多元线性回归
多元线性回归
多元线性回归
1、多元线性回归模型
假定被解释变量与多个解释变量之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。即
(1.1)
其中为被解释变量，为个解释变量，为个未知参数，为随机误差项。
被解释变量的期望值与解释变量的线性方程为：
(1.2)
称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。
对于组观测值，其方程组形式为：
(1.3)
即
其矩阵形式为
=+
即
(1.4)
其中
为被解释变量的观测值向量；为解释变量的观
测值矩阵；为总体回归参数向量；为随机误差项向量。
总体回归方程表示为：
(1.5)
多元线性回归模型包含多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量发生作用，若要考察其中一个解释变量对的影响就必须假设其它解释变量保持不变来进行分析。因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中一个解释变量对因变量的均值的影响。
由于参数都是未知的,可以利用样本观测值对它们进行估计。若计算得到的参数估计值为，用参数估计值替代总体回归函数的未知参数，则得多元线性样本回归方程：
(1.6)
其中为参数估计值，为的样本回归值或样本拟合值、样本估计值。
其矩阵表达形式为:
(1.7)
其中为被解释变量样本观测值向量的阶拟合值列向量；
为解释变量的阶样本观测矩阵；为未知参数向量的阶估计值列向量。
样本回归方程得到的被解释变量估计值与实际观测值之间的偏差称为残差。
(1.8)
2、多元线性回归模型的假定
与一元线性回归模型相同，多元线性回归模型利用普通最小二乘法(OLS)对参数进行估计时，有如下假定：
假定1零均值假定：，即
多元线性回归方法
多元线性回归方法
多元线性回归是一种统计模型，用于建立多个自变量和一个因变量之间的关系。它是简单线性回归在多个自变量情况下的扩展。
多元线性回归的数学模型为：
Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βp*Xp + ε
其中，Y是因变量，X1, X2, ..., Xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是回归系数，ε是随机误差。
多元线性回归的求解通常使用最小二乘法，通过最小化误差平方和的方式来估计回归系数。
多元线性回归的步骤包括：
1. 收集数据：收集因变量和自变量的实际观测值。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等。
3. 模型选择：根据实际情况选择合适的自变量。
4. 估计回归系数：使用最小二乘法估计回归系数。
5. 模型拟合：利用估计的回归系数构建多元线性回归模型。
6. 模型评估：根据一些统计指标，如R方值、调整R方值、F统计量等，来评估模型的拟合效果。
7. 模型预测：利用构建的回归模型进行新样本的预测。
多元线性回归在实际中广泛应用于预测和建模，可以用于探究自变量对因变量的影响程度以及自变量之间的相互关系。
多元线性回归分析
简介
多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设
在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。这些假设包括。
1）线性。自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。4）同质性。残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其
他变量关联。
7）没有异常值。数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。多重线性回归分析如何工作？
多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
多元线性回归的原理和应用
多元线性回归的原理和应用
1. 原理介绍
多元线性回归是一种统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。它是线性回归分析的一种拓展，可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归的基本原理可以通过以下公式表示：
**Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βn*Xn + ε**
其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示自变量的系数，ε表示误差项。
多元线性回归通过最小二乘法来估计自变量的系数，使得预测值与实际观测值之间的平方误差最小化。通过最小二乘法的计算，可以得到自变量的系数估计值，进而可以进行预测和解释因变量的变化。
2. 应用领域
多元线性回归在各个领域都有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：
2.1 经济学
多元线性回归在经济学中是一个重要的工具，可以用于研究不同变量对经济发展的影响。例如，可以通过多元线性回归来分析GDP增长率与投资、消费、出口等变量之间的关系，并进一步预测未来的经济发展趋势。
2.2 市场营销
