重庆市云阳县2019_2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)

重庆市云阳县2019-2020学年 高二数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题 1.不等式112x <的解集是（ ） A. ()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B. 1(0,)2C. ()(),02,-∞+∞D. (0,2)【答案】C 【解析】 【分析】移项通分后将分式不等式转化为一元二次不等式，解一元二次不等式求得结果. 【详解】由112x <得：112022x x x--=<，即()220x x ->，解得：0x <或2x > ∴不等式的解集为：()(),02,-∞+∞故选：C【点睛】本题考查分式不等式的求解，关键是能够通过移项通分将问题转化为一元二次不等式的求解问题.2.椭圆22149x y +=的焦点坐标是（ ）A. (0,B. (0)C. (D.(0,【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程得到椭圆的焦点在y 轴上，且c =.【详解】由题意，椭圆22149x y +=，即22194y x +=，可得椭圆的焦点在y 轴上，且c ==所以椭圆的焦点坐标为(0,. 故选：A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程，以及熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若67824a a a ++=，则13S 等于（ ） A. 26 B. 52C. 76D. 104【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可求得7a ，由13713S a =可求得结果. 【详解】由等差数列性质可得：6787324a a a a ++==，解得：78a =()11313713131381042a a S a +∴===⨯=故选：D【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够熟练应用等差数列下标和的性质，属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，520a =，155a =，则20a 的值是（ ） A.52B. 52±C. 5D. 5±【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，列出方程组，求得512q =±，利用等比数列的通项公式，即可求解20a 的值，得到答案.【详解】由题意，设等比数列的公比为q ，因为520a =，155a =，可得45114151205a a q a a q ⎧==⎨==⎩，所以1014q =，所以512q =±， 当512q =时，1532051520()22a a q ==⨯=； 当512q =-时，1532051520()22a a q ==⨯-=-，所以20a 的值是52±.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，列出方程组求得等比数列的公比，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.双曲线22491x y -=的渐近线方程是（ ） A. 490x y ±=B. 940x y ±=C. 230x y ±=D.320x y ±=【答案】C 【解析】 【分析】把双曲线方程化为2211149x y -=，得到11,23a b ==，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，双曲线22491x y -=可化为2211149x y -=，所以11,23a b ==， 所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a =±=±，即230x y ±=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的渐近线方程的形式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知实数x 满足：():3p x x ≤；():q x x a ≤.若()p x 是()q x 的充分不必要条件，则实数a 一定满足（ ）A. 3a ≤B. 3a ≥C. 3a <D. 3a >【答案】D 【解析】 【分析】由推出关系可得到a 的取值范围.【详解】由题意可得：3x x a ≤⇒≤，x a ≤3x ≤ 3a ∴>故选：D【点睛】本题考查根据充分不必要条件求解参数范围问题，关键是能够明确推出关系，属于基础题.7.命题p ：“[0,)x ∀∈+∞，有0x ≥成立.”则命题p 的否定是（ ）A. :(,0)p x ⌝∀∈-∞，有0x +<成立.B. :(,0)p x ⌝∀∈-∞，有0x +≥成立.C. :[0,)p x ⌝∃∈+∞，有0x +<成立D. :[0,)p x ⌝∃∈+∞，有0x +≥成立. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含全称量词命题的否定规则可直接写出结果.【详解】由含全称量词命题的否定的规则可得p ⌝：[)0,x ∃∈+∞，有0x +成立故选：C【点睛】本题考查含量词的命题的否定，关键是熟练掌握否定的规则，即全称量词变特称量词、特称量词变全称量词，只否定结论.8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，它的准线与对称轴交点为A ,若C 上一点P 满，且PAF ∆的面积为P 的坐标是（ ）A.B. 2)C.D.(12,【答案】C【解析】 【分析】设为,)P a，代入抛物线的方程，求得a =，得到(6,)P p ，根据PAF ∆的面积，解得p =.【详解】由题意，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF ，它的准线与对称轴交点(,0)2pA -，因为抛物线C 上一点P,)P a ，代入抛物线的方程，可得22a p =，解得a =，即(6,)P p ， 又由PAF ∆的面积为12p ⨯=p =，所以点P . 故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的标准方程，合理应用抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.已知函数1()x f x x-=,设()n a f n =，()n N +∈,则数列{}n a 满足：①1n a >；②1n a <；③数列{}n a 是递增数列；④数列{}n a 是递减数列.