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湘教版必修3高考题单元试卷：第7章_解析几何初步(01)(有答案)

湘教版必修3高考题单元试卷：第7章解析几何初步（01）一、选择题（共16小题）1. 过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A.2√6B.8C.4√6D.102. 已知三点A(1, 0)，B(0, √3)，C(2, √3)则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A.5 3B.√213C.2√53D.433. 圆心为(1, 1)且过原点的圆的方程是( )A.(x−1)2+(y−1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x−1)2+(y−1)2=24. 函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a, b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围为（）A.{2, 3}B.{2, 3, 4}C.{3, 4}D.{3, 4, 5}5. 函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a, b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是（）A.{3, 4}B.{2, 3, 4}C.{3, 4, 5}D.{2, 3}6. 圆x2+y2−4x+6y＝0的圆心坐标是（）A.(−2, 3)B.(2, 3)C.(−2, −3)D.(2, −3)7. 两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（）A.A1A2+B1B2＝0B.A1A2−B1B2＝0C.A1A2 B1B2=−1D.B1B2A1A2=18. 直线2x+3y−6＝0关于点(1, −1)对称的直线是（）A.3x−2y+2＝0B.2x+3y+7＝0C.3x−2y−12＝0D.2x+3y+8＝09. 已知点(a, 2)(a>0)到直线l:x−y+3=0的距离为1，则a=( )A.√2B.2−√2C.√2−1D.√2+110. 如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11. 已知点A(−1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y＝ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A.(0, 1)B.(1−√22,12) C.(1−√22,13] D.[13,12)12. 设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4, 1)，则两圆心的距离|C1C2|=()A.4B.4√2C.8D.8√213. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx−y−m+3=0交于点P(x, y)，则|PA|+|PB|的取值范围是( )A.[√5, 2√5]B.[√10, 2√5]C.[√10, 4√5]D.[2√5, 4√5]14. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP 等于（）A.2B.1C.83D.4315. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x +y −2＝0与x −7y −4＝0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A.3 B.2 C.−13D.−1216. 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE =BF =37，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（） A.16 B.14C.12D.10二、填空题（共8小题）在平面直角坐标系xOy 中，以点(1, 0)为圆心且与直线mx −y −2m −1=0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1, 0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1:{x =2s +1y =s （s 为参数）和直线l 2:{x =at y =2t −1（t 为参数）平行，则常数a 的值为________．设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx −y −m +3=0交于点P(x, y)．则|PA|⋅|PB|的最大值是________．圆心在直线x −2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2√3，则圆C 的标准方程为________．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T(1, 0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB|=2．(1)圆C的标准方程为________．(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为________．已知圆O:x2+y2＝1和点A(−2, 0)，若定点B(b, 0)(b≠−2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：(Ⅰ)b＝________−1；2(Ⅱ)λ＝________1．2(x>0)图象上一动在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(a, a)，P是函数y=1x点．若点P，A之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a的所有值为________．三、解答题（共6小题）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．在抛物线y＝4x2上求一点，使这点到直线y＝4x−5的距离最短．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax+by+c＝0和点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，记η＝(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若η<0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A(1, 2)，B(−1, 0)被直线x+y−1＝0分隔；（2）若直线y＝kx是曲线x2−4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．（4）求证：点A(1, 2)，B(−1, 0)被直线x+y−1＝0分隔；（5）若直线y＝kx是曲线x2−4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；（6）动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为(1, 3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．已知点P到两定点M(−1, 0)、N(1, 0)距离的比为√2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．参考答案与试题解析湘教版必修3高考题单元试卷：第7章解析几何初步（01）一、选择题（共16小题） 1.【答案】 C【考点】圆的一般方程两点间的距离公式斜率的计算公式【解析】本题考查圆的方程．【解答】解：∵ k AB ⋅k BC =3−21−4×2+74−1=−1， ∴ 三角形ABC 为直角三角形且∠B =90∘，∴ 三角形外接圆的圆心为斜边AC 的中点(1,−2)，圆的半径为12|AC|=5， ∴ 圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=25．令x =0，得y 2+4y −20=0，记M ，N 的坐标为(0,y 1)，(0,y 2)，则|MN|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√(−4)2−4×(−20)=4√6．故选C ． 2.【答案】 B【考点】圆的标准方程【解析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x ＝1上，可设圆心P(1, p)，由PA ＝PB 得 |p|=√1+(p −√3)2，得p =2√33圆心坐标为P(1, 2√33)，所以圆心到原点的距离|OP|=(2√33)=√1+129=√213， 3. 【答案】 D圆的标准方程两点间的距离公式【解析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=√2，∴圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=2．故选D．4.【答案】B【考点】直线的斜率【解析】表示（x, f(x)）点与原点连线的斜率，结合函数y＝f(x)的图象，数形结合分析由f(x)x可得答案．【解答】令y＝f(x)，y＝kx，作直线y＝kx，可以得出2，3，4个交点，(x>0)可分别有2，3，4个解．故k=f(x)x故n的取值范围为2，3，4．5.【答案】B【考点】直线的斜率【解析】由f(x)表示（x, f(x)）点与原点连线的斜率，结合函数y＝f(x)的图象，数形结合分析x可得答案．【解答】令y＝f(x)，y＝kx，作直线y＝kx，可以得出2，3，4个交点，(x>0)可分别有2，3，4个解．故k=f(x)x故n的取值范围为2，3，4．6.【答案】D【考点】圆的一般方程【解析】把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可．把圆的方程化为标准方程得：(x−2)2+(y+3)2＝13，所以此圆的圆心坐标为(2, −3)．7.【答案】A【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，求解即可得到选项．【解答】直线A1x+B1y+C1＝0的方向向量为(−B1, A1)，直线A2x+B2y+C2＝0的方向向量为(−B2, A2)，两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，即：(−B1, A1)(−B2, A2)＝0可得A1A2+B1B2＝08.【答案】D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】直线2x+3y−6＝0关于点(1, −1)对称的直线，和直线2x+3y−6＝0平行，排除A、C，在直线2x+3y−6＝0选特殊点，关于点(1, −1)对称点求出，验证B即可得到答案．【解答】直线2x+3y−6＝0关于点(1, −1)对称的直线，和直线2x+3y−6＝0平行，排除A、C，在直线2x+3y−6＝0选特殊点(0, 2)，它关于点(1, −1)对称点(2, −4)，显然(2, −4)不在2x+3y+7＝0上．9.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线距离公式，可以直接求解．【解答】解：由点到直线的距离公式得：1=√1+1=√2，∵a>0，|a+1|=√2，∴a=√2−1．故选C．10.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】先把Ax +By +C ＝0化为y =−ABx −CB，再由AC <0，BC <0得到−AB<0，−CB>0，数形结合即可获取答案【解答】∵ 直线Ax +By +C ＝0可化为y =−AB x −CB ，又AC <0，BC <0∴ AB >0，∴ −AB <0,−CB >0，∴ 直线过一、二、四象限，不过第三象限． 11.【答案】 B【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系三角形的面积公式点到直线的距离公式【解析】解法一：先求得直线y ＝ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba , 0)，由−ba ≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b =13；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13<b <12； ③若点M 在点A 的左侧，求得13>b >1−√22．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b 值，综合可得结论．【解答】解法一：由题意可得，三角形ABC 的面积为 12⋅AB ⋅OC =1，由于直线y ＝ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−b a , 0)，由直线y ＝ax +b(a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b >0，故−ba ≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由{y =ax +b x +y =1 可得点N 的坐标为(1−b a+1, a+ba+1)．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N(12, 12)，把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b =13． ②若点M 在点O 和点A 之间，此时b >13，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+b a)⋅a+b a+1=12，可得a =b 21−2b>0，求得 b <12，故有13<b <12．③若点M 在点A 的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−ba <−1，求得b >a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 {y =ax +b y =x +1 求得点P 的坐标为(1−b a−1, a−ba−1)，此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12⋅(1−b)⋅|x N −x P |=12，即12(1−b)⋅|1−b a+1−1−b a−1|=12，化简可得2(1−b)2＝|a 2−1|．由于此时 b >a >0，0<a <1，∴ 2(1−b)2＝|a 2−1|＝1−a 2 ．两边开方可得 √2(1−b)=√1−a 2<1，∴ 1−b <1√2，化简可得 b >1−√22，故有1−√22<b <13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是 (1−√22,12)，故选：B ．解法二：当a ＝0时，直线y ＝ax +b(a >0)平行于AB 边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得(1−b 1)2=12，b ＝1−√22，趋于最小．由于a >0，∴ b >1−√22．当a 逐渐变大时，b 也逐渐变大，当b =12时，直线经过点(0, 12)，再根据直线平分△ABC 的面积，故a 不存在，故b <12．综上可得，1−√22<b <12，故选：B ．12. 【答案】 C【考点】圆的标准方程【解析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为(a, a)，(b, b)，利用条件可得a和b分别为x2−10x+17=0的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=√2⋅√(a−b)2的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4, 1)，故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为(a, a)，(b, b)，由于两圆都过点(4, 1)，则有√(a−4)2+(a−1)2=|a|，|√(b−4)2+(b−1)2=|b|，故a和b分别为(x−4)2+(x−1)2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2−10x+17=0的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=√2⋅√(a−b)2=8，故选：C．13.【答案】B【考点】两条直线的交点坐标三角函数的最值直线系方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】可得直线分别过定点(0, 0)和(1, 3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0, 0)，动直线mx−y−m+3=0即m(x−1)−y+3=0，经过定点B(1, 3)，∵动直线x+my=0和动直线mx−y−m+3=0的斜率之积为−1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=√10sinθ，|PB|=√10cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0, π2]∴|PA|+|PB|=√10(sinθ+cosθ)=2√5sin(θ+π4)，∵θ∈[0, π2]，∴θ+π4∈[π4, 3π4]，∴sin(θ+π4)∈[√22, 1]，∴2√5sin(θ+π4)∈[√10, 2√5]. 故选B.14.【答案】D与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标，和P 关于y 轴的对称点P 2的坐标，由P 1，Q ，R ，P 2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值．【解答】建立如图所示的坐标系：可得B(4, 0)，C(0, 4)，故直线BC 的方程为x +y ＝4， △ABC 的重心为(0+0+43, 0+4+03)，设P(a, 0)，其中0<a <4，则点P 关于直线BC 的对称点P 1(x, y)，满足{a+x2+y+02=4y−0x−a⋅(−1)=−1，解得{x =4y =4−a ，即P 1(4, 4−a)，易得P 关于y 轴的对称点P 2(−a, 0)，由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，直线QR 的斜率为k =4−a−04−(−a)=4−a4+a ，故直线QR 的方程为y =4−a4+a (x +a)，由于直线QR 过△ABC 的重心(43, 43)，代入化简可得3a 2−4a ＝0，解得a =43，或a ＝0（舍去），故P(43, 0)，故AP =4315. 