2016年春新版华师大版八年级下册：16.3可化为一元一次方程的分式方程2

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16.3 可化为一元一次方程的分式方程(第2课时)(课件)八年级数学下册(华东师大版)

30 x3
2 3
D. 30 30 2
x3 x 3
当堂检测
2.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的
__b __a__倍.
ba
当堂检测
3.某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新
技术，使每天加工的效率是原来的2倍，结果共用了7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
解得x=20. 经检验，x=20是原方程的根，且符合题意. 答：他骑“共享助力车”从家到单位上班需要20 min.
当堂检测
6、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
②第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数 ⑵根据这一情境你能提出哪些问题?
①每年有多少间房屋出租? ②这两年每间房屋的租金各是多少?
讲授新课
①每年有多少间房屋出租?
解: ① 设每年有x 间房屋出租.
根据题意,得
102000 96000 500
x
x
解得 x=12
经检验: x=12 是原方程的解,也符合提意.
解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天，依题意得
2 3 1 x x2
化为整式方程得x2-3x-4=0 解得x=-1或x=4．
讲授新课
检验：当x=4和x=-1时，x(x+2)≠0，x=4和 x=-1都是原分式方程的解．但x=-1不符合实际意义，故x=-1舍去； ∴乙单独完成任务需要x+2=6（天）．答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要 4天、6天．

华东师大版八年级数学下册16.3.2可化为一元一次方程的分式方程的应用教案

教师通过课件展示问题，学生积极动脑解决问题，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.
引导学生把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系，培养学生的数学应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】列分式方程解应用题
1．回顾分式方程的基本解法．
2．学生对所出示方程进行演算．
2．由学生自由讨论，激发学生学习的主动性，同时提升学生概括、整体看待问题的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1[教材P15例3]用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致．两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
问：(1)苹果进价为每千克多少元？
(2)乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
分析：根据题中的等量关系建立数学模型．
(1)设苹果进价为每千克x元，根据大、小苹果的利润和等于2100元列出分式方程进而求解．注意所得结果要进行双检验．
(2)先求出所有苹果的质量以及大、小苹果的售价，进而用总质量乘以每千克的利润求出乙超市的利润，再与甲超市的利润进行比较即可．
解：设甲队每天完成x平方米，则乙队每天完成1.5x平方米，根据题意，得－＝15，解得x＝160，
经检验，x＝160是所列方程的解且符合题意．
答：甲队每天完成160平方米.
通过例题教学，使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能，增强学生解决问题的能力.
活动
三：
开放

八年级数学下册16、3可化为一元一次方程的分式方程第2课时解分式方程授课课件新版华东师大版

知2－讲
解：把x＝1代入方程 2ax 2 ，得 2a 2 ，
解得a＝－ 1 . a x 3
a1 3
2
经检验，a＝－
∴a的值为－
1. 2
1 2
是分式方程
2a 2 的解． a1 3
总结
知2－讲
பைடு நூலகம்
根据方程的解构造方程，由于所构造的方程是分式方程，因此验根的步骤不可缺少．
1 解方程： (1) 2 3 ; x 1 2x 1
解这个整式方程，得x＝1.
解到这儿，我们能不能说x= 1就是原分式方程的解
(或根)呢？细心的同学可能会发现，当x = 1 时，原
分式方程左边和右边的分母(x- 1)与(x2- 1) 都是0,
方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x = 1不
是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无
解.
例5 已知关于x的分式方程 x a 3 1. x1 x
知识点 3 分式方程的增根
知3－讲
分式方程无解有两种情形： ①分式方程化为整式方程后，所得的整式方程无解，
则原分式方程无解； ②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但经检
验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
知3－讲
1. 增根：(1)定义：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，去掉了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．
知1－讲
3．解分式方程的关键一步是去分母，化分式方程为整式方程，如果分母是多项式，首先要分解因式，然后确定最简公分母．
知1－讲
例1 解方程： 100 30 .
x x7
解：方程两边同乘以x (x-7)，约去分母，得 100 (x-7)=30x.

华师大版八下数学16.3可化为一元一次方程的分式方程2教学设计

华师大版八下数学16.3可化为一元一次方程的分式方程2教学设计一. 教材分析华师大版八下数学16.3节主要是讲解可化为一元一次方程的分式方程的求解。

这部分内容是整个初中数学中非常重要的一部分，也是学生首次接触分式方程。

通过本节课的学习，学生能够掌握分式方程的解法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本知识，如一元一次方程的解法、分式的加减乘除等。

但是，对于分式方程的解法，学生可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。

三. 教学目标1.让学生理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法。

2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。

3.培养学生合作学习、积极思考的能力。

四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法。

2.难点：如何将实际问题转化为分式方程，并灵活运用解法求解。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式方程的解法。