其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】先求得数列的通项公式1n n a n-=，化简为11n a n =-，即可得到1n a <，再由10n n a a +->，得到1n n a a +>，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数1()x f x x -=,设()n a f n =，()n N +∈，即1n n a n-=， 因为111n n a n n -==-，因为n N +∈，所以10n>，所以1n a <，所以②正确； 又由11111111011(1)n n a a n n n n n n +-=--+=-=>+++，即1n n a a +>，所以数列{}n a 是递增数列，所以③正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，以及数列的单调性的判定，其中解答中熟练应用数列的通项公式，熟练数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知实数x ，y 满足：55x y -<+<且33x y -<-<，则3x y -的取值范围是（ ） A. 16316x y -<-< B. 11311x y -<-< C. 434x y -<-< D. 13313x y -<-<【答案】B 【解析】 【分析】设3()()x y m x y n x y -=++-，得出3()2()x y x y x y -=++-，结合不等式的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，设3()()x y m x y n x y -=++-，整理得3()()x y m n x m n y -=++-，可得31m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得1,2m n ==，即3()2()x y x y x y -=++-，又由55x y -<+<且33x y -<-<，则62()6x y -<-<， 所以11()2()11x y x y -<++-<，即11311x y -<-<. 故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中得出3()2()x y x y x y -=+--，再结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.若,a b R +∈满足231a b +=，则关于23a b+的最小值说法正确的是（ ） A. 当且仅当15a b ==时，取得最小值25. B. 当且仅当14a =，16b =时，取得最小值26.C. 当且仅当14a b ==时，取得最小值20. D. 当且仅当15a =，13b =时，取得最小值19.【答案】A 【解析】 【分析】 由232366()(23)49b aa b a b a b a b+=++=+++，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为,a b R +∈满足231a b +=，则23236666()(23)4913225b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅=， 当且仅当66b aa b =，即a b =时，又由231a b +=，解得15a b ==时等号成立， 即当且仅当15a b ==时，取得最小值25. 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中合理利用基本不等式的“1”的代换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.如图，双曲线C 的焦点是1F ，2F ，顶点是1A ，2A ，点P 在曲线C 上，圆O 以线段12A A 为直径.点M 是直线1FP 与圆O 的切点，且点M 是线段1FP 的中点，则双曲线C 的离心率是（ ）2 3C. 25【答案】D 【解析】【分析】连接2,OM PF ，根据圆的性质，可得1OM PF ⊥，又由,O M 分别为121,F F PF 的中点， 得到12PF PF ⊥，且222PF OM a ==，再由双曲线的定义，得到14PF a =，利用勾股定理得到,a c 的方程，即可求解. 【详解】由题意，连接2,OM PF ，根据圆的性质，可得1OM PF ⊥，又由,O M 分别为121,F F PF 的中点， 所以2//OM PF ，则12PF PF ⊥，且222PF OM a ==，又由双曲线的定义，可得122PF PF a -=，所以1224PF PF a a =+=， 在直角12PF F ∆中，2221212PF PF F F +=，即222(4)(2)(2)a a c +=，整理得225a c =，所以5ce a==. 故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义应用，离心率的求解，以及圆的性质的应用，其中解答中合理利用圆的性质和双曲线的定义，利用勾股定理列出关于,a c 的方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 二、填空题13.抛物线22y x =的准线方程为________． 【答案】18y =- 【解析】 【分析】先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程.【详解】因为抛物线22y x =的标准方程为：212x y =， 因此其准线方程为：18y =-. 故答案为18y =-【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 14.已知数列{}n a 的前n 项和1n S n=,则5a 的值是___________. 【答案】120- 【解析】 【分析】利用554a S S =-可求得结果. 【详解】由1n S n =得：515S =，414S = 5541115420a S S ∴=-=-=- 故答案为：120-【点睛】本题考查数列中n a 与n S 关系的应用，关键是熟练掌握()12n n n a S S n -=-≥，属于基础题.15.关于函数2()(1)f x x =-，2()2g x x x =--.有下列命题： ①对x R ∀∈,恒有()()f x g x >成立. ②12,x x R ∃∈,使得()()12f x g x <成立.③“若()()f a g b >,则有0a <且0b >.”的否命题. ④“若0a <且0b >,则有()()g a f b <.”的逆否命题. 其中，真命题有_____________.（只需填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】设()()()2210h x f x g x x =-=+>，可判定①是真命题；令121,1x x ==-，得到()()12f x g x <，可判定②是真命题；根据二次函数的性质和四种命题的等价关系，可判定③是真命题，④是假命题.【详解】由题意，设()()()222(1)(2)210h x f x g x x x x x =-=----=+>，所以()()f x g x >，即对x R ∀∈,恒有()()f x g x >成立，所以①是真命题；令121,1x x ==-，可得(1)0,(1)1f g =-=，此时()()12f x g x <，即12,x x R ∃∈,使得()()12f x g x <成立，所以②是真命题；因为当0a <时，函数()2(1)f a a =-在(,0)a ∈-∞单调递减，所以()()01f a f >=，当0b >时，函数22()2(1)1g b b b b =-+--+=在(0,)+∞单调递减，所以((0)0)g g b <=， 所以命题“若0a <且0b >,则有()()g a f b >”是真命题，所以④是假命题； 又由命题“若0a <且0b >,则有()()g a f b >”与命题“若()()f a g b >,则有0a <且0b >”互为逆否关系，所以命题“若()()f a g b >,则有0a <且0b >”是真命题，所以③是真命题，综上可得，①②③是真命题. 