【答案】 A【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y ＝kx ，用到角公式，再借助草图，选项判定结果即可．【解答】l 1:x +y −2＝0，k 1＝−1，l 2:x −7y −4=0,k 2=17，设底边为l 3:y ＝kx由题意，l 3到l 1所成的角等于l 2到l 3所成的角于是有k 1−k1+k1k =k−k 21+k 2k⇒k+1k−1=7k−17+k，解得k＝3或k =−13，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k ＝3． k =−13，原点不在等腰三角形的底边上（舍去）， 16.【答案】B【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程直线的一般式方程与直线的性质通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】根据已知中的点E ，F 的位置，可知第一次碰撞点为F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G ，且CG =1621，第二次碰撞点为H ，且DH =(1−1621)×34=528，作图，可以得到回到E 点时，需要碰撞14次即可．二、填空题（共8小题）【答案】(x −1)2+y 2=2 【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程【解析】求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：由题意可知，直线mx −y −2m −1=0可化为y +1=m(x −2)，故直线恒过点(2，−1)，此点与圆心的距离为√(2−1)2+(−1−0)2=√2， ∴ 圆的半径最大为√2，∴ 所求圆的标准方程为(x −1)2+y 2=2．故答案为：(x −1)2+y 2=2．【答案】x 2+(y −1)2＝1 【考点】圆的标准方程【解析】利用点(a, b)关于直线y ＝x ±k 的对称点为 (b, a)，求出圆心，再根据半径求得圆的方程．【解答】圆心与点(1, 0)关于直线y ＝x 对称，可得圆心为(0, 1)，再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x 2+(y −1)2＝1，【答案】 4【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a 的值即可．【解答】直线l 1的参数方程为{x =2s +1y =s （s 为参数），消去s 得普通方程为x −2y −1＝0，直线l 2的参数方程为{x =aty =2t −1 （t 为参数），消去t 得普通方程为2x −ay −a ＝0， ∵ l 1 // l 2，x −2y −1＝0的斜率为k 1=12，∴2x−ay−a＝0的斜率k2=2a =12，解得：a＝4．【答案】5【考点】基本不等式在最值问题中的应用两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|⋅|PB|的最大值．【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0, 0)，动直线mx−y−m+3=0即m(x−1)−y+3=0，经过定点B(1, 3)，注意到动直线x+my=0和动直线mx−y−m+3=0始终垂直，P是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=5（当且仅当|PA|=|PB|=√5时取“=”）故答案为：5.【答案】(x−2)2+(y−1)2=4【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系圆的标准方程【解析】由圆心在直线x−2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r 及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为(2t, t)，半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2√3，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=−1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴(x−2)2+(y−1)2=4．故答案为：(x−2)2+(y−1)2=4．【答案】(x−1)2+(y−√2)2=2；−1−√2．【考点】圆的切线方程圆的标准方程【解析】(1)确定圆心与半径，即可求出圆C 的标准方程；(2)求出圆C 在点B 处切线方程，令y =0可得圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距．【解答】解：(1)由题意，圆的半径为√1+1=√2，圆心坐标为(1, √2)， ∴ 圆C 的标准方程为(x −1)2+(y −√2)2=2. 故答案为：(x −1)2+(y −√2)2=2.(2)由(1)知，B(0, 1+√2)， ∴ 圆C 在点B 处切线方程为：(0−1)(x −1)+(1+√2−√2)(y −√2)=2，令y =0可得x =−1−√2．故答案为：−1−√2.【答案】 ,【考点】三点共线【解析】(Ⅰ)利用|MB|＝λ|MA|，可得(x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得b ；(Ⅱ)取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得λ．【解答】解法一：设点M(cos θ, sin θ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cos θ−b)2+sin 2θ＝λ2[(cos θ+2)2+sin 2θ]，即−2b cos θ+b 2+1＝4λ2cos θ+5λ2对任意θ都成立，所以{−2b =4λ2b 2+1=5λ2．又由|MB|＝λ|MA|得λ>0，且b ≠−2，解得{b =−12λ=12．解法二：(Ⅰ)设M(x, y)，则 ∵ |MB|＝λ|MA|，∴ (x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入可得(1−b)2＝λ2(1+2)2，(−1−b)2＝λ2(−1+2)2，∴ b =−12，λ=12．（2）由(Ⅰ)知λ=12．【答案】 −1或√10 【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析解：由题意，设P(x,1x)，x>0，则|AP|2=(x−a)2+(1x −a)2=(x+1x)2−2a(x+1x)+2a2−2=[(x+1x )−a]2+a2−2．因为x>0，所以x+1x≥2，分两种情况：①当a≥2时，|AP|min=√a2−2=2√2，则a=√10；②当a<2时，|AP|min=√2a2−4a+2=2√2，则a=−1．综上，满足条件的a的所有值为−1和√10．故答案为：−1和√10．三、解答题（共6小题）【答案】证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A(0, a)、B(b, 0)、C(c, 0)，根据所选坐标系，如图，有a>0，b<0，c>0，AB的方程为xb +ya=1，其斜率为−ab，AC的方程为xc+ya=1，其斜率为−ac，高线CE的方程为y=ba (x−c)(1)高线BD的方程为y=ca(x−b)(2)．解（1）、（2），得：(b−c)x＝0∵b−c≠0∴x＝0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．因此，三条高线交于一点．【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的性质【解析】建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．证明：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A(0, a)、B(b, 0)、C(c, 0)，根据所选坐标系，如图，有a >0，b <0，c >0，AB 的方程为xb +ya =1，其斜率为−ab ，AC 的方程为xc +ya =1，其斜率为−ac ，高线CE 的方程为y =ba (x −c)(1)高线BD 的方程为y =ca (x −b)(2)．解（1）、（2），得：(b −c)x ＝0 ∵ b −c ≠0∴ x ＝0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上．因此，三条高线交于一点．【答案】设点P(t, 4t 2)，点P 到直线y ＝4x −5的距离为d ，则d =2√17=2√17，当t =12时，d 取得最小值，此时P(12,1)为所求的点．【考点】点到直线的距离公式【解析】根据抛物线的方程设出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出点P 到直线y ＝4x −5的距离d ，利用二次函数求最值的方法得到所求点P 的坐标即可．【解答】设点P(t, 4t 2)，点P 到直线y ＝4x −5的距离为d ，则d =2√17=2√17，当t =12时，d 取得最小值，此时P(12,1)为所求的点．【答案】证明：把点(1, 2)、(−1, 0)分别代入x +y −1 可得(1+2−1)(−1−1)＝−4<0， ∴ 点(1, 2)、(−1, 0)被直线 x +y −1＝0分隔．联立直线y ＝kx 与曲线x 2−4y 2＝1可得 (1−4k 2)x 2＝1，根据题意，此方程无解，故有 1−4k 2≤0， ∴ k ≤−12，或 k ≥12．曲线上有两个点(−1, 0)和(1, 0)被直线y ＝kx 分隔．证明：设点M(x, y)，则 √x 2+(y −2)2⋅|x|＝1，故曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2y 轴为x ＝0，显然与方程①联立无解．又P 1(1, 2)、P 2(−1, 2)为E 上的两个点，且代入x ＝0，有 η＝1×(−1)＝−1<0，故x ＝0是一条分隔线．若过原点的直线不是y 轴，设为y ＝kx ，代入[x 2+(y −2)2]x 2＝1，可得[x 2+(kx −2)2]x 2＝1，令f(x)＝[x 2+(kx −2)2]x 2−1，∵ k ≠2，f(0)f(1)＝−(k −2)2<0，∴ f(x)＝0在(0, 1)有实数解， k ＝2，f(x)＝[x 2+(2x −2)2]x 2−1＝0没有实数解，即y ＝kx 与E 有公共点， ∴ y ＝kx 不是E 的分隔线．∴ 通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．把点(1, 2)、(−1, 0)分别代入x +y −1可得η＝(1+2−1)(−1+0−1)＝−4<0， ∴ 点(1, 2)、(−1, 0)被直线 x +y −1＝0分隔．联立{x 2−4y 2=1y =kx 可得 (1−4k 2)x 2＝1，根据题意，此方程无解，故有1−4k 2≤0，∴ |k|≥12．当|k|≥12时，对于直线y ＝kx ，曲线x 2−4y 2＝1上的点(−1, 0)和(1, 0)满足η＝−k 2<0，即点(−1, 0)和(1, 0)被y ＝kx 分隔．故实数k 的取值范围是(−∞, −12]∪[12, +∞)．设点M(x, y)，则由题意可得 √x 2+(y −2)2⋅|x|＝1，故曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2＝1 ①．对任意的y 0，(0, y 0)不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点(1, 2)、(−1, 2)对于y 轴(x ＝0)满足η＝1×(−1)＝−1<0，即点(−1, 2)和(1, 2)被y 轴分隔，所以y 轴为曲线E 的分隔线．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】（1）把A 、B 两点的坐标代入η＝(ax 1+by 1+c)(ax 2+by 2+c)，再根据η<0，得出结论．（2）联立直线y ＝kx 与曲线x 2−4y 2＝1可得 (1−4k 2)x 2＝1，根据此方程无解，可得1−4k 2≤0，从而求得k 的范围．（3）设点M(x, y)，与条件求得曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2＝1 ①．由于y 轴为x ＝0，显然与方程①联立无解．把P 1、P 2的坐标代入x ＝0，由η＝1×(−1)＝−1<0，可得x ＝0是一条分隔线．（1）把A 、B 两点的坐标代入η＝(ax 1+by 1+c)(ax 2+by 2+c)，再根据η<0，得出结论．（2）联立{x 2−4y 2=1y =kx 可得 (1−4k 2)x 2＝1，根据此方程无解，可得1−4k 2≤0，从而求得k 的范围．（3）设点M(x, y)，与条件求得曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2＝1 ①．由于y 轴为x ＝0，显然与方程①联立无解．把P 1、P 2的坐标代入x ＝0，由η＝1×(−1)＝−1<0，可得x ＝0是一条分隔线．证明：把点(1, 2)、(−1, 0)分别代入x +y −1 可得(1+2−1)(−1−1)＝−4<0， ∴ 点(1, 2)、(−1, 0)被直线 x +y −1＝0分隔．联立直线y ＝kx 与曲线x 2−4y 2＝1可得 (1−4k 2)x 2＝1，根据题意，此方程无解，故有 1−4k 2≤0， ∴ k ≤−12，或 k ≥12．曲线上有两个点(−1, 0)和(1, 0)被直线y ＝kx 分隔．证明：设点M(x, y)，则 √x 2+(y −2)2⋅|x|＝1，故曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2＝1 ①．y 轴为x ＝0，显然与方程①联立无解．又P 1(1, 2)、P 2(−1, 2)为E 上的两个点，且代入x ＝0，有 η＝1×(−1)＝−1<0，故x ＝0是一条分隔线．若过原点的直线不是y 轴，设为y ＝kx ，代入[x 2+(y −2)2]x 2＝1，可得[x 2+(kx −2)2]x 2＝1，令f(x)＝[x 2+(kx −2)2]x 2−1，∵ k ≠2，f(0)f(1)＝−(k −2)2<0，∴ f(x)＝0在(0, 1)有实数解， k ＝2，f(x)＝[x 2+(2x −2)2]x 2−1＝0没有实数解，即y ＝kx 与E 有公共点， ∴ y ＝kx 不是E 的分隔线．∴ 通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．把点(1, 2)、(−1, 0)分别代入x +y −1可得η＝(1+2−1)(−1+0−1)＝−4<0， ∴ 点(1, 2)、(−1, 0)被直线 x +y −1＝0分隔．联立{x 2−4y 2=1y =kx 可得 (1−4k 2)x 2＝1，根据题意，此方程无解，故有1−4k 2≤0，∴ |k|≥12．当|k|≥12时，对于直线y ＝kx ，曲线x 2−4y 2＝1上的点(−1, 0)和(1, 0)满足η＝−k 2<0，即点(−1, 0)和(1, 0)被y ＝kx 分隔．故实数k 的取值范围是(−∞, −12]∪[12, +∞)．设点M(x, y)，则由题意可得 √x 2+(y −2)2⋅|x|＝1，故曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2＝1 ①．对任意的y 0，(0, y 0)不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点(1, 2)、(−1, 2)对于y 轴(x ＝0)满足η＝1×(−1)＝−1<0，即点(−1, 2)和(1, 2)被y 轴分隔，所以y 轴为曲线E 的分隔线．【答案】 43【考点】圆的切线方程两直线的夹角【解析】设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A(1, 3)在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sin θ的值，可得cos θ、tan θ 的值，再计算tan 2θ．解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A(1, 3)在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=√10，圆的半径为r=√2，∴sinθ=√2√10，∴cosθ=√2√10，tanθ=12，∴tan2θ=11−14=43，故答案为：43．【答案】设P的坐标为(x, y)，由题意有|PM||PN|=√2，即√(x+1)2+y2=√2⋅√(x−1)2+y2，整理得x2+y2−6x+1＝0，因为点N到PM的距离为1，|MN|＝2所以PMN＝30∘，直线PM的斜率为±√33直线PM的方程为y=±√33(x+1)将y=±√33(x+1)代入x2+y2−6x+1＝0整理得x2−4x+1＝0解得x=2+√3，x=2−√3则点P坐标为(2+√3,1+√3)或(2−√3,−1+√3)(2+√3,−1−√3)或(2−√3,1−√3)直线PN的方程为y＝x−1或y＝−x+1．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】设P的坐标为(x, y)，由题意点P到两定点M(−1, 0)、N(1, 0)距离的比为√2，可得|PM||PN|=√2，结合两点间的距离，化简整理得x2+y2−6x+1＝0，又由点N到PM的距离为1，即|MN|＝2，可得直线PM的斜率，进而可得直线PM的方程，并将方程代入x2+y2−6x+1＝0整理得x2−4x+1＝0，解可得x的值，进而得P的坐标，由直线的方程代入点的坐标可得答案．【解答】设P的坐标为(x, y)，由题意有|PM||PN|=√2，即√(x+1)2+y2=√2⋅√(x−1)2+y2，整理得x2+y2−6x+1＝0，因为点N到PM的距离为1，|MN|＝2所以PMN＝30∘，直线PM的斜率为±√33直线PM的方程为y=±√33(x+1)将y=±√33(x+1)代入x2+y2−6x+1＝0整理得x2−4x+1＝0解得x=2+√3，x=2−√3则点P坐标为(2+√3,1+√3)或(2−√3,−1+√3)(2+√3,−1−√3)或(2−√3,1−√3)直线PN的方程为y＝x−1或y＝−x+1．试卷第21页，总21页。

