高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案(无答案)新人教A版选修2-1

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高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质导学案理(无答案)新人教A版选修2 1 学案

§2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标：1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．学习重点：抛物线的几何性质学习难点：利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题课前预习案教材助读：阅读教材68-69页的内容，思考并完成下列问题： 1．抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)图形性质范围 ________________________________________________对称轴x 轴 x 轴y 轴 y 轴顶点 (0,0)离心率 e ＝12.焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝____________.3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有____个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有____个公共点.课内探究案一、新课导学：探究点一抛物线的几何性质问题1: 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？问题2: 通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？探究点二直线与抛物线的位置关系问题1：结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？二、合作探究例1：已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．例2：已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：（1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点？三、当堂检测教材72页练习1,3,4题.四、课后反思课后训练案1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为 ( ) A.p2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( ) A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 5．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．4．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程．。

2015-2016高中数学2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案(无答案)新人教A版选修2-1

．
3．（ 11 年辽宁卷 ) 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点， A．B 是该抛物线上的两
点 ,|AF|+|BF|=3, 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 C
3
(A)
(B)1 (C)
4
5
7
(D)
4
4
4．过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D ，求证：直线 DB 平行于抛物线的对称轴．
5．已知抛物线的方程 y 2 4x ，直线 l 过定点 P( 2,1) ，斜率为 k k 为何值时，直线 l 与
抛物线
2
y
4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
三、拓展探究
6. （ 11 年江西卷 ) 已知过抛物线 y2 2px p 0 的焦点，斜率为 2 2 的直线交抛物
线于 A x1, y2 , B x2 , y2 （ x1 x2 ）两点，且 AB 9 ．
二、典型例题
1. 已知抛物线
2
y
2 px( p 0) 的焦点恰好是椭圆 x2 y2 1 的左焦点，则 p =
．
16 12
2. 抛物线 y2 2 px( p 0) 上一点的横坐标为 6，这点到焦点距离为 10，则：这点到准线
的距离为
；焦点到准线的距离为
；抛物线方程
；
这点的坐标是
；此抛物线过焦点的最短的弦长为
抛物线方程为： y2 8x
（ 2）由 p=4， 4x 2 5 px p2 0, 化简得 x 2 5x 4 0 ，从而
x1 1, x2 4, y1
设
2 2, y2 4 2 , 从而 A:(1,

高中数学 2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质精品同步导学新人教A版选修2-1

• 1．抛物线的几何性质
y2＝2px 类型
(p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图象
类型
y2＝
y2＝－
x2＝
x2＝－
2px(p>0) 2px(p>0) 2py(p>0) 2py(p>0)
焦点
p2，0 －p2，0 0，p2
0，－p2
准线
x＝－p2
x＝p2
[策略点睛]
[解题过程] 由已知抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上，故可设抛物线方程为 y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆 x2＋y2＝4 的交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线 y2＝ax(a≠0)与圆 x2＋y2＝4 都关于 x 轴对称， ∴点 A 与点 B 关于 x 轴对称， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2 3， ∴|y1|＝|y2|＝ 3，
A．8
B．10
C．6
D．4
• 解析： ∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2. • ∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， • ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.故选B. • 答案： B
• 3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 ________．
1．若双曲线x32－1p62y2＝1 的左焦点在抛物线 y2＝2px(p>0)的准线
上，则 p 的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．4 2
解析：由题意知
3＋1p62 ＝p2，
解得 p＝4.
• 答案： C

高中数学专题2.4.2 抛物线的简单几何性质教案新人教A版选修2-1(2021年整理)

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抛物线的简单几何性质【教学目标】1．知识与技能目标:（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。

2．过程与方法目标：（1）通过抛物线图像的探究,培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

（2）在抛物线性质的发现过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：(1）通过抛物线性质的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过结论的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”。

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.【重点难点】1。

教学重点：抛物线的性质及应用．2。

教学难点：抛物线的性质的应用．【教学过程】☆情境引入☆某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0。