2.使用案例教学法，让学生通过解决实际问题，掌握分式方程的应用。

3.利用小组合作学习，培养学生团队合作的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生解决实际问题。

2.准备PPT，用于展示分式方程的解法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引入分式方程的概念。

例如：一个长方形的长是宽的两倍，长方形的面积是36平方厘米，求长方形的面积。

2.呈现（10分钟）通过PPT，展示分式方程的解法。

讲解分式方程的解法，如：交叉相乘法、通分法等。

3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的分式方程。

如：( = 3)4.巩固（10分钟）让学生解决一些稍复杂的分式方程。

如：( = 2x+1)5.拓展（10分钟）让学生解决一些实际问题，运用分式方程的解法。

如：一个工厂生产A产品和B产品，生产A产品需要2小时，生产B产品需要3小时。

现在有12小时的生产时间，要求生产A产品和B产品的数量之比为3:5，求A产品和B产品的数量。

华师大版八下数学16.3.1可化为一元一次方程的分式方程教学设计

华师大版八下数学16.3.1可化为一元一次方程的分式方程教学设计一. 教材分析华东师范大学版八年级下册数学第16.3.1节“可化为一元一次方程的分式方程”是分式方程这部分内容的一个重要组成部分。

这部分内容是在学生已经掌握了分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等知识的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是让学生了解分式方程的定义，学会将分式方程转化为整式方程，并掌握一元一次方程的解法。

教材通过具体的例题和练习题，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本知识，对分式的概念、运算等有一定的了解。

但是，对于分式方程的转化和解法，学生可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例题和练习题，引导学生掌握分式方程的转化方法，并运用一元一次方程的解法求解。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解分式方程的定义，学会将分式方程转化为整式方程，并掌握一元一次方程的解法。

2.过程与方法目标：通过具体的例题和练习题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：分式方程的定义，将分式方程转化为整式方程的方法，一元一次方程的解法。

2.难点：分式方程的转化和解法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体的例题和练习题，让学生理解和掌握知识；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教材和教辅资料。

2.课件和教学幻灯片。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入分式方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，呈现教材中的例题和练习题，让学生观察和思考。

3.操练（10分钟）教师引导学生通过小组合作学习，共同解决问题。

华师大版八年级数学下册可化为一元一次方程的分式方程习题2 一课一练(含答案)