湘教版必修3高考题单元试卷：第7章_解析几何初步(03)(有答案)

湘教版必修3高考题单元试卷：第7章解析几何初步（03）一、选择题（共14小题）1. 设P是圆(x−3)2+(y+1)2＝4上的动点，Q是直线x＝−3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A.6B.4C.3D.22. 已知点M(a, b)在圆O:x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定3. 直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.4√64. 已知过点P(2, 2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A.−12B.1 C.2 D.125. 直线x+y=1与圆x2+y2−2ay=0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是()A.(0, √2−1)B.(√2−1, √2+1)C.(−√2−1, √2+1)D.(0, √2+1)6. 过点P(−√3, −1)的直线l与圆x2+y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.(0, π6] B.(0, π3] C.[0, π6] D.[0, π3]7. 过点P(√2,0)引直线l与曲线y=√1−x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.√33B.−√33C.±√33D.−√38. 已知圆C1：(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A.√17−1B.5√2−4C.6−2√2D.√179. 已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m, 0)，B(m, 0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90∘，则m的最大值为()A.7B.6C.5D.410. 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=＝0相切，则圆C 面积的最小值为（） A.45πB.34πC.(6−2√5)πD.54π11. 设点M(x 0, 1)，若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45∘，则x 0的取值范围是（） A.[−1, 1] B.[−12, 12]C.[−√2, √2]D.[−√22, √22]12. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D(1, 1, √2)，若S 1，S 2，S 3分别表示三棱锥D −ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A.S 1=S 2=S 3 B.S 2=S 1且S 2≠S 3 C.S 3=S 1且S 3≠S 2 D.S 3=S 2且S 3≠S 113. 圆x 2+2x +y 2+4y −3=0上到直线x +y +1=0的距离为√2的点共有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个14. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →⋅PB →的最小值为( ) A.−4+√2 B.−3+√2 C.−4+2√2 D.−3+2√2二、填空题（共9小题）在平面直角坐标系xOy 中，直线x +2y −3=0被圆(x −2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________．直线l 1:y ＝x +a 和l 2:y ＝x +b 将单位圆C:x 2+y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2＝________．直线y =2x +3被圆x 2+y 2−6x −8y =0所截得的弦长等于________．已知圆O:x 2+y 2＝5，直线l:x cos θ+y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则 k ＝________．过点(3, 1)作圆(x −2)2+(y −2)2=4的弦，其中最短的弦长为________．已知直线x −y +a =0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x −4y −4=0相交于A 、B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．设点M(x 0, 1)，若在圆O:x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45∘，则x 0的取值范围是________．已知直线ax +y −2=0与圆心为C 的圆(x −1)2+(y −a)2=4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a =________．已知曲线C:x =−√4−y 2，直线l:x =6，若对于点A(m, 0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →+AQ →=0→，则m 的取值范围为________．三、解答题（共2小题）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l:x −2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．已知圆C 的方程为x 2+(y −4)2=4，点O 是坐标原点．直线l:y =kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m, n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2．请将n 表示为m 的函数．参考答案与试题解析湘教版必修3高考题单元试卷：第7章解析几何初步（03）一、选择题（共14小题）1.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】过圆心A作AQ⊥直线x＝−3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值．【解答】过圆心A作AQ⊥直线x＝−3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A(3, −1)，半径r＝2，则|PQ|＝|AQ|−r＝6−2＝（4）2.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by＝1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】∵M(a, b)在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2>1，∴圆O(0, 0)到直线ax+by＝1的距离d=√a2+b2<1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．3.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2−2x−4y=0，得(x−1)2+(y−2)2=5，所以圆的圆心坐标是C(1, 2)，半径r=√5．圆心C到直线x+2y−5+√5=0的距离为d=√5|√12+22=√5√5=1．所以直线直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为2√(√5)2−12=4．故选C.4.【答案】C【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系斜率的计算公式【解析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax−y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P(2, 2)满足圆(x−1)2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P(2, 2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax−y+1=0平行，=2．所以直线ax−y+1=0的斜率为：a=2−02−1故选C．5.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据直线与圆没有公共点得到直线与圆的位置关系是相离，则根据圆心到直线的距离大于半径列出关于a的不等式，讨论a与1的大小分别求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：把圆x2+y2−2ay=0(a>0)化为标准方程为x2+(y−a)2=a2，所以圆心(0, a)，半径r=a，>r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心(0, a)到直线x+y=1的距离d=1+1当a−1>0，即a>1时，化简为a−1>√2a，即a(1−√2)>1，因为a>0，无解；=当a−1<0，即0<a<1时，化简为−a+1>√2a，即(√2+1)a<1，a<√2+1√2−1，所以a的范围是(0, √2−1)，故选A.6.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可√3k−1|√k 2+1≤1，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围．【解答】由题意可得点P(−√3, −1)在圆x 2+y 2＝1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 y +1＝k(x +√3)，即 kx −y +√3k −1＝（0）√3k−1|2≤1，即 3k 2−2√3k +1≤k 2+1，解得0≤k ≤√3，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0, π3]， 7.【答案】 B【考点】相交弦所在直线的方程直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线的斜率【解析】此题暂无解析【解答】解：由y =2 得x 2+y 2=1(y ≥0)．所以曲线y =√1−x 2表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则−1<k <0，直线l 的方程为y −0=k(x −√2)，即kx −y −√2k =0．则原点O 到l 的距离d =√2k|2，l 被半圆截得的半弦长为(−√2k 2)=√1−k 2k 2+1．则S △ABO =√2k|2√1−k 2k +1=√2k 2(1−k 2)(k +1)=√−2(k 2+1)2+6(k 2+1)−4(k 2+1)2=√−(k 2+1)2+k 2+1−2．令1k 2+1=t ，则S △ABO =√−4t 2+6t −2，当t=34，即1k2+1=34时，S△ABO有最大值为12．此时由1k2+1=34，解得k=−√33．故选B.8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2, −3)，半径为1，圆C2的圆心坐标(3, 4)，半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|−3−1=√(3−2)2+(−3−4)2−4=√50−4=5√2−4．故选B.9.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据圆心C到O(0, 0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90∘，可得PO=12AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3, 4)，半径为1，∵圆心C到O(0, 0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB =90∘可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO =12AB =m ，故有m ≤6. 故选B ． 10.【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】∵ ∠AOB =90∘，∴ 点O 在圆C 上．设直线2x +y −4=0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y −4=0的距离，∴ 点C 在以O 为焦点，以直线2x +y −4=0为准线的抛物线上，∴ 当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|．又|OD|=√5=√5∴ 圆C 的最小半径为√5，∴ 圆C 面积的最小值为π(√5)2=45π.11. 【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M(x0, 1)，要使圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45∘，则∠OMN的最大值大于或等于45∘时一定存在点N，使得∠OMN=45∘，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，M点越靠近y轴，与圆相切时∠OMN就越接近直角，要使圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45∘，则临界点是，当MN与圆相切时∠OMN取得∠OMN=45∘，此时△ONM为等腰直角三角形，此时ON=MN=1，故只有图中M′到M″之间的区域满足题意，∴x0的取值范围是[−1, 1]．故选A．12.【答案】D【考点】空间直角坐标系【解析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．【解答】解：因为A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D(1, 1, √2)，则各个面上的射影分别为A′，B′，C′，D′，在xOy坐标平面上的正投影A′(2, 0, 0)，B′(2, 2, 0)，C′(0, 2, 0)，D′(1, 1, 0)，S1=1×2×2=2．2在yOz坐标平面上的正投影A′(0, 0, 0)，B′(0, 2, 0)，C′(0, 2, 0)，D′(0, 1, √2)，S2=×2×√2=√2.12在zOx坐标平面上的正投影A′(2, 0, 0)，B′(2, 0, 0)，C′(0, 0, 0)，D′(0, 1, √2)，S3=1×2×√2=√2，2则S3=S2且S3≠S1.故选D.13.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质【解析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．【解答】解：圆x 2+2x +y 2+4y −3=0的圆心(−1, −2)，半径是 2√2，圆心到直线x +y +1=0的距离是√2=√2，故圆上的点到直线x +y +1=0的距离为√2的共有3个．故选C . 14. 【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算基本不等式在最值问题中的应用基本不等式平面向量数量积的运算【解析】要求PA →⋅PB →的最小值，我们可以根据已知中，圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA →⋅PB →表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP =x(x >0)，则PA =PB =√x 2−1，∠APO =α，则∠APB =2α， sin α=1x ，PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos 2α=√x 2−1×√x 2−1(1−2sin 2α) =(x 2−1)(1−2x 2) =x 2+2x 2−3≥2√2−3， ∴ 当且仅当x 2=√2时取“=”，故PA →⋅PB →的最小值为2√2−3．二、填空题（共9小题）【答案】2√555【考点】直线与圆的位置关系【解析】求出已知圆的圆心为C(2, −1)，半径r =2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线x +2y −3=0被圆截得的弦长．【解答】解：圆(x −2)2+(y +1)2=4的圆心为C(2, −1)，半径r =2，∵ 点C 到直线直线x +2y −3=0的距离为：d =√1+22=√5，∴ 根据垂径定理，得直线x +2y −3=0被圆(x −2)2+(y +1)2=4截得的弦长为：2√r 2−d 2=2√4−95=2√555. 故答案为：2√555．【答案】2【考点】直线与圆的位置关系【解析】由题意可得，圆心(0, 0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，即√2=√2=cos 45∘，由此求得a 2+b 2的值．【解答】由题意可得，圆心(0, 0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14， ∴ √2=√2=cos 45∘=√22，∴ a 2+b 2＝2，【答案】4√5【考点】直线与圆的位置关系【解析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x 2+y 2−6x −8y =0的圆心坐标(3, 4)，半径为5，圆心到直线的距离为：√22+1=√5，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y =2x +3被圆x 2+y 2−6x −8y =0所截得的弦长为：2×√52−(√5)2=故答案为：4√5．【答案】4【考点】直线与圆的位置关系【解析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r−d的值，即可作出判断．【解答】由圆的方程得到圆心O(0, 0)，半径r=√5，∵圆心O到直线l的距离d=√cos2θ+sin2θ=1<√5，且r−d=√5−1>1＝d，∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k＝（4）【答案】2√2【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3, 1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心(2, 2)，半径r=2，∵√(3−2)2+(1−2)2=√2<2，∴点(3, 1)在圆内.∵圆心到此点的距离d=√2，r=2，∴最短的弦长为2√r2−d2=2√2．故答案为：2√2.【答案】0或6【考点】直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式两条直线垂直的判定【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=9，圆心C(−1, 2)，半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=√22×3=3√22，即d=2=2=3√22，即|a−3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】由题意画出图形如图：点M(x0, 1)，要使圆O:x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45∘，则∠OMN的最大值大于或等于45∘时一定存在点N，使得∠OMN＝45∘，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[−1, 1]．【答案】4±√15【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C(1, a)，半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=√22−1=√3，即d=√a2+1=√a2+1=√3，平方得a2−8a+1=0，解得a=4±√15.故答案为：4±√15. 【答案】[2, 3]【考点】向量的共线定理【解析】此题暂无解析解：曲线C:x =−√4−y 2，是以原点为圆心，2 为半径的半圆，并且x P ∈[−2, 0]，对于点A(m, 0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →+AQ →=0→，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x =6，∴ m =6+x P 2∈[2, 3]．故答案为：[2,3].三、解答题（共2小题）【答案】设圆P 的圆心为P(a, b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，知圆P 截x 轴所得的弦长为√2r ．故r 2＝2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2＝a 2+(1)从而得2b 2−a 2＝1；又因为P(a, b)到直线x −2y ＝0的距离为√55，所以d =√5=√55，即有a −2b ＝±1，由此有{2b 2−a 2=1a −2b =1 或{2b 2−a 2=1a −2b =−1 解方程组得{a =−1b =−1 或{a =1b =1，于是r 2＝2b 2＝2，所求圆的方程是：(x +1)2+(y +1)2＝2，或(x −1)2+(y −1)2＝（2）【考点】直线与圆的位置关系【解析】设出圆P 的圆心坐标，由圆被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，得到圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，根据垂径定理得到圆截x 轴的弦长，找出r 与b 的关系式，又根据圆与y 轴的弦长为2，利用垂径定理得到r 与a 的关系式，两个关系式联立得到a 与b 的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P 到直线x −2y ＝0的距离，让其等于√55，得到a 与b 的关系式，将两个a 与b 的关系式联立即可求出a 与b 的值，得到圆心P 的坐标，然后利用a 与b 的值求出圆的半径r ，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】设圆P 的圆心为P(a, b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90∘，知圆P 截x 轴所得的弦长为√2r ．故r 2＝2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2＝a 2+(1)从而得2b 2−a 2＝1；又因为P(a, b)到直线x −2y ＝0的距离为√55，所以d =√5=√55，即有a −2b ＝±1，由此有{2b 2−a 2=1a −2b =1 或{2b 2−a 2=1a −2b =−1 解方程组得{a =−1b =−1 或{a =1b =1，于是r 2＝2b 2＝2，所求圆的方程是：(x +1)2+(y +1)2＝2，或(x −1)2+(y −1)2＝（2）【答案】解：(1)将y =kx 代入x 2+(y −4)2=4中，得：(1+k2)x2−8kx+12=0，根据题意得：Δ=(−8k)2−4(1+k2)×12>0，即k2>3，则k的取值范围为(−∞, −√3)∪(√3, +∞)；(2)由M，N，Q在直线l上，可设M，N坐标分别为(x1, kx1)，(x2, kx2)，∴|OM|2=(1+k2)x12，|ON|2=(1+k2)x22，|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2，代入2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2得：2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22，即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2−2x1x2x12x22，由(1+k2)x2−8kx+12=0得到：x1+x2=8k1+k2，x1x2=121+k2，代入得：2m2=(8k1+k2)2−241+k2144(1+k2)2，即m2=365k2−3，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=nm，代入m2=365k2−3，化简得5n2−3m2=36，由m2=365k2−3及k2>3，得到0<m2<3，即m∈(−√3, 0)∪(0, √3)，根据题意得点Q在圆内，即n>0，∴n=√3m2+365=√15m2+1805，则n与m的函数关系式为：n=√15m2+1805（m∈(−√3, 0)∪(0, √3)）．【考点】函数与方程的综合运用圆的综合应用直线与圆的位置关系【解析】（1）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；（2）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为(x1, kx1)，(x2, kx2)，利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y= kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．【解答】解：(1)将y=kx代入x2+(y−4)2=4中，得：(1+k2)x2−8kx+12=0，根据题意得：Δ=(−8k)2−4(1+k2)×12>0，即k2>3，则k的取值范围为(−∞, −√3)∪(√3, +∞)；(2)由M，N，Q在直线l上，可设M，N坐标分别为(x1, kx1)，(x2, kx2)，∴|OM|2=(1+k2)x12，|ON|2=(1+k2)x22，|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2，代入2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2得：2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22，即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2−2x1x2x12x22，由(1+k2)x2−8kx+12=0得到：x1+x2=8k1+k2，x1x2=121+k2，代入得：2m2=(8k1+k2)2−241+k2144(1+k2)2，即m2=365k2−3，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=nm，代入m2=365k2−3，化简得5n2−3m2=36，由m2=365k2−3及k2>3，得到0<m2<3，即m∈(−√3, 0)∪(0, √3)，根据题意得点Q在圆内，即n>0，∴n=√3m2+365=√15m2+1805，则n与m的函数关系式为：n=√15m2+1805（m∈(−√3, 0)∪(0, √3)）．。