在市场营销领域，多元线性回归可以用于研究市场需求的影响因素。通过分析不同的市场变量（如产品价格、广告投入、竞争对手的行为等），可以预测市场需求的变化，并制定相应的营销策略。
2.3 医学研究
多元线性回归在医学研究中也有广泛的应用。例如，可以使用多元线性回归来研究不同的遗传、环境和生活方式因素对人体健康的影响。通过分析这些因素，可以预测患病风险并制定相应的预防措施。
2.4 社会科学
多元线性回归在社会科学领域中被广泛应用，用于研究各种社会现象。例如，
多元线性回归
例：测量16名四岁男孩心脏纵径X1（CM）、心脏横径 X2（CM）和心象面积Y（CM2）三项指标，得如下数 据。试作象面积Y对心脏纵径X1、心脏横径X2多元线 性回归分析。 例：某科研协作组调查山西某煤矿2期高血压病患者40例， 资料如下表，试进行影响煤矿工人2期高血压病病人收 缩压的多元线性回归分析。
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型的参数估计常用最大似然法，最大似 然法的基本思想是先建立似然函数或对数似然函数， 似然函数或对数似然函数达到极大时参数的取值，即 为参数的最大似然估计值。其步骤为对对数似然函数 中的待估参数分别求一阶偏导数，令其为0得一方程组， 然后求解。由于似然函数的偏导数为非线性函数，参 数估计需用非线性方程组的数值法求解。常用的数值 法为Newton-Raphson法。不同研究的设计方案不同， 其似然函数的构造略有差别，故Logistic回归有非条件 Logistic回归与条件Logistic回归两种。
量重新构建新的方程。
标准化偏回归系数和确定系数 • 标准化偏回归系数：
在比较各自变量对应变量相对贡献大小时，由 于各自变量的单位不同，不能直接用偏回归系 数的大小作比较，须用标准化偏回归系数。
bj ´ = bj (sj / sy)
确定系数： 简记为R2，即回归平方和SS回归与总离均 差平方和SS总的比例。 R2 ＝ SS回归／ SS总 可用来定量评价在Y的总变异中，由P个 X变量建立的线性回归方程所能解释的比 例。
多元线性回归
公式
——多元线性回归模型 1.建立模型 以二元线性回归模型为例，二元线性回归模型如下： 类似的使用最小二乘法进行参数估计 ： 2.拟合优度指标 标准误差：对y值与模型估计值之间的离差的一种度量。其计算公式为： 3.置信范围 置信区间的公式为：置信区间= 其中，是自由度为的统计量数值表中的数值,是观察值的个数，是包括因变量在内的变量的个数。
估计方法
1.普通最小二乘法 普通最小二乘法(Ordinary Least Square, OLS)通过最小化误差的平方和寻找最佳函数。通过矩阵运算求 解系数矩阵： 2.广义最小二乘法 广义最小二乘法(Generalized Least Square)是普通最小二乘法的拓展，它允许在误差项存在异方差或自 相关，或二者皆有时获得有效的系数估计值。公式如右， 图1..广义最小二乘法公式 其中，Ω是残差项的协方差矩阵。
多元线性回归
回归分析中两个或两个以上的自变量
01 概念
03 估计方法
目录
02 公式 04 相关的软件
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相 联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合 实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。
多元线性回归 名词解释
多元线性回归名词解释
多元线性回归（MultipleLinearRegression）是一种统计学模型，主要用来分析自变量和因变量之间的关系，它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它是回归分析法的一种，是以线性方程拟合多个自变量和一个因变量之间的关系，是统计分析中用来探索和预测因变量之间自变量的变化情况的常用方法之一。例如，可以利用多元线性回归来分析教育水平，收入水平和住房价格之间的关系，以及社会状况下的因素对收入水平的影响等等。
多元线性回归有两种形式：一种是多元普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），另一种是多元最小平方根法（Root Mean Square）。多元普通最小二乘法是将解释变量和因变量之间的关系用线性函数来拟合，从而求解最优模型参数；而多元最小平方根法是将解释变量和因变量之间的关系用一条曲线来拟合，从而求解最优模型参数。
多元线性回归可以用于描述一个变量与多个自变量之间的关系，并可以用来预测一个变量的变化情况。它的优势在于可以计算出各自变量对因变量的相对贡献度，从而更有效地分析它们之间的关系，以及对复杂的数据更好地进行预测。
然而，多变量线性回归也存在一些缺点，其中最常见的是异方差假设，即解释变量和因变量之间观察值的方差相等。此外，多元线性回归也受到异常值的干扰，存在多重共线性现象，可能引发过拟合或
欠拟合等问题。因此，在使用多元线性回归时，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，这样才能更准确地预测和分析数据。
多元线性回归
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型的参数估计常用最大似然法，最大似 然法的基本思想是先建立似然函数或对数似然函数， 似然函数或对数似然函数达到极大时参数的取值，即 为参数的最大似然估计值。其步骤为对对数似然函数 中的待估参数分别求一阶偏导数，令其为0得一方程组， 然后求解。由于似然函数的偏导数为非线性函数，参 数估计需用非线性方程组的数值法求解。常用的数值 法为Newton-Raphson法。不同研究的设计方案不同， 其似然函数的构造略有差别，故Logistic回归有非条件 Logistic回归与条件Logistic回归两种。
