全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及参考答案

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2021年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷、参考答案及评分标准

二Ｏ二一年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。

请直接将答案写在题中的横线上）2sin sin A B 二、解答题（共6小题，满分80分。

要求写出解题过程）11、（13 分）∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设sin 2A +sin 2B −sin 2C =．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3cos 5B =，D 是边BC 上一点，且4CD BD =，ACD ∆的面积为75，求AC ．sin sin sin a b cA B C==，2sin sin A B 解析（1）由正弦定理知， ∵sin 2A +sin 2B −sin 2C =，2ab ∴a 2 +b 2 −c 2=，由余弦定理知，2222cos 22a b c C ab +-==，∴4C π=．………5分（2）设AC ＝x ，BD ＝y ，则CD ＝4y ，BC ＝5y ，∵S △ACD ＝AC •CD •sin C ，∴7124522x y =⋅⋅，即7210xy =，①∵3cos 5B =，4C π=，∴sin ∠BAC ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ＝423272525210⨯+⨯=，在△ABC 中，由正弦定理知，sin sin BC AC BAC B=∠，题号12345678910答案1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦52322+1320(),1-∞202122i+233472510x=，即510x y =，②由①②得，x ＝2，∴AC ＝2．………13分12、（13分）为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及期望；（Ⅱ）若经过n 轮投篮，用i p 表示第i 轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率．①求123,,p p p ；②规定00p =，经过计算机模拟计算可得11(1,)i i i p ap bp i i N +-=+≥∈，请根据①中123,,p p p 值求出a ，b 的值，并由此求出数列{}n p 的通项公式．解析（Ⅰ）X 的可能取值为1-，0，1．111(1)326P X =-=⨯=；12121(0)(1)(1)23232P X ==⨯+--=；211(1)323P X ==⨯=．∴X 的分布列为：X 1-01p161213期望1()6E X =．即经过1轮投篮，甲得分的期望为16分．………5分（Ⅱ）①由（1）知116p =，经过两轮投球，甲的累计得分低于乙的累计得分的有两种情况：一是甲两轮都得分为1-分：二是两轮中甲一轮得0分，另一轮得1-分．21221117()62636p C =+⨯=．经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：111---；110--+；100-++；111--+．32212223333111111143(()()()6626263216p C C C =+⨯+⨯+⨯=②将0123,,,p p p p 的值分别代入11i i i p ap bp +-=+，得176367431362166a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得61,77a b ==．∴116177i i i p p p +-=+，即111()6i i i i p p p p +--=-又1016p p -=，所以1{}n n p p --是首项16、公比都是16的等比数列．∴11(6nn n p p --=，∴11210011(1)1166()()()(1)15616n n n n n n n p p p p p p p p ----=-+-++-+==-- ，∴数列{}n p 的通项公式为11(1)56n n p =-．………13分13、（13分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的,n N *∈，点(.)n n S 均在函数(01,,x y b r b b b r =+>≠且均为常数)的图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当b =2时，记22(log 1)()n n b a n N *=+∈证明：对任意的n N *∈，不等式成立1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅>…成立．解析（Ⅰ）因为对任意的n N *∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得nn S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)nn n n n n n n a S S b r br b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,数列{}n a 的通项公式为1(1)n n a b b -=-………5分本题第（Ⅱ）问，实质是证明不等式)35721462N 2n n n*+⋅⋅⋅⋅>∈ 成立，可以从多角度揭示此类问题的方法和规律.证法一：（构造数列）：令357212462n n n A +⋅⋅⋅⋅= ，由于，1232312212n n A n n A n n n +++===++++，可得，数列{}n A 为递增数列，即3572124621n n +⋅⋅⋅⋅> ，从而,)35721462N 2n n n*+⋅⋅⋅⋅>∈ ………13分证法二：（构造对偶式）：令3572146822,246235721n n P Q n n ++=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+ .由于0,0.b b ma b m a a m+>>>⇒>+故3456782122,,,,023*******n n n n ++>>>>>+ ，由不等式性质可得：234567821221234567221n n P PQ n n n ++>=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++，即P >从而,)35721462N 2n n n*+⋅⋅⋅⋅>∈ 证法三：（累乘法）21n +=>所以：212n n +>，令1,2,3,,n n = 分别代入上式，然后累乘得之.证法四（数学归纳法）：当b =2时，11(1)2n n n a b b --=-=，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n-=+=+=则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······2462n n b b b n b b b n++++=⋅⋅> 成立.①当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立.②假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······2462k k b b b k b b b k++++=⋅⋅> .则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+2322kk+>=+所以当1n k=+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.证法五：（反证法）假设不等式)35721462N2n nn*+⋅⋅⋅⋅>∈不成立，则取使不等式不成立的最小自然数()001λλ>（显然1n=时不等式不成立），所以有：0213572462λλ+⋅⋅⋅⋅≤1）2135724622λλ-⋅⋅⋅⋅>-（2）同时成立，但是由于0212λλ+>3）（2）⨯（3）得：00002121357246222λλλλ-+⋅⋅⋅⋅⋅>-1）矛盾，故原不等式成立.14、（13分）如图，在多面体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，1AB=，点M为AE的中点．（Ⅰ）求证：//BM平面EFC；（Ⅱ）若DE AD=，求二面角M BD A--的正弦值．解析（Ⅰ）证法一：设DE的中点为N，BC的中点为G，FC的中点为H，连接MN，NG，GH，EH，由中位线可得∴四边形MNGB为平行四边形，四边形NEHG为平行四边形，∴////BM NG EH，∵BM⊄平面EFC，EH⊂平面EFC，∴//BM平面EFC………5分证法二：由题知平面BDEF⊥平面ABCD，BD ED⊥，平面BDEF 平面ABCD BD=，DE⊂平面BDEF，∴DE⊥平面ABCD，以D 为原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设DE t =，则(1,1,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,)E t ，1(,0,22t M ，(1,1,)F t ，(0,1,0)C ，∴1(,1,)22tMB =- ，(1,1,0)EF = ，(0,1,)EC t =- ，设平面EFC 的法向量(,,)n x y z =，则0EF n x y EC n y tz ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取y ＝1，得1(1,1,n t =- ，∵0MB n =，∵BM ⊄平面EFC ∴//BM 平面EFC ．（Ⅱ）∵1DE AD ==，∴(1,1,0)DB =，11(,0,22DM = ，设平面DBM 的法向量(,,)m a b c =，则011022DB m a b DM m a c ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1a =，得(1,1,1)m =-- ，平面ABD 的法向量(0,0,1)p =，设二面角M BD A --的平面角为θ，则||cos ||||m p m p θ==，sin 3θ=．∴二面角二面角M BD A --正弦值为63．………13分15、（13分）如图，曲线C 由上半椭圆1C ：22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥和部分抛物线2C ：21(0)y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程．解析（Ⅰ）易知曲线12,C C 的结合点,A B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0)，于是可得1b =，再由1C 的离心率为32可得2a =．所以，2a =，1b =．………5分（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(1)y k x =-，将其代入曲线2C 的方程中可得210x kx k +--=，知该方程的一个根为1，由韦达定理可得点Q 的横坐标为1k --，于是点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----；把直线l 的方程代入曲线1C 的方程中，可得2222(4)240k x k x k +-+-=，知该方程的一个根为1，由韦达定理可得点P 的横坐标为2244k k -+，于是点P 的坐标为22248(,)44k kk k --++．由APAQ ⊥可得：4(2)1k k -⋅+=-，解得83k =-．所以，直线l 的方程为8(1)3y x =--，即8380x y +-=．………13分第8页，共8页16、（15分）已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：11114ln(1)(1)23n n n n ++++>+++ *()n N ∈．解：（Ⅰ）定义域为()1,-+∞，2'()11a f x x =-+………2分令'()0121f x x a >⇒-<<-，令'()021f x x a <⇒>-故()f x 的单调递增区间为()1,21a --，()f x 的单调递减区间为()21,a -+∞…………4分()f x 的极大值为2ln 221a a a -+…………………………………………6分（Ⅱ）证：令12a =，由（Ⅰ）可知()f x 在(0,)+∞上递减，故()(0)0f x f <=即ln(1)x x +<，令*1()x n N n =∈，故111ln(1ln ln(1)ln n n n n n n ++==+-<累加得，111ln(1)123n n +<+++⋅⋅⋅+………………………………11分1111ln(1)ln(1)1(1)3n n e n n n n +<⇒+<⇒+<<故111113ln(1)(1)23n n n n +++⋅⋅⋅++>+++，得证………………15分法二：1(1n n +=0122111n n n n n n C C C C n n n +++⋅⋅⋅+11122!3!!n <+++⋅⋅⋅+21112222n <+++⋅⋅⋅+1111(1)1222331212n n ---=+=-<-…………11分，其余相同证法.。