81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。

高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质(2)学案(无答案)新人教版选修2 1 学案

2.4.3抛物线的简单几何性质导学案学习目标1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。

学习过程※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质。

思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：抛物线的定值问题例1: 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。

变式练习：22,,y x OA OB AB=过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线x与轴的交点为定点。

题型四：直线与抛物线的位置问题例2：已知抛物线的方程24y x=，直线l过定点()2,1P-，斜率为k。

k为何值时，直线l与抛物线24y x=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。

学习小结课时训练1．已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为【】()21A ()1B ()2C ()4D2．已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（）A. (0，0)B. 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. )D. (2，2)3.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（）()A()B()C ()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①OA OB ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是___________.5. (本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。

高中数学抛物线的简单几何性质(二)导学案新人教A版选修2-1

1抛物线的简单几何性质（二）导学案新人教A 版选修2-1【学习要求】1．提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性. 2．学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题. 【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想. 【双基检测】1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2．已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B ．(－2,22)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ．(－2，－22)3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在4．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________.【问题探究】题型一抛物线的标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程.跟踪训练1 求以双曲线x 28－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.题型二抛物线的几何性质例2 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.跟踪训练2 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .题型三抛物线中的定值、定点问题例3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.跟踪训练3 A 、B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证：直线AB 过定点.【当堂检测】1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则该点的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号).4．过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为________.【课堂小结】求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.【拓展提高】1．已知抛物线)0(22>=p px y 与)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（）A ．)6,0(π B ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ2．已知抛物线y x 42=，则以⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1为中点的弦所在的直线方程是（） A ．062=+-y x B ．042=-+y x C ．0924=+-y x D ．0124=-+y x 3．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是4．已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点（1）求实数k 的值（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，ABC ∆面积最大？。

【高中】高中数学243抛物线的几何性质2导学案新人教A版选修21

【关键字】高中2．4.3抛物线的几何性质（二）【学习目标】进一步理解并应用抛物线的几何性质，掌握直线与抛物线的位置关系【重点难点】直线与抛物线的位置关系的判断及相关应用一、自主学习要点1.直线与抛物线的交点问题要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y(或消去x)得出关于x(或关于y)的一个方程Ax2＋Bx＋C＝0，其中二次项系数A有可能为0，此时直线与抛物线有一个交点．当二次项系数A≠0时，Δ＝B2－.若Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点；若Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．要点2.过焦点的弦的问题若直线过y2＝2px(p＞0)的焦点与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则|AF|＝x1＋， |BF|＝x2＋.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，这是过焦点的弦的弦长公式.二、合作，探究，展示，点评题型一直线与抛物线的位置关系例1 求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．思考题1 (1)直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．(2)若直线y＝kx＋k＋1与抛物线y2＝2x只有一个交点，求实数k的取值范围．题型二求弦长例2 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分．(1)求AB所在直线方程；(2)求|AB|的长．思考题2 (1)抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于________．(2)抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程．题型三焦点弦问题例3 过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，证明：＋＝.思考题3 (1)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．（1）证明：直线AC经过原点O.(2)过抛物线y2＝4ax(a＞0)的焦点F，作互相笔直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|＋|CD|的最小值．题型四定点弦问题例4 求证：如图所示，抛物线y2＝2px(p＞0)的动弦AB恒过定点M(2p,0)的充要条件是k OA·k OB＝－1.思考题4 (1)求证：若M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p＞0)的弦AB的中点，则直线AB的斜率为k AB＝py0.(2)抛物线y2＝2px上有两动点A，B和一定点M(a，b)与抛物线焦点F的距离|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求证：线段AB的中垂线过定点．题型五综合运用例5 已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．三、知识小结1．涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦所在的直线的斜率问题，注意韦达定理的应用．过焦点的弦的问题，注意抛物线的定义的应用．2．直线和抛物线的相交问题，一般常用“设而不求”的解题思想．3．总结本课的一些结论．《抛物线的几何性质一》课时作业1．若抛物线y 2＝－4px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示 ( )A ．F 到l 的距离B ．F 到y 轴的距离C ．F 点的横坐标D ．F 到l 的距离的14 2．若等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 23．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．324．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0交于两点A ，B ，且点A 的坐标是(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|FA |＋|FB |等于 ( )A ．7B ．35C ．6D ．55．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是 ( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x6．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦A ，B 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于 ( )A.74 B ．2 C.94D ．4 7．抛物线y 2＝x 上的点到直线x －2y ＋4＝0的距离最小的点的坐标是________．8．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y ＝2px 2(p >0)的准线相切，则p ＝________.9．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________．(要求填写合适条件的序号)10．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.11．求顶点在原点，以x 轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．12．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上点M 到定点A (3,2)和焦点F 的距离之和的最小值为5，求此抛物线的方程．13．过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，求|AB |的值．14．已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|＋|PB|的最小值．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

