极坐标几何意义解题资料

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2021选修4-4极坐标高考绝密资料总结打印版(A3)

1、极坐标与直角坐标之间的相互转化主要用换算关系式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x2、点的极坐标化直角坐标⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x3、直角坐标化极坐标（1）极径ρ=√x 2+y 2（2）极角：先用tan θ=xy ,然后结合（x,y ）所在象限求出角θ1、已知A 极坐标(3,4π-)化为直角坐标____2、已知A 极坐标(√3,32π)化为直角坐标____3、已知A 直角坐标(1，-√3)化为极坐标____4、已知A 直角坐标(-3，-3√3)化为极坐标____1．若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为_____.2．已知圆C 的极坐标方程为ρ=2sin θ+23cos θ，则圆心C 的一个极坐标为 .3．极坐标方程ρ=2化为直角坐标方程是．4．已知圆的极坐标方程为4(cos 2:πθρ-=l )，则该圆的半径是 .5．在极坐标系中，曲线ρsin 2θ=4cos θ的焦点的极坐标 .6．已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ-2ρcos θ+3=0则直线l 的斜率是___________．7．已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ+23sin θ，则圆心C 的一个极坐标为．8．在极坐标系中，点A 极坐标为(4,0)，直线L 的极坐标方程为ρ(sin θ-cos θ)=-2，则点A 到直线L 的距离等于．9．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cos θ于A 、B 两点，则|AB|= .10．已知直线的极坐标方程为224)(:=+πθρcos l ，则点（0,0）到这条直线的距离是 .11．在极坐标系中，判断圆ρ＝2cos θ与直线ρsin θ+ρcos θ＝1位置关系．12．已知圆的极坐标方程为ρ=2cos θ，则该圆的圆心到直线ρ(sin θ+2cos θ)=1 的距离是 .13在极坐标系中，曲线ρ=2上到直线ρcos （θ﹣4π）=1的距离为1的点的个数是．14．在极坐标系中，曲线ρ=2sin θ与ρ(sin θ-cos θ)=2相交于点A,B 两点，则|AB|______.15．在极坐标系中，曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=23的交点的极坐标为_________.16．在极坐标系中，ρ(sin θ-cos θ)=a 与曲线ρ=2sin θ-4cos θ相交于A,B 两点，若|AB|=23则实a 值为 .17．曲线C 直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为18．在极坐标系中，曲线：2cos =θρ与曲线12cos :22=θρC 相交于A ，B 两点，则｜AB ｜＝19．极坐标系中，设曲线ρ=2sin θ与ρ=2cos θ的交点分别为A,B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .20．若直线的极坐标方程为=-)(:4πθρcos l 32，曲线：ρ=1上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为三、直线的极坐标方程四、圆的极坐标方程1.极径几何意义：极坐标下点到极点的距离2.运用极径几何意义，可以求过极点的直线θ=α上两点距离步骤：（1）画出图形，观察要计算的的线段AB对应的直线是否过极点，若是，可以用极径，否则不能用（2）通过题干求ρA，ρB，（3）根据|AB|=|ρA-ρB|，计算|AB|例题：1.在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB(其中O为极点)的面积2.已知曲线C极坐标方程：)0(2cos342>-=ρθρ，（1）求曲线C的参数方程。