全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷参考答案及评分标准

下面证明 PF 与 x 轴不垂直时， PFA 2PAF 恒成立，
设 P
x1, y1
，由于 kPA

y1 x1
1
,
kPF

y1 x1 2
tan
2PAF

2kPA
1 kPA
2

2 x1 1 y1 x1 12 y12
，又 y12 3
x12 1
…………………….. 6 分
(2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得 AM 2＝b2＋(a2)2－2b·a2·cos C＝b2＋b42＋b22＝( 7)2，解得 b＝2，
故 S△ABC＝12absin C＝12×2×2× 23＝ 3.
…………….…………………….. 13 分
12.（本题满分 13 分）在一次全省科普知识竞赛中，某市 3000 名参赛选手的初赛成绩统计如下图所示.
………………….. 4 分
（2）要选取 1500 人入围决赛，就是要求该组数据的中位数：
70 0.5 0.1 0.15 77 1 77.14
0.035
7
所以，进入决赛选手的分数应该制定为 77.14 分.
……………...…………………….. 7 分
（3）依题意，
B(4,
2) ，所以 5
ξ
的分布列为
P(

k)

C4k
(
2 5
)
k
(
3 5
)
4k
， (k

0,1, 2,3, 4)
；
或 ξ 的分布列：
ξ0
1
2
3
4
故 E( ) 4 2 8 . 55

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)(2)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ．事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102．注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ．所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格，取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ，使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）．另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛于2010年9月19日（星期日）上午9:00-11:30在甘肃各地州市同时举行,有九千多名中学生参加了这次预赛. 联赛预赛由省数学会普及委员会在甘肃省五学科竞赛管理委员会领导下组织出题，由各地州市自己组织竞赛和阅卷,并按参加预赛人数的5% ～ 10%上报参加联赛的人选. 最后选拔了近一千名同学参加在省城兰州举行的全国高中数学联赛. 预赛试题的大部分内容不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》的范围，同时适当涉及到了《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》. 试题结构与新的联赛试题结构相适应，取消了选择题. 预赛试卷包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分.试题一.填空题(每小题7分，共56分)1. 已知12n k k k <<<是非负整数,满足12222227n k k k +++=，则12n k k k +++= .2. 设0a >，函数()|2|f x x a =+和()||g x x a =-的图像交于C 点且它们分别与y 轴交于A 和B 点，若三角形ABC 的面积是1，则a = .3. 已知n S 是公差为正数q 的等差数列的前n 项之和，如果210n S n+在6n =时取到最小值, 则q 的取值范围是 .4. 已知函数3y x =在k x a =的切线和x 轴交于1k a +，如果11a =, 则lim n n S →∞= .5. 函数:f R R →对于一切,,x y z R ∈满足不等式()()()3(2)f x y f y z f z x f x y z +++++≥++，则(1)(0)f f -= ；6.锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos b aC a b +=，则11tan tan A B +的最小值是； 7. P 是椭圆221124x y +=上的一动点，1F 和2F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是；8. 用3种颜色给立方体的8个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染4个顶点．则任一棱的两个端点都不同色的概率是；二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分) 9. 已知1sin sin 5αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求 ()()()()1cos2sin 21cos2sin 2αβαβαβαβ-+++++++的值. 10. 设12,,,n a a a 是12,,,n 的一个排列（3n ≥），求证：()()()222222222222212323434521221111121n n nn a a a a a a a a a a a a n n n ---++++>++++++++++.11.对任意的正整数n ,证明恒等式4211nk k k k ==++∑2111nk k n n =++∑. 12.设S 是一些互不相同的4元数组1234(,,,)a a a a 的集合，其中0i a =或1,1,2,3,4i =．已知S 的元素个数不超过15且满足：若12341234(,,,),(,,,)a a a a b b b b S ∈，则11223344(max{,},max{,},max{,},max{,})a b a b a b a b S ∈且11223344(min{,},min{,},min{,},min{,})a b a b a b a b S ∈．求S 的元素个数的最大值．解答1. 19 提示：0156722712326412822222=++++=++++,故120156719n k k k +++=++++=，于是应填19.2. 2 提示：由()f x 和()g x 的图像知三角形ABC 是底为a 的等腰直角三角形,故其面积214a =，于是2a =. 应填2.3. [10,14] 提示：设1(1)n a a n q =+-，则1(1)2n n n S na q -=+，于是 121021022n S q qn a n n +=++-．由题设知621052107210min{,}262527q q q +≤++，由此可得572q≤≤，故q 的取值范围是[10,14]． 