内容安排
• • • • • • Logistic回归模型 模型参数的意义 Logistic回归模型的参数估计 Logistic回归方程的假设检验 Logistic回归模型中自变量的筛选 Logistic回归的应用
Logistic回归模型
• 先引入Logistic分布函数，表达式为： F（x) = ex / ( 1+ex )
一般地，设某事件D发生（D＝1）的概 率P依赖于多个自变量（x1,x2, …,xp)，且
P（D＝1）＝e Bo+B1X1+…+BpXp /(1+e Bo+B1X1+…+BpXp ) 或
Logit(P) ＝ Bo+B1X1+…+Bp X p 则称该事件发生的概率与变量间关系符合多元 Logistic回归或对数优势线性回归。
多元的线性回归
多元线性回归模型
一、多元线性回归模型的一般形式
设随机变量y 与一般变量p x x x ,,,21 的线性回归模型为：
εββββ+++++=p p x x x y 22110
写成矩阵形式为：εβ+=X y 其中：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21 ⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X 212222********* ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p ββββ 10 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n εεεε 2
1
二、多元线性回归模型的基本假定
1、解释变量p x x x ,,,21 是确定性变量，不是随机变量，且要求
n p X rank <+=1)(。这里的n p X rank <+=1)(表明设计矩阵X 中自变量列之间
不相关，样本容量的个数应大于解释变量的个数，X 是一满秩矩阵。
2、随机误差项具有0均值和等方差，即：⎪
⎩
⎪⎨⎧
⎩⎨⎧=≠====),,2,1,(,,0,),cov(,,2,1,0)(2n j i j i j i n i E j i i σεεε 0)(=i E ε，即假设观测值没有系统误差，随机误差i ε的平均值为0，随机误差i
ε的协方差为0表明随机误差项在不同的样本点之间是不相关的（在正态假定下即
为独立），不存在序列相关，并且具有相同的精度。
3、正态分布的假定条件为：⎩⎨
⎧=相互独立n i n
i N εεεσε ,,,,2,1),,0(~212，矩阵表示：),0(~2n I N σε,由该假定和多元正态分布的性质可知，随机变量y 服从n 维正态分布，回归模型的期望向量为：βX y E =)(；n I y 2)var(σ= 因此有),(~2n I X N y σβ 三、多元线性回归方程的解释
多元线性回归方法
0 -500 X Variable 2 0 10 20 30 40
当r越接近l时，表示X 1，X 2，⋯ ，Xp 的线性 越密切；当r接近0时，表示线性关系越差。
Excel中多元线性回归的应用
数据：
X Variable 1 Residual Plot 500
残差
0 -500 X Variable 1 0 10 20 30 40 50
X Variable 2 Residual Plot 500
S剩：剩余平方和 S回：回归平方和
(2)S回可表示为数据Y的回归计算值与平均值之差的平 方和。
它表示 X1， X2，⋯ ， Xp变化时，对y值波动大小的影响， 即 X1，X2，⋯ ， 对y值的线性控制大小，也就是方差贡献的大小。
(3) S剩= 值差的平方和。
，它是实测值与回归计算
(4)分解说明。当s剩值小时，则S回值大，即y受 X1， X2，⋯ ，Xp 线性控制大，此时回归方程就显著；反 之，效果就不好，这样可以用S回与S总的比值来判断， 称为复相关系数，用r表示，即
最小二乘法原理：观测值Yt与回归值之差称为残差， 要求残差平方和Q达到最小。
对该方程系数求偏导数，并令其为0，得出正规方程
利用高斯消元法把b1、b2、⋯ 、bp 解出来，再 把它们代入下式正规方程组中
其中：
回归方程的显著性检验Байду номын сангаас
多元线性回归
36
R 2 与R2之间存在如下关系： R 2 1 (1 R 2 ) n 1 n k 1
在例3.2.2中：R 2 =0.9756
在中国居民消费支出的一元模型例中：R2 =0.9714 说明增加的解释变量增强了模型的解释能力。 问题：R 2 多大才算通过拟合优度检验？
n
,
1
)
cov(1, n ) 2
var(n )
0
0 2I
2
10
f(u)
0
x1
y
x=x1时y的分布 x=x2时y的分布 x=x3时y的分布
x=x1时的E(y)
x2
x=x2时的E(y)
x3
x=x3时的E(y)
0+ 1x
x 11
假设3，E(X’)=0，即
i
E
X1i i
⃟样本回归函数的离差形式
yi ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei
其矩阵形式为： y xβˆ e
i=1,2…n
其中 ：
y1
y
y2 yn
x11 x21
x
x12 x1n
x22 x2n
xk1
xk2
xkn
ˆ1
βˆ
ˆ2
ˆ
k
多元线性回归方法介绍
多元线性回归方法介绍