故答案为：①②③.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中数练应用一元二次函数的图象与性质，以及四种命题的等价关系，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16.下图1，是某设计员为一种商品设计的平面logo 样式.主体是由内而外的三个正方形构成.该图的设计构思如图2,中间正方形A B C D ''''的四个顶点,分别在最外围正方形ABCD 的边上,且分所在边为a ，b 两段.设中间阴影部分的面积为S 阴影，最内正方形A B C D ''''''''的面积为S 内.当10a b +=，且S S ⋅阴影内取最大值时，定型该logo 的最终样式，则此时a ，b 的取值分别为_____________.【答案】105210522a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或105210522a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩【解析】 【分析】设a b t -=，其中1010t -<<，求得1010,22t ta b +-==，根据图形求得S 阴影和S 内的表达式，得到22212()(100)2S S ab a b t t ⋅=-=-⋅阴影内，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，设a b t -=，其中1010t -<<， 又由10a b +=，联立方程组可得1010,22t ta b +-==， 又由阴影部分的三角形为直角边分别为,a b 的直角三角形， 所以阴影部分的面积为1422S ab ab =⨯=阴影， 最内正方形A B C D ''''''''的边长为-a b ，所以面积为2()S a b =-内， 则2222101012()2(100)222t t S S ab a b t t t +-⋅=-=⨯⨯⨯=-⋅阴影内 2221100()125022t t -+≤⋅=，当且仅当22100t t -=时，即52t =± 当52t =10521052a b +-==； 当52t =-1052105222a b -+==.故答案为：102102a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或102102a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中认真审题，得到S S ⋅阴影内的表达式，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 三、解答题17.已知:(7)(5)0p x x -+≤；:(4)(8)0q x x -+≤. (1)当p q ∧为真时，求实数x 的取值范围；(2)当p q ∧为假，同时p q ∨为真时，求实数x 的取值范围. 【答案】(1) [5,4]- (2) [8,5)(4,7]--【解析】 【分析】解不等式求得p 为真、q 为真分别对应的解集；（1）由p q ∧为真可得,p q 全真，两解集取交集可得结果；（2）由p q ∧和p q ∨的真假性可得,p q 一真一假，则分为p 真q 假和p 假q 真两种情况求得解集.【详解】当p 为真时，由()()750x x -+≤得：57x -≤≤ 当q 为真时，由()()480x x -+≤得：84x -≤≤（1）当p q ∧为真时，,p q 均为真 54x ∴-≤≤，即x 的取值范围为[]5,4- （2）当p q∧假，p q ∨为真时，,p q 一真一假当p 真q 假时，47x <≤；当p 假q 真时，85x -≤<-x 的取值范围为：[)(]8,54,7--【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题，关键是能够准确确定两个基础命题的真假性.18.已知函数2()24f x x x =--.(1)关于x 的一元二次方程2()230f x mx m ++=的两个根是1x ，2x ,当122x x <<时，求实数m 的取值范围；(2)求关于x 的不等式()2440f x mx m +-+>的解集.【答案】（1）2(2,)3-； （2）当1m =-时，解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞；当1m >-时，解集(,2)(2,)m -∞-⋃+∞；当1m <-时，解集(,2)(2,)m -∞⋃-+∞.【解析】 【分析】(1)设22()2(1)43g x x m x m =+--+，结合二次函数的图象与性质，得到(2)0g <，即可求解，得到答案；(2)关于x 的不等式可化为(2)(2)0x x m -+>，分类讨论，即可求解. 【详解】(1)由题意，设222()()232(1)43g x f x mx m x m x m =++=+--+,若方程2()230f x mx m ++=的两个根满足122x x <<，结合二次函数的图象与性质，可得只需(2)0g <，即23440m m +-<， 解得223m -<<，即实数m 的取值范围是2(2,)3-.(2)关于x 的不等式()2440f x mx m +-+>，可得22(1)40x m x m +-->，即(2)(2)0x x m -+>，①当1m =-时，可得2(2)0x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞； ②当1m >-时，解得2x m <-或2x >，所以不等式的解集(,2)(2,)m -∞-⋃+∞； ③当1m <-时，解得2x <或2x m >-，所以不等式的解集(,2)(2,)m -∞⋃-+∞. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的解法，其中解答熟练应用一元二次函数的图象与性质，以及熟记应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知{}n a 满足11n n a na n +=+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn a b n =+,则求出数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n=； （2）342(1)(223)n S n n n =++-+.【解析】 【分析】(1)由11n n a na n +=+，且11a =，得到321121nn n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯，即可求解； (2)由1111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项法，即可求解.