4.3 提示：由3y x =知23y x '=，于是3y x =在k x a =的切线方程为()323k k k y a a x a -=-．它与x 轴交于点1(,0)k a +，故()3213k k k k a a a a +-=-，由此可得123k k a a +=．又11a =，故 21()13lim lim3221133nn n n S →∞→∞-===--，所以应填3．5. 0 提示： ()()()()(0)(0)23020x y z f f f x f f x f =-=⇒++≥⇒≥，(2)(0)(0)3(2)(0)(2)x y z f x f f f x f f x ==-⇒++≥⇒≥由此得(0)()(0)f f x f ≥≥，从而()(0)f x f c =≡（常数）．故应填0．6.提示：由题设及余弦定理22222222422a b c ab a b a b c ab+-⋅=+⇒+=，于是11cos sin sin cos tan tan sin sin B A B AA B A B++= sin()sin sin sin sin A B C A B C +=2sin sin sin sin CA B C=222sin 2sin 212sin sin c a b ab C ab C ab ab C C +==≥=≥而上式等号成立当且仅当A B C==11tan tan A B +=7. [4,4]-提示：设00(,)P x y ，()()12,0,,0F c F c -，则有10000(,0)(,)(,)PF c x y x c y =--=---， 20000(,0)(,)(,)PF c x y c x y =-=--，于是120000(,)(,)PF PF x c y c x y ⋅-----22200x c y =-+22200x y c =+-．注意到222200b x y a ≤+≤，即有222222200b c x y c a c -≤+-≤-，也即222212b c PF PF a c -≤⋅≤- （其中2222212,4,8a b c a b ===-=），故有1244PF PF -≤⋅≤．8.135提示：当其中一种颜色染4个顶点时，其余两种颜色可任意染色剩余的4个顶点．于是满足要求的染色方法共有140123384444()37015C C C C C C ⋅⋅+++=⨯⨯(种)若要求任一棱的两个端点都不同色，则一种颜色染4个顶点的染法只有2种，此时其余两种颜色仍可任意染色剩余的4个顶点．于是这样的染法共有10123344442()615C C C C C ⋅⋅+++=⨯(种)故所求概率为61513701535⨯=⨯⨯.9. 由1sin sin 2sincos225αβαβαβ+-+==及1cos cos 2coscos223αβαβαβ+-+== 可得3tan25αβ+=，于是 ()23622tan15552tan 91681tan 122525αβαβαβ+⨯+====+--. 注意到()()()()()()()()()1cos 2sin 2sin 21cos 21cos 2sin 21cos 2sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++=++=++-+++=++++tan从而()()()()1cos2sin 21cos2sin 2αβαβαβαβ-+++++++=158.10.由柯西不等式容易得到：()()()22222222212323421n n n aa aaa aaa a⎡⎤+++++++++⋅⎢⎥--⎣⎦()21112212323421n a a a a a a a a a n n n ⎡⎤⎢⎥+++≥-⎢⎥++++++⎢⎥--⎣⎦从而有22222222212323421111n n na a a a a a a a a --+++++++++ 22222222121212222122(2)3()2()()(2)3()(2)1(1)(21)2n n n n n a a a a a a a n a a a n n n n --≥+++-+-+->+++-=++22(2)(1)(21)n n n n -=++11.证明：42422222111121(1)nn nk k k k k kk k k k k k k =====++++-+-∑∑∑ 222211111[()](1)(1)211nn k k k k k k k k k k k ====-+-+++-++∑∑ 222221111(1)212112n n n nn n n n n n ++=-==++++++ 2111nk k n n ==++∑.12. 显然所有可能的4元数组有16种．因为至少有一个那样的4元数组不在S 中，所以(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)和(0,0,0,1)中至少有一个不在S 中，若不然由题中条件可推出所有那样的4元数组都在S 中，不妨设(1,0,0,0)S ∉．此时由题中条件又知(1,1,0,0)，(1,0,1,0)和(1,0,0,1)中至少有2个不能在S 中，不妨设(1,1,0,0)和(1,0,1,0)不在S 中．此时又可知(1,1,1,0)和(1,0,0,1)不能同时在S 中，不妨设(1,1,1,0)不在S 中．于是S 的元素个数不超过16412-=个．现在设S 是所有可能的16个4元数组中去掉(1,0,0,0)，(1,1,0,0)，(1,0,1,0)和 (1,1,1,0)后所成的集合，我们要证S 满足题中条件，从而S 的元素个数最大值为12．任取12341234(,,,),(,,,)a a a a b b b b S ∈. （1）若110a b ==或41a =或41b =，则显然11223344(max{,},max{,},max{,},max{,})a b a b a b a b不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于S ．又1122334(m i n {,},m i n {,},m i n {,},m i n {,})a b a b a b a b （2）若11a =或11b =且440a b ==，则112233442233(max{,},max{,},max{,},max{,})(1,max{,},max{,},0)a b a b a b a b a b a b =，由此推出1234(,,,)a a a a 或1234(,,,)b b b b 不属于S ，这种情况不会出现．类似地有：（3）若10a =或10b =或441a b ==，则显然11223344(min{,},min{,},min{,},min{,})a b a b a b a b不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于S ．（4）若111a b ==且40a =或40b =，则112233442233(min{,},min{,},min{,},min{,})(1,min{,},min{,},0)a b a b a b a b a b a b =，由此推出1234(,,,)a a a a 或1234(,,,)b b b b 不属于S ，这种情况也不会出现．综上所述，S 是满足题目要求的，故S 的元素个数最大值就是12．。