16.3 可化为一元一次方程的分式方程习题2一、填空题1.在分式12111F f f =+中,12f f ≠-,则F=_________. 2.当x=_______,2x-3 与543x + 的值互为倒数. 3.当k=_____时,分式方程0111x k x x x x +-=--+有增根. 4.若关于x 的方程1a b a x b ++=- 有惟一解,则a,b 应满足的条件是________. 5.某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观,一部分同学骑自行车走40分钟后,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达科技馆, 已知汽车的速度是自行车速度的3倍,求汽车的速度.设汽车的速度是x 千米/小时,则汽车行驶时间为______, 自行车行驶时间为______.根据题意列方程________.解得汽车的速度为_______.6.为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960棵树, 由于青年团员的支持,每日比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x 棵,根据题意得方程____________.7. 已知311=-y x ，则分式yxy x y xy x ---+2232的值为 . 8. 已知，关于x 的方程22112()1x x x x +++=，那么11x x++的值为 . 9. 若分式421x x -与分式212x x +-的值相等，则x ＝_______. 10. 一水池有甲、乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需a 小时、b 小时可注满空地；现两管同时打开，那么注满空池的时间是_______.二、选择题11.当a 为何值时与121a a -+的值相等（） A.a ＝0 B.a ＝12C.a ＝1D.a ≠1 12.下列说法中：①含有分母的方程是分式方程；②分母中含有分母的方程是分式方程；③分母中含有未知数的方程是分式方程；④解分式方程可能会产生增根，所以一定要验根；⑤解分式方程一定要先去分母；⑥解分式方程过程中，使公分母为0的未知数的值一定是增根.其中正确的序号有（）A.①②⑤B.③④⑥C.①②③D.④⑤⑥13.若x ＝－12是下列某方程的解，则此方程为（） A.312x +＝2 B.22114x x +-＝0 C.21x x -＝14 D.241x x -＝14 14. 若分式方程424-+=-x a x x 有增根，则a 的值为（） A.4 B.2 C.1 D.015.某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x 米，则依题意列出正确的方程为（） A.496296=--x x B.429696=--x x C.429696=+-x x D.496296=-+xx 16.在方程：①73x -＝8+152x -，②1626x -＝x ，③281x -＝81x x +-，④x －112x -＝0中，是分式方程的有（）A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④17.甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地.已知A 、B 两地的距离为30km ，甲每小时比乙多走3km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为（） A.30x －303x -＝23 B.30x －303x +＝23C.303x +－30x ＝23D.303x -－30x ＝23 18. 若边长为a 的正方形与长、宽分别为m 、n 的矩形的面积相等，则下列等式中，不正确的是（） A.n a a m = B. a m a n n a +=+ C. a n a m n a =-- D. 1111+-=+-a n m a 19.已知122432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（） A.7 B.9 C.13 D.520.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是（）A.方程两边分式的最简公分母是（x-1）（x+1）B.方程两边都乘以（x-1）（x+1）,得整式方程2（x-1）+3（x+1）=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=1三、解答题21. 解方程：（1）13xx-+－15＝0. （2）3x＋61x-＝27x x-.（3）1+54xx--＝14x-. （4）31xx-+＝41xx-+－2.（5）22xx-+－2164x-＝22xx+-. （6）132x-+123x+＝2449xx-.22.已知：23(1)(2)12x A Bx x x x-=+-+-+，求A、B的值.23.列方程解应用题（1）重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值.（2）某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km 的普通公路.又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.（3）从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地，先走40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达.已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度.（4）A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件.求A、B每小时各做多少个零件.四、探究题24.请先阅读下列一段文字，然后解答问题：初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可以先求出a与b 的差，再看这个差是正数、负数还是零，”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以.问题：甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同）甲每次购买粮食100kg，乙每次购粮用去100元.（1）设第一、第二次购粮单价分别为x元/kg和y元/kg，用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付粮款元，乙两次共购买 kg粮食.若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价和每千克Q2元，则Q1＝，Q2＝ .（2）若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由.参考答案一、1.1212f f f f + 2.3 3.-1 4.a+b ≠0 5.15x 小时, 45x 小时, 45x -15x =4060,45千米/时 6.960960420x x +=+ 7.53 8. ±2 9. 81 10. b a ab +小时二、 11. B 12. B 13 C 14 A 15 C 16 C 17 B 18. D. 19.C 20. D三、21.（1）x ＝2；（2）x ＝109；（3）x ＝5；（4）x ＝－12；（5）无解；（6）无解； 22. 212(1)(2)A B Ax A Bx B x x x x ++-+=-+-+=()2(1)(2)A B x A B x x ++--+ ∴23()2(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -++-=-+-+∴223A B A B +=⎧⎨-=-⎩∴13123A B ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23. （1）分别为每千克450元和每千克750元（2）设该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间为x 小时，则有456002480-=xx .解得x=8，则该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.为8小时.（3）设A 的速度为x 千米/时，则B 的速度是3x 千米/时，则有604031515+=x x 解得x=15，3x=45，则两车的速度分别为15千米/时，45千米/时；（4）A 每小时做15个，B 每小时做20个.四、24. （1）100（x +y ），100（1x +1y ），2x y +，2xy x y +，（2）乙低，理由略；。