【湘教版】高中数学必修三期末试题(含答案)(1)

一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（）.A ．14B ．15C ．25D ．352．袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是（） A ．至少有一个白球；都是白球 B ．两个白球；至少有一个红球 C ．红球、白球各一个；都是白球D ．红球、白球各一个；至少有一个白球3．中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为12，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A ．125B ．19C ．15D ．134．下列命题中正确的是（）A ．事件A 发生的概率()P A 等于事件A 发生的频率()n f AB ．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C ．掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则()()2P A P B =D ．对于两个事件A 、B ，若()()()P AB P A P B =+，则事件A 与事件B 互斥5．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何?”根据此问题写出如下程序框图，若输出465S =，则输入m 的值为（）A ．240B ．220C ．280D ．2606．定义语句“mod r m n =”表示把正整数m 除以n 所得的余数赋值给r ，如7mod31=表示7除以3的余数为1，若输入56m =，18n =，则执行框图后输出的结果为（）A ．6B ．4C ．2D ．17．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（）A ．53B ．74C ．95D ．1168．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．9-B ．16-C ．25-D ．36-9．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若统计员计算无误，则数字x 应该是（）A ．5B ．4C ．3D ．210．通过实验，得到一组数据如下：2,5,8,9,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( ) A ．3.2B ．4C ．6D ．6.511．如图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图，设1、2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为12s s 、，那么（）（注:标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-A ．1212,x x s s >>B ．1212,x x s s ><C ．1212,x x s s <<D ．1212,x x s s12．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程是（）参考公式：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =；A ．0.6274ˆ.2yx =+ B ．0.7264ˆ.2y x =+ C ．0.7164ˆ.1y x =+ D ．0.6264ˆ.2y x =+ 二、填空题13．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.14．在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于________.15．从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______． 16．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为_____．17．如图所示的程序框图，输出的S的值为()A．12B．2 C．1-D．12-18．运行如图所示的程序，输出结果为___________.19．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．20．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为______.三、解答题21．2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”. 下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人.（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.附：22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++参考数据：22．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.23．运行如下图的程序框图：x=，求输出的k的值；（1）若输入3k=，求输人的实数x的取值范围.（2）若输出424．给出30个数：1，2，4，7，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了解决该问题的算法框图（如图所示）.（1）请在图中处理框内①处和判断框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；（2）根据算法框图写出算法语句.25．某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.26．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22⨯联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可．【详解】由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=，即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ，较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=，由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==．故选：B ．【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．C解析：C 【分析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论．【详解】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，对于A ，至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．对于B 两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合．对于C 红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件，故符合．对于D 红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合．故选：C ．【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．3．C解析：C 【分析】由已知的线段的长度比，得出两正方形的面积，运用概率公式可得选项. 【详解】设直角三角形的两直角边分别为1和2所以小正方形的边长为211-=，面积为1，大正方形的面积为25=. 所以飞镖落在小正方形内的概率为15. 故选：C. 【点睛】本题考查几何概型，关键在于由长度的关系得出大正方形和小正方形的面积，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据频率与概率的关系判断即可得A 选项错误；根据概率的意义即可判断B 选项错误；根据古典概型公式计算即可得C 选项正确；举例说明即可得D 选项错误. 【详解】解：对于A 选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A 选项错误；对于B 选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B 选项错误；对于C 选项，根据概率的计算公式得()1112222P A =⨯⨯=，()111224P B =⨯=，故()()2P A P B =，故C 选项正确；对于D 选项，设[]3,3x ∈-，A 事件表示从[]3,3-中任取一个数x ，使得[]1,3x ∈的事件，则()13P A =，B 事件表示从[]3,3-中任取一个数x ，使得[]2,1x ∈-的事件，则()12P A =，显然()()()511632P A B P A P B ==+=+，此时A 事件与B 事件不互斥，故D 选项错误. 【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D 选项的判断，适当的举反例求解即可.5．A解析：A 【分析】根据程序框图,依次循环计算,可得输出的S 表达式.结合465S =,由等比数列求和公式,即可求得m 的值. 【详解】由程序框图可知,0,0S i ==,1S m i ==,22mS m i =+= ,324m mS m i =++= ,4248m m mS m i =+++= ,524816m m m mS m i =++++= 此时输出S .所以46524816m m m mm ++++= 即1111146524816m ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭由等比数列前n 项和公式可得5112465112m ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯=- 解得240m = 故选:A 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的应用,等比数列求和的应用,属于中档题.6．C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的m 的值. 【详解】第一次进入循环，因为56除以18的余数为2，所以2r，18m =，2n =，判断r 不等于0，返回循环；第二次进入循环，因为18除以2的余数为0，所以0r =，2m =，0n =，判断r 等于0，跳出循环，输出m 的值为2.故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．D解析：D 【分析】通过分析可知程序框图的功能为计算211n S n +=+，根据最终输出时n 的值，可知最终赋值S 时5n =，代入可求得结果. 【详解】根据程序框图可知其功能为计算：()111111111211111112231223111n S n n n n n n +=+++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=⨯⨯++++初始值为1n =，当6n =时，输出S 可知最终赋值S 时5n = 25111516S ⨯+∴==+ 本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据程序框图的功能计算输出结果，关键是能够明确判断出最终赋值时n 的取值.8．D解析：D 【分析】执行循环结构的程序框图，逐次运算，根据判断条件终止循环，即可得到运算结果，得到答案.由题意，执行循环结构的程序框图，可知：第一次运行时，1(1)11,0(1)1,3T S n =-=-=+-=-=•；第二次运行时，3(1)33,1(3)4,5T S n =-=-=-+-=-=•；第三次运行时，5(1)55,4(5)9,7T S n =-=-=-+-=-=•；第四次运行时，7(1)77,9(7)16,9T S n =-=-=-+-=-=•；第五次运行时，9(1)99,16(9)25,11T S n =-=-=-+-=-=•；第六次运行时，11(1)1111,25(11)36T S =-=-=-+-=-•，此时刚好满足9n >，所以输出S 的值为36-.故选D. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中熟练应用给定的程序框图，逐次运算，根据判断条件，终止循环得到结果是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D解析：D 【解析】记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，()89889290939291791x +++++++÷=，635=917=6372x x ，∴+⨯∴=，故选D.10．C解析：C 【解析】分析：利用平均数的公式，求得6x =，得到数据2,5,8,9,6，再利用方差的计算公式，即求解数据的方差.详解：由题意，一组数据2,5,8,9,x 的平均数为6，即258924655x xx +++++===，解得6x =，所以数据2,5,8,9,6的方差为2222221[(26)(56)(86)(96)(66)]65s =-+-+-+-+-=，故选C.点睛：本题主要考查了数据的数字特的计算，其中熟记数据的平均数的公式和数据的方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】由茎叶图分别计算出两组数的平均数和标准差，然后比较大小【详解】读取茎叶图得到两组数据分别为： (1)53565758617072，，，，，， (2)54565860617273，，，，，，()()11503678112022617x kg =+⨯++++++=，()()215046810112223627x kg =+⨯++++++=，1s ==，2s == 则1212,x x s s << 故选C 【点睛】本题给出茎叶图，需要求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识，样本特征数的计算等知识，属于基础题．12．B解析：B 【解析】【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【详解】由题意，b=22222210078102801088411488116905108841001021081141165108⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯++++-⨯=0.72， a=84﹣0.72×108=6.24，∴y =0.72x+6.24，故选：B ．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.二、填空题13．【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有28种所解析：725【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