二O一八年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛参考答案(pdf首发)

∴ x1 +x2 =
4t 2 4t 2 16 ， x1 x2 = ， 2 2+t 2+t 2
1 而 SQAB | 2t | | x1 x2 || t | | x1 x2 | 2
2 S t 2 ( x1 x2 )2 t 2 [( x1 x2 )2 4 x1 x2 ] QAB
t2[
2 16t 4 16t 2 64 4 2 32t 128 ] t =32[1 ]， 2 2 2 2 2 (2+t ) 2+t (2+t ) (2+t 2 )2
由已知，点 P 不在椭圆 C 的内部，得 | t | 2 ，即 t 2 4 ，
8 2 ∴ S 的最小值2 2 1 4 21 2 11 2 1 1 4 P 2 C2 C2 ， C2 C2 3 3 5 5 225 3 5 5 3 1 21 12 1 1 4 1 P 3 C ， C2 3 35 5 5 3 225
故，三角形 QAB 面积的最小值为 16、设函数 f ( x) x
16 ． 3
2 a ln x(a R, a 0) . x
(I)讨论 f ( x) 的单调性； (II)若 f ( x) 有两个极值点 x1 和 x2 ，记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k ，问：是否存在 a ，使得 k 2 a ? 若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由． (I) f ( x) 的定义域为 (0, ). f ( x) 1 令 g x =x - ax+2 ，其判别式 a 2 8

2020年预赛试题参考答案及评分标准

故有 CD∥BE，所以 CD⊥平面 A1OC.
……… 6 分
(2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE，
又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，
所以∠A1OC 为二面角 A1-BE-C 的平面角，所以∠A1OC＝π2，
如图 2，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，
因为 A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，
故 G(x)min G(x0 ) ex0 mx02 2(x0 1) k 0 ，
从而， k
ex0
ex0 2 2x0
x02
2( x0
1)
，即 k
( x0 2
1)ex0
x0
2
令 v(x) ( x 1)ex x 2 ， v(x) x 1ex 1，
2
2
解得 cos B 1 或 cos B 3 （舍去）
2
2
又因为 0 B ，所以 B .
2
3
……………… 7 分
（2）由（1）结论，①+②，得 cos(A C) 1 sin2 B 1. 4
则 A C. 故三角形 ABC 为等边三角形，
设三角形边长为 x ，则 0 x 5.
AC CD AC CD cos 60 1 x(5 x) 1 [(x 5)2 25](0, 25] （当且仅当 x 5 时取“=”）
所以数列{an 3an1} 是首项为 a2 3a1 ，公比为 2 的等比数列.
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故有 an 3an1 a2 3a1 2 n2 5 2 n-1
an
3a n15 2 n1
an
2 n
3
2
an1 2 n1
5n
2
2