回归分析主要研究因变量与自变量的关系，因变量是随机变量，自变量是因素变量，是可以加以控制的变量。多元回归分析一般解决以下问题：第一，确定因变量与多个因素变量之间联系的定量表达式，通常称为回归方程式或数学模型，并确定它们联系的密切程度；第二，通过控制可控变量的数值，借助于球而出的数学模型来预测或控制因变量的取值和精度；第三，进行因素分析，从影响因变量变化的因素中寻找出哪些因素对因变量的影响最为显著，哪些因素不显
著，以区别主要因素和次要因素。
在操作过程中，需要列出影响Y 的多个因素与Y 之间的关系方程。一般地，设因变量Y 于k 个自变量X1,X2,……,XK线性相关：
Y=B0+ B1X1+ B2X2+ … + B k X k+ε（1）
其中Y 为可观察的随机变量，X1，X2，…，Xk为可观察的一般变量，B0，B1，B2，…，Bk为待定模型参数，其中B0为截距，ε为不可观测的随机误差。有n组独察的样本数据（yi,x i1,…,xik），i=1，2，…，n，带入方程（1）中，有：
y i= b0+ b1x i1+ b2x i2+ … + b k x ik+ e i i=1,2,…, n其中n 个随机变量ei相互独立且服从同一正态分布Nor（0，σ2）。根据最小二乘原则，求B0，B1，B2，…，Bk的估计值b0，b1，…，bk，使上式的误差平方和
∑(ei)2=∑[y i-(b0+b1x i1+b2x i2+…+b k x ik)]2最小，为此，分别将上式对b0，b1，…，bk求偏导数，令其等于0，当x1，x2，…，xk相互独立时，由极值原理，
多元线性回归的概念
多元线性回归的概念
多元线性回归是一种统计学方法，用于建立一个包含多个自变量的线性方程，以预测一个连续的因变量。它适用于研究多个变量对于某个因变量的影响。
多元线性回归的基本假设是因变量与自变量之间存在线性关系，并且自变量之间不存在显著的多重共线性。多元线性回归的目标是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合线，即将观测值与预测值之间的误差最小化。
多元线性回归模型的一般形式可以表示为：
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε
其中，Y是因变量，Xi是第i个自变量，β0是截距，βn是第n个自变量的回归系数，ε是误差项。
通过拟合多元线性回归模型，可以得到各个自变量的系数估计值和截距项的估计值。这些系数可以用来解释自变量与因变量之间的关系。
多元线性回归的参数估计通常使用最小二乘法来进行。最小二乘法采用OLS （Ordinary Least Squares）估计，通过最小化残差平方和来找到最佳拟合线。
多元线性回归的假设包括线性关系、多重共线性、误差项的独立同分布和零均值。
如果这些假设得到满足，多元线性回归的结果将是无偏和一致的。
多元线性回归的模型诊断可以通过检查残差来进行。残差是观测值与预测值之间的差异。如果残差不符合正态分布、具有异方差性或存在自相关等问题，可能需要采取相应的调整或转换。
多元线性回归还可以通过添加交互项来考虑变量之间的交互作用。交互项可以在模型中增加一个自变量和因变量之间的乘积项，用于捕捉变量之间的非线性关系。
在实际应用中，多元线性回归可以用于许多领域，如经济学、金融学、社会科学等。它可以帮助研究人员了解变量之间的关系，并预测某一变量的值。
多元线性回归模型
多元线性回归模型
多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。
【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】
多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。多元线性回归模型的数学表达式如下：
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε
其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、
β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。
【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】
多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。以下是一些常见的应用场景：
1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。
2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。
3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。
4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。
【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】
建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：
1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。
多元线性回归的名词解释
多元线性回归的名词解释