八年级数学下册 16.3 可化为一元一次方程的分式方程《分式方程》典型例题素材2 (新版)华东师大版

《分式方程》典型例题例1．甲、乙二人同时从A 地前往距A 地30千米的B 地，甲比乙每小时快2千米，结果比乙先到半小时，若设乙的速度为x 千米/小时，则可列出的方程为（）A ．2123030=--x x B ．2123030=+-x x C ．2130230=-+x x D ．2130230=--x x例2．某校学生进行急行军，预计行60千米的路程可在下午5点钟到达，后来由于每小时加快速度的51，结果于4点钟到达，这时的速度是多少？例3．甲、乙两人合做某项工作，如果先由两人合作3天，剩下的由乙单独来做，那么再有1天便可完成. 已知乙单独做全部工作所需天数是单独做所需天数的2倍. 求甲、乙单独做这项工作各需多少天？例4．某工人现在平均每天比计划多做20个零件，已知现在做4000个零件和原计划做3000个零件所用的时间相同，问现在平均每天做多少个？例5． A 、B 两地相距7千米，甲由A 地走向B 地，刚走完了1千米到达C ，在A 地的乙发现甲有物遗忘，为送物追甲，乙在D 处追上甲后又立即返回，当乙回到A 地时，甲正好到了B 地，求C 、D 间的距离.例6．编一道可化为一元一次方程的分式方程应用题，并解答，编写要求.（1）要联系实际生活，其解符合实际.（2）根据题意列出的分式方程只含有两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程.（3）题目完整，题意清楚.参考答案例1．分析1 比较分母的大小判断分式的值的大小，知A 、C 左边均为负数，不可能与右边相等，故应排除A 、C. 又，根据题设，甲的速度为)2(+x 千米/小时，在D 式中没出现2+x ，故排除D.分析2 按列方程解应用题的常规办法列方程得B 式（详细分析过程从略）解答 B例2．分析此为行程问题. 基本关系式为：路程＝速度×时间. 本题欲求速度，则设原计划速度为x 千米/时，而实际速度为x )511(+千米/时，所以，计划时间x 60时，实际时间x )511(60+时，以时间关系为相等关系来列方程. 解答设原计划速度为x 千米/时，（务必写明意义和单位）则实际速度为x )511(+千米/时，依题意，得 1)511(6060=+-x x 化为整式方程，得 1256=x ∴ 10=x经检验：10=x 是原方程的根. 则.12)511(=+x答：这时的速度为12千米/时.说明对于行程问题，已知距离求速度，以时间为相等关系.例3．分析此题为总工作量为1的工程问题. 设甲单独做需x 天，则乙单独做需x 2天，甲每天的工作量为x 1，乙每天的工作量为x 21，依题意可列出仅含一个未知数x 的分式方程，于是问题得解.解答设甲单独做需x 天，则乙单独做需x 2天，依题意，得 121)211(3=++xx x 解这个方程，得 5=x经检验知5=x 是原方程的解.∴ 102=x .答：甲单独做需5天，乙单独做需10天.说明工作总量看做1的工程问题，通常以工作总量为相等关系.例4．分析此为工作总量不为1的工程问题，要求效率，设现在平均每天做x 个，计划每天做)20(-x 个，现在做4000个所用的时间为x4000天，计划生产3000个所用时间为203000-x 天，以时间为相等关系可求解. 解答设现在每天生产x 个零件，计划每天生产)20(-x 个零件，依题意，得 2030004000-=x x 去分母，整理得800001000=x∴ 80=x经检验 80=x 是原方程的解.答：现在平均每天做80个零件.说明总工作量不是1的工程问题已知总工作量，求工作效率，通常以时间为等量关系. 工作时间工作效率工作总量=. 例5．分析一甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自C 到B 所行的时间与乙自A 到D 再回到A 所用的时间相同. 如图示：解答一设甲的速度是每小时x 千米，乙的速度是每小时y 千米，又设CD 的距离是s 千米，依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y s xy x x s )1(26,1 两式相除，消去x 、y ，得3=s .分析二甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自D 到B 所行的时间与乙自D 到A 所行的时间相同.解答二设甲的速度是每小时x 千米，乙的速度是每小时y 千米，又设CD 的距离是s 千米，于是得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.16,1y s x s y s x s 两式相除，消去x 、y ，得3=s .分析三由于甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自D 到B 所行的时间与乙自D 到A 所行的时间相同. 而DA AD = 则DB CD =即D 为CB 中点.解答三设CD 的距离s ，于是得.712=+s 解得3=s .说明为列方程起见，第一、二种解法增设了甲乙二人的速度，它们在求解过程中自行消失. 而在列方程过程中降低了思维难度，为列方程起到很好的辅助作用. 第三种解法在对问题深刻分析的基础上，得到D 是CB 中点的结论，从而列出了一个很简单的方程. 说明审题时，深入分析题意很重要，可得到最佳的解题方略. 同时，图示法、列表法等在分析总是过程中的直观作用，是分析问题的有效工具.例6．分析本题着重从三步考虑：①依题意，确定一个有意义的数字：如5，当作所列应用题方程的一个根，建立一个题设要求的等式：如256510-=. ②把上述等式中的5用未知数x 代替变等式方程为分式方程2610-=x x ③根据方程编出应用题甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用的时间与乙做6个所用时间相等. 求，甲、乙每小时各做多少个？解：设甲每小时做x 个，则乙每小时做)2(-x 个根据题意，得 2610-=x x 整理，得 x x 62010=- ∴ 5=x经检验5=x 是方程的根.答：甲每小时做5件，乙每小时做3件.。

华东师大版八年级下册数学教案设计：16.3 可化为一元一次方程的分式方程(2)