2014年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷答案

二Ｏ一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷一、填空题（10小题，每小题6分，共60分）1．在数列{}n a 中，11a =，23a =，且21n n n a a a ++=-（*∈N n ），则=2014a .【答案】1．2．如图所示的程序框图中输出的结果为a ，若二项式24mx ((m >0)的展开式中含3x 的项的系数为2a,则常数m =_________ ．【答案】123．已知对任意1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是_____________．【答案】x >2或x <－14．已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}A x x z z C ∈==,2，若C B ⊆，则实数a 的取值范围是．【答案】1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．5．AFS 国际文化交流组织（AFS Intercultural Programs ）拟将18个中学生交流项目的名额分配给4所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为：______________．【答案】3606．设m >1，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为__________．【答案】(1,1＋2)7．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为．【答案】27． 8．直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB , AB //DC , AB =4,AD =DC =2,设点N 是DC 边的中点，点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM AN ⋅的最大值是______________．【答案】69．设实数1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a = ．【答案】32-10．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x y +=和椭圆221164ax y +=（0<1a ≤）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】)321,2[ 二、解答题（4小题，共60分）11．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，11a =，122n n a a n +=-+，n ∈*N ．求数列{}n a 的前n项和n S ．解：由122n n a a n +=-+得12((1))n n a n a n +-=--，n ∈*N ．所以数列{}(1)n a n --是首项为1，且公比为2的等比数列．∴121n n a n -=+-．…………10分所以数列{}n a 的前n 项和(1)212nn n n S -=-+．…………14分 12．（本小题满分14分）已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若满足3tan tan tan 3A B A B ⋅--=（Ⅰ）求∠C 大小；（Ⅱ）若c =2，且△ABC 为锐角三角形，求a 2+b 2取值范围．解：（I 3tan tan tan 3A B A B ⋅--=tan tan 3(tan tan 1)A B A B +=⋅-∴tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅tan()A B +=，∴tan C =3C π=…………6分（II ）2262sin sin sin 23A a b c B A A B C A B πππππ⎧<⎪⎪⎪<⇒<<==⎨⎪⎪+=⎪⎩，由正弦定理，2222162[sin sin ()]33168sin(2)336512sin(2)1,6266626a b A A A A A A ππππππππ+=+-=+-<<∴<-<∴<-≤，，22208.3a b <+≤即…………14分13．（本小题满分16分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0)P m ，（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB =，3OA OB ⋅=．（1）求双曲线方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由双曲线离心率为2知，2c a =，b =，所以双曲线方程可化为222213x y a a-=．又直线l 方程为y x m =+．由222213x y a a y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得2222230x mx m a ---=． ①设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，221232m a x x --=．因为 3AP PB =，所以 1122()3()x m y x y m --=-，，，故123x x =-．结合12x x m +=，解得132x m =，212x m =-．代入221232m a x x --=，得2223342m a m ---=，化简得226m a =．又1212121222221212()()2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ⋅=+=+++=+++=-=，因为已知3OA OB ⋅=．所以21a =．此时，m =2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求．故双曲线C 的方程为2213y x -=． …………8分（2）假设点M 存在，设(0)M t ，．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点．当02x ≠时，00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=--，00tan Q M y QMF k x t∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以 0002000221()y y x ty x x t⨯--=---．将220033y x =-代入，并整理得，22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++．于是 242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-．当02x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，045QMF ∠=，符合2QFM QMF ∠=∠．所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-，． …………16分 14．（本小题满分16分）已知函数()ln(1)1axf x x x =+++()a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()x f y =的图象在0x =处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅲ）求证：2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n N ∈）．解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++，∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3.又∵()00f =，所以切点为()0,0. 故所求的切线方程为：3y x =. …………4分（Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++(1)x >-， ∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x af x x x x +-++'=+=+++． ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>；②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--；综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． …………10分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时， ()()ln 11xf x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11xx x +>+．令1x n =（*n ∈N ），则111ln 1111n n n n ⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+．另一方面，∵()2111n n n <+，即21111n n n-<+,∴21111n n n>-+． ∴ 2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………16分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ∴1(21)'()1211x x F x x x x +=-+=++， ∴当01x <≤时,'()0F x >； ∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- 令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．…………16分方法三：数学归纳法酌情给分。

2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷(word版,排好版有答案)

2019年全国高中数学联赛甘肃赛区初赛试卷（考试时间： 2019 年 6 月 30 日 9： 00－ 11： 30，满分 150 分）题号一 11 12 13 14 15 16总分得分评分人复核人一、填空题（共 10 小题，每题 7 分，满分 70 分。

请直接将答案写在题中的横线上）1 、已知 a2，且 Ax 2 x a ， By y2 x 3, xA ， Ct tx 2 , x A ，若CB ，则 a 的取值范围是.ABC 的三边分别为 a ， b ， c , O 为 ABC 的外心，已知 b 2 2bc 2uuur uuur2、 0， BC AO 的取值范围是.3、已知 a = log 4 e, b = log 3 4, c = log 4 5, 则 a ， b ， c 的大小关系是.4、若方程 a1 x 2x 1 有实数解，则实数 a 的取值范围是.5、在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a n an 11( n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则 S20172S2018S 2019 的值为．uuur uuur6 、在复平面内，复数 z 1 , z 2 , z 3 的对应点分别为 Z 1 , Z 2 , Z 3 , 若 z 1 z 22, OZ 1 OZ 2 0 ，z 1 z 2 z 3 2 ，则 z 3 的取值范围是.ln x ， x>1，7、已知函数 f(x)＝ 1 1若 m<n ，且 f(m)＝ f(n)，则 n － m 的最小值是 .2x ＋2， x ≤1，8、已知椭圆x 2 y 2 的左、右焦点分别为 F 1、 F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点 P 、413Q ，则 △F PQ 内切圆面积的最大值是．19、已知 x0， y 0且1 1 1，则 x 2y的最小值为.2x y y 110、定义两点 P( x 1, y 1 ) ， Q( x 2 , y 2 ) 之间的 “坐标距离 ”为： d (P,Q) | x 1 x 2 | | y 1 y 2 | ．若 C(x, y) 到点 A(1, 3) ， B(6, 9) 的 “坐标距离 ”相等，此中实数 x 、 y 知足 0 x 10 ， 0 y 10 ，则全部知足条件的点 C 的轨迹的长之和为 __________二、解答题（共6 小题，满分 80 分。