多元线性回归是一种经济学和统计学中常用的方法，用于分析多个自变量与一个连续因变量之间的关系。在这种回归分析中，解释变量（自变量）可以是连续或分类变量，而被解释变量（因变量）通常是连续变量。本文将对多元线性回归的关键名词进行解释，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
一、回归分析
回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。在多元线性回归中，我们可以使用多个自变量来预测一个连续的因变量。回归分析可以帮助我们了解各个自变量对因变量的贡献程度，以及它们之间的相互作用。
二、线性回归
线性回归是一种回归分析的方法，假设自变量和因变量之间存在线性关系。这意味着在多元线性回归中，我们假设因变量是自变量的线性组合，具体表现为一个多元线性方程。通过最小化预测值和实际观测值之间的误差平方和，我们可以估计出各个自变量的系数，并对因变量进行预测。
三、自变量和因变量
在多元线性回归中，自变量是我们用来解释或预测因变量的变量。自变量可以是连续变量，如年龄、收入等，也可以是分类变量，如性别、教育程度等。因变量是我们希望预测或解释的变量，通常是一个连续变量，如房屋价格、销售额等。
四、最小二乘法
最小二乘法是多元线性回归中参数估计的常用方法。该方法通过最小化预测值与实际观测值之间的误差平方和来确定各个自变量的系数。通过求解估计方程，我们可以得到最佳的系数估计，从而建立起自变量与因变量之间的线性关系。
五、多重共线性
多重共线性是多元线性回归中一个重要的问题。当自变量之间存在高度相关性时，可能会导致估计的系数不稳定或不精确。为了检测和解决多重共线性问题，我们可以计算自变量之间的相关系数矩阵，并使用方差膨胀因子（VIF）来评估自变量之间的共线性程度。
多元线性回归概述
定义：线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：多元线性回归模型k ：解释变量个数；i =1,2…,n
βj ：回归参数（Regression Coefficient ）；j=1,2…,k 习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：
i ki k i i i X X X Y μββββ++⋅⋅⋅+++=22110虚变量
X 0=1模型中解释变量的数目为（k+1）
指2个或2个以上
多元线性回归模型总体回归函数的随机表达形式：
i ki k i i i X X X Y μββββ++⋅⋅⋅+++=22110总体回归函数非随机表达式:
ki k i i ki i i i X X X X X X Y E ββββ+⋅⋅⋅+++=2211021),,|( 偏回归系数βj :在其他解释变量保持不变的情况下，X j 每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化;或者说X j 的单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。
方程表示：各变量X 值给定时Y 的平均响应。
总体回归模型n 个随机方程的矩阵表达式为
μ
X βY +=)1(212221212111111+⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k n kn n n k k X X X X X X X X X X 121⨯⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n Y Y Y Y 1)1(210⨯+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k ββββ β1
21⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n μμμ μ其中n ：样本容量k ：解释变量的个数
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E(y/x2)- E(y/x1)
0 E( y | x 0)
E(y
/
x2 ) x2
E(y x1
/
x1 )
E(y/x1) E(y/x2)
0 0
x1
x2
5
产生ε的原因
许多x以外的其他因素的影响; 度量误差; 模型不精确引起的误差.
6
1
模型的建立
求一元线性函数
E( y / x) 0 1x
x2i xki
xpi xpi x1i
x2 pi
b0
b1 b2
bp
yi x1i yi
x
pi
源自文库
yi
n
x1i
x1i x2
1i
第4章 多元线性回归分析
姜晶梅 流行病与统计学系 北京协和医学院基础学院
2014.03.13
1
主要内容
4.1 多元线性回归模型 4.2 回归方程的显著性检验 4.3 最优回归方程的选择 4.4 多重共线性的诊断和处理 4.5 异常点的诊断和处理 4.6 方程的应用（利用方程来控制混杂变量）
2
引言
回归分析方法是多元统计分析的各种方法中应用最广泛 的一种，用于研究一个(或几个)因变量y与另一些变量的相 互依赖关系.具体研究以下几个问题：
E ( y ) 0 1 x var( y ) 2
8
4.1 多元线性回归模型
模型的定义 假设因变量Y与x1, x2 ,, xp线性相关，收集到n组数据 ( yi , xi1, xi2 ,, xi p )(i 1, 2,..., n), 满足以下回归模型
1、建立因变量 y 与 x1, x2 ,, xm 经验公式(回归方程)；
2、对经验公式的可信度进行检验； 判断每个自变量 xi (i 1, 2,, m) 对y的影响是否显著？
3、诊断经验公式是否适合这组数据； 4、利用经验公式进行预报与控制.