【湘教版】高中数学必修三期末试卷(带答案)(1)

一、选择题1．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与另一段GN GN的比例中项，即满足512MG NGMN MG-==，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点.在矩形ABCD中，E，F是线段AB的两个“黄金分割”点.在矩形ABCD内任取一点M，则该点落在DEF内的概率为（）A．52-B．51-C．52-D．51-2．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）A．35B．79C．715D．31453．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A．116B．18C．38D．3164．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（）A．13B．14C．15D．165．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A ．511B ．512C ．1022D ．10246．如图所示的程序框图输出的结果是（）A ．34B ．55C ．78D ．897．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记为(,)Mod N m r =，例如(10,4)2Mod =.如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i =（）A ．8B ．18C ．23D ．388．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（）A ．5B ．7C ．9D ．119．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元10．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,411．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（） A ．10B ．11C ．12D ．1312．从存放号码分别为1，2，⋯，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是（） A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_____17．如图所示的程序框图，输出S 的结果是__________．18．执行右边的程序框图，若，则输出的________．19．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本，若样本中男生比女生多12人，则n _______．20．一个容量为40的样本，分成若干组，在它的频率分布直方图中，某一组相应的小长方形的面积为0.4，则该组的频数是__________．三、解答题21．某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）试求出a 的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（2）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的概率是多少？22．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率；（2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.23．编写一个程序，要求输入两个正数a 和b 的值，输出a b 和b a 的值，并画出程序框图.24．函数y=x 1,x 0,0,x 0,x 1,x 0,-+>⎧⎪=⎨⎪+<⎩ 试写出给定自变量x,求函数值y 的算法.25．潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后幼虫会在叶片中啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量．经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y 和夏季平均温度x 有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格．平均温度C i x ︒ 21 23 25 27 29 31 平均产卵数i y 个711212264115（Ⅰ）根据相关系数r 判断，潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 是否具有较强的线性相关关系，若有较强的线性相关关系，求出线性回归方程y bx a =+，若没有较强的线性相关关系，请说明理由（一般情况下，当0.75r >时，可认为变量有较强的线性相关关系）；（Ⅱ）根据以往的统计，该地区夏季平均气温为()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ，且()125282P ξ<≤=．当该地区某年平均温度达到28C ︒以上时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷（其他情况均不需要人工治理），且虫害一定会导致水稻减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如下：用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失Y （元）的数学期望．（经济损失＝减产损失＋治理成本）参考公式和数据：()()ni i x xy yr --=∑()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-()()61700i i i x xy y=--=∑，6214126i i x ==∑，61240i i y ==∑，()6218816i i y y=-=∑，8.4≈786≈．26．庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：（1）由散点图可知y 与x 是线性相关的，求线性回归方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()ˆˆ).ˆ(,()nniii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑（参考数据：1010211115,406i ii i i x yx ====∑∑）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C【分析】分别求出对应的面积，进而求得结论．【详解】解：设正方形ABCD的边长为1，则AF BE==，∴212 EF AF=-=，∴所求的概率为212DEFABCDEF ADSPS AD⨯⨯===正方形故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量” ()N A ，再求出总的基本事件对应的“几何度量” N，最后根据()N APN求解，属于中档题．2．A解析：A 【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.3．B解析：B 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求. 【详解】解：由题意知这是一个几何概型， ∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，由几何概型公式得到151604P ==, 故选B ．【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.5．C解析：C 【分析】直接根据程序框图计算得到答案. 【详解】根据程序框图知：92391012222 (2222102212)S -=++++==-=-.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定程序框图表示的意义是解题的关键.6．B解析：B 【分析】通过不断的循环赋值，得到临界值，即可得解. 【详解】1,1,21,2,32,3,53,5,85,8,138,13,2113,21,3421,34,55x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ========================不满足50z ≤，输出即可，故选：B. 【点睛】本题考查了程序框图循环结构求输出结果，考查了计算能力，属于中当题.7．C解析：C 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2， ②被5除余3， ③被7除余2，故输出的i 为23，故选C ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．C解析：C【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=； 3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=. 4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】试题分析：根据线性回归方程=50+80x 的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可．解：根据线性回归方程为=50+80x ，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A 正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B 正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C 错误；当月工资为210元时，210=50+80x ，解得x=2，此时劳动生产率约为2000元，D 正确．故选C ．考点：线性回归方程．10．C解析：C 【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为0.47.6y x =-+，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B ：根据表中数据：x =9．可得y =4．即()16+3244m ++=，解得：m=5．对于C ：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D：由线性回归方程一定过（x，y），即（9，4）．故选：C．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.11．C解析：C【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．12．A解析：A【解析】分析：由题意结合统计表确定频数，然后确定频率即可.详解：由题意可知，取到卡片为奇数的频数为：1356181153++++=，取卡片的次数为100次，则取到号码为奇数的频率是530.53 100=.本题选择A选项.点睛：本题主要考查频率的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为31120021(1()|33S dx x x =-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113p ==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】由人数之比求出抽出的5名同学中高二高三年级人数通过列举出从这5名同学中再随机抽取2名同学的所有可能即可求出抽取的两名同学来自同一年级的概率【详解】解：高二高三抽取人数之比为所以5名同学中高二解析：25【分析】由人数之比求出抽出的5名同学中高二、高三年级人数，通过列举出从这5名同学中再随机抽取2名同学的所有可能即可求出抽取的两名同学来自同一年级的概率. 【详解】解：高二高三抽取人数之比为15:103:2=，所以5名同学中高二有3人，高三有2人，设高二3人为123,,A A A ，高三2人为12,B B ，则随机抽取2名同学的可能有12131112232122313212A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ,,,,,,,,,共十种可能，其中抽取的两名同学来自同一年级的有12132312,,,A A A A A A B B 四种可能，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为42105=, 故答案为:25. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是求出高二、高三各抽出的人数.15．【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有28种所25【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

【湘教版】高中数学必修三期末试卷附答案(1)