部编版2020学年高中数学第二章2.4.2抛物线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修2

2．4.2 抛物线的简单几何性质[提出问题]问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线y2＝2px有对称性吗？提示：有，关于x轴对称．[导入新知]抛物线的简单几何性质[化解疑难]1．抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．2．p的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.[例1] 若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解] 如图所示．设A (x 0，y 0)，由题意可知B (x 0，－y 0)，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0是△AOB 的垂心，则AF ⊥OB ， ∴k AF ·k OB ＝－1，即y 0x 0－p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 0x 0＝－1，∴y 20＝x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，又y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ＋p 2＝5p2.因此直线AB 的方程为x ＝5p2.[类题通法]根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A ，B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ， ∴|AB |＝2|p |. ∵△OAB 的面积为4， ∴12·p2·2|p |＝4， ∴p ＝±2 2.∴抛物线方程为y 2＝±42x .[例2] 若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证：OA ⊥OB .证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16. ∵OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4) ＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA ―→⊥OB ―→，即OA ⊥OB . [类题通法]将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程．解：显然，直线斜率k 存在，设其方程为y －2＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋，y 2＝4x ，消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件．(2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，16－4k ＋12k ＝0，得k ＝13或k ＝－1.所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y ＝2，x －3y ＋9＝0，x ＋y ＋1＝0.[例3] 离的最小值．[解] 法一：设P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离 d ＝|x0－y 0＋3|2＝＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝524，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0， ∴m ＝12.∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝524，此时点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.[类题通法]解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]点P 在抛物线2y 2＝x 上，点Q 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，求|PQ |的最小值．解：圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为M (2,0)，设P (2y 21，y 1)，则|PM |2＝(2y 21－2)2＋y 21＝4y 41－7y 21＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫y 21－782＋1516≥1516，∴|PM |≥154， ∴|PQ |min ＝|PM |min －1＝154－1.4.探究抛物线中焦点弦问题[典例] 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .[证明] (1)过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝kx －p2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∵AB 与抛物线有两个交点，∴k ≠0.由根与系数的关系得y 1y 2＝－p 2.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝y 1y 224p2＝p 24.当直线AB 的方程为x ＝p2时，x 1x 2＝p 24，y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2.(2)由抛物线的焦半径可知： |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p . [多维探究]解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．1．若本例中，AB 是经过焦点且倾斜角为π4的直线l 被抛物线所截得的弦，其弦长为6，求抛物线方程．解：直线l 的方程可写为y ＝x －p2.因|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式，得3p ＝6－p ， ∴p ＝32.∴抛物线的标准方程是y 2＝3x .2．在本例条件下，试求1|AF |＋1|BF |的值．解：设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.∴x 1＋x 2＝p k 2＋k 2，x 1x 2＝p 24.又|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p2，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p . |AF |·|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 2(x 1＋x 2)＋p 22 ＝p 2(x 1＋x 2＋p ) ＝p2(|AF |＋|BF |)，即|AF |＋|BF |＝2p·|AF |·|BF |，∴1|AF |＋1|BF |＝2p. 当直线AB 的方程为x ＝p2时，x 1＝x 2＝p2，y 1＝p ，y 2＝－p .∴|AF |＝|BF |＝p . ∴1|AF |＋1|BF |＝2p . 3．在本例条件下，若M 是AB 的中点，过点A ，B ，M 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1.试证：(1)以AB 为直径的圆与准线l 相切； (2)∠AM 1B ＝90°； (3)∠A 1FB 1＝90°. 证明：如图．(1)∴|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. ∴以AB 为直径的圆与准线l 相切．(2)由(1)知，以AB 为直径的圆与准线l 相切于点M 1，则∠AM 1B ＝90°.(3)如图：∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， ∴∠AA 1F ＝∠AFA 1， ∠BB 1F ＝∠BFB 1.又AA 1∥x 轴，BB 1∥x 轴， ∴∠AA 1F ＝∠A 1FO ， ∠BB 1F ＝∠B 1FO .∴∠AFA 1＝∠A 1FO ，∠BFB 1＝∠B 1FO . ∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°，即∠A 1FB 1＝90°.[随堂即时演练]1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于( ) A ．2或－1 B ．－1 C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.由Δ＝(4k ＋8)2－16k 2＞0，得k ＞－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)．3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：84．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， ∴x 1＋x 2＝4－12＝72，∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94.答案：945．已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长|AB |＝35，求m 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，∴|AB |＝ 1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 1＋22－m2－4·m 24＝－2m .由|AB |＝3 5，即－2m ＝3 5，解得m ＝－4.[课时达标检测]一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0，得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0，即p 2＝112， ∴p ＝11，∴抛物线的方程是y 2＝－22x .2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ， ①OA ―→＝(x ，y )，AF ―→＝(1－x ，－y )， OA ―→·AF ―→＝x －x 2－y 2＝－4.② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA ―→ |＋|FB ―→|＋|FC ―→|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→ |＋|FC ―→ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5.(全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4. 二、填空题6．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的方程是________________．解析：顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py 或x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线的方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .答案：x 2＝16y 或x 2＝－16y7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52.因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案：728．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________. 解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A －33p ，16p ，B 3p ，32p .所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13.答案：13三、解答题9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个正三角形的边长．解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又因为|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. 因为x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .10.已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∵直线与抛物线相交于A ，B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版选修2-1(2021年整理)