16.3 可化为一元一次方程的分式方程(2)教学目标【知识与技能】1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤；3.会列分式方程解决简单的应用题，提高学生分析问题、解决问题的能力和应用意识.【过程与方法】经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．【情感态度】通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，加深学生对生活的热爱．【教学重点】列分式方程解应用题【教学难点】对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视教学过程一、情境导入,初步认识1.解分式方程的一般步骤;2.解方程;3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？【教学说明】回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题.二、思考探究，获取新知某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每214111x x x +-=--分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分能输入2x 名学生的成绩，根据题意得. 解得：x=11.经检验，x=11是原方程的解.并且x=11，2x=2×11=22，符合题意.答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.【教学说明】引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审—设—列—解—验—答.三、运用新知，深化理解1.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？解：设原定是x 人，由题意可知：解得：x=15经检验：x=15是原分式方程的根.答：原定的人数是15人.2.在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队单独做2天后，再由乙工程队单独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？解：设甲工程队单独完成任务需x 天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天，依题意得． 264026402602x x=-⨯30048042x x-=2312x x +=+化为整式方程得x 2-3x-4=0解得x=-1或x=4．检验：当x=4和x=-1时，x(x+2)≠0，x=4和x=-1都是原分式方程的解．但x=-1不符合实际意义，故x=-1舍去；∴乙单独完成任务需要x+2=6（天）．答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．3.去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？解法1：设第一天捐款x 人，则第二天捐款（x+50）人，由题意列方程．解得x=200．检验：当x=200时，x （x+50）≠0，∴x=200是原方程的解．两天捐款人数x+（x+50）=450，人均捐款=24（元）．解法2：设人均捐款x 元，由题意列方程．答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元．4.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？解：（1）设乙队单独完成需x 天根据题意，得4800600050x x =+4800x6000480050x x -=解这个方程，得x=90经检验，x=90是原方程的解.∴乙队单独完成需90天.（2）设甲、乙合作完成需y 天，则有解得y=36（天）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）.乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）=198（万元）答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．5.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得：，解这个方程为x=60，经检验，x=60是所列方程的根，答：前一小时的速度为60km/小时．【教学说明】使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．四、师生互动，课堂小结列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； ()111202416060x ⨯++⨯=()1116090y +=()180180211.53x x x --+=（5）写出答案（要有单位）.课后作业1.布置作业:教材“习题16.3”中第2、3题.2.完成本课时对应练习.教学反思应用题历来是个“老大难”，学生痛苦，老师无奈，怎么办？降低门槛，找准认识的生长点是关键，引导学生喜欢应用题是关键.。

华东师大版八年级数学下册 16.3可化为一元一次方程的分式方程(2)

17.3可化为一元一次方程的分式方程（2）教学目标1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

2、通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。

教学重点与难点重点：让学生学习审明题意设未知数，列分式方程。

难点：在不同的实际问题中，设元列分式方程教学过程一、复习练习解下列方程：（1）34211x x x x -+=-++ （2）6272332+=++x x 二、列方程解应用题学生回忆：列方程解应用题的一般步骤：这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。

这节课，我们将学习列分式方程解应用题。

2、例1某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？解设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分能输入2x 名学生的成绩，根据题意得 x 22640＝6022640⨯-x .解得x ＝11.经检验，x ＝11是原方程的解.并且x ＝11，2x ＝2×11＝22，符合题意. 答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩. 强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一。

2、概括：列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。

3、练习：求解本章导图中的问题.4、例2 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。

解析：设大车的速度为2x 千米/时，小车的速度为5x 千米/时，根据题意得 x 2135－x 5135=5-21解之得x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时。