极坐标讲义与例题

极坐标与参数方程一、基础知识与例题► 考向一极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标．例1在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2距离的最大值．解：(1)设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2.C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝3 22，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋3 22.► 考向二简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用．例2 已知圆(x －2cos θ)2＋(y ＋2cos 2θ－2)2＝1. (1)求圆心的轨迹C 的方程；(2)若存在过点P (0，a )的直线交轨迹C 于A ，B 两点，且|P A |，|AB |，|PB |构成等比数列，求a 的取值范围．解：(1)圆(x －2cos θ)2＋(y ＋2cos 2θ－2)2＝1的圆心(x ，y )的坐标为(2cos θ，2－2cos 2θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2－2cos 2θ，消去参数θ后可得轨迹C 的方程为y ＝4－x 2(－2≤x ≤2)．(2)设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝a ＋t sin α(α为直线AB 的倾斜角，t 为参数)，代入y ＝4－x 2，得t 2cos 2α＋t sin α＋a －4＝0，显然cos α≠0，即α≠π2，设其两根为t 1，t 2.∵|PA |，|AB |，|PB |构成等比数列，即|AB |2＝|PA |·|PB |，又∵|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4cos 2α，|AB |2＝|t 1－t 2|2＝sin 2αcos α－4a －4cos α＝sin 2α－4（a －4）cos 2αcos α， ∴sin 2α－4（a －4）cos 2αcos 4α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4cos 2α，即sin 2α＝[4(a －4)＋|a －4|]cos 2α，∴tan 2α＝4(a －4)＋|a －4|.由tan 2α≥0得a ≥4，又|PA |·|PB |＝|t 1t 2|≠0，∴a >4，tan 2α＝5(a －4)，又设轨迹上的点M (－2，0)，N (2，0)，则tan 2α≤k 2MP ＝a 24，∴a 2－20a ＋80≥0，又a >4，∴a ≥10＋2 5或4<a ≤10－2 5.► 考向三极坐标与参数方程的综合考向：极坐标方程与参数方程交汇考查，为坐标系与参数方程试题的基本考查方式．例3 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 3cos θ－2sin θ，点A 的极坐标为(3，2π)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C 在直角坐标系中的标准方程；(2)设P 为圆C 上任意一点，圆心C 为线段AB 的中点，求|P A |＋|PB |的最大值．解：(1)∵ρ＝2 3cos θ－2sin θ，∴ρ2＝2 3ρcos θ－2ρsin θ.由于ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－2 3x ＋2y ＝0.∴圆C 在直角坐标系中的标准方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝4. (2)∵点A 的极坐标为(3，2π)，∴点A 的直角坐标为(3cos 2π，3sin 2π)，即(3，0)．圆心C (3，－1)为线段AB 的中点，故点B 的直角坐标为(3，－2)．∵圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，P 为圆C 上任意一点，∴设点P 的坐标为(3＋2cos θ，－1＋2sin θ)，则|PA |＋|PB |＝（2cos θ）2＋（2sin θ－1）2＋（2cos θ）2＋（2sin θ＋1）2＝5＋4sin θ＋5－4sin θ＝（5＋4sin θ＋5－4sin θ）2＝10＋2 25－16sin 2θ. 当sin θ＝0时，(|PA |＋|PB |)max ＝10＋10＝2 5. ∴|PA |＋|PB |的最大值为2 5.二、教师备用例题例1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点．(1)求|AB |的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2 2，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程，化简得 7t 2－12t －5＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝127，t 1t 2＝－57.所以|AB |＝（－3）2＋（－4）2|t 1－t 2|＝5 （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝10 717.(2)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为(－2，2)，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为t 1＋t 22＝67.所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为|PM |＝（－3）2＋（－4）2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪67－0＝307.例2. 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，直线l 与曲线C 的公共点为T .(1)求点T 的极坐标；(2)过点T 作直线l ′，l ′被曲线C 截得的线段长为2，求直线l ′的极坐标方程．解：(1)曲线C ：ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t代入上式并整理得t 2－4 3t ＋12＝0.解得t ＝2 3.所以点T 的坐标为(1，3)．其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(2)设直线l ′的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由(1)得曲线C 是以(2，0)为圆心的圆，且圆心到直线l ′的距离为 3. 则|3＋k |k 2＋1＝ 3. 解得k ＝0或k ＝ 3.直线l ′的方程为y ＝3或y ＝3x .其极坐标方程为ρsin θ＝3或θ＝π3(ρ∈R )．三、相关练习 1.已知椭圆的极坐标方程为，点为其右焦点，（Ⅰ）求曲线的普通方程；(Ⅱ).过点作倾斜角为的直线l 与曲线交于不同的两点．求的取值范围。

极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用

极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t的几何意义的应用1.（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2求M、N两点。

Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值。

解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x。

用代入法消去参数求得直线l的普通方程x-y-2=0.Ⅱ）直线l的参数方程为：x=2t-2，y=2t+2（t为参数），两曲线相交于M、N两点。

代入y2=4x，得到t1=-4，t2=6.则|PM|+|PN|=|t1+t2|=10.2.（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为x=t+1，y=t-1（t为参数），点A的极坐标为（2，π/4），设直线l与圆C交于点P、Q两点。

