全等三角形的数学活动课的设计与实践反思(2013.1中学数学教学参考)

“全等三角形”数学活动课的设计与实践反思刘永东（广东省广州市天河区教育局教研室）王艳平（新疆克拉玛依市第十中学）随着数学活动经验被确立为义务教育阶段学生数学学习的基本目标之一，数学活动经验也就成为数学课程与教学的核心概念之一，被赋予了更加丰富的内涵. 而数学活动是数学活动经验的源泉，本文借助‘全等三角形’知识开展数学活动课的教学实践及其反思，以就教于同行.1 问题背景全等在中学数学教材具有重要的基础地位和作用．全等的显性表现在平面几何部分（几乎处处可见），在其他内容中是作为基础应用隐性表现的，全等在立体几何、解析几何、三角学习中均是基础知识．而全等三角形是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，包括分析条件与结论的关系（分析法），书写证明格式（综合法）两方面．由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素的相等，所以这部分内容是平面几何中的四边形、圆、相似等诸多内容的基础．人们对于全等的认识，经历了由静止到运动的发展过程，例如让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论，这种把几何变换与全等联系起来，可用运动眼光看全等问题．正是基于这样的思考，进行如下的教学尝试. 以下教学由天河教研室刘永东老师负责设计，由新疆王艳平老师和广州市天河中学易丽萍老师在不同时间段分别执教，在反馈的基础上修改后形成的设计。

2 教学设计2.1 知识回顾活动设计要可操作化，必须了解学生数学相关知识和已有活动经验基础，可以说客观性的数学知识是开展活动的基础，在课堂上需要回顾，又便于它在活动中得到应用提升． 活动一:以题点知，回顾应用题1：如图1，△ABC ≌△DEF ，顶点A 与D ，B 与E ，C 与F 能互相重合，请写出其中的一组相等的边和一组相等的角： ， ．F E D C B A F E D C B AFE D C B A题2：如图2，已知∠CAB =∠DEF ，∠C =∠F ，要使△ABC ≌△EDF ，则需增加的一组相等的边可以是：（1） ；（应用全等判定方法 ）（2） ；（应用全等判定方法 ）（3） ；（应用全等判定方法 ）．想一想，还有其他相等的边吗？题3：如图3，已知AC ∥EF ，且AC=EF ，若AB=ED ,则BC=DF 且BC ∥DF 吗？为什么？（思考说理，不要求书写证明）【教学说明】：以题目训练点醒学生知识点的方式，在应用中回顾．题目设置采用一个知识点或两个知识点简单的综合，操作方式是“做”在“讲”之前，教师简要归纳，适时图2 图3图1呈现重点知识的主线，以明晰知识结构．三组图形体现平移变换，为教师引导设问做铺垫．2.2引导组织教师作为组织者和引导者，围绕相关概念或目标提出学生可操作、可探索的活动，需要设计出能够激活学生内在兴趣的问题，并通过分析、讲解、观察等让学生明确题意和学习任务，这也是一个学习交流和渗透解决问题策略的过程．活动二：以题引问，明确操作选用两个全等的三角形进行拼图，可编写得到例如以下的数学题目，你能明白吗？计，以明确活动操作方式，做好操作示范，让学生了解下一步活动意图．为节约时间，设计题目后不要求证明，可作课后作业．2.3咨询点评数学活动具备两个特性：主体参与性和目标指向性．前者影响活动的过程和结果，后者制约着活动的开展．学生按照预案，具体通过实验操作、自主命题、观察分享、合作学习以及逻辑推理等实际操作环节，真实解决问题．而通过有明确任务分工的小组活动，在交流过程中进行讨论协商，信息得到了聚合、整理和加工，体现协作的团队学习理念．此阶段，教师是咨询者或点评者，发现和帮助学生解决一些存在的学习问题，例如不知道如何从数学角度进行编题等．活动三：自主学习，合作探究请选择一对全等的三角形（锐角、直角、钝角），进行拼图，然后画出草图，根据图形设计一道题目，并给同伴写出题目的解答过程（如表）．，发展学生的几何直观能力和发现问题及其解决能力．