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2.4。

2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质。

2。

会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的简单几何性质思考观察下列图形，思考以下问题：（1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别？(2）根据图形及抛物线方程y2＝2px（p>0）如何确定横坐标x的范围？答案(1）抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心;双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．（2）由抛物线y2＝2px（p>0）有错误!所以x≥0。

梳理四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px(p〉0）x2＝2py(p>0)x2＝－2py（p〉0)图形范围x≥0,y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标F错误!F错误!F错误!F错误!准线方程x＝－p2x＝错误!y＝－错误!y＝错误!顶点坐标O（0，0)离心率e＝1通径长2p知识点二直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组错误!解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时,直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．知识点三焦点弦的性质已知过抛物线y2＝2px(p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点,设A（x1，y1)，B（x2，y2)，则有:（1）y1y2＝－p2，x1x2＝错误!；（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p,|AF|＝x1＋错误!；（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(1）抛物线没有渐近线．(√）(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.（×）（3）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．（×)（4）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．（√）类型一抛物线方程及其几何性质例1 （1）顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ）A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16y考点抛物线的简单几何性质题点焦点、准线、对称性简单应用答案D解析顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x2＝－2py,x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4,知p＝8,故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y。

人教A版高中数学选修2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质学案

2.4.2抛物线的简单几何性质（一）教学目标1.知识与技能：(1) 通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。