1）求圆C的直角坐标方程；2）求|AP|•|AQ|的值。

解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆。

2）点A的直角坐标为(2,2)，所以点A在直线l上。

把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t-2=0.由韦达定理可得t1=-2，t2=1.根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=2.3.（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)。

I）求直线l和C的普通方程；II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，-2），求||PA|-|PB||的值。

解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0，所以直线l的普通方程为：x-y+2=0.圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π/2)，所以圆C的直角坐标方程为：(x-2)2+y2=16.II）直线l的参数方程为：x=tcosθ+tsinθ，y=tsinθ-tcosθ-2（t为参数）。

（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。

，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。

第四章平面问题的极坐标解答（讲）

第四章平面问题的极坐标解答§4-1 极坐标中的平衡微分方程对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。

因为用极坐标表示其边界线非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。

在极坐标中，平面内任一点P的位置，用径向坐标ρ及环向坐标ϕ来表示，图4-1。

极坐标和直角坐标都是正交坐标系，但两者有如下区别：在直角坐标系中，x和y坐标线都是直线，有固定的方向，x和y坐标的量纲都是L。

在极坐标系中，ρ坐标线（ϕ=常数）和ϕ坐标线（ρ=常数）在不同的点有不同的方向；ρ坐标线是直线，而ϕ坐标线为圆ϕ坐标为量纲一的量。

这些区别将引弦曲线；ρ坐标的量纲是L，而起弹性力学基本方程的差异。

为了表明极坐标中的应力分量，从所考察的薄板或长柱形体中取出任一厚度等于1的微分体PACB，在xy平面上，这个微分体是由两条径向线（夹角为d ϕ）和两条环向线（距离为ρd ）所围成，如图所示，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用ρσ代表；沿ϕ方向的正应力称为环向正应力或切向正应力，用ϕσ代表；切应力用ϕρρϕττ及代表（根据切应力的互等关系，ϕρρϕττ=）。

各应力分量的正负号规定和直角坐标中一样，只是ρ方向代替了x 方向，ϕ方向代替了y 方向。

即正面上的应力以沿正坐标方向为正，负面上的应力以沿负坐标方向为正，反之为负。

图中所示的应力分量都是正的。

径向及环向的体力分量分别用ϕρf f 及代表，以沿正坐标方向为正，反之为负。

与直角坐标中相似，由于应力随坐标ρ的变化，设PB 面上的径向正应力为ρσ，则AC 面上的将为ρρσσρρd ∂∂+；同样，这两个面上的切应力分别为ρϕρϕττ及+ρρσϕd ∂∂。

PA 及BC 两个面上的环向正应力分别为ϕσ及ϕσ+ϕρσϕd ∂∂；这两个面上的切应力分别为ϕϕτττϕρϕρϕρd ∂∂+及。

对于极坐标中所取的微分体，应注意它的两个ρ面PB 及AC 的面积不相同，分别等于()ϕϕρϕρd d d +及；两个ϕ面PA 及BC 的面积都等于d ρ，但此两面不平行。