由于一元线性回归的大部分内容可用于多元回归，且基本 概念是一样的。因此，本章讲授路线均以一元回归作为例,然 后予以推广。
x2i x2i x1i
xpi xpi x1i
y1
1 x1
令
Y
y2
X
1
x2
yn
1
xn
e1
e
e2
en
B
b0 b1
Y XB e
e1，
e2，
,
en
相
互
独
立
均 值 为0, 方 差 为 2
y 1 x12 2
x2
3
x3 x4
...
只需定义
Z 1 x12 , Z 2
x2 ,
Z3
x3 x4
即 Y 1Z1 2 Z 2 3Z 3 ...
11
最简单的线性模型表示
E y | x 0 1x1 p xp
i 1
n
n
n
(
xi )b0 (
x2 i
) b1
xi yi
i 1
i 1
i 1
我们称上述方程组为正规方程组，解之可得b0 , b1的估计值
b1
n i 1
xi
yi
1 n
(
n i 1
xi )(
n i 1
n i 1
x2 i
1 n
(
n i 1
xi )2
yˆ b0 b1 x1 b2 x2 bp x p
其中，yˆ 是 Ey 的统计估计，b 0 , b1 , b 2 , , b p 分别是
0 , 1 , 2 , , p 的统计估计，称为经验回归系数.
13
模型的解析表达式
设 x1, x2 ,, xp , y 有n 组观测值 xi1, xi2 ,, xip , yi ,
x2i yi
xpib0
x1i xpib1
x2i xpib2
x
b 2
pi p
xpi yi
求参数估计值的实质是求一个p +1元方程组
26
将正规方程表达为矩阵形式
n
x1i
xki
x1i x2
1i
x1i xki
x2i x2i x1i
bp xp2 bp xpn
e2 en
14
模型的矩阵表达式
设 x1, x2 ,, xp , y 有n 组观测值 xi1, xi2 ,, xip , yi ,
(i 1, 2,, n)
令
y1
Y
y2
1 x11 x1p
残差平方和为
n
2 i
n
(Yi Yˆi )2
i 1
i 1
n
= (Yi [b0 b1X i ])2 i 1
n
令Q= (Yi [b0 b1Xi ])2 i 1
b0 ,b1 的估计由以下三步构成:
a
c
b
20
第一步：将Q对b0 ,b1求偏导；第二步，令其导数等于 零得正规方程；第三步，解正规方程求得 b0 , b1。
var( y | x) 2
或
E y | x 0 1x1 p x p
y
|
x
~
N (0
1 x1
p xp ,
2)
12
2
模型的建立
求 p元线性函数
Ey 0 1x1 2 x2 p xp
的经验回归方程
的经验回归方程
yˆ b0 b1x
其 中 yˆ 是 E ( y / x)( 或 简 写 为 E ( y） ）的 估 计 值 , b0 , b1 分 别 是 0， 1 的 估 计 值 ,称 为 经 验 回 归 系 数 .
7
一元模型的数据结构
设 x, y有n组观测值 xi , yi , (i 1, 2,, n)
(i 1, 2,, n)
得：yi b0 b1x1i b2 x2i bp xpi ei
y1 b0 b1x11 b2 x21 bp xp1 e1
.yy..2n
b0 b0
b1x12 b2 x22 ....