年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛

2 + cos x 0 , 222 1 222006 年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛一、选择题(每小题 6 分 ,共 36 分)1. 使关于 x 的不等式1 + sin x ≥k 有解的实数 k 的最大值是() . 的三个内角满足() . (A) sin C - sin B = 1sin A2 (B) sin C - sin B = - 1sin A(A ) - 4 3 (B ) - 3 4 (C) 3 4 (D) 432 (C) sin C + sin B = 1sin A2. 已知二次函数 f ( x ) 满足 :f (1 - x ) = f (1 + x ) , - 4 ≤f (1) ≤- 1 ,- 1 ≤f (2) ≤5.则 f (3) 的取值范围为( ) .(A ) 7 ≤f (3) ≤26 2(D) sin C - sin B = sin A二、填空题(每小题 9 分 ,共 54 分)7. 设非零相异复数 x 、y 满足 x 2+ xy + y 2= 0. 则代数式(B ) - 4 ≤f (3) ≤15 (C ) - 1 ≤f (3) ≤32xy( x + y ) ( x - y ) 22 006( x 2 006 + y 2 006 )(D ) -28 ≤f (3) ≤253 3的值为 .8. 已知 ab = 1 ,且 1 +1= 1.3. 已知 x 、y ∈ - π π4 , 4 , a ∈R ,且1 -2 xa 则 x + y 的值为 .1 - 2y + 1bx 3 + sin x - 2 a = 0 ,4 y 3+ sin y ·cos y + a = 0.9. 设α、β、γ∈ π,且满足则 cos ( x + 2 y ) 的值为() . cos α=α,cos ( s in β) =β,sin (cos γ) = γ.( ) ( ) ( ) ( ) 2 则α、β、γ的大小关系为 .A 1B - 1C 0 210. 如果复数 z 1 、z 2 满足| z 1 | = | z 2 | , 4. 设 a 、b 是互质的两个自然数. 则 a 2+ z z 且 z - z = 2 - i ,则1 2的值为 .b 2和 a 3+ b 3的最大公约数为() . (A ) 1 (B ) 2 (C ) 1 或 2 (D ) 可能大于 25. 在 xOy 平面上 , 三角形顶点坐标为( x i , y i ) ( i = 1 ,2 ,3) ,其中 , x i 、y i 是整数且满足 1 ≤x i ≤n ,1 ≤y i ≤n ( n 为整数) ,这样的 12| z 1 z 2 |11. 由不大于 2 006 的连续 10 个正整数的和组成集合 S ,由不大于 2 006 的连续 11 个正整数的和组成集合 T ,则 S ∩T 的元素个数是 .12. 平面上任意给定的 n 个向量为 O P 1 ,三角形有 516 个. 则 n 的值为() .O P ,, O P ,向量 O P 使得 PP 2 + PP 2+ (A ) 3(B ) 4(C ) 5(D ) 6 + PP 2为最小. 则向量 O P 为.6. 在 △ABC 中 , A 为动点 , B ( - a,0) 、C (a,0) ( a > 0) 为定点 ,且动点 A 的轨迹方程三、解答题(每小题 20 分 ,共 60 分)13. 设 f 为实数集 R 到实数集 R 的函数 ,满足16 x 2 是 a 2 - 16 y 23 a2 = 1 ( y≠0) 的右支. 则 △ABC f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy .若 f ( x ) 的图像有对称轴 x = k 且在区间n na42n n nn3 32 006 3 2 a 2 a2007 年第 7 期[ 2 ,3 ]上单调递减 ,求 k 的取值范围. 14. 设 a 、b 为正整数 , 两直线 l 1: y = 33及 a 、b 互质 ,必有 2| ( a + b ) . 于是 ,4| ( a + b ) 2.而( a + b ) 2= a 2 + b 2 + 2 ab , 由此得 4 | 2 ab , 即- b x + b 与 l 2 : y = bx 的交点是 ( x 1 , y 1 ) , 对于自然数 n ( n ≥2) ,过点(0 , b ) 和( x n - 1 ,0) 的直线与直线 l 2 的交点记为 ( x n , y n ) . 求数列{ x n } 、{ y n }的通项公式.15. 设 a > 1 , b > 1. 证明 :a 4b 4 ≥2| ab .于是 ,2| a 或 2| b .无论何种情况都推出( a , b ) ≥2 ,这和 a 与 b 互质矛盾. 同样可得 a 2 + b 2 和 a 3 + b 3 不会有大于 2 的质公因子.5. B.容易计算 , 当 n ≥5 时 , 三角形的个数均超过516. 故只需考虑 n < 5 的情况. 此时 ,所有的三点组 ( b - 1) 2 + ( a - 1) 232.3有C 2 个 ,其中 ,不合题意的三点组为 :水平方向或垂参考答案直方向共线的三点组共 2 n C 3个 ,斜率为 ±1 方向上共线的三点组共有 2 (C 3+ 2C 3++ 2C 3) 个. 故一、1. D.n n - 1 3 3 ( 33 3 )C 2 - 2 n C n - 2 C n + 2C n - 1 + + 2C 3 = 516.本题实质上是求 f ( x ) = 1 + sin x的值域的但 C 3 + C 3 + + C 3 = C 4, 故 2 + cos x34n - 1n3334 上限.将 f ( x ) 看成是点 A ( cos x , sin x ) 和点 B ( - 2 ,- 1) 确定的直线的斜率. 而点 A 在单位圆周上运动 ,当 BA 为圆的切线时斜率取最值.由此容易求得 f max = 4.2. C.C 2 - 2 n C n - 2C n - 4C n = 516. 直接试得 n = 4.6. A.x 2y 2将轨迹方程写成由双曲线定义可知= 1.设 f ( x ) = ax 2 + bx + c , 则|a a 1f (1) = a + b + c , f (2) = 4 a + 2 b + c , f (0)= c .AB | - | AC | = 2 × 4 = 2 = 2| BC | .又 f ( x ) 的对称轴为 x = 1 ,所以 , f (2) = f (0) . 