(2) 熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题。

2.过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质，理解并会用抛物线的相关性质解决问题。

3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

（二）教学重点与难点重点：抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。

（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、抛物线的定义？2、四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线22(0)y px p =>有那些的几何性质？通过它的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊？活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、抛物线的简单几何性质 1．范围：0x ≥，y R ∈ 2．对称性：抛物线关于x 轴对称. 3．顶点：坐标原点（0，0） 4．离心率：=1e问题3：说出当e 满足下列条件时，曲线是什么图形？（1）当0＜e ＜1时，（2）当e ＞1时，（3）当e=1时。

5.焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．6.由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有|AB|=x1+x2+p ．特别地：当AB ⊥x 轴时，抛物线的通径|AB|=2p 练习：完成下列表格例3：已知：抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点2M（，-，求它的标准方程，并用描点法画出图形．问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点2M（，-的抛物线有几条？求出它的标准方程。

高中数学 2.4.3 抛物线的简单几何性质(二)学案新人教A版选修2-1

§2.4.3 抛物线的简单几何性质（二）学习目标：1、掌握抛物线的几何性质；2、掌握直线与抛物线位置关系等；3、在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合一、知识回顾：（见《三维设计》）1、焦半径：2、焦点弦的问题：二、典例分析：〖例1〗：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。

k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？〖例2〗：过抛物线22y x =的顶点作互相垂直的二弦,OA OB 。

（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）证明：AB 与x 轴的交点为定点。

〖例3〗：已知点()()()11222,8,,,,A B x y C x y 在抛物线22y px =上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F 重合。

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。

〖例4〗：线段AB 过点()(),00M m m >，并且点,A B 到x 轴的距离之积为4m ，抛物线C 以x 轴为对称轴且经过,,O A B 三点。

（1）求抛物线C 的方程；（2）当1,2m AM MB ==，时，求直线AB 的方程。

三、课后作业：1、已知抛物线()220y px p =>上有一点()4,M y ，它到焦点F 的距离为5，O 为原点，则OFM S ∆=（）A 、1BC 、2D 、2、抛物线2y x =上到直线240x y -+=的距离最小的点是（）A 、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、93,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、()1,1D 、()4,2 3、过抛物线2y x =的焦点F 作弦AB ，若()()1122,,,A x y B x y ，则（）A 、1214x x ⋅=-B 、1214x x ⋅=C 、1214y y =-D 、1214y y = 4、已知定点()1,0F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，PN PM =，则动点N 的轨迹方程是（）A 、24y x =B 、24y x =-C 、22y x =D 、22y x =- 5、对于抛物线24y x =上任一点Q ，点(),0P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是（）A 、(),0-∞B 、()0,2C 、[]0,2D 、(],2-∞ 6、抛物线22x y =上离点()0,A a 最近的点恰好是顶点的充要条件（）A 、1a ≤B 、0a ≤C 、12a ≤ D 、2a ≤7、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线24y x =-所得的弦长AB =则抛物线方程为。

高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质

②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴

高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案新人教A版选修2-1

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（一）学习目标：1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p ；2、会简单应用抛物线的几何性质。

一、知识回顾：1、抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径长。

2、抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是。

3、抛物线28y x =的焦点为F ，()4,2A -为定点，在抛物线上找一点M ，当MA MF +为最小时，则M 点的坐标，当MA MF -为最大时，则M 点的坐标。