华师大版八年级下册数学教案：16.3 可化为一元一次方程的分式方程

16.3 可化为一元一次方程的分式方程课题可化为一元一次方程的分式方程课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能[来源:学_科_网]使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2.过程与方法使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.3.情感、态度与价值观使学生领会“转化”的思想方法,认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解;培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力.教学重难点重点:可化为一元一次方程的分式方程的解法.难点:检验分式方程解的原因.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么是方程?2.什么是一元一次方程?3.解一元一次方程的一般步骤是什么?我们今天将学习另外一种方程——分式方程.探索新知合作探究自学指导前面我们已经学习了哪些方程?是怎样的方程?如何求解?(1)前面我们已经学过了方程.(2)一元一次方程是方程.(3)一元一次方程解法步骤是:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.练习:解方程-=1.[来源:学&科&网Z&X&X&K]合作探究1.【例1】一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系,得到方程=.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程与整式方程的区别在哪里?分式方程又将如何解?【例2】解方程:=. ①去分母:方程两边同乘以最简公分母(20+v)(20-v),得100(20-v)=60(20+v),②解得v=5.观察方程①、②中v的取值范围相同吗?①由于是分式方程v≠±20,而②是整式方程v可取任何实数.这说明,对于方程①来说,必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根,使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0,也就是说,使变形时所乘的整式的值为0,它就不适合原方程,即是原分式方程的增根.因此,解分式方程必须验根.续表探索新知合作探究[来源:学+科+网]3.如何验根:【例3】解方程:=.解:去分母,在方程两边同乘最简公分母(x-5)(x+5),得整式方程x+5=10,解得x=5,将x=5代入原方程的最简公分母检验,发现这时分母x-5和x2-25的值都是0,相应的分式无意义.因此,x=5虽是整式方程的解,但不是原分式方程的解.实际上,这个方程无解.教师指导1.归纳小结:(1)分式方程:方程中含有分式,并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程有两个重要特征:a.必须是方程;b.分母中必须含有未知数. (2)解分式方程的思路:将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.[来源:学科网](3)验根:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.说明:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫原方程的增根,分式方程的增根,它满足于去分母后所得的整式方程,不满足原分式方程.2.方法规律:解分式方程的一般步骤:当堂训练1.如果关于x的分式方程=1-有增根,则m的值为( )(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)32.关于x的方程=1的解是正数,则a的取值范围是.3.解方程:(1)=;(2)=-板书设计分式方程及其解法1.分式方程的概念2.分式方程的解法3.产生增根的条件教学反思课题可化为一元一次方程的分式方程课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,并进行方法总结.2.过程与方法通过日常生活中的情境创设,经历探索分式方程应用的过程,提高学生运用方程思想解决问题的能力和思维水平.3.情感、态度与价值观在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,引导学生努力寻找解决问题的方法,体会数学的应用价值.教学重难点重点:实际生活中分式方程应用题数量关系的分析.难点:将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结.教学活动设计二次设计课堂导入1.引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤.学生积极思考,并交流、讨论总结出:第一步,审清题意;第二步,根据题意设未知数;第三步,列式子并找出等量关系,建立方程;第四步,列方程,并解出答案;第五步,检查方程的解是否符合题意;最后作答.2.提问:分式方程的应用题应该怎么解呢?探索新知合作探究自学指导问题:自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后,它就成了动物界的体育明星,可是偏偏有一只蚂蚁不服气,于是它给乌龟下了一封挑战书.比赛结束后,蚂蚁并没有取胜,已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍,提前1分钟跑到终点,请你算算它们各自的速度.合作探究【例1】某列车现平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s 千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?【例2】某校招生录取时,为了防止数据输入出错,2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍,然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩?探索新知合作探究教师指导1.归纳小结:列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审:分析题意,找出等量关系.(2)设:选择恰当的未知数,注意单位.(3)列:根据等量关系正确列出方程.(4)解:认真仔细.(5)验:检验.(6)答:不要忘记写.2.方法规律:常见的应用问题:(1)行程问题:路程=速度×时间以及它的两个变式.(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题:工作量=工时×工效以及它的两个变式.(4)顺逆问题:顺速=静速+水速;逆速=静速-水速.(5)利润问题:批发成本=批发数量×批发价;批发数量=批发成本÷批发价;打折销售价=定价×折数;销售利润=销售收入一批发成本;每本销售利润=定价-批发价;每本打折销售利润=打折销售价-批发价,利润率=利润÷进价.当堂训练1.几名同学包租一辆面包车去旅游,面包车的租价为180元,出发前,又增加两名同学,结果每个同学比原来少分摊3元车费,若设原来参加旅游的学生有x人,则所列方程为( )(A)-=3 (B)-=3(C)-=3(D)-=32.抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少,单独做则超期3个小时才能完成.现甲、乙两队合作2个小时后,甲队又有新任务,余下的由乙队单独做,刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时?板书设计分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤:第一步,审清题意第二步,根据题意设未知数第三步,根据题目中的数量关系列出式子,并找准等量关系,列出方程第四步,解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意.最后作答.教学反思。

吉林省八年级数学下册16分式16.3可化为一元一次方程的分式方程2教学设计新版华东师大版

吉林省八年级数学下册16分式16.3可化为一元一次方程的分式方程2教学设计新版华东师大版一. 教材分析本节课的主题是“可化为一元一次方程的分式方程2”，是吉林省八年级数学下册16分式的进一步拓展。

教材以实际问题为背景，引导学生理解和掌握分式方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

通过本节课的学习，学生能掌握分式方程的解法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了分式的基本概念和性质，对分式的运算也有了一定的了解。

但是，对于分式方程的解法，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，引导学生理解和掌握分式方程的解法。

三. 教学目标1.理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法。

2.能够运用分式方程解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的概念和解法。

2.如何将分式方程转化为一元一次方程。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实际问题，引导学生理解和掌握分式方程的解法。

2.小组讨论：引导学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

3.练习巩固：通过大量的练习题，巩固学生对分式方程的理解和掌握。

六. 教学准备1.教材和教学参考书。

2.课件和教学素材。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生理解和掌握分式方程的概念。

例如，假设有一辆汽车，以60公里/小时的速度行驶，行驶了全程的1/3后，剩下的路程以80公里/小时的速度行驶。

问，汽车行驶全程需要多少时间？2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现分式方程的解法。

引导学生理解，将分式方程转化为一元一次方程的过程。

例如，对于分式方程1/x + 1/y = 1，可以转化为x + y = xy。

3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试解决一些简单的分式方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过大量的练习题，巩固学生对分式方程的理解和掌握。