一、选择题1．从单词“book ”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．342．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）A ．35B ．45C ．1D ．653．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（） A ．16πB ．4π C ．324- D ．14π-4．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A 3B ．31π-C ．3πD ．31π-5．计算11111212312310++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，执行如图所示的程序根图，若输入的10N =，则图中①②应分别填入（）A ．1T k=，k N > B ．1T k=，k N ≥ C ．TT k=，k N > D ．TT k=，k N ≥ 6．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为511，则判断框内可填入的条件是（）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．5i <D ．6i ≤7．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的结果是（）A ．11114135717P ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭ B ．11114135719P ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭ C ．11114135721P ⎛⎫=-+-+⋯+ ⎪⎝⎭ D ．11114135721P ⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭8．已知函数1()(1)g x x x =+，程序框图如图所示，若输出的结果1011S =，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是（）A ． 10?n ≤B ．10?n >C ． 11?n ≤D ． 11?n >9．某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)[)[)[)[)[)[)[]0,5,5,10,10,15,15,20,20,25,25,30,30,35,35,40时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A ．B ．C ．D ．10．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A ．0795B ．0780C ．0810D ．081511．如图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图，设1、2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为12s s 、，那么（）（注:标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-A ．1212,x x s s >>B ．1212,x x s s ><C ．1212,x x s s <<D ．1212,x x s s12．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A ．127B ．128C ．128.5D ．129二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于________. 15．在区间[]0,2中随机地取出一个数x ，则sin6x π>的概率是__________．16．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值为__________．17．执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．18．执行如图所示的程序框图，若输入的255a =，68b =，则输出的a 是__________．19．已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.⑤回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点；⑥若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．其中正确命题的序号是__________．20．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：x1 2 3 4 5 y 7.06.5m3.82.2已知x 和y 具有线性相关关系，且回归方程为 1.238.69y x =-+，那么表中m 的值为__________．三、解答题21．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，可知其概率平分别为1(),1000P A =101(),1000100P B ==501()100020P C ==．（1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 22．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下功夫，在精准扶贫上见实效.根据当地气候特点大力发展中医药产业，药用昆虫的使用相应愈来愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采取各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选取了5天进行研究，现收集了该种药物昆虫的5组观察数据如表：日期 2日 7日 15日 22日 30日温度x /℃ 10 11 13 12 8 产卵数y /个2224292516（1）从这5天中任选2天，记这2天药用昆虫的产卵数分别为m ，n ，求“事件m ，n 均不小于24”的概率？（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.①若选取的是3月2日与3月30日这2组数据，请根据3月7日、15日和22日这三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程？②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？附公式：ˆybx a =+，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑23．如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，APB △的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并画出程序框图.24．某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：()()()0.5350=500.53+-500.8550f ωωωω⎧≤⎪⎨⨯⨯>⎪⎩.其中f (单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克)，试写出一个计算费用f 的算法，并画出相应的程序框图．25．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度C x ︒5-0 5 10 15（1）求y 关于x 的线性回归直线方程；（2）如果某天的气温是–10C ︒，预测这天卖出的热饮杯数（四舍五入，取整数）.附：对于线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb xx xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 26．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：1221ni ii nii x ynxyb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】从四个字母中取2个，列举出所有的基本事件，即得所求的概率. 【详解】从四个字母中取2个，所有的基本事件为：,,,bo bk oo ok ，共有4个；其中“取到的2个字母不相同”含有,,bo bk ok 3个，故所求概率为34. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.2．D解析：D 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.3．D解析：D 【分析】根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解. 【详解】分别以A ，B ，C ，D 四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分224ABCD S =⨯=，214144ABCD S S ππ=-⨯⨯=-阴影由几何测度的古典概型，14ABCD S P S π==-阴影故选：D 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，求得十二边形的面积，利用面积比的几何概型，即可求解. 【详解】由题意，半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为21121sin 326S π=⨯⨯⨯=，由几何概型的概率计算公式，可得所求概率31P π=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A PN求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 5．C解析：C 【分析】根据题意计算结果直接判断即可解题. 【详解】当①②分别是TT k=，k N >时，首先初始化数据；10N =，1k =，0S =，1T =．第一次循环，1TT k==，1S S T =+=，12k k =+=，此时不满足k N >；第二次循环，112T T k ==⨯，1112S S T =+=+⨯，13k k =+=，此时不满足k N >；第三次循环，1123T T k ==⨯⨯，11112123S S T =+=++⨯⨯⨯，14k k =+=，此时不满足k N >；一直循环下去，第十次循环，112310T T k ==⨯⨯⨯⨯，11111212312310S S T =+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，111k k =+=，此时满足k N >，跳出循环．故输出的11111212312310S =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．故选：C.本题考查根据计算补全程序框图，是基础题.6．B解析：B【分析】模拟运行程序1i =，满足条件，1013S =+⨯，2i =，满足条件，进入循环体，反复操作，直到输出511S =，核对满足的条件即可. 【详解】 1i =，满足条件，1013S =+⨯； 2i =，满足条件，111335S =+⨯⨯； 3i =，满足条件，111133557S =++⨯⨯⨯； 4i =，满足条件，111113355779S =+++⨯⨯⨯⨯； 5i =，满足条件，11111115(1)1335577991121111S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯； 6i =，不满足条件，输出511S =. 故选：B.【点睛】本题考查了对程序框图的理解与应用，由程序运行结果，补充条件，数列求和的裂项相消法，属于中档题.7．B解析：B【分析】按照程序框图运行程序，寻找规律，直到i n >输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入10n =，0S =，1i =，则1S =，2i =，不满足i n >，循环；113S =-，3i =，不满足i n >，循环；11135S =-+，4i =，不满足i n >，循环；以此类推，1111135719S =-+--⋅⋅⋅-，11=i ，满足i n >，则4P S =， 11114135719P ⎛⎫∴=-+--⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭. 故选：B .本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于常考题型.8．A解析：A【分析】按照程序框图执行几次，找出此框图的算法功能，再根据已知条件1011S =进一步判断框内条件即可.【详解】按照程序框图依次执行： 110,1,01122S n S ===+=-⨯ 1111112,11+12232233n S ==-+=--=-⨯ 以此类推，可得111S n =-+ . 若1011S =，可得10n =，若要输出1011S =，则判断框内应填10n ≤？. 故选：A.【点睛】本题主要考查根据程序框图的输出结果判断程序框图中的选择条件，考查逻辑推理能力. 9．A解析：A【解析】由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个，[0,5)的频数为20×0.01×5=1个，[5,10)的频数为20×0.01×5=1个，[10,15)频数为20×0.04×5=4个，[15,20)频数为20×0.02×5=2个，[20,25)频数为20×0.04×5=4个，[25,30)频数为20×0.03×5=3个，[30,35)频数为20×0.03×5=3个，[35,40]频数为20×0.02×5=2个，则对应的茎叶图为A ，本题选择A 选项.点睛：茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．10．A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果. 详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为10002050= 所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-= 选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.11．C解析：C【分析】由茎叶图分别计算出两组数的平均数和标准差，然后比较大小【详解】读取茎叶图得到两组数据分别为：(1)53565758617072，，，，，，(2)54565860617273，，，，，，()()11503678112022617x kg =+⨯++++++=， ()()215046810112223627x kg =+⨯++++++=，1s ==，2s == 则1212,x x s s <<故选C【点睛】本题给出茎叶图，需要求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识，样本特征数的计算等知识，属于基础题．12．D解析：D【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数．详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129.故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．二、填空题13．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为23，则有2263m =，解得2m =，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．【分析】将异面直线分为两种情况：（1）两条面对角线是异面直线（2）一条面对角线和一条体对角线是异面直线由此分别计算出满足要求的方法数最后即可计算出相应概率【详解】由于4条体对角线都经过正方体的中心所解析：920【分析】将异面直线分为两种情况：（1）两条面对角线是异面直线，（2）一条面对角线和一条体对角线是异面直线，由此分别计算出满足要求的方法数，最后即可计算出相应概率.【详解】由于4条体对角线都经过正方体的中心,所选的两条对角线至少包含一条面对角线： ①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面,考虑重复选取，125302⨯∴=(种)； ②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12224⨯=(种)∴概率为2163024920C +=. 故答案为：920. 【点睛】本题考查异面直线的理解以及用排列组合的方法计算概率，难度一般.排列组合的方法计算相应概率时，可采用古典概型的概率计算方法：先计算出基本事件的总数，然后计算出满足要求的基本事件的数量，此时P =满足要求的基本事件数量基本事件的总数. 15．【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论详解：区间的两端点间距离是2在区间内任取一点该点表示的数都大于故在区间中随机地取出一个数这个数大于的概率为故答案为：点睛：本题主要考查概率的计算根据几解析：34【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论．详解：区间[]0,2的两端点间距离是2，在区间1,22⎛⎤⎥⎝⎦ 内任取一点，该点表示的数都大于1sin 62π=，故在区间中随机地取出一个数，这个数大于12的概率为 1232.204-=- ，故答案为：34．点睛：本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键． 16．【分析】执行程序框图依次写出每次循环得到的Si 的值当i ＝2019时不满足条件退出循环输出S 的值为【详解】执行程序框图有S ＝2i ＝1满足条件执行循环Si ＝2满足条件执行循环Si ＝3满足条件执行循环Si 解析：12- 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝2019时，不满足条件2018i ≤退出循环，输出S 的值为12-．【详解】执行程序框图，有S ＝2，i ＝1满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 3=-，i ＝2满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 12=-，i ＝3 满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 13=，i ＝4 满足条件2018i ≤ ，执行循环， S ＝2，i ＝5…观察规律可知，S 的取值以4为周期，由于2018＝504*4+2，故有： S 12=-, i ＝2019，不满足条件2018i ≤退出循环，输出S 的值为12-，故答案为12-．【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，其中判断S 的取值规律是解题的关键，属于基本知识的考查．17．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<，所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合． 18．17【解析】分析：模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值详解：模拟程序的运行可得执行循环体不满足条件执行循环体；不满足条件执行循环体；不满足条件退出解析：17【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值.详解：模拟程序的运行，可得255,68a b ==，执行循环体51,68,51r a b ===，不满足条件0r =，执行循环体17,51,17r a b ===；不满足条件0r =，执行循环体0,17,0r a b ===；不满足条件0r =，退出循环，输出a 的值为17，故答案为17.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．①③④⑦【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可【详解】在线性回归模型中相关指数越接近于1表示回归效果越好①正确；两个变量相关性越强则相关系数r 的绝对值就越接近于1②错误；③正确；两个模型中残差平解析：①③④⑦【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可．【详解】在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好，①正确；两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，②错误；③正确；两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，④正确；回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，不一定过样本点，⑤错误；若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，并不能说在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，⑥错误；从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，⑦正确．故答案为①③④⑦.【点睛】本题考查线性回归分析的有关概念，掌握相关概念是解题基础，属于基础题． 20．5【解析】将样本中心代入回归方程得到m=55故答案为：55解析：5【解析】19.5,15,5m y x +== 将样本中心代入回归方程得到m=5.5. 故答案为：5.5. 三、解答题21．（1）611000（2）9891000 【分析】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且A 、B 、C 两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件M ,则M A B C =∪∪,因为A 、B 、C 两两互斥,所以()()()()611000P M P A P B P C =++=故1张奖券中奖的概率为611000 （2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ,则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以()()()()()989111000P N P A B P A P B =-⋃=-+=, 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率 22．（1）310；（2）①5ˆ42y x =-；②见解析【分析】（1）用列举法以及古典概型的概率公式，求解即可；（2）①根据3月7日、15日和22日这三组数据，分别计算出其平均值，结合参考公式求出回归直线方程；②将3月2日与3月30日的中的温度代入方程，得出线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值，看是否超过2，再判断即可.【详解】（1）依题意得,m n 的所有情况为{22,24},{22,29},{22,25},{22,16},{24,29},{24,25},{24,16}，{29,25},{29,16},{25,16}，共有10种设“m ，n 均不小于24”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为{}{}{}24,29,24,25,29,25，共有3个 3()10P A ∴=，即“事件m ，n 均不小于24”的概率为310 （2）①由数据可得()()3112,26,5i i i x y x x y y ===--=∑，()3212i i x x =-=∑()()()313215ˆ2i ii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑，5ˆˆ261242a y bx =-=-⨯=- 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ42y x =- ②由①可得y 关于x 的线性回归方程为5ˆ42yx =- 当10x =时，5ˆ10421,222122y=⨯-=-≤ 当8x =时，5ˆ8416,|1616|22y =⨯-=-≤ 所以线性回归方程5ˆ42yx =-是可靠的. 【点睛】本题主要考查了求线性回归方程以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.23．()()()()204848212812x x y x x x ⎧≤≤⎪=≤≤⎨⎪-≤≤⎩;程序框图见解析；【解析】试题分析：根据题意可得到面积函数是一个分段函数，写出函数后，利用条件分支结构写出程序框图即可.试题由题意可得y ＝．程序框图如图：点睛：本题考查分段函数的算法写法，属于中档题，注意当分段函数为两段时，需要一个分支结构，如果分段函数三段时，需要两个分支结构才能完成，特别在写算法程序时，注意分支结构的连接，是与否的处理一定要细心.24．见解析【解析】【分析】根据分段函数的解析式，设置判断框并设置出判断条件，确定好判断框的“是”与“否”，由此可得出程序框图，即可求解．【详解】解算法如下：第一步：输入物品重量ω；第二步：如果50ω≤，那么0.53f ω＝，否则，(500.535)500.8f ω⨯⨯＝＋－；第三步：输出物品重量ω和托运费f .程序框图如下：【点睛】本题主要考查了算法与程序框图的实际应用，解答中根据分段函数的解析式，设置出判断框，并设置出判断条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．25．（1）ˆ 5.9129.5yx =-+；（2）189杯. 【分析】（1）根据表中数据计算可得所需数据，利用最小二乘法可求得回归直线方程；（2）代入10x =-即可求得预测值.【详解】（1）由表中数据得：505101555x -++++==，15712710772371005y ++++==， 517855357205551025i ii x y==-+++=∑，5212525100225375i i x ==+++=∑， 102555100ˆ 5.9375525b -⨯⨯∴==--⨯，ˆ100 5.95129.5a ∴=+⨯=， y ∴关于x 的线性回归直线方程为：ˆ 5.9129.5y x =-+.（2）令10x =-，解得：188.5189y =≈，∴如果某天的气温是–10C ︒，预测这天卖出的热饮杯数为189杯.【点睛】本题考查利用最小二乘法求解回归直线、利用回归直线求解预测值的问题；关键是熟练掌握最小二乘法，考查学生的计算能力.26．（1） 1.2308ˆ.0yx =+；（2）12.38万元.. 【分析】（1）由已知表格中的数据，易计算出变量x ，y 的平均数，及2i x ，i i x y 的累加值，代入回归直线系数公式1221n ii i n i i x y nxy b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程.（2）把使用年限10代入回归直线方程，即可估算出维修费用的值.【详解】（1）4x =，5y =，52190ii x==∑，51112.3i i i x y ==∑， 12215 1.235n ii i n ii x y xy b xx ==-==-∑∑，0.08a y bx =-=，所以回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+；（2） 1.23100.0812.3ˆ8y=⨯+=，即估计用10年时维修费约为12.38万元.【点评】本题考查回归直线的方程求解，关键是要求出回归直线方程的系数，由已知的变量x ，y 的值，我们计算出变量x ，y 的平均数，及2i x ，i i x y 的累加值，代入回归直线系数公式1221n ii i n i i x y nxy b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程.属于中等题.。

【湘教版】高中数学必修三期末试题(含答案)

一、选择题1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个白球的概率为（）A．46801010100 C C C⋅B．642081010C CC⋅C．462081010C CC⋅D．64801010100C CC⋅2．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是518；②341()2xx+的展开式中的常数项为2；③设随机变量~(0,1)Nξ，若(1)P pξ≥=，则1(10)2P pξ-<<=-.其中所有正确命题的序号是（）A．②B．①③C．②③D．①②③3．已知三棱锥P﹣ABC的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（）A．815B．715C．45D．354．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为15，则勾与股的比为（）A．13B．12C3D．225．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A ．34B ．56C ．1324D ．771206．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何?”根据此问题写出如下程序框图，若输出465S =，则输入m 的值为（）A ．240B ．220C ．280D ．2607．如图给出的是计算1111246102+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（）A ．102i >B ．102i ≤C ．100i >D ．100i ≤8．执行如下图的程序框图，那么输出S 的值是( )A ．2B ．1C ．12D ．-19．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件10．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.511．已知某8个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这9个数的平均数为x ，方差为2s ，则（） A ．3x =，22s < B ．3x =，22s > C ．3x >，22s <D ．3x >，22s >12．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为 A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题13．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a 前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.14．已知甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别随机摸出1个球，则恰有一个白球的概率为__________.15．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.16．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为 .17．已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的1x =-与1x =时，则输出的两个y 值的和为__________．18．执行右面的程序框图，若输入的x 的值为0，则输出的y 的值是________.19．下表记录了某公司投入广告费x与销售额y的统计结果，由表可得线性回归方程为^^^y b x a=+，据此方程预报当6x=时，y=__.x4235y49263954附：参考公式：^1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，^^^a yb x=-20．抽样统计甲、乙两位同学5次数学成绩绘制成如下图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为__________．三、解答题21．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占23，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.22．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.23．（1）作任意五个数12345,,,,x x x x x 中最大数及其序号的算法的流程图框图；（2）初始状态为35，24，23，47，43的五个数，当计算过程第1次，第3次，第5次到达判断框时，M ，k 的值分别为多少？ 24．现有一个算法框图如图所示。

高中地理测试卷湘教版必修3

高中地理测试卷湘教版必修 3一、选择题 (共 60分(一单项选择题:本大题共 18小题。

每小题 2分,共 36分。

在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。

1.下列区域具有明确边界的是①行政区②自然带③热量带④干湿地区⑤三江平原⑥山东省青岛市A .①②③ B.③④⑤ C.①⑤⑥ D .①⑥2.对外省人口吸引力最弱的是A .辽宁 B.福建 C .山东 D.广东3.经济发展水平最高的地区是A .京津冀 B.广东 C.浙江 D. 沪苏图 1为我国 2007年某经济作物年产量分布,读图回答 4-5题。