由此得 2 a + b = 0.于是 , f (1) = - a + c , f (2) = c .但 f (3) = 9 a + 3 b + c = 3 a + c , 故由正弦定理知| AB | = 2 R sin C ,| AC | = 2 R sin B , | BC | = 2 R sin A .将其代入上式并化简得f (3) = - 3f (1) + 4f (2) .由题设中 f (1) 、f (2) 的范围知 - 1 ≤f (3) ≤32.3. A.x 3 + sin x = 2 a ,sin C - sin B = 12 二、7. - 1 . sin A .x 2 x由题设得( - 2 y ) 3 + sin ( - 2 y ) = 2 a .由 x 、y y + y+ 1 = 0 , 则3π πx = ω为三次单位复根. 从而 ,令 f ( t ) = t + sin t , t ∈ -2 ,2, 则 f ( t ) 是yω2 0062 006- π ,π 上的增函数. 于是 ,由 f ( x ) = f ( - 2 y ) ,原式 = (1 + ω) (1 - ω) 2(ω + 1)2 2ω 2 006得 x = - 2 y , 即 x + 2 y = 0. 故 cos ( x + 2 y ) = 1.= ( - ω2) ( - 3ω)(ω2 + 1)4. C.若取 a = 2 , b = 3 , 则 a 2 + b 2 = 13 , a 3 + b 3 = 35.13 与 35 互质.若取 a = 3 , b = 5 ,则 a 2 + b 2 和 a 3 + b 3 都是偶数 ,它们有公因子 2.现假设 a 2 + b 2 和 a 3 + b 3 有公因子 4 ,则因a 3 +b 3 = ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) - ab ( a + b )ω1= 32 006 ( - ω) = - 32 006 . 8. - 1.题设等式两边同乘(1 - 2 x a ) (1 - 2 y + 1b ) 得2 - 2 x a - 2y + 1b = 1 - 2 x a - 2y + 1b + 2x + y + 1ab ,即 1 = 2 ×2 x + y.所以 , x + y = - 1.3 a 42k ∑ ∑n∑个为 ∑nk∑∑nnn∑x a2 a9. γ<α<β.由α= cosα,β= cos ( sin β) > cos β, γ= sin (cos γ) < cos γ,且 f ( x ) = x - cos x 在 0 ,π上为增函数 ,则有n≥ O P 2-k = 1当 O P = 1n(O P k)2k = 1.nn∑O P k时 ,上式等号成立 ,故2γ<α<β.n k = 1134O P =O P k .k = 110. - 5 + 5i.三、13. 令 x = 0 ,得 f (0) = 0. 再由题设得注意到| z 1 z 2 | = | z 1 | 2= | z 2 | 2,则0 = f (0) = f ( x - x ) = f ( x ) + f ( - x ) - 2 x 2 ,2 - i =z 1 - z 2 = 1 | z 2 z 2 |z 1 z 2 z 2 -1| z 1 z 1 |z 2 z 1 z 1 即 f ( x ) + f ( - x ) = 2 x 2 .①= z 1 z 2 ( z - z ) = z 1 z 2 ( z - z ) | z 1 z 2 | 2 1 | z 1 z 2 | 2 1= - z 1 z 2(2 + i ) . | z 1 z 2 |, z 1 z 2 = -| z 1 z 2 | 11. 181.S 为从 55 开始到1020 015 =∑(1 996 + i ) = 10 ×1 996 + 55②间为( - ∞, k ] . 故 k ≥3.14. 直线 l 1 过点(2 a ,0) 、(0 , b ) ,易知 l 1 与 l 2 的交点为i = 1( x , y ) = a , b.为止的所有个位数为 5 的整数集合.同理 , T 为从 66 开始每次增加 11 得到的整数 112过点(0 , b ) 、( x n - 1 ,0) 的直线方程为集合 ,其中 ,最大的一个数为x +y= 1 , 11x n - 1 b22 011 =(1 995 + i ) = 11 ×1 995 + 66. i = 1它与 l 2 的交点为( x n , y n ) . 于是 ,T 中元素平均每 10 个中有一个的个位数为 5 ,x n + y n= 1 , 且 y = bx . 故 T 中共有个位数为 5 的元素 199 =1 996 ,10 x n - 1b1 1 n2 a n1t k = 55 + 110 k ( k = 1 ,2 ,,199) .x n-x n - 1 = 2 a ( n ≥2).由 55 + 110 k ≤20 015 ,解得 k ≤181. 故 | S ∩T | = 181.此说明数列 1是首项为 1 、公差为 1的等n1 差数列.12.n O P k .k = 1n从而 , 1x n = 1 + a n - 1 = 2 a n + 1 , 2 a∑PP k2= ∑( O P k- O P )22 ak = 1nk = 1x n = n + 1.=( O P 2 - 2 O P ·O P + O P 2 )∑kk 由此可得 y = bx = b2 a = b . k = 1 n nn2 a n2 a ·n + 1 n + 1 =∑O P 2 - 2 ( ∑O P ) ·O P + n O P 2x = a - 1 ,a = x + 1 ,kk = 1kk = 1 n15. 令则y = b - 1 ,b = y + 1.n=∑O P 2 - ( O P k) 2k = 1+n不等式左边4422k = 1≥(2 x ) + (2 y ) = 16 x + y ≥32.12y2 x2y2x2n O P -O P kk = 1(傅龙骧提供)又 f ( k + x ) = f ( k ) + f ( x ) + 2 kx ,f ( k - x ) = f ( k ) + f ( - x ) - 2 kx ,上两式相减 ,并注意 f ( k + x ) = f ( k - x ) ,有f ( x ) - f ( - x ) = - 4 kx .由式 ①、②得 f ( x ) = x 2 - 2 kx .这是开口向上的抛物线 , 单调递减区 2 - i = - 3 + 4 i.2 + i 5 5 于是即n故。