在操作上，学生独立拼图和设计题目后，一对一互换题目证明，教师从组长的编题中选择旋转、翻折的拼图或有特色的图形展示，全班证明，教师总结学生拼图的可能性（平移、旋转、翻折）并做综合点评．2.4概括提升在某种意义上，若把学生参与数学活动分为行为操作和思维操作，则前述环节倾向于前者，而课的核心还需在学生获得数学思维的经验和综合运用数学知识进行问题解决的经验上体现．由此，从一个简单的旋转图形入手，逐步过渡到在稍微复杂的背景中去应用全等三角形的知识，让学生在典例的学习与分析中，分享解题思路和规律，领悟数学思想．而通过师生对题型特征、解题方法、解题步骤（含易错点）等几方面的概括，给学生一种对知识较高理解水平的学习提升．活动四：典例分析，学习共享例：如图5，已知△ABC 和△ECD 都是等边三角形（三个边都相等，三个角都是60°），问AD=BE 吗？试说明．变式：如图6是城市部分街道示意图，△ABC 和△DCE 是等边三角形，A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 是公共汽车停靠点，甲车从B 站出发，按照B ,C ,D ,G ,H ,的顺序到达A 站，乙车从A 站出发，按照A ,B ,F ,H ,E 的顺序到达D 站.如果甲车、乙车同时分别从B ，A 站出发，在各站耽误时间相同，两车速度也一样，哪一辆车先到达指定站？为什么？【教学说明】：例题先做后教，变式题则先教后学．例题说明通过基本图形的组合，能形成新图形，而解决新图形的问题，又可以通过分解得到基本图形，从而解决新问题．若只有较少教学时间，则变式重在问题转化上以及数学思想习得上的教，学可留在课后．这种基于学生成果的图形复杂化设计，重在明确如何在复杂图形中抽象出熟知的基本图形．2.5课外延续通过课堂教学，目标是否达成，需以一定的习题进行检测．而习题设置需体现针对性的重点和有效性的目标落实，以减轻学生学业课外负担．同时设置1-2道体现数学思想方法的拓展问题探究，为学有余力学生提供一个深入数学活动的机会，在“做”中积累更多的数学活动经验以及“悟”数学思想．1． 如图，点F 在AC 上，AC ⊥BE 于点C ，已知△ABC ≌△EFC ，且 BE =8，CF =3， ∠E =30°，求AC 的长及∠B 的度数．2． 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，D 是AE 上任意一点，（1）求证：AB =AC ；（2） 求证：DB =DC.（问题探究）3.在例题变式中，若甲乙两车的路线顺序发生改变，即甲车从A 站出发，按照A,H,G ,D,E,C,F 的顺序到达F 站，乙车从B 站出发，按照F ,H,E,D,C,G 的顺序到达G 站.而其他条件不变，则哪一辆车先到达指定站？为什么？4.小明说：“如果将一大一小两个等边三角形放在一起，使它们有一个公共顶点，如图1，记作△ABC 和△ADE ，当△ADE 绕点A 旋转时，能与△ABC 构成不同的图形（如图2、图3、图4）.在各组图形中分别连结BD 和CE ，都能找到全等三角形.”请在各图中分别找出图6C第1题全等三角形，并说明三角形全等的理由．3实践反思基础知识与技能需要通过经验化为学生的素养，而经验的获得与发展需要学生参与活动并从中掌握新的知识技能以及获得相关能力和方法态度. 数学活动经验的积累需要通过一定的教学手段予以提升，下面结合课例实践反思．3.1 操作活动与思维活动相结合有项调查发现：近半数教师每学期只开展一至两次数学活动专题，近三分之一教师不开展，原因在于考试和进度压力．深究根源，在于教材配套的数学活动内容的设置不当和相关素材资源的缺乏．内容不能方便教师合理开发，不能与考试相关的数学知识技能紧密结合起来，那么，什么样的条件才能促使师生“活动”起来？本节课在内容上，通过不同三角形的变换得到不同的题目，让学生在熟悉的情境中（教材中出现多次的图形）增添新特征，材料呈现新颖，促进学生内在的数学思维活动．同时，通过以题点知的回顾和教师的操作示范达到了起点低的前提，以提高学生活动参与率和获得成功体验，保证学生对活动情境的外在兴趣．内外在的紧密结合保证了活动体现数学的本质，因此教师愿意花时间，学生也乐意学．