4.该作物产量前四位的省级行政单位的简称是A .新、鄂、晋、冀 B.新、豫、冀、川 C.新、甘、冀、晋 D.新、鲁、豫、冀5. 2008年底至 2009年初,图中①省连续 104天无有效降水,农作物受灾面积达4150万亩,其中受影响最大的作物是A .水稻 B.小麦 C.玉米 D.蔬菜20世纪 90年代前期,在祖国大陆的台资企业以制鞋、灯饰、家具等为主;而到中期计算机外设部件则成为主导投资产业。

2000年以来,开始将笔记本电脑和集成电路等产业转移至祖国大陆。

读以上材料及台湾对大陆投资的地区分布变化图(图2 ,回答 6-8题。

用心爱心专心 1用心爱心专心 2图2 台商对大陆投资的地区分布变化(1991-2000年6.从产业部门上看,台商对祖国大陆投资的变化过程是 A .劳动密集型产业——高科技产业——资金密集型产业 B .高科技产业——资金密集型产业——劳动密集型产业 C .资金密集型产业——劳动密集型产业——高科技产业 D .劳动密集型产业——资金密集型产业——高科技产业7.从投资地域上看 , 台商对祖国大陆投资的变化过程是A . 20世纪 90年代以来,由珠江三角洲、福建沿海转向长江三角洲B . 20世纪90年代以来,由长江三角洲、福建沿海转向珠江三角洲C . 20世纪 90年代以来,由长江三角洲、珠江三角洲转向福建沿海D . 20世纪 90年代以来,由福建沿海、长江三角洲转向珠江三角洲 8.关于台商对祖国大陆投资的叙述,正确的是①由于产业外移,台湾经济有了产业升级的空间和机会②不可能在祖国大陆形成产业集聚效应③生产的产品完全用于外销④随着对祖国大陆投资的增加,台商出现了投资定居倾向⑤台商赴祖国大陆投资的主要动力是内地廉价的劳动力资源、土地资源和广阔的市场 A .①②③ B.②③④ C.①④⑤ D.②③⑤20世纪 30年代,美国中西部大草原过度开垦、放牧,造成了频繁的“黑风暴”,刮走了 3亿吨尘土。

【湘教版】高中数学必修三期末试卷(含答案)(1)

一、选择题1．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲､乙不在同一组的概率为（）A．511B．611C．12D．232．如图，正方形ABNH、DEFM的面积相等，23CN NG AB==，向多边形ABCDEFGH内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A．1 2B．3 4C．2 7D．3 83．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A．mm n+B．nm n+C．4mm n+D．4nm n+4．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为15，则勾与股的比为（）A．13B．12C．3D．225．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．-9 B．60 C．71 D．81 6．如图是求样本数据方差S的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（）A．()28iS x xS+-=B．()2(1)8ii S x xS-+-=C．()2iS x xSi+-=D．()2(1)ii S x xSi-+-=7．执行如图所示的程序框图，如果输入4n=，则输出的结果是（）A ．32B ．116C ．2512D ．137608．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣1，则判断框①中可以填入的条件是（）A ．n ≥999B ．n ≤999C ．n ＜999D ．n ＞9999．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元10． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（）A．这10天中有3天空气质量为一级B．从6日到9日 2.5PM日均值逐渐降低C．这10天中 2.5PM日均值的中位数是55D．这10天中 2.5PM日均值最高的是12月6日11．通过实验，得到一组数据如下：2,5,8,9,x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A．3.2 B．4 C．6 D．6.512．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A．0795 B．0780 C．0810 D．0815二、填空题13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．14．在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为14，则cosα=_____________．15．袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X次球，则(4)P X==_______．16．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．17．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为___________．18．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为______.19．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s =___________________．20．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时间均落在[)30,40上的概率.22．近年来，石家庄经济快速发展，跻身新三线城市行列，备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，石家庄的交通优势在同级别的城市内无能出其右.为了调查石家庄市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中4a b =.（1）求a ，b 的值；（2）求被调查的市民的满意程度的平均数，中位数（保留小数点后两位），众数；（3）若按照分层抽样从[)50,60，[)60,70中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[)50,60的概率.23．（1）用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；（2）用更相减损术求440 与556的最大公约数.24．写出一个算法，求底面边长为42，侧棱长为5的正四棱锥的体积．25．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象.光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X （小时）的频率分布直方图如下图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）.（1）求月光照量X （小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量[160,240)X ∈，[240,320)X ∈，[320,400]X ∈的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X 是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X 是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320的概率.26．2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．某读书APP 抽样调查了非一线城市M 和一线城市N 各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．（1）请填写以下22⨯列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？活跃用户不活跃用户合计城市M 城市N 合计（2）以频率估计概率，从城市M 中任选2名用户，从城市N 中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（3）该读书APP 还统计了2018年4个季度的用户使用时长y （单位：百万小时），发现y 与季度（x ）线性相关，得到回归直线为ˆ4ˆyx a =+，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（5x =）该读书APP 用户使用时长约为多少百万小时．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.001 0k5.0246.6357.87910.828【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】设“甲､乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n 612C ==924，甲､乙在同一组包含的基本事件个数m 4102C ==420，由此能求出甲､乙不在同一组的概率. 【详解】解：设“甲､乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n 612C ==924，甲､乙在同一组包含的基本事件个数m 4102C ==420，∴甲､乙不在同一组的概率P =14206192411m n -=-=. 故选：B 【点睛】本题考查古典概型的应用问题，重点考查分组分配题型，属于基础题型，本题的关键善于用所求事件的对立事件求概率.2．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.3．C解析：C 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求。

必修三第一章单元测试湘教版必修3

必修三第一章单元测试湘教版必修3一、单项选择题读“河南省产业结构变化数据”，回答1～3题。

1．结合河南省产业结构的变化数据，下列分析判断正确的是 ( )A．第一产业的产值不断减少B．第二产业的产值增加C．第三产业在地区经济发展中的地位下降D．目前河南省已进入高效益综合发展阶段2．河南省目前产业结构的调整中存在的问题是 ( )A．第一产业比重过大 B．第二产业比重偏低C．第三产业发展缓慢 D．三次产业构成合理3．河南的发展是我国“中部崛起”的缩影，中部地区今后的发展方向是 ( )①充分发挥资源优势②改善生态环境③发展基础设施建设(发展第三产业) ④巩固和发展农业A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④读下表，完成4～6题。

4．表中三个地带，农业构成差异最大的农业部门是 ( ) A．种植业和林业 B．林业和牧业 C．渔业和牧业 D．种植业和渔业5．20世纪90年代以来，三个地带农业部门比重一直在下降的是 ( ) A．种植业和林业 B．林业和牧业 C．渔业和牧业 D．种植业和渔业6．造成三个地带农业部门差异的主要自然区位因素是 ( ) A．气候、劳动力、自然资源 B．科学技术、劳动力、交通运输C．气候、地形、自然资源 D．气候、地形、科学技术下图中“甲、乙表示两个不同的区域”，据此完成7～8题。

7．若甲表示我国东部地带，乙表示中西部地带，则沿箭头①在区域间调配的是 ( )①水源②资金③能源④技术A．①② B．③④ C．①③ D．②④8．若甲表示发达国家，乙表示发展中国家，则箭头②方向在区域问调配的是 ( )①劳动力②矿产③技术④工业制成品A．①② B．②③ C．③④ D．①③读‚我国‘南水北调’工程规划示意图‛，完成9～11题。

9．图示地区的南部需要从北部调水的主要原因有 ( ) Ⅰ．①河流域内降水量不大，蒸发较强Ⅱ．①河流域为我同主要商品粮基地，而②河流域以沼泽为主Ⅲ．①河中下游地区人口较稠密，重工业较多，需水量大Ⅳ．①河含沙量较大，水质较A．Ⅰ、Ⅱ B．Ⅰ、Ⅲ C．Ⅱ、Ⅳ D．Ⅲ、Ⅳ10．该工程建没的有利条件是 ( ) A．地势北高南低，可以自流引水 B．经过地区主要是沼泽等荒地，占用耕地少 C．输水线路短，线路里程不到300公里D．输水干线经过地区以平原为主11．该工程建成后，对哈尔滨的有利影响主要是 ( ) A．缓解其水资源紧张状况 B．有利于其城市地域结构的调整C．改善其航运条件 D．减小洪水危害福建是中国最早实行对外开放的省份之一，吸收外资起步较早。

【湘教版】高中数学必修三期末试卷(附答案)(1)

一、选择题1．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（）A ．110B ．310C ．12D ．352．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（）A ．16πB ．4π C ．3224π- D ．14π-3．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A ．518B ．13C ．718D ．494．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。