（完整版）极坐标几何意义的运用

（完整版）极坐标几何意义的运用极坐标、参数方程几何意义的应用一、t 几何意义的理解：1、(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为?x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 与曲线C交于A ，B 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P 的极坐标为22，π4，求|PA |·|PB |的值.2、(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为?x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.二、ρ几何意义的理解：3、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).(1)求曲线C 的极坐标方程；4、（2019顺德一模）在直角坐标系xOy中，曲线12cos :2sin x C y ?=+=?? （?为参数），直1cos sin x t l y t αα=??=?：（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 与1l 的极坐标方程；（2）当63ππα-<<时，直线1l 与C 相交于O A 、两点；过点O 作1l 的垂线2l ，2l 与曲线C 的另一个交点为B ，求OA OB +的最大值．5、（2019广州）已知曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,OB 两点，求AOB △的面积．6、已知曲线C 的参数方程为x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π6＝4. (1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积.7、(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为?x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.8、(2018·湖南六校联考)已知直线l 的参数方程为x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. (1)求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|OA |·|OB |.极坐标、参数方程几何意义的应用参考答案：1、解 (1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0；又∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，∴x 2＋y 2＋y 2＝2，即曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2 ＝1.(2)点P 的直角坐标为12，12.法一 P 12，12在直线l 上，直线l 的参数方程为x ＝12－22t ′，y ＝12＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得12－22t ′2＋212＋22t ′2－2＝0，即32t ′2＋22t ′－54＝0，|PA |·|PB |＝|t 1′|·|t 2′|＝|t 1′t 2′|＝56. 2、解(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点. 当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O交于两点当且仅当??21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4. 综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l 的参数方程为x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4).设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4).3、解 (1)将方程x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，∴曲线C 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标分别为ρ1，π6，ρ2，π6，由ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215.4、解：（1）因为曲线12cos :2sin x C y ?=+=?? （?为参数），所以曲线C的普通方程为：22(1)(4x y -+=………………………1分由cos ,sin x y ρθρθ==得C的极坐标方程为22cos sin 0ρρθθ--=．化简得：2cos ρθθ=+……………………………………2分因为直线1cos sin x t l y t αα=??=?：（t 为参数），所以直线1l 的极坐标方程为：()θαρ=∈R (4)分（漏写ρ∈R 不扣分）（2）设点A 的极坐标为(,)A ρα，63ππα-<<，则2cos 4sin 6A πρθθα??=+=+……6分点B 的极坐标为,2B πρα??+，则4sin 4cos 266B πππραα??=++=+ ? ??………7分54sin 4cos 6612A B OA OB πππρρααα∴+=+=+++=+ ? ? ???????……8分所以当12πα=时，()maxOA OB+=………………………………………10分解法二：由已知得：90AOB ∠=?，AB ∴为O e 的直径…………………5分故有2222416OA OB AB +===，………………………………………6分222822OA OB OA OB+?+∴= ?≤，……………………8分即OA OB +=≤9分当且仅当OA OB ==时，OA OB +取得最大值10分5、解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y =．…2分因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………3分所以22(3)(1)4x y -+-=，……………………………4分所以曲线C的参数方程为32cos 12sin x y αα=+??=+??（α为参数）．……………………5分（2）联立6=23cos 2sin πθρθθ?=?+?得14OA ρ==，……………………………6分同理，223OB ρ==．……………………………………………………………7分又6AOB π∠=，………………………………………………………………………8分所以111sin 42323222AOBS OA OB AOB ?=∠==，…………………9分即AOB ?的面积为23．……………………………………………………………10分6、解 (1)由?x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋1 2ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，联立射线θ＝π3与曲线C 的极坐标方程，得A ，B 两点的极坐标分别为2，π3，4，π3，联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程，得P 点极坐标为23，11π6，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin π3＋π6＝2 3. 7、解 (1)由l 1：?x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，得l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①(2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，联立x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴l 3与C 的交点M 的极径为 5.8、解 (1)由x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t消去t ，得y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . ∴直线l 的普通方程为y ＝3x . 曲线C ：ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. ∴其直角坐标方程x 2＋y 2＝4x＋23y －4，即(x －2)2＋(y －3)2＝3.(2)易由y ＝3x ，得直线l 的极坐标方程为θ＝π3.代入曲线C 的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，所以|OA |·|OB |＝|ρA ·ρB |＝4.。