华东师大版八年级下册数学可化为一元一次方程的分式方程2

x 2a 2 有 1、关于x的方程 x3 x3 增根，则增根是（）
2、若关于x的方程
有增根，则增根是（
3 6 xm x x 1 x( x 1)
）
x 2a 2 有 1、关于x的方程 x3 x3 增根，则增根是（）
2、若关于x的方程
3 6 xm x x 1 x( x 1)
课前练习：
2 3 6 (1) = 2 1 + x 1- x x - 1
课前练习： x2 16 x2 (2) 2 . x2 x 4 x2
m m 2 与 (3)当m为何值时， m 1 互为相反数 m5
课堂练习：
课堂练习：
m m 2 与 (3)当m为何值时， m 1 互为相反数 m5
有增根，则增根是（
）
3 6 x+m 3、当m=_____时,----+-----=-------有增根. x x-1 x(x-1)
2、已知关于x的分式方程正数，求a的取值范围
a2 1 的解是非 x 1
2x a 1 的解为变式：若关于x的分式方程 x 1
正数，求字母a的取值范围__________
16.3可化为一元一次方程的分式方程 2
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；
（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；
（3）最后不要忘记验根。
课前练习：
2 3 6 (1) = 2 1 + x 1- x x - 1
x2 16 x2 (2) 2 . x2 x 4 x2
3、当m为何值时，关于x的方程：
m x x 1 ( x 1)(x 2) x 1 x 2

八年级数学(华师大版新)下册教案：16.3可以化为一元一次方程的分式方程

16．3．1可以化为一元一次方程的分式方程(一)一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.二、重点、难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.三、例、习题的意图分析1． P31思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.2．P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.3． P33思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P33的归纳出检验增根的方法.4． P34讨论提出P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？5．教材P38习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根.四、课堂引入1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x 2．提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程vv -=+206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.五、例题讲解（P34）例1.解方程[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.（P34）例2.解方程[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.六、随堂练习解方程 (1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）114112=---+x x x （4）22122=-+-x x x x 七、课后练习1．解方程 (1)01152=+-+x x (2) xx x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x 2．X 为何值时，代数式x x x x 231392---++的值等于2？八、答案：六、（1）x=18 （2）原方程无解（3）x=1 （4）x=54 七、1． (1) x=3 (2) x=3 （3）原方程无解（4）x=1 2. x=23课后反思：16．3.2可化为一元一次方程的分式方程(二)一、教学目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.二、重点、难点1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.三、例、习题的意图分析本节的P35例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.P36例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v 千米/时，提速前行驶的路程为s 千米，完成. 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v 、s 和未知数x ，表示提速前列车行驶s 千米所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x 千米/时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间.这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.四、例题讲解P35例3分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1P36例4分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=时间路程.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间五、随堂练习1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.六、课后练习1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快51 ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。

华东师大版八年级下册17.3 可化为一元一次方程的分式方程(第3课时)02

某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨三分之一，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．
解 : 设该市去年居民用水价格为每立方米x元, 1 则今年的水价为每立方米1 x元, 3 由题意得 30 15 5 x 1 1 x 3 解这个方程,得x 1.5 经检验x 1.5是这个方程的根. 1 1.5 (1 ) 2 3 答 : 该市居民用水的价格为每立方米2元.
解 : 设第一年每间房屋租金为X元, 第二年每间租金为( X 500 )元, 96000 102000 由题意得 x x 500 x 8000 经检验x 8000是原方程的根 x 8000 8500 答 : 第一年每间房屋租金为 8000 元, 第二年则为8500 元.
农机厂到距15千米的某地检修农机。一部分人骑自行车先走，过了40分，其余的人乘汽车出发。结果他们同时到达。若汽车的速度是自行车的3倍，求两种车的速度。 2 相等关系：骑车的时间— =乘车的时间
3
自行车路程=乘车路程；
骑车速度的3倍=乘车速度
v
自行车
s 15
t
15 x 15 3x
解：设自行车的速度是x千米/时，汽车的速度为3 x千米/时。依题意得:
甲
v
8x 7x
s
28 28
t
28 8x
28 28 1 7 x 8x 4
乙
28 7x
三、小结
列分式方程解应用题与一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意，原方程的增根和不符合题意的根都应舍去。