b1x1n b2 x2n
yi )
b0 y b1x
22
4.1.2 模型参数的最小二乘估计
参数估计的准则
定义离差平方和
n
n
Q ( 0 , 1 , , p )
2 i
( yi E ( yi ))2
i 1
i 1
n
( yi 0 1 xi1 p xip ) 2 i 1
24
4
参数估计的算法
第一步：将Q对b0 ,b1,...,bj分别求偏导；第二步，令其导数等于 零得正规方程；第三步，将正规方程表达矩阵形式求b0 , b1 , ..., b j。
令 Q n yi （b0 b1x1 b2 x2 ... bp xp )2 , i 1
10
线性模型的含义
线性模型的线性性包含两重含义： 变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以x2或xβ之 类的函数形式出现在模型中。
参数的线性因变量Y是各参数的线性函数。
对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要的，
因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。例如,
对于
nb0 x1ib0
x1ib1 x12ib1
x2ib2 x1i x2ib2
x pi bp
yi x1i xpibp
x1i yi
x2ib0
x1i x2ib1
x22ib2
x2i xpibp
yi 0 1xi1 2 xi2 p xip i ( i 1, 2,..., n), E(i ) 0, Var(i ) 2 , COV (i , j ) 0 (i j) 或 i ~ N (0, 2 ), 相互独立 （i 1, 2，..., n)
将Q对参数bj ( j 0,1,..., p)分别求偏导数，并令其等于零，
可得
Q
b0
n
2
i 1
( yi
b0
p
bj xij ) 0
j 1
Q
bj
n
2 [( yi
i 1
b0
p
bj xij )]xij
j 1
0,
( j 1,, p)
25
整理后得到关于参数bj的正规方程组
15
模型的几何解释 (以二元为例)
0
初始状态
y
x2
0 + 2x2
x1 X2的单独效应
0 y
x2 x1
X1的单独效应
0 + 1x1
0
y
x2
x1 X1对y的单独效应是指在x2保 持为恒量时X1对y的效应。
同理，X2对y的单独效应是指在x1 保持为恒量时X2对y的效应。 16
2
模型的几何解释 (以二元为例)
称上述模型为经典多元线性回归模型，其中Y是可观测的 随机向量， 是不可观测的随机向量，， 2 是未知参数。 其中，1, 2,, p 称为偏回归系数， 0 称为回归常数。
9
模型的基本假设
y与 x1，x2，…，xp 之间具有线性关系；
?
正态性: 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量,
X
1
x21
x2
p
e1
e
e2
b0
B
b1
yn
n1
1 xn1 xnp n( p1)
en
n1
bp ( p1)1
则
Y XB e
e ~ Nn (0, 2 In )
数据类型不同 侧重点不同 均为线性模型
18
3
第二节 多元模型参数的最小二乘估计
19
4.1.2 模型参数的最小二乘估计
“合理地”找出一条能最好地代表数据点分布的趋势的直线， 一个自然的想法就是各点的残差尽可能的小。这就是所谓“最 小二乘法”.根据这一原则，数学上可导出b0、b1 的算式如下：
求 b0 , b1 , , b p，使 得
Q(b0
,
b1,,
bp
)
0
min
, 1 ,,
p
Q(0
,
1,,
p
),
23
称 b0 , b1 , , b p 为 模 型 参 数 1 , 2 , , p 最小二乘估计。 称 yˆi b0 b1xi1 b2 xi2 bp xip 为因变量 yi (i 1, 2,, n) 的回归拟合值。 称 ei yi yˆi为因变量 yi (i 1, 2,, n) 的残差。
0 + 2x2
0 y
X2的单独效应 X1的单独效应
ε 0 + 1x1 + 2x2
X1和x2的联合效应
0 + 1x1 y= β0 + β1x1 + β2x2 + ε
x2
x1
x1和x2不同组合导致y增加的部分，此部分构成 模型的非随机部分。
17
7
思考： 回归分析模型与方差分析模型 的区别与联系？
3
第一节 多元线性回归模型
4
回 顾：
经典一元线性模型假定y由一个均值和一个随机误差ε 合成,
表示如下：
或
y 0 1x E(y x) 0 1x
其中，y是可以观测的随机变量，ε是不可观测的随机变量。
~ N (0, 2 ) E(y/x)是x的线性函数。
E(y/x)=0+1x
n
Q= ( yi b0 b1xi )2 i 1
Q
b0
n
2
i 1
( yi
b0
b1xi )(1)
0
Q
b1
n
2
i 1
( yi
b0
b1xi )(xi )
0
21
整理之后就得到b0 , b1的方程组
n
n
nb0 ( xi )b1 yi
i 1
且期望值为0，即ε~N(0,2);
方差齐性: 对于自变量 x1，x2，…，xp的所有值，
的方差 2都相同, 即 Var(εi)= 2
独立性: 对于自变量 x1，x2，…，xp的一组特定值, 它所对应的 与任意一组其它值所对应的不相关,即
COV(εi ,εj)=0 .
当模型违反上述假设后，就不能使用最小二乘法估计回归系数. 解决方法将在以后介绍，先介绍模型符合假设时的参数估计方法.