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极坐标知识讲解一、极坐标系定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．二、极坐标定义：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标．三、极坐标与直角坐标的互化内容：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，有co s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．注：若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．典型例题一．解答题（共10小题）1．（2018•张掖一模）已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C 2的极坐标方程为，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点．（p ∈R ）（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：，，，或，．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==．2．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．3．（2016春•阳高县校级期末）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）由，得，即，ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=，y﹣2=．得圆的参数方程为（α为参数）；（2）由（1）得：x+y=4+=4+2sin（），∴当sin（）=1时，x+y的最大值为6，当sin（）=﹣1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．4．（2016春•赣州校级月考）已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．【解答】解：（I）圆锥曲线C的极坐标方程为，即3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12，即=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．==．∴要求的直线方程为：y=（x+1）．（II）由（I）可得直线的参数方程为：（t为参数）．代入椭圆方程可得：5t2﹣4t﹣12=0，∴t1t2=﹣．∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=．5．（2015•临川区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程（2）曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0），得3x2+3y2=12x﹣10，即．∴曲线C1的普通方程为：；（2）依题意可设Q（4cosθ，2sinθ），由（1）知圆C1的圆心坐标为（2，0），则==．∴当cosθ=时，．∴．6．（2015•德宏州校级三模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点，对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点，．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），，在曲线C1上，求的值．【解答】解：（I）∵曲线C1上的点，对应的参数ϕ=，∴，解得，∴曲线C1的直角坐标方程为：=1．∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点，．∴圆的直径2R==2，∴曲线C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．（II）把代入曲线C1的直角坐标方程：=1．可得．∴=+===．7．（2015春•仙游县校级期末）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin （）=2．（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：+y2=4．…（2分）①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；…（4分）②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）（Ⅱ）直线l的普通方程为：x﹣y+4=0．…（8分）联立直线与曲线的方程，消y得+（x+4）2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4﹣4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3又x1+x2=﹣，x1x2=，…（…（10分）故=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+4）（x2+4）=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（12分）8．（2015秋•瓦房店市校级月考）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM 面积的最大值，并求此时M点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由，得，平方作和得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+y2=1．由，得ρcosθ﹣ρsinθ=0，即ρcosθ﹣ρsinθ=0．∴直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0；（Ⅱ）∵圆心（1，0）到直线l的距离为，则圆上的点M到直线的最大距离为（其中r为曲线C的半径），又．设M点的坐标为（x，y），则过M且与直线l垂直的直线l′的方程为：x+y﹣1=0，联立，解得：，或．经检验舍去．故当点M为，时，△ABM面积的最大值为：．9．（2015秋•合肥校级月考）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（，），∴x==1，y==1，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（﹣2，0）．当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|2=|PC|2﹣r2=（﹣2﹣1）2+（0﹣1）2﹣=8．∴|PA|•|PB|=|PD|2=8．10．（2014•枣强县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．【解答】解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ2=6ρcosφ，所以C2的直角坐标方程是x2+y2﹣6x=0由已知得C1的直角坐标方程是，当α=0时射线与曲线C1，C2交点的直角坐标为（a，0），（6，0），∵|AB|=4，∴a=2，C1的直角坐标方程是①（2）联立x2+y2﹣6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．又可得D（1，0），∴，∴BD的参数方程为（t为参数）②将②带入①得，设D，E点的参数是t1，t2，则，，．。

极坐标复习

OP的反向延长线上取一点M使
|OM|=|ρ| ，M就是极坐标
θ
为(ρ,θ)的点。
|ρ| O
x
M
2、极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半
轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度
单位。
互化公式：
极坐标化为直角坐标
x cos
y
sin
直角坐标化为极坐标
y
M
2 x2 y2
Байду номын сангаас
tg
sin(-) sin(-)
oa
x = a—si—n——
sin(-)
M(ρ,θ)
0
o
x
=0 (0)
M(ρ,θ)
0
o
x
=0 (R)
•
• P(，) 直线的极坐标方程
•o a
x
• P(，)
a
a
•o •o
a
•o x
P(，) •
x
x • P(，)
cos =a cos= -a sin =a sin=-a
圆的极坐标方程
1
• 也可建立极坐标系解决。 • 点F为极点，x轴正半轴
o F2 B
x
• 为极轴，它的极坐标方程为
•
=
—1-c4—os— ，1=
1—-c4—os—/4—，2=
——4 —— 1-cos5/4
• |AB|= 1 + 2=…=16
•
P52 5•3 极坐标和直角坐标的互化
• 以直角坐标系xoy的
y
• 原点为极点，x轴的正方
例2.把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
y
• 极径取正值 =2

极坐标几何意义解题

几何意义解题1、（距离最值）1．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线（α为参数），（θ为参数）．（1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：的距离的最大值．2．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线（α为参数）．（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．3．在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为，（θ为参数，0r >）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．写出圆心的极坐标，并求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3．4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 1的极坐标方程为，直线l 的极坐标方程为。

（Ⅰ）写出曲线C 1和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

5．已知曲线1C 曲线1C 经过坐标变换得到曲线2C ，直线l 的参数方程为2()x t y t R ⎧=⎪∈⎪⎨⎪⎪⎩为参数，（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若P 为曲线2C 上的点，求点P 到直线l 的距离的最大值。

6．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为)0(>a 。

OA 为圆C 的直径，求点A 的极坐标；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），直线l 被圆C 截得的弦长为d ，若2≥d ，求a 的取值范围。

