化解析几何运算

解析几何是中学数学的重要内容，它涉及的知识深广，方法灵活多变，是学习的重点和难点，也是历年高考的热点. 在实际解题中，解析几何问题中的运算往往无处不在. 掌握运算方法，优化运算过程，提高运算速度，是解好解析几何问题的关键。

策略1 回归定义

运用相关的概念、定义对问题的定性分析和定量计算有机地结合起来，可使问题解决起来思路清晰、运算过程简捷明快.

例1 在椭圆19

25=+y x 上求一点P ，使点P 到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍. 分析设P （x 1，y 1），根据题设条件，点

P 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+2

1212121

11)4(4)4(1925y x y x y x 这是一个复杂的运算. 如何简化呢？根据椭圆的第二定义，可以得到焦半径公式，这样求解起来就简单很多.

解由椭圆方程知F 1（-4，0），F 2（4，0），e=

5=a c . 设所求点P （x 1，y 1），依题意点P 在y 轴的左侧，则x 1<0，焦半径|PF 1|=a+ex 1=5+154x ，|PF 2|=a-ex 1=5-154x . 由题意有4（5+154x ）=5-154x ，∴x 1=4

15-，从而y 1=.473± 故所求点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--473,415••或⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-473,415••. 点评凡涉及焦点坐标、离心率、准线、焦准距、焦半径等问题，往往与定义有关，求解时采用回归定义策略是优化解题运算的重要途径.

策略2 借助平几

解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题，区别在于研究的手段不同，所以有些解析几何问题借助平面几何知识简化运算，起到事半功倍的效果.

解析几何中简化运算的常用技巧

解析几何中简化运算的常用技巧技巧一：弦长公式的“巧用”.

①

直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为

，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：

②

对于公式①在直线弦长的运用.

例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.

（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；

（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直

线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.

(1)

(2) 由第(1)知 ,设直线

与

直线：x+2y=4联立得

与直线

椭圆

联立得:

点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.

对于公式②在直线弦长的运用.

例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C

，直线l交C

于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

（I）（）.

（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，， .

由得 .

过点且与垂直的直线：，到的距离为，

所以 .故四边形的面积

可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为 .

当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面

积为12.

综上，四边形面积的取值范围为 .

点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达

定理，大大简化了运算量.

技巧二：巧设直线方程

解析几何中几种常用的处理方法与技巧

微点一定比点差法

对于涉及PM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的问题，我们可以采用定比点差法.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为椭圆或双曲线上两点，若存在P,Q 两点，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =－λQB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有P(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ)，Q(x 1－λx 21－λ，

y 1－λy 2

1－λ

),{x 1

2a 2±

y 1

2b 2=1 ①,

λ2x 22a 2

±λ2y 22b 2=λ2②,

由①－②得

(x 1+λx 2)(x 1－λx 2)

a 2

(y 1+λy 2)(y 1－λy 2)

b 2

=1－λ2,

即

2×

(x 1+λx 2)(x 1－λx 2)

(1+λ)(1－λ)

2×

(y 1+λy 2)(y 1－λy 2)

(1+λ)(1－λ)

=1.从而x P x Q a 2

±y P y Q b 2

=1,然后再结合题意解决问题，

从而达到简化运算的目的.特别的，当λ=1时，就是点差法.

例1 已知椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1（a >b >0）过点M (√2,1),且椭圆C 的左焦点为(−√2,0). (1)求椭圆C 的方程；

(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP

⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|QB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,证明：点Q 总在某定直线上. 微点二同构方程法