【详解】(1)由题意，数列{}n a 满足11n n a na n +=+，且11a =， 可得3211211212131n n n a n a a a a na n a a -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=， 即数列的通项公式为1n a n=. (2)由1111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111111112132435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111323323[]2121222(1)(2)42(1)(2)n n n n n n n n ++⎛⎫=++--=⋅-=- ⎪++++++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中数列利用数列的递推关系式，合理利用“累积法”和“裂项法”求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.过抛物线22(0)y px p =>焦点F 作倾斜角为4π的直线，交抛物线于A ，B 两点，点A 在x 轴上方.(1)当线段AB 中点的纵坐标是2时，求抛物线的方程；(2)求AF BF的值.【答案】（1）24y x =（2）322+【解析】 【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线:2pAB x y =+，联立方程组，运用韦达定理和中点公式，求得p 的值，即可得到抛物线的标准方程； （2）设直线:2pAB x y =+，联立方程组，解方程求得交点的纵坐标，再由抛物线的定义，化简即可求解.【详解】(1)由题意，设211,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线:2pAB x y =+， 则由222p x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y py p --=，可得122y y p +=，因为线段AB 的中点的纵坐标是2，可得1224y y p +==，解得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =.（2）由222p x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y py p --=，解得1(21)y p =，2(21)y p =，由抛物线的方程，可得221212,22y y x x p p==，由抛物线定义2122122222222222322222y py pAF py pBF y py+++====++-+.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程以及简单的几何性质的应用，其中解答中设出直线的方程，联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知数列{}n a的前n项和22nS n n=+.数列{}n b是等比数列，且112b a=-，223b a=-.(1)分别求出数列{}n a，{}n b的通项公式；(2)若nnnacb=,则求出数列{}nc的前n项和nT.【答案】（1）21na n=+；12nnb-=（2）125102n nnT-+=-【解析】【分析】（1）运用数列的递推式1112),(n n na nS a S S-=≥-=，化简可得na，再由{}n b是等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）求得1212nn nna ncb-+==，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前n项和，得到答案.【详解】(1)由题意，数列{}n a的前n项和22nS n n=+，当1n=时，可得112123Sa==+=，当2n≥时，2212(1)2(1)21n n na S S n n n n n--=+----=+=，当1n=时，13a=适合上式，所以数列的通项公式为21n a n =+， 又由1121b a =-=，2232b a =-=.因为数列{}n b 是等比数列，即数列{}n b 构成首项为1，公比为2q 的等比数列，所以{}n b 的通项公式为12n n b -=.(2)由1212n n n n a n c b -+==，则数列{}n c 的前n 项和n T ，可得 012n 13572n 12222n T -+=+++⋯+； 则123n 13572n 122222n T +=+++⋯+， 两式相减，可得12113111212212222n n n n T -+⎛⎫=+++⋯+- ⎪⎝⎭ n 1n n 1n n 11(1)2n 122n 12n 52232551222212---+++=+⋅-=--=--，所以125102n n n T -+=-.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22.已知椭圆E 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(1,0)F -,2(1,0)F ,短半轴长为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过焦点2F 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，满足11F A F B ⊥,求直线l 的方程.【答案】（1）22154x y +=；（2）220x y +-=或220x y --=. 【解析】 【分析】(1)由题意，求得1c =，2b =，得到225a b c =+= (2)设直线:1l x ny =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组，求得1212,y y y y +，再根据11F A F B ⊥，代入直线的方程得到()()21212n 1y y 2n y y 40++++=，代入求得n 的值，即可求解.【详解】(1)由题意，椭圆E 的两个焦点分别为1(1,0)F -,2(1,0)F ，短半轴长为2， 可得1c =，2b =，则225a b c =+=所以椭圆E 的标准方程22154x y +=；(2)由题意知直线l 与x 轴不重合，设直线:1l x ny =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组2245201x y x ny ⎧+=⎨=+⎩，整理得()22458160n y ny ++-=,可得1228n 4n 5y y +=-+，122164n 5y y =-+，又由11F A F B⊥，则110F A F B ⋅=，得()()11221,1,0x y x y +⋅+=， 代入直线可得()()11222,2,0ny y ny y +⋅+=，即()()21212n 1y y 2n y y 40++++=，代入可得()222168n n 1()2n ()404n 54n 5+-+⨯-+=++，解得214n =， 所以直线l 的方程为112x y =±+， 即直线l 的方程为：220x y +-=或220x y --=.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。