2、（直线参数几何意义）1．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴和x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C 的方程是，直线l 的参数方程为（t 为参数，πα<≤0），设)2,1(P ，直线l 和曲线C 交于B A ,两点．（1）当0=α时，求AB 的长度；（2）求22PB PA +的取值范围．2．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:C 2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为（t 为参数），l 和C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程；成等比数列，求a 的值．3．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点()1,2-M ，曲线1C 和曲线2C 交于B A ,，求（极坐标几何意义） 1．在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：，曲线C 和l 有且仅有一个公共点．（1）求a 的值；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且，求OB OA +的最大值．2．在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是，射线:OM 和圆C 的交点为O 、P ，和直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．3．极坐标系和直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为（t 为参数，0απ≤<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-和曲线1C 交于（不包括极点O ）三点C B A ,,（1）求证：OB OC +=；（2）当时，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 和α的值。

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结知识点和题型总结：一、伸缩变换伸缩变换是指点P(x,y)在变换作用下对应到点P'(x',y')，其中x' = λx (λ。

0)，y' = μy (μ。

0)。

这个变换称为伸缩变换。

二、极坐标和直角坐标的转换1、极坐标定义在平面上，点M的极坐标表示为(ρ,θ)，其中ρ表示OM 的长度，θ表示∠MOx的角度，且θ∈[0,2π)，ρ≥0.点P的直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)。

2、直角坐标转换为极坐标x = ρcosθ，y = ρsinθ。

3、极坐标转换为直角坐标ρ = √(x²+y²)，tanθ = y/x (x≠0)，x = ρcosθ，y = ρsinθ。

4、直线和圆的极坐标方程方法一：先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程。

方法二：1）若直线过点M(ρ,θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ-α) = ρsin(θ-α)。

2）若圆心为M(ρ,θ)，半径为r的圆方程为ρ²-2ρrcos(θ-θ)+ρ²-r² = 0.三、参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2、常见曲线的参数方程1）直线的标准参数方程过定点(x,y)，倾角为α的直线：x = x+tcosα，y = y+tsinα (t为参数)。

其中参数t的几何意义是点P(x,y)，点M对应的参数为t，则PM = |t|。

直线上P1,P2对应的参数是t1,t2.|P1P2| = |t1-t2| = √((x1-x2)²+(y1-y2)²)。

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析将极坐标方程化为直角坐标方程.解析因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析（1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二：将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1）写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。

极坐标系中的图形问题分析与解法

极坐标系中的图形问题分析与解法引言：极坐标系是一种常用于描述圆形和周期性图形的坐标系统。

与直角坐标系相比，极坐标系更加简洁明了，能够更好地表达和分析一些特定的图形问题。

本文将探讨极坐标系中的图形问题，并介绍一些解决这些问题的方法。

一、极坐标系的基本概念1. 极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系，以极轴和极角来描述点的位置。

极轴是从原点出发的射线，极角是该射线与参考方向的夹角。

2. 极坐标系与直角坐标系的转换关系在极坐标系中，点的坐标用(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与参考方向的夹角。

与直角坐标系的转换关系如下：x = r*cosθy = r*sinθ二、极坐标系中的图形问题1. 圆形的极坐标方程在极坐标系中，圆形的极坐标方程为r = a，其中a为圆的半径。

通过这个方程，我们可以方便地描述和绘制圆形。

2. 周期性图形的极坐标方程极坐标系特别适合描述周期性图形，如正弦曲线、螺线等。

以正弦曲线为例，其极坐标方程为r = a*sin(bθ)，其中a为振幅，b为角频率。

通过调整a和b的值，可以改变正弦曲线的形状和周期。

三、解决极坐标系中图形问题的方法1. 绘制图形通过极坐标方程，我们可以直接绘制出图形。

首先确定坐标轴的范围，然后计算出每个点的极坐标，最后将这些点连接起来，就可以得到所需的图形。

2. 求解交点在极坐标系中，求解两个图形的交点可能比直角坐标系更加复杂。

一种方法是将两个图形的极坐标方程联立，然后解方程组。

另一种方法是将两个图形在直角坐标系中表示，然后转换为极坐标方程，再进行求解。

3. 计算面积计算极坐标系中图形的面积可以使用积分的方法。

将图形划分为无穷小的扇形，然后将每个扇形的面积相加即可得到整个图形的面积。

4. 极坐标系下的导数和曲率在直角坐标系中，我们可以通过导数和曲率来描述曲线的变化率和弯曲程度。

类似地，我们也可以在极坐标系中定义导数和曲率的概念，并进行计算和分析。

结论：极坐标系是一种有力的工具，用于解决图形问题。

极坐标知识点和题型总结大全

以下是关于极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结：
1. 极坐标定义：极坐标是一种在平面上表示点位置的坐标系，使用极径（r）和极角（θ）来确定点的位置。