此外，学生在拼图操作活动中侧重获得行为经验，在命数学题的探究活动中侧重于思维操作的经验，在合作交流中侧重方法性经验，不同环节获得不同经验内容，促进从“经历”转向“经验”，并在教师概括过程中促使经验由浅入深转化．由此，有效的数学活动是以有关操作活动为基础，以获得数学知识技能和数学思维或感受数学思想的过程．3.2 发现数学与技能训练相结合 弗赖登塔尔指出数学教学应经历一个发现数学的过程，但在有限的时间里，到底是让学生发现数学还是更多时间的训练学生数学技能，是一个值得深思的问题．可能有教师认为没有必要组织小组进行命题发现以及问题解决，而以一个基本图形的不断变化，变式以训练学生的技能，或许这样做是想利用时间更直接的达到更有效的技能获得和思维训练.为此，笔者用同一设计在两个不同阶段进行了教学尝试，一是在学完全等三角形判定之后开展，二是在全章学完之后开展，从观察学生的学习过程以及学生和执教教师自身的满意感受中发现，设计实施无疑是让学生悟到了一些数学发现的“再创造过程”，这也许会多花点时间，但却是值得的．在现实教学中，确实更多的教师更愿意在技能训练中花时间，可数学活动完全可以把技能训练涵盖其中，因为思维上去了，学生的想象丰富了，运用也就灵活了，技能必然随之形成．因此，教师需尽可能提供多样化的适合学情的活动，在活动中注意开展方式，在细节上进行策略改进，在有效层面上下功夫，促进学生“玩中学，做中学，思中学”，从而实现个体思维在活动中都以自己的方式建构对数学理解的效果．例如， D C B A E （图1） D C E B A （图2） 第4题 E CD B A （图4） DE C B A （图3）思考各环节时间如何更为紧凑，五分钟的拼、画、命，三分钟的交换证明，三分钟的组内交流等，而十分钟的组间交流展示证明则只需选择两个较为特色的并与典例相关的题目展示即可．3.3 活动方式与教师角色相结合学生在数学活动的各环节中会有不同的体验、感受和发现，教师需要在全过程中不断调整自己在活动中的角色．在准备阶段，教师是设计者；在实施阶段，教师则是组织者、咨询点评者；在评价阶段，教师则是问题的发现者．本课实施采用“结对讨论”（think-pair-share)的小组合作方式，分为三个步骤：个人独立拼图命题；结对讨论，交流证明；组内讨论，交换意见．由教师选择各小组中的特色命题进行展示，供全班进行证明．为使该环节取得“一加一大于二”的效果，开展前教师做好明确的操作示范，开展中明确了个人与小组的责任，指导小组成员之间进行直接互动和交流，最重要的是引导学生进行深层次的学习．学生的命题来源于自身的拼图操作，若教师给予及时咨询或点评，对学生的命题和后续活动会有帮助，也对各小组中富有特色的拼图及命题展示埋下伏笔；而学生对自己或他人命题成果充满期待，必然希望通过竞争获得最优效果，若教师给予及时命题指导，则学生能达到深层次的学习．又如借助活动进行总结上升到思想方法的高度时，仅靠学生个人的努力是不够的，还需依靠教师及时引导和组织学生反思总结，从中发现问题，促进学生缺乏一定条理性的、零散的个人经验的进一步明晰和概括．这样在每个学生个性化的学习方式中，合理运用教师角色，促进学生对学习任务感兴趣或认为有意义的学习，从而真正投到学习中．4. 结束语数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识．充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础，数学活动不应仅在章完成之后开展，应随时根据教学实际，从教材出发，合理运用和开发符合学生已有经验的数学内容，为学生搭建一个参与数学活动的平台．参考文献：[1]徐斌艳. 面向基本数学活动经验的教学设计[J]. 中学数学月刊(苏州)，2011,(2):1～4.[2]王林. 我国目前数学活动经验研究综述[J].课程·教材·教法,2011,(6):43～49.[3]叶新和.试谈数学活动的思维深度[J].数学通报,2011,(1):19～22.[4]仲秀英.促进学生积累数学活动经验的教学策略[J].数学教育学报，2010，(5)：36-39.。