二、典例分析：〖例1〗：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

〖例2〗：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长。

〖例3〗：定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y轴的最小距离。

〖例4〗：抛物线24y x =上有两个定点A 、B （位于x 轴的上下两侧），F 是抛物线的焦点，并且||2FA =，||5FB =。

在抛物线AOB 这段曲线上，求一点P ，使得APB ∆的面积最大，并求最大面积。

三、课后作业：1、已知点1,04F ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线l ：41=x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是（） A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线 2、若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（） A 、2- B 、2 C 、4- D 、43、过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A 、2p B 、p C 、2p D 、无法确定 4、设抛物线22y x =的焦点为F ，以9,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，PF 长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于,M N ，则MF NF +的值为（）A 、8B 、18C 、22D 、45、抛物线28y x =上一点P 到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（）A 、()2,4B 、()2,4±C 、(D 、(1,± 6、已知点P 是抛物线x y 42=上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为1d ，到圆()()22331x y ++-=上一动点Q 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（）A 、3B 、4C 、5D 、1+7、过定点()0,2P ，作直线l 与曲线x y 42=有且仅有１个公共点，则这样的直线l 共有条。

数学 2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计新人教A版选修2 1 教案

《抛物线的简单几何性质》教学设计一. 教学理念“数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。

”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。

数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。

二、教学目标1、知识目标：（1）抛物线的几何性质、X围、对称性、定点、离心率。

.（2）抛物线的通径及画法。

（3）抛物线的焦半径公式。

2、能力目标：.（1）使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。

（2）掌握抛物线的画法。

3、情感目标：（1）培养学生数形结合及方程的思想。

（2）训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。

三、教学重点、难点教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

难点是抛物线各个知识点的灵活应用。

四、教学方法及手段采用引导式、合作探究、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。

五、教学程序教学过程教学内容教师导拨与学生活动设计意图一、知识回顾1、抛物线的标准方程。

课件展示给出下表，请学生对比、研究和填写．图形标准方程焦点坐标准线方程标准方程由学生提前复习，在导学案上填出答案，老师展示结论提出这一问题的研究方法——对比、数形结合)0(22>=p px y )0,2(p 2px -=)0(22>-=p px y )0,2(p -2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =二、引入课题由三幅图片的共同特征引出抛物线在生活中的重要作用，阐述研究抛物线的几何性质的重要性。

高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案(无答案)新人教A版选修2 1 学案

抛物线的简单几何性质（2）【学习目标】1．掌握抛物线的几何性质；2．抛物线与直线的关系．【重点难点】1．掌握抛物线的几何性质；2．抛物线与直线的关系【学习过程】一、自主预习（预习教材理P 70~ P 72，文P 61~ P 63找出疑惑之处）复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点(2,3)P -的抛物线的方程为（）．A ．294y x = B. 294y x =-或243x y =- C. 243x y = D. 292y x =-或243x y =复习2：已知抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好是椭圆2211612x y +=的左焦点，则p =．二、合作探究归纳展示探究：抛物线22(0)y px p =>上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：① 这点到准线的距离为；② 焦点到准线的距离为；③ 抛物线方程；④ 这点的坐标是；⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为．三、讨论交流点拨提升四、学能展示课堂闯关例1过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．例2已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？小结：① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；②直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交． ※动手试试练1. 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⊥2．垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，且AB =，求直线AB 的方程．五、学后反思※学习小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线与直线的关系．※知识拓展过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，则11MF NF +为定值，其值为2p ．【课后作业】：1．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P ，Q 两点，PQ 求抛物线的方程．2．从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．。

高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质精品导学案(2)新人教A版选修1-1

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质（2）导学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．【自主学习】复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．复习2：抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是．复习:3：根据下列条件，求抛物线的标准方程⑴顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；⑵顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P --．【合作探究】例1（教材P61例4）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长，可用弦长公式求解，也可利用抛物线的定义求解．【目标检测】1．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）． A ．10 B ．8 C ．6 D ．42．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB = ．3. M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ∠=，求FA ．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。

高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案(无答案)新人教A版选修2-1

高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质导学案 理(无答案)新人教A版选修2 1 学案

2015-2016高中数学2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案(无答案)新人教A版选修2-1

高中数学 2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质精品同步导学 新人教A版选修2-1

高中数学 专题2.4.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选修2-1(2021年整理)