2. 极坐标转换：可以通过以下公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
3. 极坐标转化为直角坐标：可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标系中的点的坐标：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
4. 极坐标系下的图形方程：在极坐标系下，常见的图形方程有：
a) 直线：θ = k，其中k 为常数。

b) 圆：r = a，其中a 为常数。

c) 线段：a ≤ r ≤ b，其中a, b 为常数。

5. 极坐标系下的曲线方程：极坐标下的曲线方程可以通过变化极角或极径的方式得到，常见的曲线方程有：
a) 线：r = k，其中k 为常数。

b) 弧线：θ = k*θ0，其中k 为常数，θ0为起始角度。

c) 雅可比螺线：r = a * θ，其中a 为常数。

d) 心形线：r = a * (1 + cos(θ))，其中a 为常数。

在解题时，根据题目给出的条件和要求，可以灵活运用极坐标的转换公式和图形方程，进行坐标转换、方程建立和问题求解等操作。

请注意理解题目中给出的具体要求，如求极值、图形方程、面积等，并将其转化为极坐标下的形式进行求解。

以上是一些极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结，希望对您有帮助。

如果有更具体的题目需要解答，可以提供相关题目，我将尽力帮助您解答。

极坐标及极坐标方程

[解析] ρ＝2sinθ 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，ρcosθ
＝－1 的直角坐标方程为 x＝－1，联立方程，得
x2＋y2－2y＝0， x＝－1，
解得xy＝＝1－，1，
即两曲线的交点为(－1，1)，
又 0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为( 2，34π)．
[答案] ( 2，34π)
自主探究：
在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2cosθ，曲线 C2：θ＝π4，若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为________．
[解析] 曲线 C1 与 C2 均经过极点，因此极点是它们的一
ρ＝2cosθ， ρ＝ 2，
个公共点．由θ＝π4，
得θ＝π4，即曲线 C1 与 C2 的
ρ＝2rcosθ； ρ＝2rsinθ.
(7)若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
课前预练
1．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的
点的极坐标为( )
A．(3，23π)
BB．(3，π3)
C．(3，43π)
D．(3，56π)
课前预练
3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是( ) A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线
B
C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆
讨论总结：极坐标方程ρcosθ＝a表示什么？极坐标方程ρsinθ＝a 呢？
课前预练
4.设曲线的极坐标方程为ρ＝2asinθ(a>0)，则它表示的曲线是( )
1 1 cos2 1 sin2 . 2 16 2 4 2
(2)由(1)得
1 OM