在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（） A ．15B ．1115C ．35D ．135．执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（）A．261 B．425 C．179 D．5446．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12….来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图m=，则输出的S=（）是求大衍数列前n项和的程序框图.执行该程序框图，输入10A．100 B．140 C．190 D．2507．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（）A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤8．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为() A ．6B ．720C ．120D ．50409．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据x1 3 6 10 y 8a42他由此得到回归直线的方程为ˆ 2.115.5yx =-+，则下列说法正确的是( ) ①变量x 与y 线性负相关 ②当2x =时可以估计11.3y = ③6a = ④变量x 与y 之间是函数关系 A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④10．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,412．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,...8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①ˆˆy bxa =+；②y c x d =+；③ln y p q x =+；④21k xy k e =+；⑤212y c x c =+，则较适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③⑤二、填空题13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．15．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________16．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a =17．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数()2sin3f x x π=， ()2cos3f x x π=，()4tan 3f x x π=，则可以输出的函数是()f x =__________.18．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为________.，上，其频率分布直方图如19．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]图所示，则成绩不低于60分的人数为___．20．目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______.三、解答题21．某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有1000名工人参加，他们的成绩都分布在[]52,100内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在76分及76分以上的为优秀.（1）求图中t的值；（2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（3）某工厂车间有25名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于92分的概率.22．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a，第二次出的点数为b，且已知关于x、y的方程组322 ax byx y+=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.23．已知底面半径为r ，高为h 的圆柱和一正方体的体积相等，试设计一个程序分别求圆柱的表面积和正方体的表面积，并画出程序框图(π＝3. 14). 24．读下列程序：INPUT x 0IF x THEN < ^2y x = PRINT yELSE2*y x =PRINT y END IFEND（1）根据程序，画出对应的程序框图；（2）写出该程序表示的函数，并求出当输出的4y =时，输入的x 的值.25．某公司开发了一件新产品，为了研究销售量与单价的关系，进行了市场调查，并获得了销售量y 与单价x 的样本，且进行了数据处理(如表)，作出散点图.表中2i i w x =，110i i w w ==∑.（1）根据散点图判断，y bx a =+与2dy c x=+哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程类型？(不必说明理由)（2）根据（1）的结论和表中数据，在最小二乘法原理下，建立y 关于x 的回归方程；（3）利用第（2）问求得的回归方程，试估计单价x 范围为多少时，该商品的销售额不小于25？(销售额=销量⨯单价)附：对于一组数据1(u ，1)ν，2(u ，2)ν，3(u ，3)ν，(n u ⋯，)n ν，其回归直线ˆˆˆu ναβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为121()()()ˆnii i nii v u u u u νβ==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 26．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a 的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】设3名女志愿者为,,A B C，2名男志愿者为,a b，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B.2．D解析：D【分析】根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解.【详解】分别以A，B，C，D四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分224ABCDS=⨯=，214144ABCDS Sππ=-⨯⨯=-阴影由几何测度的古典概型，14ABCDSPSπ==-阴影故选：D【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.3．C解析：C【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④的正方形与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C .【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题.4．B解析：B【分析】找出不超过15的素数，从其中任取2个共有多少种取法，找到取出的两个和小于18的个数，根据古典概型求解即可.【详解】不超过15的素数为2,3,5,7,11,13，共6个，任取2个分别为2,3（），2,5（），2,7（），2,11（），2,13（），3,5（），3,7（），3,11（），3,13（），5,7（），5,11（），5,13（），7,11（），7,13（），11,13（），共15个基本事件，其中两个和小于18的共有11个基本事件，根据古典概型概率公式知1115P=. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于中档题. 5．B解析：B【分析】根据循环结构的条件，依次运算求解，即得解.【详解】起始值：5,1,0x y n ===，满足1105<⨯，故：5,0,2x y n ===；满足0105<⨯，故：7,4,4x y n ===；满足4107<⨯，故：11,36,6x y n ===；满足361011<⨯，故：17,144,8x y n ===；满足1441017<⨯，故：25,400,10x y n ===；此时：4001025>⨯，满足输出条件：输出425x y +=故选：B【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 6．C解析：C【分析】根据程序框图进行运算,直到满足判断框中的条件,就停止运行,输出结果.【详解】第一次运行,211,0,0002n n a S -====+=,不符合n m ≥,继续运行; 第二次运行,22,22n n a ===,022S =+=,不符合n m ≥,继续运行, 第三次运行,213,42n n a -===,426S =+=,不符合n m ≥,继续运行, 第四次运行,24,82n n a ===,8614S =+=,不符合n m ≥,继续运行, 第五次运行,5n =,21122n a -==,121426S =+=, 不符合n m ≥,继续运行, 第六次运行,6n =,2182n a ==,182644S =+=, 不符合n m ≥,继续运行, 第七次运行,217,242n n a -===,244468S =+=, 不符合n m ≥,继续运行, 第八次运行,28,322n n a ===,3268100S =+=, 不符合n m ≥,继续运行, 第九次运行,219,40,401001402n n a S -====+=, 不符合n m ≥,继续运行, 第十次运行,210,50,501401902n n a S ====+=,符合n m ≥,退出运行,,输出190S =.故选:C【点睛】本题考查了程序框图中循环结构,正确理解程序框图是解题关键,属于基础题.7．B解析：B【分析】由题意知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意可得出判断条件.【详解】由题意可知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束，因此，判断条件应填入“94m =”.故选B.【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．B解析：B【解析】【分析】执行程序，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行程序，可得：第1次循环：满足判断条件，1,2S i ==；第2次循环：满足判断条件，2,3S i ==；第3次循环：满足判断条件，6,4S i ==；第4次循环：满足判断条件，24,5S i ==；第5次循环：满足判断条件，120,6S i ==；第6次循环：满足判断条件，720,7S i ==；不满足判断条件，终止循环，输出720S =，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C解析：C【解析】【分析】根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案.【详解】① 2.1b =-⇒变量x 与y 线性负相关,正确②将2x =代入回归方程，得到11.3y =，正确③将(,)x y 代入回归方程，解得6a =，正确④变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系，错误答案为C【点睛】本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点(,)x y 一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.10．B解析：B【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解.【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误；由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③.故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．C解析：C【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为0.47.6y x =-+，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B ：根据表中数据：x =9．可得y =4．即()16+3244m ++=，解得：m=5．对于C ：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D ：由线性回归方程一定过（x ，y ），即（9，4）．故选：C ．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.12．B解析：B【解析】分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y＝c x d+或y＝p＋q ln x较适宜，故选B.点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.二、填空题13．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为解析：1 2【解析】五种抽出两种的抽法有2510C=种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12.14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：1 3【解析】【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，求出劣弧CD的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，设圆的半径为r ，劣弧CD 的长度是23r π，圆的周长为2r π，所以()21323r P A r ππ==，故答案为13. 【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 16．【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M 的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据的最大值解析：9.7,8【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M 的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.【详解】仔细分析程序框图的作用和功能，所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，所以答案是9.7,8.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.17．【分析】根据得知函数的图象关于点对称由可得知函数的周期为于此可在题中三个函数中找出合乎条件的函数作出输出结果【详解】可知函数的图象关于点对称由得所以函数的周期为由三角函数的周期公式可知函数和的最小正解析：()2cos3f x x π=. 【分析】根据()302f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭得知函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，由()f x + 302f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得知函数()y f x =的周期为3，于此可在题中三个函数中找出合乎条件的函数作出输出结果．【详解】()302f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，可知函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，由()302f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得()3322f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的周期为3.由三角函数的周期公式可知，函数()2sin 3f x x π=和()2cos 3f x x π=的最小正周期为3，函数()4tan3f x x π=的最小正周期为34，不合乎要求；对于函数()2sin3f x x π=，323sin sin 04342f ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；对于函数()2cos 3f x x π=，323cos cos 04342f ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，合乎题意．所以，函数()2cos 3f x x π=的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故输出的函数为()2cos3f x x π=，故答案为()2cos 3f x x π=．【点睛】本题考查程序框图，考查三角函数的周期性和对称性，能根据抽象函数关系式得出函数的基本性质，是解本题的关键，属于中等题．18．1320【分析】由题意结合所给的流程图执行程序确定其输出值即可【详解】程序运行如下：首先初始化数据：第一次循环满足执行；第二次循环满足执行；第三次循环不满足跳出循环输出故答案为【点睛】识别运行程序框解析：1320【分析】由题意结合所给的流程图执行程序，确定其输出值即可.【详解】程序运行如下：首先初始化数据：12,1i S ==，第一次循环，满足10i ≥，执行12,111S S i i i =⨯==-=；第二次循环，满足10i ≥，执行132,110S S i i i =⨯==-=；第三次循环，不满足10i ≥，跳出循环，输出1320S =.故答案为1320．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．19．30【解析】由题意可得：则成绩不低于分的人数为人解析：30【解析】由题意可得：()400.0150.0300.0250.0051030⨯+++⨯=则成绩不低于60分的人数为30人20．【解析】设第二组及第五组数据对应矩形的高为a 则10×（a+0015+0025+0035+a+0005）=1解得a=0010故各组的频率依次为：010015025035010005∵前三组的累积频率为解析：715【解析】设第二组及第五组数据对应矩形的高为a ，则10×（a+0.015+0.025+0.035+a+0.005）=1，解得a=0.010，故各组的频率依次为：0.10，0.15，0.25，0.35，0.10，0.05，∵前三组的累积频率为：0.10+0.15+0.25=0.50，故这次环保知识竞赛成绩的中位数为70；成绩在[80，90）段的人数有10×0.010×40=4人，成绩在[90，100]段的人数有10×0.005×40=2人，从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人共有15种不同的基本事件，其中他们在同一分数段的基本事件有：7，故他们在同一分数段的概率为7.15 故答案为:715. 三、解答题21．（1）0.01；（2）69.44；（2）12. 【分析】（1）由纵坐标⨯组距=频率，以及所有组频率之和为1，即可列式求出t ；（2）根据频率分布直方图平均数公式，即可求得结果；（3）先求出25人中优秀人数为5人，再根据列举法，运用古典概型求出概率；【详解】（1）由频率分布直方图可知： ()0.250.0350.04.00581t t o +++++⨯=，解得：0.01t =（2）设这次比赛的平均数为x ，则0.0258560.0358640.04872x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.018880.005896+⨯⨯+⨯⨯11.217.9223.04 6.47.04 3.8=+++++69.44=（3）25名工人参加比赛，优秀人数为：()250.010.010.00585⨯++⨯=人， 5名优秀工人中[)76,92内有4人设为1234A A A A ,[]92,100有一人设为B ，则5人中选2人有以下情况：12A A ,13A A ,41A A ,1A B ,23A A ,24A A ,2A B ,34A A ,3A B ,4A B 共有10种情况，2人成绩均低于92分有12A A ,13A A ,41A A ,23A A ,24A A ,34A A ，共6种情况.则5人任选2人，两人成绩均低于92分的概率无63=105P =. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，涉及到频率频数、平均数等以及古典概型求概率，同时考查对数据的处理能力.22．（1）1112；（2）1336. 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a ab b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯；（2）006232,2022232b x ax by a b a b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--，因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯；【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题. 23．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT 语句输入半径以及高的值，再分别赋值圆柱的表面积和正方体的表面积，最后输出圆柱的表面积和正方体的表面积试题程序如下：INPUT “r ，h ＝”；r ，hS ＝3. 14*r^2m ＝2*3. 14*r*hS 1＝2*S ＋mV ＝3. 14*r^2*ha ＝V^(1/3)S 2＝6*a^2PRINT “圆柱、正方体的表面积分别为”；S 1，S 2END程序框如图所示．点睛：x=±24．（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据题目所给程序即可画出程序框图；y=带入，即可得出结（2）首先可以根据程序框图得出该程序所表示的函数，然后将4果．【详解】（1）对应的程序框图如图所示：（2）该程序表示的函数是()2(0)20x x y x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，当0x <时，由24y x ==得2x =-，当0x ≥时，由24y x ==得2x =，综上所述，当输出的4y =时，输入的x 的值是2x =±．【点睛】本题考查了程序框图的相关性质，主要考查了程序框图的条件结构，考查了函数方程思想，考查了推理能力，是中档题．25．（1）2d y c x =+更适宜；（2）2205y x =+；（3）01x <或4x . 【分析】（1）根据散点图，即可判断出；（2）先建立中间量21w x=，建立y 关于w 的线性回归方程，根据最小二乘法求出系数c ，d ，问题得以解决；（3）根据预报值求出z ，再根据题意列不等式即可得求出答案.【详解】解：（1）2d y c x =+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型；（2）设21w x =，则y c dw =+，由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()ˆi ii ii w w y y d w w ==--===-∑∑， ·20.ˆˆ6200.785c y d w =-=-⨯=，所以所求回归方程为2205y x=+；（3）设销售额为z ，则205,(0)z xy x x x==+>， 20525z xy x x==+，即2540x x -+，解得01x <或4x ，当单价x 范围为01x <或4x 时，该商品的销售额不小于25.【点睛】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题. 26．（1）a 0.001=；（2）0.62；（3）12.08吨【分析】（1）由频率分布直方图列出方程能求出a ．（2）由频率分布直方图先求出满足题意的频率，即得概率．（3）由频率分布直方图先求出人均月饼购买量，由此能求出该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求．【详解】()1由()0.00020.00055a 0.00050.000254001++++⨯=，解得a 0.001=．()2消费者月饼购买量在600g 1400g ～的频率为：()0.000550.0014000.62+⨯=，∴消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率为0.62．()3由频率分布直方图得人均月饼购买量为：()4000.00028000.0005512000.00116000.000520000.000254001208g ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，∴2012085%1208⨯⨯=万克12.08?=吨，∴该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求．【点睛】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．。

【湘教版】高中数学必修三期末试卷(含答案)

一、选择题1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（） A ．435B ．635C ．1235D ．18352．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin8y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136B ．118C ．116D ．183．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．254．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ，，再统计其中x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ，的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（） A ．237B ．4715C ．1715D ．53175．计算11111212312310++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，执行如图所示的程序根图，若输入的10N =，则图中①②应分别填入（）A ．1T k=，k N > B ．1T k=，k N ≥ C ．TT k=，k N > D ．TT k=，k N ≥ 6．如图所示程序框图是德国数学家科拉茨1937年提出的一个著名猜想.根据猜想，不断重复程序运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.按照这种运算，若输出k 的值为9，则输入整数N 的值可以为（）A ．3B ．5C ．6D ．107．正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,记为()N n MODm ≡,例如()2516MOD ≡.如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入49N =时,则输出结果是( )A ．58B ．61C ．66D ．768．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为() A ．6B ．720C ．120D ．50409．有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（） A ．006B ．041C ．176D ．19610．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+，则表中m 的值为( ) x 8 10 11 12 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2911．已知x ，y 取值如下表：x0 1 4 5 6 8 y 1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且 1.03y x a =+，则a =（） A ．1.53B ．1.33C ．1.23D ．1.1312．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A ．0795B ．0780C ．0810D ．0815二、填空题13．设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它．14．在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a ．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为14，则cos α=_____________．15．已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为___________.16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_____17．执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值____18．执行如图的程序框图，则输出的S =__________．19．已知由样本数据点集合(){},|1,2,3,,i ix y i n =，求得的回归直线方程为1.230.08y x Λ=+ ，且4x =。