华东师大版八年级数学下册 16.3 可化为一元一次方程的分式方程的解法

16.3可化为一元一次方程的分式方程的解法例1．解下列方程：（1）11035x x --=+；（2）51144x x x -+=--．分析：去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根.解：（1）方程两边同乘以5(3)x +，得5(1)(3)0x x --+=．即2x =．检验：把2x =代入方程左边，得11211035235x x ---=-=++．∵左边＝右边，∴2x =是原方程的解．（2）方程两边同乘以4x -，得451x x -+-=．∴5x =．检验：把5x =代入方程左边，得555111454x x +-+=+=--；把5x =代入方程右边，得111454x ==--． ∵左边=右边，∴5x =是原方程的解．点评：1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母；2．所得结果是否为原方程的解，需要检验．例2．解方程：（1）34211x x x x -+=-++ ；（2）22162242x x x x x -+-=+-- ．解：（1）方程两边同乘以1x +，得342(1)x x x -=+-+，32x x -=-，01x =g ．因为任何有理数与0相乘，积都不可能是1，所以此方程无解，即原方程也无解．（2）方程两边同乘以24x -，得22(2)16(2)x x --=+，22441644x x x x -+-=++，816x =，2x =∴．检验：把2x = 代入方程左边，得22162216242244x x x ---=-+-+-．使分母为零，分式无意义．所以2不是原方程的根，原方程无根．点评：1．把分式方程转化成整式方程后，整式方程可能有解，可能无解．如（1）题．若无解，则原分式方程必无解；既使整式方程有解，将解代到分式方程中去检验，也可能使分式方程无解．如（2）题．由此可见验根的重要性与必要性．2．使分式方程无解的原因是整式方程的解使分式方程中的分母为零．显然增根的产生是由于去分母引起的，因此检验的方法可简化成直接将整式方程的解代入最简公分母即可．例3．解方程2232511877x x x x x x x----=---+-．分析：先将分母因式分解，再找最简公分母．方程变形为232511(1)(7)7x x x x x x x ----=-----．方程两边都乘以(1)(7)x x --，得2(1)(7)(3)(7)2(5)(1)x x x x x x x -----=----．去括号，整理得47x =-，∴74x =-．检验：把74x =-代入(1)(7)0x x --≠， ∴74x =-是原方程的解．点评：此解法在去分母的过程中使未知数出现了二次的情况，虽然最终消去了二次项，但运算过程略显复杂．若在去分母之前，先减少分子中未知数的个数，把每个分式化简，将避免二次项的出现．例4 解关于x 的方程：2211m n m n x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22()m n ≠. 分析：对于含字母系数的方程可转化为含字母系数的一元一次方程求解.解：方程两边同乘以x ，得2323m x m n x n -=- ，移项整理，得2233()m n x m n -=-． ∵22m n ≠， ∴方程两边同除以22m n -，得3322m n x m n -=- 即22m mn n x m n ++=+．经检验：22m mn n x m n++=+是原方程的解．点评：对于字母系数思路与数字系数相同，同样要验根.例5 k 为何值时，方程433x k x x -=--会产生增根？分析：此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数k ，k 的取值决定着未知数x 的值，故可用k 的代数式表示x ．结合增根产生是最简公分母30x -=时产生的，可建立新的方程求解．解：去分母，得4(3)x x k --=， ∴123k x -=．当30x -=即3x =时，方程会产生增根，∴1233k -=，∴3k =．点评：利用待定系数法求解，将待定系数作为已知数，求出未知数（用代数式表示），由最简公分母为零，求出未知数（增根）的值，再建立新方程求解.例6 一小船由A 港到B 港顺流需行6小时，由B 港到A 港逆流需行8小时．一天，小船早晨6点由A 港出发顺流到B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A 港漂流到B 港要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？分析：本题的关键是：（1）弄清顺流速度、逆流速度与船在静水中速度和水速的关系；（2）弄清问题中的过程和找出所包含的相等关系．解：（1）设小船由A 港漂流到B 港用x 小时，则水速为1x．由静水速度＝顺流速度－水速＝逆流速度＋水速，∴111168x x-=+，解得48x =（小时）．经检验48x =是原方程的解．答：小船按水流速度由A 港漂流到B 港要48小时．（2）设救生圈在y 点钟落入水中，由问题（1）可知水流速度为每小时148．小船顺流由A 港到B 港用6小时，逆流走1小时，同时救生圈又顺流向前漂了1小时，依题意有：()1111121648848y ⎛⎫⎛⎫--=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，解得：11y =．答：救生圈在中午11点落水．点评：列方程解应用题注意分析题目中的数量，分清哪些是未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，然后从中找出题目中需要的.例7 抗洪抢险，需要在一定时间内筑起拦洪大坝．甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时？分析：这是工程问题，要涉及到的是工作效率、工作时间和总工作量．若把总工作量看成1，设出甲、乙队各需的时间，可得到各自的工作效率，于是甲、乙的工作量可求出．解：设单独完成全部工作甲需x 小时，乙需(3)x +小时．依题意，得222133x x x x -++=++．解之得6x =．经检验6x =是原方程的解．∴39x +=．答：甲、乙两队单独完成全部工程各需要6小时和9小时．点评：实际上总工作量可以设成m ，但在运算过程中可以消去，也就是说，总工作量是个无关的量，因此一般把总工作量看成1．。