极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用

极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．2．（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0．由韦达定理可得t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．3．（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程；（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值．解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为：，因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17，则：||PA|﹣|PB||=，=．4．（2018•内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B 两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，得，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分）∴===3．…（10分）5．（2018•上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2=4，得t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2tcosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，=因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．6．（2018•武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．解：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，即直线l的普通方程为；因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）2=4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0，由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，∴==．∵，cos2α∈（0，1]，，当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为．7．（2018•洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）8．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．②当直线的斜率存在时，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．9．（2018•合肥二模）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解（Ⅰ）曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．即x2=2ay（a＞0）．（Ⅱ）将代入x2=2ay，得，得．∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|•|PN|，即，∴，即，解得a=0或．∵，∴．10．（2018•芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值．解：（1）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），消参得曲线C1的普通方程为x+y﹣a﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，即y2=2x．………（5分）（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+1﹣2a=0，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，∴，解得a=．………（10分）11．（2018•深圳一模）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．在以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|PA|=3|PB|．求a的值．解：（Ⅰ）直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．转化为直角坐标方程为：4x﹣3y﹣4a+3=0．曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，转化为直角坐标方程为：y2=8x．（Ⅱ）设A、B的两个参数为t1和t2，则：，整理得：，所以：．由，解得：．由|PA|=3|PB|．则：t1=3t2或t1=﹣3t2，当t1=3t2时，，解得：．当t1=﹣3t2时，，解得：．故：．极坐标与参数方程专题（2）——极坐标系下ρ意义的应用1．（2018•顺德区一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．2．（2018•内江一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．3．（2016•晋中一模）已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．4．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．5．（2018•城关区校级模拟）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．解：（1）由，得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得到曲线C的普通方程是．…（5分）（2）因为，所以，由OA⊥OB，设A（ρ1，α），则B点的坐标可设为，所以===．…（10分）6．（2018•衡阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线OB的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．7．（2018•全国I模拟）在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，记P的轨迹为曲线C；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l与C的极坐标方程；（2）设A的极坐标为（2，），点B在曲线C上，△OAB的面积为，求B点的直角坐标．解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，∴直线l的极坐标方程为l：ρcosθ=4．设P（ρ，θ），（ρ＞0），M（ρ1，θ），（ρ1＞0），则ρ1cosθ=4，∵M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，∴|OM|•|OP|=ρρ1=16，∴ρ=4cosθ，ρ＞0，∴C的极坐标方程为ρ=4cosθ，ρ＞0．=|AO|•|BO|sin∠AOB=（2）依题意设B点极坐标为（4cosα，α），则S△ABO=2|sin（2α﹣）﹣|=，解得，此时B（2，），或α=﹣，此时B（2，﹣），化为直角坐标为B（3，）或B（1，﹣）．8．（2018•石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y=+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r==2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），==4sin（）sin（）=2sinθcosθ+2=sin2θ+=2sin（2）+，当时，，所以△MON面积的最大值为2+．极坐标与参数方程专题（3）——求取值范围或最值1．（2018•曲靖二模）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．解：∵曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，∴=3，∴曲线C1的直角坐标方程为．∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4．（2）∵曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，圆心（0，2）到曲线C1：的距离d==4，P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，∴|PQ|的最小值为：d﹣r=4﹣2=2．2．（2018•赤峰模拟）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，求|MN|的最大值．解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2=1，∵曲线C2的极坐标方程为．∴=4cosθ+4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的普通方程为4x+4y﹣1=0．∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程4ρcosθ+4ρsinθ=1．（2）∵曲线C1：x2+y2=1的圆心为C1（0，0），半径r1=1，曲线C2：x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心C2（2，2），半径r2==2，|C1C2|==2，∵设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，∴|MN|的最大值为：|C1C2|+r1+r2=2=4+1．3．（2018•洛阳三模）已知直线l的极坐标方程为，现以极点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（2）若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为（2，2），求|AP|+|BP|的最小值．解：（1）直线l的极坐标方程为，∴，即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0；曲线C1的参数方程为（φ为参数）．∴曲线C1的普通方程为（x+1）2+（y+2）2=4．（2）∵点P在直线x+y=4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等．曲线C1是以（﹣1，﹣2）为圆心，半径r=2的圆．∴|AP|min=|PC1|﹣r=．所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．4．（2018•黑龙江模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）5．（2018•孝义市一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ=16，又ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2+4y2=16，即．设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4=0．设M（2cosθ，sinθ），则点M到AB的距离为，∴△MAB面积的最大值为．6．（2018•思明区校级模拟）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4，∵正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），∴B点的坐标为（2cos120°，2sin120°），即B（﹣1，），C点的坐标为（2cos240°，2sin240°），即C（﹣1，﹣）．（2）∵圆C2：x2+（y+）2=1，∴圆C2的参数方程，设点P（cosα，﹣），0≤α＜2π，∴|PB2|+|PC|2=+（cosα+1）2+sin2α=16+4cosα﹣4sinα=16+8cos（），∴|PB2|+|PC|2的范围是[8，24]．7．（2018•河南一模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），∴，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为=0．（2）设z=，圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）8．（2018•湖南三模）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2=1∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．∵曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．即ρ2=﹣2ρsinθ，∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2=﹣2y，即x2+（y+1）2=1，∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d==．∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα=时，d max=．∴|PQ|max=d max+r=+1=．9.（2018•大庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．10．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．。