3_2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)

二O一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷答案

二Ｏ一四年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷一、填空题（10小题，每小题6分，共60分）1．在数列{}n a 中，11a =，23a =，且21n n n a a a ++=-（*∈N n ），则=2014a .【答案】1．2．如图所示的程序框图中输出的结果为a ，若二项式24mx ((m >0)的展开式中含3x 的项的系数为2a,则常数m =_________ ．【答案】123．已知对任意1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是_____________．【答案】x >2或x <－14．已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}A x x z z C ∈==,2，若C B ⊆，则实数a 的取值范围是．【答案】1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．5．AFS 国际文化交流组织（AFS Intercultural Programs ）拟将18个中学生交流项目的名额分配给4所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为：______________．【答案】3606．设m >1，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为__________．【答案】(1,1＋2)7．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为．【答案】27． 8．直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB , AB //DC , AB =4,AD =DC =2,设点N 是DC 边的中点，点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM AN ⋅的最大值是______________．【答案】69．设实数1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a = ．【答案】32-10．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x y +=和椭圆221164ax y +=（0<1a ≤）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】)321,2[ 二、解答题（4小题，共60分）11．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，11a =，122n n a a n +=-+，n ∈*N ．求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：由122n n a a n +=-+得12((1))n n a n a n +-=--，n ∈*N ．所以数列{}(1)n a n --是首项为1，且公比为2的等比数列． ∴121n n a n -=+-．…………10分所以数列{}n a 的前n 项和(1)212nn n n S -=-+．…………14分 12．（本小题满分14分）已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若满足tan tan tan A B A B ⋅--=（Ⅰ）求∠C 大小；（Ⅱ）若c =2，且△ABC 为锐角三角形，求a 2+b 2取值范围．解：（I tan tan tan A B A B ⋅--tan tan tan 1)A B A B +=⋅-∴tan tan 1tan tan A BA B +=-⋅tan()A B +=tan C =3C π=…………6分（II ）2262sin sin sin 23A a b c B A A B C A B πππππ⎧<⎪⎪⎪<⇒<<==⎨⎪⎪+=⎪⎩，由正弦定理，2222162[sin sin ()]33168sin(2)336512sin(2)1,6266626a b A A A A A A ππππππππ+=+-=+-<<∴<-<∴<-≤，，22208.3a b <+≤即…………14分13．（本小题满分16分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0)P m ，（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB =，3OA OB ⋅=．（1）求双曲线方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由双曲线离心率为2知，2c a =，b =，所以双曲线方程可化为222213x y a a-=．又直线l 方程为y x m =+．由222213x y a a y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得2222230x mx m a ---=． ①设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，221232m a x x --=．因为 3AP PB =，所以 1122()3()x m y x y m --=-，，，故123x x =-．结合12x x m +=，解得132x m =，212x m =-．代入221232m a x x --=，得2223342m a m ---=，化简得226m a =．又1212121222221212()()2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ⋅=+=+++=+++=-=，因为已知3OA OB ⋅=．所以21a =．此时，m =2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求．故双曲线C 的方程为2213y x -=． …………8分（2）假设点M 存在，设(0)M t ，．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点．当02x ≠时，00t a n 2Q F y QFM k x ∠=-=--，00tan Q M y QMF k x t∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以 0002000221()y y x ty x x t⨯--=---．将220033y x =-代入，并整理得，22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++．于是 242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-．当02x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，045QMF ∠=，符合2QFM QMF ∠=∠．所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-，． …………16分 14．（本小题满分16分）已知函数()ln(1)1axf x x x =+++()a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()x f y =的图象在0x =处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅲ）求证：2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n N ∈）．解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++， ∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. 又∵()00f =，所以切点为()0,0. 故所求的切线方程为：3y x =. …………4分（Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++(1)x >-， ∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++． ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>；②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--；综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． …………10分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时， ()()ln 11xf x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11xx x +>+．令1x n =（*n ∈N ），则111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+．另一方面，∵()2111n n n <+，即21111n n n-<+,∴21111n n n>-+． ∴ 2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………16分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ∴1(21)'()1211x x F x x x x +=-+=++， ∴当01x <≤时,'()0F x >； ∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- 令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．…………16分方法三：数学归纳法酌情给分。

二O一六年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛标准答案

二Ｏ一六年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（考试时间：2016年7月3日上午9：00－11：30，满分150分）一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1.若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案: 2332.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为______________. 答案：73.已知函数()()sin cos 0,R,f x x x x ωωω=+>∈若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为 .答案：24.已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式6-(的展开式中含2x 项的系数是．答案：316-5. 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．当CA →·CB →取到最小值时的OC →的坐标为________________. 答案：(4,2)6.已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0，则实数m 的取值范围是_______________．答案：[－1,1)7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率e 的取值范围是____________．答案：[52，5]8.已知甲乙两个工程队各有若干人，如果从甲工程队调90人到乙工程队，则乙工程队的总人数是甲工程队的2倍，如果从乙工程队调部分人到甲工程队，则甲工程队的总人数是乙工程队的6倍.则甲工程队原来最少有___________人. 答案：1539. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b +=________．答案：1081第4题图10.数列01,,n a a a ⋅⋅⋅满足0a =,[]{}11n n n a a a +=+,([]{},n n a a 分别表示n a 的整数部分和小数部分),则2016a =_____________．答案：3024二、解答题（共6小题，满分80分。